CURSO DE INGRESO MATEMÁTICA

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1 Fcultd de Igeierí y Ciecis Agropecuris FICA Uiversidd Nciol de S Luis CURSO DE INGRESO MATEMÁTICA 2015 Ig. Agroómic Ig. Esp. ANDINO Gbriel B.

2 CONTENIDOS CONCEPTUALES: UNIDAD 1 Cojutos. Números reles. Nocioes de cojutos. Opercioes co cojutos: uió, itersecció y difereci de cojutos. Pr ordedo. Producto crtesio de dos cojutos. Relcioes etre cojutos. Domiio y recorrido de u relció. Cocepto de fució. Itroducció. Cojutos uméricos. Represetció gráfic e l rect rel. Vlor bsoluto de u úmero rel. Itervlos e l rect rel. Relcioes de iguldd y de orde. Ls propieddes básics del álgebr. Opercioes etre úmeros reles: dició, sustrcció, multiplicció, divisió, potecició, rdicció. Rciolizció de deomidores. Notció cietífic. UNIDAD 2: Expresioes lgebrics. Expresioes lgebrics. Poliomios. Iguldd. Vlor umérico. Opercioes co poliomios: Adició; multiplicció de u úmero rel por u poliomio; sustrcció; multiplicció; divisió, ríz de u poliomio, Teorem del resto, Regl de Ruffii, cocepto de divisibilidd. Teorem Fudmetl del Álgebr. Fctorizció. Diferetes csos de fctoreo. Expresioes Rcioles Poliómics. Simplificció. Opercioes. Idetiddes. Ecucioes. Ecucioes lieles co u icógit. Ecucioes de segudo grdo co u icógit. Ecucioes frccioris. UNIDAD 3: Sistems de uiddes. Perímetro, áre y volume. Sistem métrico deciml. Uidd de logitud, áre, volume, peso y cpcidd. Relcioes etre uiddes de cpcidd peso y volume. Cocepto de perímetro, superficie y volume. Áre del cudrdo, rectágulo, rombo, círculo, etc. UNIDAD 4: Trigoometrí. Itroducció. Águlos. Sistems de medició. Relcioes trigoométrics de u águlo. Resolució de triágulos rectágulos. Resolució de triágulos oblicuágulos. Teorem del seo. Teorem del coseo. 2

3 UNIDAD 1 CONJUNTOS NÚMEROS REALES 3

4 UNIDAD 1 Cojutos. Números reles. Nocioes de cojutos. Opercioes co cojutos: uió, itersecció y difereci de cojutos. Pr ordedo. Producto crtesio de dos cojutos. Relcioes etre cojutos. Domiio y recorrido de u relció. Cocepto de fució. Números reles. Itroducció. Cojutos uméricos. Represetció gráfic e l rect rel. Vlor bsoluto de u úmero rel. Itervlos e l rect rel. Relcioes de iguldd y de orde. Ls propieddes básics del álgebr. Opercioes etre úmeros reles: dició, sustrcció, multiplicció, divisió, potecició, rdicció. Rciolizció de deomidores. Notció cietífic. Al filizr est uidd, el lumo deberá ser hábil e: Recoocer diferetes cojutos. Operr co cojutos. Distiguir relcioes fucioles. Idetificr los distitos tipos de úmeros. Represetr los úmeros e l rect rel. Distiguir relcioes de orde etre los úmeros reles. Operr co úmeros reles plicdo correctmete ls propieddes de cd operció. Operr co úmeros reles e l form de otció cietífic. Empler los coocimietos prehedidos e est uidd e l resolució de situcioes problemátics de l vid cotidi. 1.1 NOCIONES DE CONJUNTOS U cojuto es u colecció de objetos y éstos se deomi elemetos o miembros del cojuto. E ritmétic y e álgebr los elemetos de u cojuto por lo geerl so úmeros. Cudo os referimos los cojutos emplemos pr ecerrr los elemetos (o u descripció de los elemetos) y el uso de ls letrs myúsculs pr ombrr los cojutos. Los elemetos se escribe seprdos por coms, puede ir e culquier orde y figur u sol vez. Ejemplos: A A A vocles del becedrio Descripció verbl. Por compresió, e, i, o, u Listdo. Por extesió. x / x es vocl Notció costructor de cojuto. Por compresió. El símbolo idic perteeci de u elemeto u cojuto y sigific que o A perteece. Si observmos los cojutos ddos teriormete, y se lee es u elemeto de A; e cmbio ba y se lee b o es u elemeto de A. El crdil de u cojuto es el úmero de elemetos que posee. A tiee 5 elemetos, por lo tto, el crdil de A es 5 y se simboliz A 5 4

5 Forms de describir u cojuto Descripció por extesió: se reliz ombrdo todos los elemetos del cojuto. Esto sólo puede hcerse cudo el crdil del cojuto es fiito. A 1,3,5,7 Ejemplo: Descripció por compresió: se reliz especificdo o eucido u propiedd que idetifique todos los elemetos del cojuto. E el cso que el crdil se muy grde o o es fiito, es ecesrio empler est otció hciedo uso de u descripció. A x / x es impr y 1 x 7. Se lee: es el cojuto cuyos elemetos so Ejemplo: los úmeros turles, impres y compredidos etre el 1 y el 7 icluyedo mbos. Iguldd de Cojutos Los cojutos A y B so igules si tiee los mismos elemetos y se deot A = B. A x / 2 x 5 B x / 1 x 4 Siedo el cojuto de los úmeros eteros: A B 1,0,1, 2,3, 4 Ejemplo: Cojuto Vcío Es el cojuto que o tiee elemetos y se lo deot co el símbolo: Ejemplo: B x / x es múltiplo de 3 y 1 x 2. Defiido el cojuto B de est mer, o existe igú úmero etero que cumpl l codició dd y que los eteros compredidos etre -1 y 2 so 0 y 1, los cules o so múltiplos de 3. Por lo tto, B. Cojuto Uiversl Es el cojuto de todos los posibles elemetos del tem e estudio y su símbolo es U. Ejemplo: El cojuto de todos los úmeros reles. El cojuto de los meses del ño. Represetció gráfic de u cojuto Pr represetr gráficmete los cojutos se suele utilizr los digrms de Ve. C, e, i, o, u Ejemplo: C i u o e Este tipo de represetció brid l vetj de lizr co myor clridd l relció etre dos o más cojutos y fvorece l obteció de coclusioes. 5

6 Subcojuto Si todo elemeto de u cojuto A es tmbié elemeto de u cojuto B, etoces se dice que A es u subcojuto de B y se deot como: A B ó A B (si A B) Esto se lee: A es subcojuto de B, A está icluido e B, A está coteido e B, B icluye A o B cotiee A. Ejemplos: A B x / x es vocl x / x es letr del becedrio A B Los úmeros eteros so u subcojuto de los úmeros reles: 1.2 OPERACIONES CON CONJUNTOS 1. Itersecció Ddos dos cojutos A y B, se deomi itersecció de A y B l cojuto formdo por todos los elemetos que perteece A y B. O se, se refiere los elemetos comues mbos cojutos y se deot: A B. Gráficmete: A B x / x A y x B Ejemplo: Ddos los cojutos A y B, relizr l itersecció de A y B. 2,3,5,7 B 2,4,6,8 AB 2 A 6

7 2. Uió Ddos dos cojutos A y B, se llm uió de A y B l cojuto formdo por los todos los elemetos que perteece A o B. Es decir, el cojuto resultte de l uió de A y B que se simboliz A B, cotiee los elemetos que perteece A o que perteece B ó mbos cojutos. Gráficmete: A B x / x A o x B Ejemplo: 2,3,5,7 B 2,4,6,8 AB 2,3,4,5,6,7,8 A 3. Difereci Ddos dos cojutos A y B, se deomi difereci A B, l cojuto formdo por los elemetos que perteece A y o perteece B. Gráficmete: A B x / x A y x B 7

8 Ejemplo: 2,3,5,7 B 2,4,6,8 AB 3,5,7 A 4. Complemeto Si A es el subcojuto del cojuto uiversl U, se dice que el complemeto de A (reltivo U), es el cojuto formdo por todos los elemetos de U que o perteece A. Gráficmete: c A A' xu / x A Ejemplo: U Propieddes c / 10 A A' x / x 10 A x x Propieddes de l iclusió i) A A ii) A iii) A B B A ; sólo si A = B iv) A B y B D ==> A D Propieddes de l uió e itersecció 8

9 i)idetidd A = A A H = A ii)idempoteci A A = A A A = A iii)commuttividd A B = B A A B = B A iv)asocitividd (A B) D = A (B D) (A B) D = A (B D) v)distributividd (A B) D = (A D) (B D) (AB) D = (A D) (B D) vi)absorció A (A B) = A A (A B) = A vii)complemetridd A A c = H A A c = 1.3 PAR ORDENADO. Se llm pr ordedo l dupl, l pr de elemetos perteecietes dos cojutos A y B escritos e cierto orde: (,b), dode perteece l cojuto A y b perteece l cojuto B. El orde e el cul se escribe el pr ordedo es importte, y que si se cmbi el orde, se obtiee u pr orded diferete: (, b) ( b, ). 1.4 PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS. Ddos dos cojutos A y B, se defie producto crtesio Ax B ( x, y) / x A y B Esto sigific que: el producto crtesio etre los cojutos A y B, es otro cojuto formdo por los pres ordedos (x,y), tl que l primer compoete x perteece l cojuto A y l segud compoete y perteece l cojuto B. Se combi cd elemeto de A co cd elemeto de B. Ejemplo: Ddos los cojutos A, b, c y B 1,2,3,4 crtesio etre A y B., efectur el producto Ax B (,1),(,2),(,3),(,4),( b,1),( b,2),( b,3),( b,4)( c,1),( c,2),( c,3),( c,4) 1.5 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS. Los elemetos del cojuto A puede relciorse co los elemetos del cojuto B trvés de u relció específic o propiedd. De est mer se defie relció biri: Se llm relció biri etre los elemetos del cojuto A y los elemetos del cojuto B u subcojuto del producto crtesio AxB formdo por los pres ordedos (x,y), de mer tl que exist u propiedd que relcioe, vicule ls primers compoetes x co ls seguds compoetes y. R ( x, y) / x A y B xry Ejemplo: Siedo A 1,2 y B 1,2,3,4 El producto crtesio etre A y B es:, cuál es l relció que defie y 2x? 9

10 AB x (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4) R1 (1,2),(2,4), por lo tto Por lo tto, u relció R de A e B hce correspoder elemetos del primer cojuto, elemetos el segudo cojuto. El primer cojuto, A, se llm prtid y el segudo cojuto, B, se llm llegd. Asocidos l relció teemos otros dos subcojutos: El domiio de l relció, Dom(R), es u subcojuto de A, y l imge de l relció Img(R), es u subcojuto de B. 1.6 DOMINIO Y RECORRIDO (IMAGEN) DE UNA RELACIÓN. Se llm domiio de u relció l cojuto formdo por ls primers compoetes de los pres ordedos que perteece l relció: D x A/ yb : ( x, y) R Ejemplo: De l relció dd teriormete ( y 2x), se observ que el domiio es: D 1,2 DR A Se llm recorrido de u relció l cojuto formdo por ls seguds compoetes de los pres ordedos que perteece l relció: R yb / x A: ( x, y) R Ejemplo: Y el recorrido de l relció terior es: R 2,4 RR B 1.7 CONCEPTO DE FUNCIÓN. So iterestes mtemáticmete, ls relcioes etre cojutos que so u relció fuciol o fució. Distits relcioes de uestr vid diri so fucioes, ls hemos repetido, escuchdo o leído. Ejemplos de ests relcioes so: () El cosumo de eergí e u plt es fució de l producció. (b) El precio de vet es fució de l demd. (c) El sueldo cobrdo por mes es fució de l ctidd de dís o trbjdos. (d) Ls toelds producids so fució de los meses del ño. (e) El producto es fució de los compoetes de l leche. (f) L cocetrció de grs es fució del tipo de leche elbord. El vocblo fució es prte de uestrs expresioes hbitules, sigificdo relció o depedeci, y es utilizd idistitmete. Mtemáticmete el cocepto de relció y el de fució posee sigificdos distitos, uque esté summete viculdos. Y se vió, e el ítem 1.5 el cocepto de relció y hor se verá el cocepto de fució. U fució de A e B es u regl, o u correspodeci, que relcio estos dos cojutos de tl mer que cd elemeto del primer cojuto le correspode uo y solo u elemeto del segudo cojuto llmdo imge. Luego pr que u relció se u fució de A e B, debe verificrse: 10

11 Codició de existeci: Dom( R ) = A. Esto idic que cd elemeto de l prtid le correspode lguo e B. Codició de uicidd: Cd elemeto del domiio tiee u sol imge. Esto sigific que cd elemeto de l prtid le correspode solo uo e B. Como ls ides gráfics so más fáciles de reteer, si represetmos u fució co u digrm sgitl, ests codicioes ls trduciremos e: De cd elemeto de l prtid sle flechs. De cd elemeto de l prtid sle u sol flech. Digrms sgitles. So u represetció de relcioes mtemátics trvés de digrms de Ve. Ests relcioes e lguos csos puede o o, ser fucioes. Not: Tod fució es u relció, pero o tod relció es u fució. E qué fijros pr sber si es u fució? 1) E l orietció de l flech. Esto os idicrá el setido que tiee l relció (slid, llegd). 2) Existeci de imge. Debemos fijros e que igú elemeto del cojuto de slid este libre, de lo cotrrio, imeditmete podemos decir que dich relció NO ES FUNCIÓN. 3) Imge úic. U vez que corroboremos que cumple l codició terior, debemos fijros que l imge se úic. E el cso que el domiio y el recorrido de ls fucioes se úmeros reles, dichs fucioes se deomi fucioes reles de u vrible rel o fucioes esclres Si se liz los ejemplos de relcioes ddos tes de defiir el cocepto de fució, se verá que u de ess relcioes o es fució bjo l defiició expuest ( cuál es?) Otros ejemplos co digrms sgitles: Puede decir por qué el ítem c) o es fució? 11

12 No es fució, el elemeto 3 del cojuto A o tiee imge. 2.- No es fució, el elemeto 1 del cojuto de prtid posee dos imágees. 3.- Sí es fució, cumple co ls dos codicioes de l defiició. 1.8 NUMEROS REALES INTRODUCCIÓN L oció de úmero y l cció de cotr h estdo l ldo del hombre desde los tiempos prehistóricos. Ambos coceptos surgiero por l ecesidd de superviveci del hombre, como por ejemplo, comodrse l medio mbiete, cuidr sus biees, recoocer los ciclos de l turlez. El hombre o es cpz de distiguir, direct e imeditmete, los grupos myores 4 si u predizje previo. Esto er idispesble pr l sobreviveci del ser humo. Fue ecesrio, pr él, relizr u represetció simbólic del coteo co su propio cuerpo, empleó, etoces, los 10 dedos de su mo Ddo, sí, orige l sistem deciml, el cul o fue el úico, sio el más coocido. Co el correr del tiempo, el hombre fue evoluciodo y ecesitó expresrse trvés de dibujos pr idicr ctiddes, mifestr peligros que efretb, cotr sobre su medio mbiete. L ctidd de símbolos igules mostrb el úmero que pretedí expresr. El siguiete cudro expoe brevemete qué logros lczro distitos grupos humos lo lrgo de l histori: Egipcios Sistem de 10. Sumerios y Bbiloios Sistem de 10 y 60, y fuero quiees comezro medir el tiempo, como ctulmete lo coocemos -60 miutos, 60 segudos-, y l prtició del círculo e 360º. Mys, Aztecs y Celts Sistem de 20 porque cotb los dedos de ls mos y los pies. Romos Iicilmete teí u sistem de 5, es decir que sólo se cotb co u mo. Luego psro l sistem de 10 grcis l iflueci que tuvo Egipto e l cultur rom Uo Surgió etoces l represetció pictóric de los úmeros, los cules cosistí e Dos u cosecució de líes o putos cosecutivos. U sistem que pr Tres cotbilizr hcí muy difícil l lectur rápid de los úmeros, difereci de los grbdos que se referí los objetos que estb represetdo. Por ede, 12

13 Veite comezro seprr ls líes e grupos de diez. Si embrgo, l cotbilizció seguí siedo de difícil lectur. L evolució de l escritur iició su otbilidd e l histori de los úmeros. Los primeros grbdos o dibujos de ls cvers que deomimos pictogrms se trsformro e ideogrms, es decir, símbolos co sigificdos del objeto represetdo. Este tipo de escritur crecí de soido, er de crácter pictográfico, ideográfico o combició de mbos. Ejemplos de est form de escritur so: jeroglíficos egipcios, símbolos de escritur jpoes y chi, my, ztec y escritur cueiforme de semits. E el 1800.C., proximdmete, preció l escritur crofóic que supuso l utilizció de pictogrms e ideogrms pr expresr sólo el primer soido de l plbr sigificd; sí lrededor del ño 1600.C. surgió el lfbeto semítico, del cul, ños más trde, se resultó el lfbeto griego. El lfbeto tiguo, e el 1400.C., costb de treit sigos que icluí diferetes legus como l sumeri, cdi e hitit etre otrs, y co el trscurso del tiempo, este lfbeto se simplificó 22 sigos. A lo lrgo de l histori el lfbeto fue evoluciodo: del rmeo, se psó l sirio (Persi); el lfbeto Brhmi e Idi origió otros e el Tibet, Idochi e Idoesi: y el bteo que se covirtió e cúfico, bse de lo lfbetos árbes ctules. Niguo de estos lfbetos que se utiliz e l ctulidd tiee vocles, ls cules se idic por putos y rys, como por ejemplo: el lfbeto árbe y el hebreo. Tomdo l escritur de los feicios, los griegos, emplero sigos guturles pr represetr ls vocles, y diero orige l lfbeto rcico, e el cul el leguje escrito er muy precido l leguje hbldo. Hci el ño 800.C. los griegos islro ls vocles de ls cosotes y ls escribiero por seprdo. Este lfbeto que deriv de ls dos primers letrs griegs: lph y bet, llegó los etruscos y luego los ltios que lo difudiero por Europ. Al mismo tiempo, el simbolismo de los úmeros se fue desrrolldo. Los egipcios ivetro u sistem de represetció ditiv que fue doptdo por culturs como l sumeri, hitit, cretese, hebre, grieg y rom. Los griegos relizro u gr vce tomdo el sistem de umerció egipcio y lo decuro sus símbolos hci el 600.C. Utilizro trzos verticles pr represetr los úmeros hst el 4, y letrs pr el 5 (pet), 10 (dek), 100 (hektó) y (Khiloi), covirtiédose e u sistem crofóico e el que ls letrs que represetb l úmero correspodí co l iicil de l plbr co l que se les deomib. Así mismo, los símbolos del 50, 500 y se obteí ñdiedo el sigo 10, 100 y l iterior del 5, utilizdo l multiplicció. A medid que fue psdo el tiempo, este sistem de umerció fue sustituido por el jóico. Este sistem utilizb letrs del lfbeto griego y otros símbolos. Así, los úmeros se semejb plbrs y tmbié ls letrs empezro relciorse u vlor estblecido, ddo orige l umerologí diléctic, que estudi l relció etre los úmeros y ls plbrs pr explicr el desrrollo de ls leyes de l turlez, de l sociedd y del pesmieto humo. Esto ifluyó e ls culturs árbe y hebre. Sólo los scerdotes de tods ls culturs teí este sber por ls limitcioes pr efectur opercioes mtemátics co est mer de represetció de los úmeros. Siglos después, desde proximdmete 2200 ños, los hidúes desrrollro el sistem de símbolos que coocemos e l ctulidd, sber: el uo lo represetb como 1; el dos, 2; el tres, 3; el cutro, 4; cico, 5; el seis, 6; el siete, 7; el ocho, 8 y el ueve, 9; ms l 13

14 iveció del cero sólo l relizro los mismos hidúes por el ño 500, quiees lo deomib zuy cuyo sigificdo es vcío. El descubrimieto del uo sigificó u gr delto, y que o se prestrí cofusió los úmeros tles como o Fuero vces muy importtes. Si embrgo, psro dos siglos pr que este sistem fuese implemetdo e Europ defiitivmete, lugr e el cul l hereci rom hbí trsmitido sus propios úmeros. 1.8 CONJUNTOS NUMÉRICOS Cudo el hombre tuvo l ecesidd de cotr y order, utilizó los úmeros 1,2,3,4,5,6,.., que deomimos Números Nturles que lo represetmos co l letr. Co este cojuto de úmeros podemos relizr ls opercioes de sum, rest, multiplicció, divisió, potecició co expoete turl, rdicció, siempre y cudo l ejecutr u de ess opercioes obtegmos como resultdo otro úmero turl. Pero existe cierts rests como 9 12 que o d u úmero turl, prece quí los Números Eteros que se deot co l letr. Este cojuto está formdo por los turles, los úmeros egtivos y el cero. Si relizmos l siguiete operció etre dos úmeros eteros: 8/4, d otro etero 2; pero 8/3 o d u úmero etero. Etr e juego quí los Números Rcioles o Frcciorios que se simboliz co l letr. Los úmeros frcciorios, que tmbié puede expresrse como úmeros decimles, los podemos clsificr e decimles exctos y decimles periódicos; por ejemplo, 1/2 y 5/3, respectivmete. Cd grupo de estos decimles les correspode u frcció determid que usted y h estudido e l escuel secudri. Los decimles exctos so quellos que posee u úmero fiito de cifrs decimles (19/5 = 3,8) y los periódicos tiee ifiits cifrs decimles que se repite (7/9 = 0,7777.).Éstos últimos se puede subdividir e puros y mixtos. Los puros tiee solmete cifrs decimles que se repite ( 4/3 = 1,3333..), e cmbio los mixtos, cifrs que se o se repite y que se repite ( 53/90 = 0,58888.) Si se reliz l operció 5 o 3 5, se observ que o se obtiee u úmero excto, u úmero turl o u úmero etero, sio u úmero deciml co ifiits cifrs si repetir, lo mismo ocurre si se trbj co el úmero = 3,1416. o el úmero eperio e = 2, Este tipo de úmeros cuy prte deciml o es exct i periódic recibe el ombre de Irrcioles y se simboliz co l letr I. Estos úmeros o puede expresrse como u frcció. El cojuto de los úmeros rcioles y los irrcioles costituye el cojuto de los Números Reles que se deot co l letr. Existe otro cojuto de úmeros del cul o os ocupremos e este curso, que está costituido por ls ríces de ídice pr co rdicdo egtivo, por ejemplo: 16, L utilidd de los úmeros es sorpredete, se turles, eteros, rcioles, irrcioles, complejos. L plicció de los úmeros es imes, culquier se l profesió que se desempeñe, los úmeros siempre estrá ivolucrdos e l vid diri hst pr comprr u crmelo. Es u reglo muy vlioso que os dejro ls civilizcioes teriores. 14

15 NÚMEROS REALES NÚMEROS RACIONALES NÚMEROS IRRACIONALES ENTEROS FRACCIONARIOS NATURALES NEGATIVOS Y EL 0 DECIMALES EXACTOS DECIMALES PERIÓDICOS 3, 10, 53-5, 3,-4, , 6.25, 18.4 PUROS MIXTOS 2/3, 11/9, 45/99 55/90, 5/6, 29/ REPRESENTACIÓN EN LA RECTA REAL El cojuto de los úmeros reles se represet gráficmete sobre u rect deomid rect rel o rect uméric. Pr costruir u rect uméric, se trz u rect horizotl y se elige u puto rbitrrio que se lo llm cero (0) y se escoge u segmeto uidd pr tbulr l rect. Dicho cero, divide l rect e dos prtes, l derech se ubic los úmeros reles positivos y l izquierd los úmeros reles egtivos. A cd úmero rel le correspode u úico puto de l rect rel y cd puto de l rect uméric represet u úico úmero rel, es decir, existe u relció biuívoc etre los putos de l rect rel y los úmeros reles VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL L otció x se emple pr expresr el vlor bsoluto de u úmero rel. x x si x 0 x si x 0 def Geométricmete, el vlor bsoluto de x es l distci etre el puto de l rect represettivo del úmero x y el orige (cero). 15

16 Ejemplo: ( 3) Otr form de expresr x es x x 2 Ejemplo: Si x 49, x x 49, etoces x 7 o x ORDEN Y NOTACIÓN DE INTERVALO Al represetr los úmeros reles e l rect uméric, se puede observr que este cojuto es ordedo. Es decir, que ddos dos úmeros reles y b, se puede determir siempre u relció de iguldd, meor o myor. Esto sigific que se comprueb u de ls siguietes desigulddes: b o b o b o b Orde de los úmeros reles Se y b culesquier dos úmeros reles. Símbolo Defiició Se lee b b es positivo es myor que b b b es egtivo es meor que b b b es positivo o cero es myor o igul que b b b es egtivo o cero es meor o igul que b So símbolos de desigulddes:,,,. U propiedd importte pr comprr dos úmeros reles es: Propiedd de tricotomí Se y b culesquier dos úmeros reles. Sólo u de ls siguietes expresioes es verdder: b, b, o b. Ls desigulddes etr e juego e l descripció de itervlos de úmeros reles. Ejemplos: ) x 3, idic todos los úmeros reles meores que b) 4 x 2, expres todos los úmeros reles etre 4 y 2 icluyedo l 4. 16

17 c) Los úmeros reles etre 1 y 1, d) Los úmeros reles myores o igules cero. Itervlos cotdos de úmeros reles Se y b úmeros reles co b. Notció de itervlo Tipo de itervlo Notció de desigulddes Gráfic b, Cerrdo x b b, Abierto x b b, Semi-bierto x b b, Semi-bierto x b b b b b Los úmeros y b so los extremos de cd itervlo. Los símbolos (ifiito egtivo) y (ifiito positivos), o so úmeros reles, pero os brid l posibilidd de empler l otció de itervlos o cotdos. Itervlos o cotdos de úmeros reles Se y búmeros reles. Notció de itervlo Tipo de itervlo Notció de desigulddes Gráfic, Cerrdo x 17

18 , Abierto x,b Cerrdo x b b,b Abierto x b b Cd uo de estos itervlos tiee exctmete u extremo, o b ORDEN DE OPERACIONES Pr resolver opercioes ritmétics, se debe cumplir co cierts regls: 1.- Primero resolver todo lo que esté detro de símbolos de grupció. 2.- Evlur ls expresioes expoeciles. 3.- Hcer tods ls multipliccioes y divisioes e orde de izquierd derech. 4.- Hcer tods ls sums y rests e orde de izquierd derech. Ejemplo: 2 4(4 6) ( 2) E los úmeros reles se defie l relció de iguldd y se comprueb ls propieddes: reflexiv, simétric, trsitiv y uiforme pr todo úmero rel, b y c. 1) REFLEXIVA: (Todo úmero rel es igul sí mismo) 2) SIMÉTRICA:, b si b etoces b (Pr todo pr de úmeros reles y b si es igul b, etoces b es igul ) 3) TRANSITIVA:, b, c si b y b c etoces cetoces = c (Si u úmero rel es igul u úmero rel b y b es igul l úmero rel c, etoces = c). 4) UNIFORME: Pr l dició:, b, c si b etoces c b c (Si mbos miembros de u iguldd se le sum u mismo úmero se obtiee otr iguldd). Pr l multiplicció:, b, c si b etoces. c b. c (Si multiplicmos mbos miembros de u iguldd por u mismo úmero se obtiee otr iguldd). Teiedo e cuet ests propieddes se expres ls leyes cceltivs de l dició y l multiplicció. _ Pr l dició, b, c : c b c etoces b. _ Pr l multiplicció, b, c y b 0:. c b. c etoces b _ Y tmbié l ley de ulció del producto:.b = 0, si =0 ó b=0 ó =b=0 Al cosiderr l difereci etre úmeros reles:, b, b ( b) ; es el miuedo y b es el sustredo Por ejemplo:

19 "NO SE PUEDEN CANCELAR LOS FACTORES QUE SON IGUALES A CERO" E el cso de empler l propiedd cceltiv de l multiplicció co u fctor literl, debe especificrse que l simplificció o es válid pr todo vlor que ule dicho fctor. De lo cotrrio, se perderí solucioes e el cso de trbjr co ecucioes. E cuto l ley de ulció del producto, se utilizrá de l siguiete mer:. b 0 0b 0, lo cul sigific que puede ocurrir u de ésts tres csos: 0 b 0 0 b 0 0 b 0 Esto último, es muy utilizdo e l resolució de ecucioes OPERACIONES CON NÚMEROS REALES. PROPIEDADES Es muy importte operr correctmete co los úmeros reles, rzó por l cul, se debe teer presetes ls propieddes que se cumple co cd operció. Regls de los sigos E l dició de úmeros co sigos igules, los úmeros se sum y el resultdo tiee el mismo sigo. Si los úmeros tiee sigos diferetes, éstos se rest y el resultdo llev el sigo del myor. Por ejemplo: E l multiplicció y e l divisió, si los úmeros tiee el mismo sigo, el resultdo es de sigo positivo, si los úmeros tiee sigos opuestos, el resultdo es de sigo egtivo. Por ejemplo: ( 2) 6 ( 4).2 8 ( 3).( 7) 21 Propieddes de l dició Ley de cierre: Comuttiv: Asocitiv: b, c / b c, b, b b, b, c, ( b c) ( b) c Existeci del elemeto eutro:, 0 / 0 0 Existeci del iverso ditivo u opuesto:, / ( ) ( ) 0 Propieddes de l multiplicció 19

20 Ley de cierre: Comuttiv: Asocitiv: b, c /. b c, b,. b b., b, c,. ( b. c) (. b). c Existeci del elemeto eutro:, 1 /. 11. Existeci del recíproco: todo úmero rel 0 tiee su iverso multiplictivo o recíproco tl que = 1 Propiedd distributiv que combi sum y multiplicció ( b). c =. c b. c c. ( b) = c. c. b ( b) : c : c b : c. Est iguldd puede escribirse e fució del recíproco de c como: b ( b).. b. c c c c c Potecició co veces se deomi bse y expoete co 0 co 0 Propieddes de l potecició Rdicció. b. b : b : b, b 0 b b m m., 0 m. m b si y solo si b, 20

21 recibe el ombre de rdicdo, es el ídice, y el sigo se deomi rdicl. Ejemplos: si y solo si si y solo si es posible? 8 2 si y solo si El segudo cso de rdicció o es posible, y que igú úmero rel distito de cero elevdo l cudrdo, dá como resultdo -16, siempre drá u úmero positivo. Por lo tto, o se puede clculr co pr y 0, o tiee solució e el cmpo de los úmeros reles. Es decir, l rdicció o es siempre posible e. Y ddo el cso meciodo, l rdicció o es cerrd e. No siempre es posible simplificr u rdicl co u rdicdo egtivo. Por ejemplo: , los resultdos coicide ( 4) ( 4) ( 4) ( 4)= o tiee solució e los reles ( 2) ( 2) ( 2) 2, los resultdos coicide ( 8) ( 8) ( 8) ( 8) 2, los resultdos o coicide Esto se puede sitetizr diciedo es impr es pr Si el ídice es impr, l ríz rel es úic y del mismo sigo que el rdicdo. Si el ídice es pr y el rdicdo positivo, l ríz rel es tmbié úic y por defiició positiv. Observcioes: Por defiició, l rdicció dmite u úico resultdo. 21

22 L rdicció o es cerrd e. Es importte recordr que: es impr es pr L otció se lee vlor bsoluto de y se defie: Ejemplo: si >0 si <0 Propieddes de l rdicció. b. b : b : b b b m m. m m co y m Est propiedd se refiere l potecició co expoete rciol. m Si y es u frcció irreducible m 0 m m 0 si m es impr m 0 0 m 1 RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES E el cso de obteer frccioes co úmeros irrcioles e el deomidor, es posible, trsformrls e frccioes equivletes co deomidores rcioles, empledo el proceso de rciolizció. A trvés de ejemplos se verá lgus regls pr rciolizr, uque cd vez, se utiliz meos el proceso de rciolizció por uso de clculdors y computdors. Ejemplo 1: 22

23 Ejemplo 2: E geerl: b b b b b m m m m m mm b b b b. b b b b m m m m m Ejemplo 3: El siguiete procedimieto es pr los deomidores del tipo: b, b, b ( 1) NOTACIÓN CIENTÍFICA Cudo se debe trbjr co úmeros muy grdes o muy pequeños, esto ocurre muy frecuetemete e cieci, tecologí, igeierí, se utiliz u form de expresr los úmeros que se deomi otció cietífic. Cosiste e expresr ls cifrs decimles e potecis de diez: N 10 N es u úmero rel de u sol cifr eter distit de cero, tl que 1N 10 y es es u úmero etero. L vetj de empler est otció, es que evit l dificultd de trbjr co vris cifrs decimles y permite percibir el orde de mgitud de u ctidd por el expoete. Ejemplos: Ms de l tierr: 5, kg Edd de l tierr: ños Ms del electró: 9, kg Logitud de u célul típic: m Los úmeros reles expresdos e otció cietífic puede operrse si dificultd, tto l sum, como l rest, l multiplicció, l divisió y l poteci de poteci. Ejemplo: 4 5, ,5 10 4, ,4 10 9,1 10 1, , , , , ,