UNIDAD I. Números Reales

Transcripción

1 UNIDAD I Números Reles CONJUNTOS Defiició: U cojuto es u colecció ie defiid de ojetos. Deotremos los cojutos co letrs myúsculs A, B, C, etc. Los ojetos que compoe el cojuto recie el omre de elemetos o miemros del cojuto y los deotremos por letrs miúsculs,, c, etc. Not: Existe dos forms de escriir u cojuto: Por extesió por l que podemos determir el cojuto listdo todos sus elemetos. Por compresió por l que podemos determir u cojuto, idetificdo sus elemetos medite u propiedd comú de ellos. Pr escriir u cojuto por extesió, listmos todos sus elemetos seprdos por coms, y filmete, ecerrdos etre llves. Por ejemplo A{,,,4,5,6,7,8,9,0}. Pr escriir u cojuto por compresió elegimos u elemeto ritrrio x y señlmos que cumple u determid propiedd P(x). Filmete, ecerrmos tod l expresió etre llves: A {x: P(x)}, se lee A es el cojuto de todos los elemetos x tles que cumple l propiedd P(x). (Not : es u mer simólic de escriir tl que ).. El cojuto A {, e, i, o, u} está expresdo por extesió. Si desemos expresr el cojuto A por compresió deemos uscr u propiedd ó crcterístic e comú que coteg cd uo de sus elemetos, e este cso semos que los elemetos so vocles, por lo tto el cojuto A se puede expresr por compresió como sigue: A {x: x es u vocl}.. Se B {x: x es u úmero etero positivo meor que cico}, este cojuto está expresdo por compresió, pr expresr B por extesió deemos determir el cojuto listdo todos sus elemetos, es decir B {,,,4}. Cojuto Vcío Ddo el cojuto C, C {x: x es u profesor de mtemátic co más de trescietos ños de edd} expresdo por compresió, se dese expresr el cojuto por extesió, etoces deemos ecotrr todos los elemetos del cojuto; es evidete que C crece de elemetos, deido que o existe ctulmete u profesor co dich crcterístic. Por lo tto, C es u cojuto que crece de elemetos, el cul es llmdo cojuto vcío. El cojuto vcío se deot por { } o Φ. Por lo que C {} ó C Φ. E culquier plicció de l teorí de cojutos, los elemetos de todos los cojutos perteece usulmete u gr cojuto fijo llmdo cojuto uiversl (U). Por

2 ejemplo si trjmos e el cojuto de úmeros reles, deotdo por R, el uiverso so todos los úmeros. Cojuto Uitrio U cojuto uitrio es quel que está formdo por u solo elemeto. Por ejemplo A {} {x / x} Iguldd de Cojutos Decimos que dos cojutos A y B so igules si tiee los mismos elemetos. Pr deotr que A y B so igules, escriimos: A B Iclusió de cojutos Si cd elemeto de u cojuto A es tmié elemeto de u cojuto B, etoces se dice que A es u sucojuto de B. Se dice tmié que A está coteido e B o que B cotiee A. L relció de sucojuto viee dd por: A B Ejemplo: Cosideremos los siguietes cojutos A{,,4,5,8,9}, B{,,,5,7} y C{,5}. Podemos oservr que todos los elemetos del cojuto C está e el cojuto A, por tto C A. De l mism mer podemos oservr que C B. Si emrgo, o todos los elemetos del cojuto B está e A, por lo que podemos decir que B o está icluido e A. Propieddes: Se A y B dos cojutos culesquier se cumple siempre:. Φ A U (el cojuto vcío está coteido e el cojuto A ). A A (culquier cojuto está icluido e sí mismo). Si A B y B C, etoces A C 4. AB si y solo si A B y B A Opercioes etre Cojutos Cudo trjmos co ecucioes, prolems, etc. podemos llegr ecotrros co distits situcioes l querer determir ls solucioes de los mismos, es por ello, que cotiució se defiirá ls opercioes etre cojutos, ls cules costituye u herrmiet ecesri e l resolució de diferetes ejercicios mtemáticos. Uió de Cojutos Ejemplo: Ju, José, Luis, Mrio, Alfredo, Rué, Roerto, Bruo, Adriá, Ferdo, Diel y Adrés estudi e el mismo grupo. De ellos, Ju, Luis, Mrio, Rué y Roerto prctic tció. José, Mrio, Alfredo, Roerto, Bruo y Adrés jueg fútol. Cuáles estudites prctic lgú deporte? Solució: Llmmos A l cojuto de los estudites que d, es decir:

3 A {Ju, Luis, Mrio, Rué, Roerto} y B l cojuto de los estudites que jueg fútol: B {José, Mrio, Alfredo, Roerto, Bruo, Adrés} Ahor formmos l colecció de estudites que prctic lgú deporte: {Ju, Luis, Mrio, Rué, Roerto, José, Alfredo, Bruo, Adrés}. Los elemetos de este cojuto so los estudites que prctic lgú deporte. Notr que Mrio y Roerto o lo colocmos dos veces e el cojuto, por más que prctique dos deportes l vez. Cudo desemos, como e el prolem terior reuir los elemetos de dos cojutos A y B, escriimos: C A B E este cso decimos que C es l uió de los cojutos A y B, y pr descriir sus elemetos: A B / { x x A o x B} Y se lee A uió B es el cojuto de elemetos x tles que x perteece lguo de los dos cojutos, es decir, x perteece A o x perteece B. Notemos que e l uió se ecuetr todos los elemetos de A y todos los elemetos de B. Es decir: Gráficmete se represet: A A B y B A B Oservcioes: Si A B etoces A B B. Si A B etoces A B A B. Si x A B etoces x perteece A, x perteece B o x perteece mos. Ejemplo: Si A {,4,5,6} y B {,6}, ecotrr A B. Solució: Como todos los elemetos de B perteece l cojuto A (B A) etoces l uió será el cojuto A. A B {, 4, 5, 6} Propieddes de l Uió: Se A y B dos cojutos culesquier se verific que:. Idempoteci: A A A. Asocitividd: ( A B) C A ( B C). Comuttividd: A B B A 4. Elemeto eutro: A Φ Φ A A

4 Itersecció de Cojutos Ejemplo: Los miemros del Cosejo de Seguridd de l ONU durte 997 fuero Jpó, Kei, Poloi, Portugl, Repúlic de Core, Federció Rus, Sueci, Reio Uido, Estdos Uidos de Norteméric, Chile, Chi, Cost Ric, Egipto, Frci y Guie-Bissu. De ellos Federció Rus, Reio Uido, Estdos Uidos de Norteméric, Chi y Frci so miemros permetes. Por otr prte, Portugl, Chile, Cost Ric, Frci y Guie-Bissu tiee por idiom oficil u legu romce. Qué píses so miemros permetes y tiee u legu romce por idiom? Solució: Llmmos A l cojuto de miemros permetes del Cosejo de Seguridd de l ONU, es decir: A {Federció Rus, Reio Uido, Estdos Uidos de Norteméric, Chi, Frci} y B l cojuto de píses cuyo idiom es u legu romce, o se: B {Portugl, Chile, Cost Ric, Frci, Guie-Bissu} Los píses que so miemros permetes y cuyo idiom es u legu romce so los que está e mos cojutos, llmemos C dicho cojuto, etoces: C {Frci} Frci es el úico pís que es miemro permete y tiee como idiom u legu romce. E geerl, cudo desemos oteer los elemetos que perteece tto l cojuto A como l cojuto B, escriimos: C A B, E este cso decimos que C es l itersecció de los cojutos A y B, o se: A B / { X x A y x B} Y se lee A itersecció B es el cojuto de elemetos x tles que x perteece A y x perteece B. De cuerdo co l defiició, culquier elemeto de A B es u elemeto de A y tmié de B, es decir: (A B) A y (A B) B. A B

5 Cudo o hy elemetos que perteezc mos cojutos A y B, decimos que l itersecció es vcí o que el cojuto oteido es el cojuto vcío. Oservcioes: Si A B etoces A B A. Si A B etoces A B A B. Propieddes de l Itersecció. Se A y B dos cojutos culesquier se cumple que:. Idempoteci: A A A. Asocitividd: ( A B) C A ( B C). Comuttividd: A B B A 4. Elemeto eutro: A U U A A Cojuto de los Números Nturles ( N ) Los úmeros que se emple pr cotr,,,, 4, costituye el cojuto de los Números Nturles (o eteros positivos). Lo simolizmos co N y podemos escriirlo como: N {,,, 4,.} Propieddes de N:. El cojuto N es ifiito. Tiee primer elemeto (el ) y o tiee último elemeto. Todo úmero turl tiee u sucesor: N, + N, dode + es el sucesor de 4. Todo úmero turl tiee u tecesor excepto el : N N, dode es el tecesor de 5. Etre dos úmeros turles hy u úmero fiito de úmeros turles. Se dice que N es discreto Not: E este cojuto l sum de dos úmeros turles d como resultdo otro turl (Ley de cierre pr l sum), pero o ocurre lo mismo pr l difereci (o vle l ley de cierre), por ejemplo 5 o tiee solució e este cojuto, por lo tto ecucioes del tipo 5 + x o tiee solució e el cojuto N, de llí l ecesidd de itroducir u uevo cojuto de úmeros. Cojuto de los Números Eteros ( Z ) Si l cojuto N se greg el úmero 0 y los eteros egtivos se otiee u uevo cojuto llmdo Eteros. Lo simolizmos co Z. Z {,,, 0,,,, 4,..} Z N {0} Z

6 Propieddes de Z:. El cojuto Z es ifiito. El cojuto Z o tiee i primero i último elemeto. Todo úmero etero tiee u tecesor y u sucesor 4. Etre dos úmeros eteros hy u úmero fiito de úmeros eteros. Se dice que Z es discreto Not: L sum y difereci de dos úmeros eteros es otro etero (vle ls leyes de cierre pr sum, difereci y producto) pero o ocurre lo mismo co l divisió de dos úmeros eteros, por ejemplo :5 o tiee solució e este cojuto (o vle l ley de cierre pr l divisió), por lo tto ecucioes del tipo 4 x + 6 o tiee solució e Z, de llí l ecesidd de itroducir u uevo cojuto de úmeros. Cojuto de los Números Rcioles ( Q ) Es el cojuto de úmeros formdo por quellos úmeros que puede expresrse como cociete de dos úmeros eteros, como u frcció. Es decir: Q si co y c Z c 0 c A este cojuto lo simolizmos co Q. Q Z Frcciorios Los úmeros turles y eteros so rcioles co deomidor. Propieddes de Q:. Q es ifiito. El cojuto Q o tiee i primero i último elemeto. Etre dos úmeros rcioles existe ifiitos úmeros rcioles, etoces se dice que Q es deso. Trsformció de u Frcció e u Expresió Deciml: Se divide umerdor por deomidor. Si el resto es 0, l expresió será deciml exct (por ejemplo /5 0,4), cso cotrrio, l expresió será periódic, e l cul se repite idefiidmete lgu o lgus cifrs decimles llmds período (por ejemplo / 0,, se expres 0, ) ) Not: El cojuto de los úmeros rcioles puede defiirse tmié como el cojuto de los úmeros decimles periódicos. Existe dos tipos de expresioes decimles periódics: - Expresió deciml periódic pur: el período prece imeditmete ) después de l com. Ejemplo:,..., - Expresió deciml periódic mixt: el período prece luego de u prte o ) periódic que tmié está detrás de l com. Ej:, ,46 Trsformció de u Expresió Deciml e u Frcció A cotiució se preset lguos ejemplos del procedimieto que se reliz pr

7 determir l frcció correspodiete u expresió deciml: ) Se x 0, 6 ) x 0, Multiplicdo por 0 0x 6, restdo x 0, x 6 x x ) Se y, multiplicdo por restdo 9 Pr fcilitr est trsformció podemos ocupr l siguiete regl: Regl Tod expresió deciml periódic pur se puede trsformr e u frcció tl que: El umerdor se otiee restdo l úmero si l com l prte eter. El deomidor se otiee colocdo ttos 9 como cifrs periódics teg. Ejemplo: Regl Tod expresió deciml periódic mixt se puede trsformr e u frcció tl que: El umerdor se otiee restdo l úmero deciml si l com l prte eter seguid de l prte o periódic. El deomidor se otiee co ttos ueves como cifrs teg el periodo seguido de ttos ceros como cifrs teg l prte o periódic. Frccioes Equivletes: Dos frccioes so equivletes cudo represet el mismo úmero, por ejemplo, y 5 so equivletes porque tods represet el úmero 0,5. Pr psr de l primer l segud se multiplic umerdor y deomidor por, o por el cotrrio si se quiere reducir l segud frcció l primer se divide umerdor y deomidor por. Opercioes e Q:

8 Sum o Rest: ± c d. d ±. c. d ) Frccioes de igul deomidor: se poe el mismo deomidor y se sum o rest umerdores ) Frccioes de distito deomidor: se otiee frccioes equivletes de igul deomidor tes de sumr o restr equivletes Producto: c x d. c. d Es coveiete simplificr ls frccioes su míim expresió y recié relizr el producto. L simplificció se hce etre umerdor y deomidor / 6/ 5/ 5/ / 5 / / 5 4/ 8/ Cociete: c. d : d c. c d E este cso l simplificció se hce etre umerdores o ie etre deomidores. 4 : 5 / 4/ : / 9/ 4/ : / 5 / / : / : : Not: El cojuto de los úmeros rcioles o es cerrdo pr l rdicció, por ejemplo,44.. o es u úmero rciol porque es u úmero deciml o periódico, o se puede expresr como u frcció, por lo tto ecucioes del tipo x 0 o tiee solució e Q. De llí l ecesidd de itroducir u uevo cojuto de úmeros.

9 Cojuto de los Números Irrcioles ( I ) Es el cojuto formdo por los úmeros que tiee ifiits cifrs decimles o periódics. Lo simolizmos co I.,44... π,4..., Propieddes de I:. I es ifiito. El cojuto I o tiee i primero i último elemeto. Etre dos úmeros irrcioles existe ifiitos úmeros irrcioles, etoces se dice que I es deso. Cojuto de los Números Reles ( R ) Es el cojuto formdo por l uió de los rcioles y los irrcioles: R Q I Resumiedo: N {0} Z R Eteros Z Rcioles Q Frcciorios Reles Irrcioles I Represetció Gráfic de R: Los úmeros reles se puede represetr sore u rect, llmd rect rel, de modo que todo úmero rel le correspode u puto de l rect y todo puto de l rect le correspode u úmero rel. Ley de Tricotomí: Llmmos P l cojuto de úmeros reles myores que cero: P {x/x R x > 0}. Ddo u úmero R y u cojuto P llmdo positivo, tl que P R y P cerrdo pr l sum y el producto, es válid solo u de ls proposicioes siguietes: i) P ii) 0 iii) - P Orde e R: Si y R, es meor que si se cumple que es positivo. < P

10 Opercioes e R. Propieddes Ls opercioes iris usules e R so l dició, producto, difereci y divisió Propieddes de l Adició (Sum): Se,, c R. Ley de Cierre:, R se cumple que + R. Ley Comuttiv:, R se cumple que + +. Ley Asocitiv:,, c R se cumple que + (+c) (+)+c 4. Existeci del elemeto eutro pr l sum: R, 0 R; Existeci del elemeto opuesto (iverso ditivo) R, - R; + (- ) (- ) + 0 Propieddes del Producto: Se,, c R. Ley de Cierre:, R se cumple que. R. Ley Comuttiv: C, R se cumple que... Ley Asocitiv:,, c R se cumple que. (.c) (.).c 4. Existeci del elemeto eutro pr el producto: R, R;.. 5. Existeci del elemeto iverso R, 0 - R; Distriutiv:,, c R se cumple que.( + c). +.c Todo cojuto que cumple co ls propieddes teriores se deomi Cmpo, por lo tto el cojuto de los Reles co ls opercioes de sum y producto usules costituye u cmpo umérico. Otros cmpos uméricos so los Rcioles y los Complejos. Oservció: Si el producto de dos úmeros reles es cero etoces uo de los dos úmeros es cero., R, si Regls pr l resolució de ejercicios: Regls de Supresió de Prétesis: + ( + c) + + c ( + c) c

11 ( c) + c Regl de los Sigos pr el Producto y l Divisió: Leyes Cceltivs y Uiformes: ) De l Adició: + c + c (cceltiv) c + c + (uiforme) ) Del Producto:.c. c, c 0 (cceltiv). c. c (uiforme) Poteci e R Se R, etero positivo, defiimos : se de l poteci R : expoete Z c : se deomi poteci R c veces Si Ejemplo 0-7 0, y : (4) 7 4 Propieddes de l Poteci. Producto de potecis de igul se:. m +m Ejemplo: Cociete de potecis de igul se: : m -m si 0 Ejemplo: 9 : 5 4. Poteci de poteci: ( ) m.m Ejemplo: ( 9 ) Distriutiv de l poteci respecto del producto: (. ). Ejemplo: (. ) Distriutiv de l poteci respecto del cociete: ( : ) : si Ejemplo: Oservció

12 L potecició o es distriutiv respecto l sum o l difereci. Es decir ( ± ) ± Rdicció e R L ríz eésim de u úmero rel es otro úmero cuy poteci eésim es., N : se deomi rdicdo : se deomi ídice del rdicl - Si > 0 es pr 0 (resultdo positivo). Ej: Si < 0 es pr / (o existe solució rel) Ej: 4 R - Si > 0 es impr 0 (resultdo positivo) Ej: 8 - Si < 0 es impr 0 (resultdo egtivo) Ej: L rdicció puede expresrse como poteci de expoete frcciorio: Propieddes de l Rdicció:. Ríz de u producto es igul l producto de sus ríces:... Ríz de u cociete es igul l cociete de ls ríces:. Ríz de ríz es igul l ríz del úmero cuyo ídice es el producto de los ídices ddos: m..m m m.m o 5 5 Ej: m m m. m m 4. ( ) ( ) o L rdicció o es distriutiv respecto l sum o l difereci. Es decir: ± ±

13 Cuiddo l simplificr! Si teemos u poteci, como rdicdo e u ríz de ídice pr, podemos escriir: ( ) ( )./ que es equivlete simplificr ídice co expoete y esto o es correcto porque si opermos si simplificr, el resultdo oteido es (positivo) Opercioes co Rdicles:. Extrcció de Fctores fuer del Rdicl: Pr extrer u fctor fuer del rdicl se divide el expoete del fctor por el ídice, el resultdo es el expoete del fctor fuer del rdicl y el resto de l divisió es el expoete del fctor que qued detro del rdicl. Ejemplo: 0 9 p.q q.p p Not: Si se quiere itroducir u fctor detro del rdicl se reliz el proceso iverso: se multiplic el expoete del fctor por el ídice, el resultdo es el expoete del fctor detro del rdicl. Rciolizció de Deomidores: Dd u frcció cuyo deomidor se u rdicl, rciolizr dicho deomidor es trsformr l frcció dd e otr equivlete l primer, e cuyo deomidor o figure rdicles. º Cso: Cudo figur u solo rdicl e el deomidor, se multiplic y divide por u ríz co el mismo ídice, y el expoete del rdicdo es l difereci etre el ídice y el expoete del rdicl origil. x x. x. x.. ( ) x x. m x. m x. m x. m m m m.m m m º Cso: Cudo se tiee u iomio co rdicles e el deomidor de l frcció, se multiplic y divide por el iomio cojugdo (cmi el sigo) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6 ) ( ) ( ) ( ) ( )

14 Relció de Meor:,, c R. E l dició: < + c < + c. E el producto: < c > 0. c <. c < c < 0. c >. c ( se ivierte l desiguldd). E el cociete: < c > 0 < c c < c < 0 c > c ( se ivierte l desiguldd) Vlor Asoluto: Se defie vlor soluto de u úmero rel : si 0 0 si 0 - si 0 Ejemplo: 4 4 y 4 4 Propieddes del Vlor Asoluto: ) ) ) 4) 5) 6) 7) 8). + - x x x x - x Itervlos Reles: U itervlo rel es u sucojuto de R y se represet como u segmeto de l rect rel. Se, R, tl que <, se defie: - Itervlo Cerrdo [, ]: [, ] {x/x R x }

15 - Itervlo Aierto (, ): (, ) {x/x R < x < } - Itervlo Semiiertos o Semicerrdos: [, ) {x/x R x < } (, ] {x/x R < x } - Itervlos si Cot Iferior o Superior (, ) {x/x R x > } [, ) {x/x R x } (-, ] {x/x R x } (-, ) {x/x R x < }