Capítulo 3. Integral definida. Módulo 12 Notación sigma ( ) y partición de un intervalo. Módulo 13 Integral según Riemann

Transcripción

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2 Cpítulo Itegrl defiid Módulo Notció sigm ( ) y prtició de u itervlo Módulo Itegrl segú Riem Juicio fil, detlle del pel derecho: el ágel hce sor u trompet y el codedo ce l ifiero Or del pitor flmeco Hs Melig (c ) Museo Promorskie, Gdsk (Poloi) Scl/Art Resource, NY Módulo 4 Propieddes de l itegrl defiid Módulo 5 Teorem del vlor medio (TVM) pr itegrles E geometrí elemetl se deduce fórmuls pr ls áres de muchs figurs pls, pero escsmete se d u defiició precis de lo que sigific áre E muchs ocsioes se defie el áre de u regió como el úmero de cudrdos de ldo uidd que ce e l regió Si emrgo, dich defiició sólo es ceptle pr lgus regioes simples del plo Así por ejemplo, el círculo de rdio tiee como áre el úmero irrciol π Pero, qué sigific «π cudrdos» de áre? E este cpítulo iicimos el estudio itetdo defiir el áre de lgus regioes prticulres R del plo, es decir, quells regioes limitds superiormete por l gráfic de u curv y = f( ) e [,, ] y lterlmete por ls rects verticles = y = Módulo 6 Los teorems fudmetles del cálculo Módulo 7 Itegrles impropis Ejercicios Módulos l 7 El úmero que se sig como áre de R recie el omre de itegrl defiid de f sore [, ], uque tmié l itegrl se defiirá pr fucioes f pr ls cules f( ) e [, ] Se cooce fudmetlmete tres forms de cercrse l defiició de itegrl: trvés de fucioes esclods, trvés de ls sums superiores e iferiores

3 Cpítulo : Itegrl defiid (sums de Drou) y trvés de ls llmds sums de Riem E este teto lo hcemos siguiedo l tercer form, por ser l mer clásic e los tetos de cálculo y l que meos eigecis tiee del álisis rel pr su compresió 6

4 Notció sigm (Σ) y prtició de u itervlo Coteidos del módulo Σ L otció sigm ( Σ) y propieddes de l sumtori Prtició de u itervlo cerrdo Ojetivos del módulo Recordr el setido de l otció ( Σ ) y estlecer lgus propieddes importtes de l sumtori Defiir l prtició de u itervlo cerrdo y e prticulr coocer l llmd prtició regulr Preguts ásics Demuestre que ( + ) k = k = Demuestre que si P y Q so dos prticioes de [, ], y si Q es u prtició más refid (más fi) que P, etoces Q P Itroducció Pr idicr e form compct l sum de vrios úmeros, eiste u otció que fcilit l escritur Epresioes tles como se puede escriir e form simplificd utilizdo l otció E el cálculo itegrl usremos frecuetemete est otció, sí como tmié e el desrrollo de series de úmeros reles Otr oció importte e el desrrollo teórico de l itegrl defiid es l prtició de u itervlo cerrdo y e prticulr l prtició regulr, l cul, cojutmete co l sumtori, yud simplificr y oteer resultdos difíciles de lczr usdo otros medios Por est rzó iicimos el cpítulo presetdo estos dos coceptos Crl Friedrich Guss Crl Friedrich Guss, mtemático lemá coocido por sus muy diverss cotriucioes l cmpo de l físic, especilmete por sus estudios del electromgetismo, ció el de ril de 777 e Bruswick y flleció el de ferero de 855 e Gotig Cudo Guss teí diez ños de edd su mestro solicitó l clse que ecotrr l sum de todos los úmeros compredidos etre uo y cie El mestro, pesdo que co ello l clse estrí ocupd lgú tiempo, quedó somrdo cudo su lumo levtó e seguid l mo y dio l respuest correct Guss reveló que ecotró l solució usdo el álger y el mestro se dio cuet l istte de que el iño er u promes e ls mtemátics Hijo de u humilde lñil, Guss dio señles de ser u geio tes de que cumplier los tres ños A es edd predió leer y hcer cálculos ritméticos metles co tt hilidd que descurió u error e los cálculos que hizo su pdre pr pgr uos sueldos Igresó l escuel primri tes de que cumplier los siete ños; cudo teí doce criticó los fudmetos de l geometrí euclidi; los trece le iteres ls posiiliddes de desrrollr l geometrí o euclidi; y los quice etedí l covergeci y proó el iomio de Newto El geio y l precocidd de Guss llmro l teció del duque de Bruswick, quie dispuso, cudo el muchcho teí ctorce ños, coster tto su educció secudri como uiversitri Guss, quie tmié le iteres los clásicos y los idioms, pes que hrí de l filologí l or de su vid, pero ls mtemátics resultro ser u trcció irresistile Cudo estudi e Gotig, descurió que podrí costruirse u polígoo regulr de diecisiete ldos usdo sólo l regl y el compás Eseñó l prue su profesor, quie se mostró u tto escéptico, pero Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series 7

5 Cpítulo : Itegrl defiid Guss demostró que teí l rzó Posteriormete ecotró l fórmul pr costruir los demás polígoos regulres co l regl y el compás Guss se grduó e Gotig e 798 y l ño siguiete reciió su doctordo e l Uiversidd de Helmstedt Pero ls mtemátics o fuero el úico tem que le iteresó: fue tmié stróomo, físico, geodest e ivetor Hl co fcilidd vrios idioms, e iclusive domió el ruso l edd de 6 ños E 87 fue omrdo director del oservtorio y profesor de stroomí e l Uiversidd de Gotig A pricipios del siglo XIX Guss pulicó sus Disquisicioes ritmétics, que ofrecí u álisis lúcido de su teorí de úmeros y compredí ls complicds ecucioes que cofirm su teorí y u eposició de u covergeci de u serie ifiit Guss estudió l teorí de los errores y dedujo l curv orml de l proilidd, llmd tmié «curv de Guss», que todví se us e los cálculos estdísticos E 8 ivetó u telégrfo eléctrico que usó etre su cs y el oservtorio, u distci de uos dos kilómetros Ivetó tmié u mgetómetro ifilr pr medir el mgetismo y, e compñí del físico lemá Wilhelm Edurd Weer, proyectó y costruyó u oservtorio o mgético Tto Guss como el mtemático Berhrd Riem, que fue discípulo suyo, pes e u teorí electromgétic que serí muy semejte l ley uiversl de l grvitció, de Newto Si emrgo, l teorí del electromgetismo fue ided más trde, e 87, por Mwell, uque Guss y poseí los cimietos mtemáticos pr eplicrl E 84, ls ivestigcioes de Guss sore l óptic tuviero especil importci deido sus deduccioes relciods co los sistems de letes Guss flleció l edd de 78 ños Se h dicho que l lápid que señl su tum fue escrit co u digrm, que costruyó el mismo Guss, de u polígoo de diecisiete ldos Durte su vid se recooció que er el mtemático más grde de los siglos XVIII y XIX Su or e ls mtemátics cotriuyó formr u se pr ecotrr l solució de prolems complicdísimos de ls ciecis físics y turles L otció sigm (Σ ) y propieddes de l sumtori Defiició Se f u fució, y m, y k eteros tles que m k y perteecietes l domiio de f Etoces el símolo f ( k) se defie sí: k= m f ( k) = f( m) + f( m+ ) + + f( ) + f( ), k= m dode k se deomi ídice de l sumtori, m es el límite iferior y es el límite superior Oservcioes i A veces se defie f ( k) de l siguiete form: k= m f ( k) = f( k) + f( ) (defiició por recurreci) k= m k= m ii E f ( k) se puede sustituir el ídice k por culquier otro ídice i que Ejemplo Clcule: Solució k= m o prezc e ell, si que se ltere el vlor de l sumtori; sí por ejemplo, f ( k) = f( i) k= m i= m 5 i ; i= 4 j= i Es este cso f() i = ; luego j( j+ )( j+ ) 5 5 i 4 5 f( i) = = = 6 i= i= E este cso f( j) = j( j+ )( j+ ); luego 4 j = j( j+ )( j+ ) = = 8

6 Ejemplo Módulo : Notció sigm ( )y prtició de u itervlo Eprese utilizdo l otció, l siguiete sum: Solució Osérvese que los suídices de l letr vrí de 4 y los de so u uidd myor que los de, luego cd térmio de l sum es de l form k k +, e dode k recorre los vlores,, y 4 Etoces, = k k k = 4 De otr mer, se puede oservr que los suídices de vrí de 5 y los de so u uidd meor que los de, luego cd térmio de l sum es de l form k k, dode k recorre los vlores,, 4 y 5 Etoes, = k k k = 5 E geerl, eiste muchs forms pr epresr u mism sum Teorem : Propieddes de Se f y g dos fucioes, y m,, k y p eteros perteecietes l domiio de f y g, tles que m k, y se c u costte rel Etoces: i [ f ( k) + g( k) ] = f( k) + g( k) (propiedd ditiv sore l fució) k= m k= m k= m ii cf ( k) = c f ( k) k= m k= m (propiedd distriutiv geerlizd) iii c = ( m+ ) c (sumtori de u costte) k= m Si m y m k p p+, etoces iv p f ( k) = f( k) + f( k) (propiedd ditiv de los límites) k= m k= m k= p+ + p (desplzmieto del ídice) v f ( k) = f( j p) k= m j= m+ p Ve el módulo del progrm de televisió Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series 9

7 Cpítulo : Itegrl defiid f( k) f( k ) = f( ) f( m ) (propiedd telescópic) vi [ ] k= m Demostrció ii k= m cf ( k) = cf ( m) + cf ( m + ) + + cf ( ) (defiició) [ ] = c f( m) + f( m+ ) + + f( ) (fctorizdo) = c f( k) (defiició) k= m vi [ f( k) f( k ) ] = [ f( m) f( m ) ] + [ f( m+ ) f( m) ] + [ f( m+ ) f( m+ ) ] k= m [ f( ) f( ) ] [ f( ) f( ) ] [ ] [ ] [ f( ) f( ) ] f( ) = f( m ) + f( m) f( m) + f( m+ ) f( m+ ) = f( ) f( m ) L demostrció de ls prtes i, iii, iv y v se dej como ejercicio pr el lector Presetmos hor lguos ejemplos e los cules se muestr l mer de plicr ls propieddes teriores e u situció específic Ejemplo Demuestre que k = ( + ) k = Solució Como ( k+ ) = ( k + k+ ), etoces, k= k= ( k+ ) = k + k+ (propieddes i y ii), k= k= k= k= de dode ( ) k = k+ k = k+ k ( ) k= k= k= k= k= k=

8 Como ( k+ ) k = ( + ) (propiedd telescópic plicd k = f( k) ( ) = k + ) Módulo : Notció sigm ( )y prtició de u itervlo y = (propiedd iii), k = se tiee que Luego k = ( + ) = + = ( + ) k = ( + ) k = k = Ejemplo 4 Clcule: 5 (k ) ; k = ( j ) ; c j = 4 r= (r + ) Solució (k ) = k (propieddes i y ii) k= k= k= 5(5 + ) = 5 (ejemplo y propiedd iii) = 5 ( + ) ( j ) = j = = 9 j= j= j= c 4 r= (r + ) = ( + ) + ( 4 + ) = 6 Ls fórmuls siguietes, umerds pr referecis posteriores, tmié so de gr utilidd F F F k = ( + ) k = ( + )(+ ) k = k = 6 k = k ( + ) = 4 Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series

9 Cpítulo : Itegrl defiid F4 k = k 4 = ( + )( ) L fórmul F fue demostrd e el ejemplo ; ls demás puede demostrrse por iducció o directmete co el teorem y co l yud de lguos rtificios lgericos Prtició de u itervlo cerrdo Defiició U prtició P del itervlo [,, ] co <, es u cojuto fiito de putos {,,,,,, } P = tles que = < < < < = Utilizremos ls letrs PQR,,,, etc, pr deotr diferetes prticioes del itervlo [, ] Oservcioes i Dos prticioes P y Q de u mismo itervlo [, ] so diferetes si difiere por lo meos e u puto ii Tod prtició de [, ] cotiee por defiició l meos los putos y ; por tto, siempre es u cojuto o vcío iii Tod prtició P {,,,, } = de [, ] divide dicho itervlo e -suitervlos cerrdos: I = [, ]; I = [, ],, I = [, ]; ; I = [, ] k k k E l figur prece u prtició P { } suitervlos que ell determi =,, de [, ] y los Figur

10 Módulo : Notció sigm ( )y prtició de u itervlo Defiicioes i L logitud del suitervlo Ik = [ k, k], deotd por Δ k, se defie como Δ k = k k ii Se P u prtició de [, ] L orm de l prtició, deotd por P, se defie como el myor etre los siguietes vlores: Δ, Δ,, Δ iii Se dice que l prtició Q de [ es, ] más refid o más fi que l prtició P de [, ] si Q cotiee todos los putos de P y por lo meos u puto más (figur ) Figur iv Si Δ = Δ = Δ = = Δ = Δ =, etoces l prtició se llm regulr Oservcioes i Δ k > pr todo k =,,,,, puesto que k > k E cosecueci, P > ii Δ P pr todo k =,,, k iii Δ k = ( k k ) k= k= = ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) = + = iv Si P y Q so dos prticioes de [,, ] y si Q es u prtició más refid que P, etoces Q P v Decir que P es equivlete decir que Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series

11 Cpítulo : Itegrl defiid Ejemplo Se P = {,, 5,, 4, } u prtició del itervlo [, ] (figur ) Figur Los suitervlos e los cules P divide l itervlo [, ] so: I = [, ]; I = [, 5]; I = [5, ]; I = [, 4]; I = [4, ] 4 5 Ls logitudes de cd suitervlo so: Δ = ( ) = ; Δ = 5 = 5; Δ = 5 = 5; Δ = 4 = 4; Δ = 4 = Además, P es el myor vlor etre:, 5, 5, 4 y 6; es decir, P = 5 Ejemplo Efectúe u prtició regulr P de [, ] Solució logitud delitervlo[, ] Δ = = Etoces l prtició P de [, ] =, = +Δ = + = + Δ = +, será P {,,,, } =, e dode 4

12 Módulo : Notció sigm ( )y prtició de u itervlo = + Δ = +, k = + kδ = + k, = + Δ = + = Ejemplo Evlúe el siguiete límite: lim Δk = P k Solució Como Δ k = ( ) es u costte, se sigue etoces que k = lim Δ = lim( ) = ( ) k P P k = Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series 5

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14 Itegrl segú Riem Coteidos del módulo Áre jo u curv trvés de sums superiores e iferiores Sums de Riem Ojetivos del módulo Itroducir por medio de l ide ituitiv de áre y de ls llmds sums proimtes, l itegrl defiid segú Riem Ilustrr co ejemplos l defiició de itegrl defiid Preguts ásics Demuestre ls siguietes fórmuls: Cd= C ( ) c d= d = Itroducció E este módulo os ocupremos del cocepto de itegrl defiid de u fució cotd e u itervlo cerrdo [, ] Se prte de u prolem prticulr, como es el prolem del áre de u regió pl, el cul dio orige l cálculo itegrl El método epuesto, coocido como «método de los recurimietos», se dee Arquímedes, el más grde de los mtemáticos griegos y uo de los myores de tod l histori de l humidd, quie determió el áre de u segmeto prólico por este método, que ú hoy, después de coocer los moderos métodos ifiitesimles, result lorioso Georg Friedrich Berhrd Riem Berhrd Riem ció e l ciudd lem de Breselez el 7 de septiemre de 86 Durte sus estudios uiversitrios e Gotig y e Berlí se iteresó por ls teorís de los úmeros primos, ls fucioes elíptics y l geometrí, que relcioó co ls teorís más vzds de l físic E Berlí fue discípulo de los fmosos mtemáticos Jko Steier, Krl Jcoi y Peter Dirichlet Se doctoró e 85 e Gotig co u tesis sore los fudmetos de u teorí geerl de fucioes e l que estlecí ls relcioes eistetes etre los úmeros complejos jo ls leyes de l geometrí Su defiició de superficie multiestrto (riemi), que soci u fució de vrile complej múltiple u fució de u solo vlor, cotriuyó otlemete l desrrollo de l topologí Fuero muchs ls cotriucioes que Riem portó ls mtemátics, pero prolemete l más coocid es l que presetó e 854 e su disertció pr igresr como profesor sistete e l Fcultd de Filosofí de l Uiversidd de Gotig Cudo estuvo puto de dr su cofereci sometió cosiderció, segú l trdició, tres posiles tems Guss, jo cuy direcció estudió Riem e es uiversidd, psó por lto los dos primeros y pidió que epusier el tercero Este tem er uevo, repleto de cotroversis y de peligros, y sdo e u geometrí o ispird e los tiguos postuldos euclidios de l líe rect y el prlelismo Pero después de u trjo itesivo Berhrd Riem ofreció u cofereci e l que, si utilizr i u figur o fórmul, presetó su hipótesis de l curvtur del espcio, e térmios que podí eteder icluso quiees o est fmilirizdos co ls mtemátics de lto ivel Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series 7

15 Cpítulo : Itegrl defiid Riem pudo visulizr el sigificdo físico de est geerlizció de l geometrí euclidi Etre ls geometrís o euclidis defiids lo lrgo del siglo XIX, l riemi tuvo u eorme trscedeci e los coceptos de l físic teóric del siglo XX Años después se desrrolló el cálculo tesoril, priciplmete por los mtemáticos itlios Ostilio Ricci y Tullio Levi-Civit L geometrí riemi, sí como es difícil de precir e térmios visules, es stte fácil de coceir como u posiilidd strct, es decir, como u simple progresió prtir de u líe e el espcio uitrio de l logitud, u plo e el espcio idimesiol de chur y logitud, u sólido e el espcio tridimesiol de ltur, chur y profudidd, y de quí espcios de más dimesioes por ejemplo, de ltur, chur, profudidd y tiempo Riem geerlizó ls propieddes de ls curvs y superficies de form tl que pudier plicrse los espcios Por ejemplo, referete l propiedd geométric de l curvtur, ést se defie como l proporció e que vrí u líe U medid de est proporció es l medid del círculo oscildor e u puto; si el círculo que más se cerc l líe curv e este puto es muy pequeño, etoces l curv se cierr poco poco y se dice que tiee u curvtur pequeñ L curvtur de u superficie se defie csi de l mism form que l curvtur de u líe, ecepto que ést o tiee por que ser l mism e tods direccioes Guss hí verigudo que l curvtur e u puto culquier de u superficie puede defiirse útilmete como el producto de ls curvturs myor y meor de tods ls líes que costituye l superficie e dicho puto (curvtur gussi) Así, u superficie de curvtur positiv es u que siempre d vuelts pr ecotrrse sí mism, como l cáscr de u huevo, mietrs que u superficie de curvtur egtiv serí, por ejemplo, u sill de motr, e dode el producto de u curvtur positiv y u egtiv result egtiv Guss hí ecotrdo tmié que l curvtur de u superficie puede defiirse o sólo e térmios de u perso que mir l superficie desde el eterior sio equivlete e térmios de medicioes relizds detro de l delgd superficie Riem mplió est ide hst dr u descripció mtemátic ect de l curvtur del espcio E el sistem crtesio, ls líes de refereci so líes rects e u plo; e el gloo terrestre, ls líes de refereci so ls de Áre jo u curv trvés de sums superiores e iferiores Prtiremos de u ide ituitiv de lo que etedemos por áre y profudizremos luego pr llegr u defiició propid de l itegrl (segú Riem) Supogmos que f es u fució cotiu e [, ] y tl que f( ) pr todo perteeciete l itervlo [, ] Desemos determir, e u form rzole, l mer de sigr u vlor l áre de l regió R limitd por ls rects =, =, el eje y l curv y = f( ) (figur ) Figur Se A el áre de l regió R Lo que hcemos es proimros este vlor medite rectágulos cuys áres se clcul fácilmete y usremos luego u cierto tipo de pso l límite pr llegr l resultdo desedo =,,,, u prtició culquier de [, ] E cd uo de los suitervlos [ i, i] levtmos u rectágulo R i cuy se es Δ i = i i y su ltur el vlor míimo de l fució e [ i, i], el cul eiste y que f es cotiu Se P { } e [, ] (figur ) Figur 8

16 Si m i es el vlor míimo de f e [ i, i], etoces el áre de R i es miδ i pr todo i =,,,,, y el áre de todos los rectágulos es: mδ + m Δ + + m Δ = mδ i i i= E este cso, l sum de ls áres de los rectágulos es meor o igul l áre de l regió R, o se: A mδ i= i i Siguiedo u procedimieto similr l terior, pero tomdo como ltur de cd rectágulo el vlor máimo de l fució e [ i, i], oteemos que l sum de ls áres de los rectágulos es myor o igul que el áre de l regió R (figur ) Es decir, A M Δ i= i i dode M i es el máimo de f e [ i, i] De lo terior podemos cocluir etoces que miδi A MiΔi i= i= () Módulo : Itegrl segú Riem ltitud y logitud; e u huevo, pudier ser círculos e u direcció y óvlos e otr perpediculr; e el reflector de u fro, pudier ser círculos e u direcció y práols e otr perpediculr ést Riem se dio cuet de que tod superficie o espcio de su geometrí superior podí trzrse por medio de distits redes de curvs de refereci y hlló que ls ecucioes escrits e térmios de u sistem de coordeds meudo podí ser mplimete simplificds l escriirse e térmios de u cojuto distito de curvs de refereci Uo de los más prácticos cojutos de curvs de refereci está formdo por ls llmds geodésics U geodésic es el cmio de l distci más cort etre dos putos: e u espcio plo es u segmeto de líe rect; e u esfer es u rco de u círculo máimo álogo l que sigue los vijes éreos itercotietles; e u superficie irregulr e form de lámpr o e u espcio curvo, puede ser culquier tipo de curv Al mipulr ecucioes difereciles elords pr miimizr ls distcis, Riem ecotró que podí trzr redes geodésics de líes de refereci y seguir l curvtur de culquier espcio desde tres dimesioes hst dimesioes El prestigio y l clidd de sus trjos, que llevro l posteridd plicr su omre iumerles teorems mtemáticos, le vliero l oteció de l cátedr de Gotig e 859 E 86, e u memori sore l propgció del soido, Riem presetó u método, ctulmete clásico, pr l itegrció de u clse de ecucioes difereciles de primer orde e derivds prciles Dee meciorse tmié el éito que otuvo de su eposició riguros del cocepto de itegrl defiid (itegrl segú Riem) Riem trjó hst el dí terior su muerte, l cul se produjo el de julio de 866, e Selsc, Itli, por tuerculosis dquirid pocos ños tes cus de su déil costitució físic Su último trjo, que trt sore l teorí de l trsfereci del soido desde u efoque de pricipios hidráulicos, quedó icocluso Figur Ejemplo Se f ( ) = defiid e [,] y P {,,, } = u prtició regulr de [,] Si M i es el vlor máimo de f e [ i, i], i =,,,, y mi es el vlor Ve el módulo del progrm de televisió Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series 9

17 Cpítulo : Itegrl defiid míimo de f e [ i, i] e i =,,,,, hlle M iδi y i= i= mδ i i Figur 4 Solució Puesto que f ( ) = es creciete e [,] (figur 4), tmié lo es e cd suitervlo [ i, i] e los cules P divide l itervlo [,, ] y por tto: M = f( ) = y i i i m = f( ) = i i i Puesto que l prtició es regulr, Δ i = =, i =,,, y =, =, =, = i ( i ), i i,,, = = etoces i 8 8 ( + )(+ ) = =, (F) 6 MiΔ i = i = ( i ) = i= i= i= i= i i=

18 Módulo : Itegrl segú Riem de dode 8 ( + )(+ ) MiΔ i = () i= 6 Ahor, mδ = = = ( i ) 8 8 ( ( ) )( ) = ( ) =, (F) 6 i i i i i= i= i= i= i i= de dode 8 ( )( ) miδ i = () i= 6 De () y (), y teiedo e cuet que el áre jo l curv está etre ests dos sums, teemos que: 8 ( )( ) 8 ( )( ) A Tomdo límites e los ldos de est desiguldd y teiedo e cuet que A es u úmero fijo, oteemos: 8 ( )( ) 8 ( + )(+ ) lim A lim 6 6 Luego, por el teorem del sáduche, 8 A 8, es decir, 8 A = Ecotrmos u mer muy elegte de hllr el áre compredid etre =, = e y = (eje ) jo l curv y Oservció = Si elegimos como ltur del rectágulo R i el vlor que sume l fució e u puto t i culquier del itervlo [ i, i] (figur 5), l sum de ls áres de estos rectágulos es i= f ( t ) Δ i i Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series

19 Cpítulo : Itegrl defiid Figur 5 Tedremos e cuet l discusió hech hst hor pr defiir el áre jo u curv, pero tes dremos lgus defiicioes que os llev precisr l defiició de l itegrl de Riem y, co se e ell, defiir el áre jo u curv Sums de Riem Defiició Se f u fució defiid e [, ] y tl que f ( ) M pr todo de [, ] y cierto M rel positivo (fució cotd e [, ] =,,, u prtició de [, ] y se t, t,, t putos tles que i ti i pr cd i =,,, ); se P { } L epresió f ( ti) Δi se llm sum de Riem pr f e [, ] Ejemplo Se f ( ) Solució i= = c defiid e [, ] Hlle u sum de Riem pr f ( ) Se P { } =,,, u prtició culquier de [, ] E cosecueci, Δ, ( ), i = i i f ti = c pr todo i =,,,, Etoces, f ( t ) Δ = cδ = c Δ = c( ) i i i i i= i= i=

20 Osérvese que pr l fució costte f ( ) = c, tods ls sums de Riem so igules c( ) Módulo : Itegrl segú Riem Ejemplo Se f u fució moóto creciete e [, ] =,,, u prtició de [, ] Demuestre que Solució y se P { } i= f ( )( ) f( ti) Δi f( )( ) Si t i está e [ i, i], etoces por ser f creciete f ( ) f( ti ) f( ), y puesto que Δ i >, se cocluye que f ( ) Δ f( t ) Δ f( ) Δ () i i i i Si e () efectumos l sum vrido i desde hst, oteemos: f ( ) Δ f( t ) Δ f( ) Δ i i i i i= i= i= Luego f ( ) Δ f( t ) Δ f( ) Δ i i i i i= i= i= (puesto que f () y f () so costtes) y simplificdo oteemos filmete f ( )( ) f( t ) Δ f( )( ) i= i i Defiiremos hor l itegrl defiid de u fució sore u itervlo cerrdo [, ] Defiició Se f u fució defiid e el itervlo [, ] Se dice que f es itegrle e [, ] (segú Riem) si eiste u úmero rel L que stisfce l siguiete propiedd: Escuche el udio Not históric: Riem e su multimedi de Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series

21 Cpítulo : Itegrl defiid Pr cd >, eiste u δ > tl que i= f( t ) Δ L < i i Ve l imció Costrucció de ls sums de Riem e su multimedi de Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series pr tod prtició P de [, ] pr l cul P < δ y culquier que se l elecció de t i e [ i, i], i =,,, Cudo u fució f stisfce l defiició terior, diremos que L es el vlor de l itegrl defiid de f etre y Este hecho lo epresmos diciedo que lim f ( ti) i L P Δ = () i= Deotemos L como f ( d ) decir, f ( d ) = lim ft ( i) i P Δ i=, llmd itegrl defiid de f desde hst Es E l epresió f ( d ), y se llm límite iferior y límite superior, respectivmete, de l itegrl defiid; f ( ) se llm itegrdo y d idic que es l vrile idepediete que tom vlores desde hst Oservcioes i Si eiste dos úmeros L y L que stisfce l defiició, etoces L = L ; es decir, el vlor de l itegrl defiid cudo eiste, es úico ii iii L defiició os dice tmié que podemos hcer l sum de Riem t cerc l úmero L como se quier, siempre y cudo l orm de l prtició se meor que δ L oció de límite dd quí es diferete l oció de límite dd e el módulo del teto Elemetos ásicos de cálculo diferecil pr fucioes presetd pr fucioes de vrile rel, y que e el cso quí cosiderdo se trt de l sum f ( ti) Δi e l cul vrí Δ i y ti, que es culquier puto de [ i, i] i= iv E l otció pr l itegrl defiid ls vriles que prece so vriles «muds» Es decir, se puede cmir por y o z o por culquier otr vrile 4

22 Así, f ( d ), f ( ydy ), ( ) f z dz sigificrá l mism itegrl y represet el mismo úmero rel L Módulo : Itegrl segú Riem Ejemplo 4 Se f ( ) = C, co e el itervlo [, ] (figur 6) Alice si f es itegrle e [, ] Figur 6 Solució Se P { } =,,, u prtició de [, ] y se t i u puto culquier de [ i, i] co i =,,, (figur 6) Cosideremos l siguiete sum de Riem: f ( ti) Δi () Puesto que f ( t i ) = C pr todo t i, etoces: i= f ( t ) Δ = CΔ = C Δ = C( ) i i i i i= i= i= O se que pr culquier prtició l sum de Riem dd e () es u costte y, por tto, lim f ( ti) Δ i = C( ) P = i Luego f ( ) = C es itegrle e [, ] y demás f ( d ) = C ( ) Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series 5

23 Cpítulo : Itegrl defiid Ejemplo 5 Se si f( ) = si = Alice si f es itegrle e [,] Solució =,,, u prtició de [,] y se [ i, i] u suitervlo Se P { } culquier de [,] y t i u puto de [ i, i] co i =,,, (figur 7) Cosideremos l siguiete sum de Riem: f ( ti) Δi i= Figur 7 Vemos dos csos: Si iguo de los t i es igul, etoces f( t i ) = y por tto f( ti) Δ i = y i= lim f( ti) Δ i = P = i Es decir, ddo >, eisteδ > tl que f( ti) Δi < pr i= culquier prtició P co P < δ () Si lguo de los t i es igul, por ejemplo tj =, j, etoces f ( t j ) =, y como los demás t i so diferetes de, se tiee que pr éstos t i f( t i ) = Por tto, f ( t ) Δ = f( t ) Δ + f( t ) Δ + + f( t ) Δ + f( t ) Δ + + f( t ) Δ i= i i j j j+ j+ = Δ + Δ + + Δ + Δ + + Δ j j+ 6

24 Módulo : Itegrl segú Riem i= f ( t ) Δ =Δ i i j Puesto que Δ P, se tiee que j f ( ti) Δi P i= Es decir, ddo >, elijmos l prtició P de [, ] tl que P <, luego tomdo δ = se verific que pr cd > eiste u δ > tl que f( ti) Δi < pr tod prtició P de [,] co P < δ () i= De () y () se cocluye que f es itegrle e [,] y demás L = Es decir, f( ) d = Oservcioes i El ejemplo terior preset u fució igul cero e todos los putos de [,] ecepto e =, es decir, u fució discotiu e = Se puede demostrr que si f( ) = slvo e u úmero fiito de putos de [,, ] etoces f es itegrle e [, ] y demás f ( ) d = ii Cudo l fució es cotiu y o egtiv tomremos los ti [ i, i] de tl form que f ( t i ) coicid co el máimo soluto M i o co el míimo soluto m i de l fució e el i-ésimo suitervlo [ i, i] Además, pr simplificr los cálculos sumiremos que ls prticioes so regulres y sí escriiremos: f ( ) d = lim f( ti) i P Δ i= = lim M i i Δ i= = lim mi i Δ i= Teiedo e cuet demás que: Si f es creciete e [,, ] mk M k = f( k ) (rectágulos iscritos) = f( ) (rectágulos circuscritos) k Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series 7

25 Cpítulo : Itegrl defiid Si f es decreciete e [,, ] Ejemplo 6 mk M k = f( k) (rectágulos iscritos) = f( k )(rectágulos circuscritos) Use l defiició de l itegrl defiid (segú Riem) pr clculr d, hciedo u prtició regulr y tomdo rectágulos circuscritos Solució E este cso f ( ), pr l cul: = y cosideremos l prtició regulr P = { },,,, Δ = Δ = = Δ =, =, = +, = +, i = + ( i ), i = + i,, = E l figur 8 prece l gráfic de f ( ) =, l prtició P de [, ] y el elemeto represettivo de áre Tmié, Figur 8 M = f( ) = i i i = + i (tomdo rectágulos circuscritos) 8

26 Así que: Módulo : Itegrl segú Riem d= lim Mi i Δ i= = lim i + i = = lim i + i= = lim + i= i= i (propiedd i, teorem, secció ) ( ) ( + ) = lim + ( ) = ( ) + = (propieddes ii, iii y F, secció ) De est form, d= Rzomietos similres l terior os permite deducir que d = Los cálculos de d y d hce pesr que el cálculo co itegrles defiids es geerlmete difícil De hecho, ls itegrles defiids de l myor prte de ls fucioes es imposile determirls co ectitud; si emrgo, como vimos e el cpítulo, l itegrl de muchs fucioes puede clculrse fácilmete Este hecho, cojutmete co el segudo teorem fudmetl del cálculo que presetremos e el módulo 6, os fcilitrá ls coss pr clculr l itegrl defiid de u gr úmero de fucioes Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series 9

27 4

28 4 Propieddes de l itegrl defiid Coteidos del módulo 4 Álger de fucioes itegrles 4 Relció etre l itegrl y l cotiuidd de u fució de vrile rel Ojetivos del módulo Destcr l relció eistete etre cotiuidd e itegrilidd medite u teorem que proporcio u gr fmili de fucioes itegrles Eucir y lizr ls propieddes más importtes de l itegrl defiid Preguts ásics Si < < c < d, y f es itegrle sore [, d], demuestre que f es itegrle sore [, c] Si f y g so itegrles e [, ], y f ( ) g( ) pr todo de [, ], etoces f ( d ) gd ( ) Itroducció Auque l myor prte de ls itegrles defiids o puede ser clculds ectmete, es importte por lo meos ser cuádo u fució es itegrle sore [, ], y ést es l iformció más importte que proporcio el teorem de este módulo Igulmete, e el teorem se preset otrs propieddes importtes de ls fucioes itegrles y de est form se simplific resultdos que so difíciles de demostrr recurriedo directmete l defiició de itegrl defiid Thoms Simpso Thoms Simpso, mtemático iglés cido e Mrket Bosworth e 7 y fllecido e l mism ciudd e 76, es coocido priciplmete por su trjo e iterpolció y métodos uméricos de itegrció (regl de Simpso) y por her idedo u método pr clculr, por proimció, u itegrl defiid Tmié trjó l teorí de l proilidd y e 74 pulicó Nturlez y leyes de proilidd Prte de su ivestigció e est áre se só e ls ides del mtemático frcés y pioero de l teorí de l proilidd y l trigoometrí, Arhm de Moivre Trjó, igulmete, e l «teorí de errores» y proó que l medi ritmétic er más importte que u simple oservció L justificció de est firmció preció e su memori de 757 tituld «U iteto de mostrr l vetj de tomr l medi de vris oservcioes e stroomí práctic» E est cieci tmié ordó otros prolems, tles como l precesió de los equioccios, que dejó plsmdos e su or Folletos misceláeos Sus dos volúmees de Doctri y plicció de ls fluioes so cosiderdos por muchos como el mejor trjo sore l versió del cálculo de Newto que fue pulicd e el siglo XVIII Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series 4

29 Cpítulo : Itegrl defiid 4 Álger de fucioes itegrles Ates de eucir e ilustrr el teorem que recoge ls propieddes más importtes de l itegrl defiid se d l siguiete defiició Defiició Ve el módulo 4 del progrm de televisió Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series Si f es itegrle e [, ], etoces defiimos: i f ( ) d = ii f ( d ) = f( d ) Teorem : Propieddes de l itegrl defiid Se f y g dos fucioes itegrles e [, ], k u costte rel y < c < Etoces: i kf es itegrle e [, ] y kf ( ) d = k f ( ) d ii ( f + g) es itegrle e [, ] y [ + ] = + f ( ) g ( ) d f( d ) gd ( ) iii Si f( ) pr todos de [, ], etoces f ( ) d c d c iv f es itegrle e [, c] y e [c, ] y f ( d ) = f( d ) + f( d ) v Se f y g dos fucioes defiids e [, ] Si f es itegrle e [, ] y Demostrció g( ) = f( ) pr todo de (, ), etoces g( d ) = f( d ) L demostrció de ls prtes i, ii e iii puede hcerse usdo l defiició de fució itegrle presetd e el módulo, pero cosidero que o tiee mucho iterés demostrrls e u primer curso de cálculo itegrl iv Pr este umerl sólo hcemos u iterpretció geométric Como se ilustr e l figur 4, el áre de l regió somred se puede descompoer e dos regioes de tl mer que el áre de l regió etre y se igul l sum de ls áres etre y c y etre c y 4

30 Módulo 4: Propieddes de l itegrl defiid Figur 4 v Se c u puto e (, ), y puesto que f es itegrle e [, ], etoces f es itegrle e [, c] y e [c, ] (propiedd iv) c c y g( d ) = ( ) c c Vemos que g( d ) = f( d ) f d Se h ( ) = g ( ) f( ) pr todo de [, c] Puesto que f y g difiere sólo e el puto =, etoces podemos escriir si h ( ) = k si = Y teiedo e cuet el ejemplo 4 del módulo, h sí defiid es itegrle c e [, c] y demás hd= ( ) ; etoces, por l propiedd ii, h ( ) + f( ) es itegrle y por tto g() es itegrle e [, c] y que y demás ( ) h( ) + f( ) = g( ) f( ) + f( ) = g( ) c c c [ + ] = + c f d h( ) f ( ) d h( ) d f ( ) d c = + ( ) = gd ( ) El cso etre c y es similr (figur 4) Figur 4 Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series 4

31 Cpítulo : Itegrl defiid Oservcioes i L propiedd ii del teorem se puede geerlizr sí: [ ] f ( ) + f( ) + + f( ) d= f( d ) + f( d ) + + f ( ) d ii E l propiedd iv del teorem si < c < c < < c <, etoces c c f ( d ) = f( d ) + f( d ) + + f( d ) c c iii Teiedo e cuet l defiició dd l pricipio se puede cocluir que c c f ( d ) = f( d ) + f( d ) pr tod ter,, c de úmeros reles que perteezc l itervlo dode l fució es itegrle iv De l propiedd iii del teorem podemos deducir ls siguietes propieddes dicioles: Si f y g so itegrles e [, ] y f ( ) g( ) pr todo de [, ], etoces f ( d ) gd ( ) Si f es itegrle y m f( ) M pr todo de [, ], etoces m ( ) f( ) d M ( ) Ejemplo Se f y g dos fucioes tles que f( ) d =, f( ) d = y g( ) d = 6 4 Clcule [ + ] Solució 5 ( g( ) d 7 [ 5 f ( ) + g ( )] d = 5 f ( ) d g ( ) d (teorem, prte ii) 7 44

32 = 5 f ( ) d + g( ) d (teorem, prte i) ( f d ) ( g d ) = 5 ( ) + ( ) (defiició 4, 4 7 ( f d f d 4 ) prte ii) = 5 ( ) + ( ) + ( 6) (teorem, prte iv) = 5( ) 6 = Módulo 4: Propieddes de l itegrl defiid Ejemplo Clcule 5 d Solució Note e primer lugr que igu de ls propieddes estlecids hst hor permite evlur directmete l itegrl; si emrgo, de cuerdo co l defiició de vlor soluto podemos escriir: si = si < () L gráfic de l fució f( ) = e el itervlo [, 5] prece e l figur 4 De otro ldo, Figur d = d d + (teorem, prte iv) 5 ( ) d ( ) d (reemplzdo ()) = + Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series 45

33 Cpítulo : Itegrl defiid 5 5 (teorem prtes i y ii) = d d + d d ( ) 5 = ( ( )) + (5 ) (ejemplos 4 y 6 de l secció ) = 9 Ejemplo Se f( ) = defiid e [, ] Ecuetre m y M tles que m( ) d M( ) Solució L fució f( ) = es decreciete pr todo > y que su derivd es egtiv; por tto, e el itervlo [, ] el máimo soluto es f () = y el míimo soluto es f () = / Etoces se puede tomr como m culquier úmero meor o igul / y como M culquier úmero myor o igul que 4 Relció etre l itegrl y l cotiuidd de u fució de vrile rel A cotiució eucimos u teorem que os proporcio u gr fmili de fucioes itegrles, pero o lo demostrremos porque se sle del lcce de este liro Teorem Si f es cotiu e [, ], etoces f es itegrle e [, ] Osérvese que el recíproco de este teorem o siempre se cumple (ve el ejemplo 4, módulo) No ostte que el teorem terior os grtiz l itegrilidd de u gr úmero de fucioes, el teorem o proporcio l mer de hllr el vlor de l itegrl Más delte presetremos el teorem fudmetl del cálculo que os permitirá hllr el vlor ecto de l itegrl si recurrir l defiició Ejemplo 4 Siedo que d = 8 5 y ( ) + d = 4, hlle 5 h( ) d si h ( ) = + si [,5] si [,] (figur 44) 46

34 Módulo 4: Propieddes de l itegrl defiid Figur 44 Solució Se f ( ) = + co e [, 5] Y que h () e el itervlo [, 5] difiere de f e el puto =, y puesto que que: 5 f( ) d = 4, etoces por l propiedd v se tiee 5 5 h ( ) d= (+ ) d= 4 Además, hd= ( ) 8 Luego empledo l propiedd iv teemos que: 5 5 h( ) d = h( ) d + h( ) d = 8+ 4= Nótese que h es itegrle [,5]; si emrgo, o es cotiu llí Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series 47

35 48

36 5 Teorem del vlor medio (TVM) pr itegrles Coteidos del módulo 5 Teorem del vlor itermedio 5 Teorem del vlor medio (TVM) pr itegrles Ojetivos del módulo Coocer los dos teorems ásicos pr l demostrció de los teorems fudmetles del cálculo, del próimo módulo Relcior el áre jo u curv co el áre de u rectágulo Preguts ásics L tempertur de u cldo que se sc del refrigerdor ( 5 ºC) y se poe l fuego durte miutos, puede modelrse medite l fució f() t = 5 + t( t+ ), siedo f(t) l tempertur los t miutos de herse puesto l fuego Clcule l tempertur promedio que tuvo el cldo durte los miutos e que se cletó A qué tempertur llegó los miutos? E qué istte de los miutos de cletmieto tuvo el cldo l tempertur promedio? Itroducció A pesr de que los dos teorems ásicos de este módulo tiee múltiples pliccioes e l vid diri, uestro iterés está cetrdo e el uso que se hrá de ellos e l demostrció del primer teorem fudmetl del cálculo que presetremos co todo detlle e el módulo 6, el cul, cojutmete co ls técics de itegrció del cpítulo, os permitirá determir el vlor de muchs itegrles defiids y que so el soporte ásico pr ls pliccioes que espermos desrrollr e el cpítulo 4 Eudoio de Cido El mtemático stróomo, médico, geógrfo y retórico griego Eudoio de Cido ció e el ño 48 C y murió e el 55 Alumo del gr filósofo Pltó, fue el ivetor del método de l ehució, cosistete e clculr ls áres pls delimitds por curvs gotdo el espcio dispoile por medio de áres más secills de clculr cd vez más pequeñs, que es precismete lo que ocurre e el cálculo itegrl, por lo que podrímos decir que Eudoio fue el precursor de est rm de l mtemátic Si emrgo, su método er muy tosco Quie verddermete usó decudmete y perfeccioó dicho método fue Arquímedes y co él clculó el áre de l práol y el círculo, demás de elipses (otuvo l fórmul pr medir el áre de est cóic), sectores prólicos y sectores de espirl Se cree que el primer teorem demostrdo por Eudoio desde este puto de vist se l proporciolidd etre dos círculos y los cudrdos costruidos sore sus diámetros A Eudoio se dee tmié uo de los primeros sistems geocétricos, doptdo y mplido después por Aristóteles (84- C) E el sistem de Eudoio, llmdo tmié de ls esfers homocétrics (es decir, co u cetro comú), el plet Tierr est e el cetro del uiverso y los siete cuerpos celestes coocidos e quell époc est fijdos siete grupos de esfers de dimesioes crecietes El primer grupo, formdo por tres esfers, perteecí l Lu; el segudo, formdo por otrs tres esfers, l Sol; los otros plets coocidos e ese etoces (Mercurio, Veus, Mrte, Júpiter y Sturo) ocup cd uo u grupo de cutro esfers Cd cuerpo celeste se creí que est fijdo l esfer más iter del propio grupo y ls esfers de cd grupo est coectds etre sí medite u sistem de ejes polres desfsdos Todo este complicdo mec- Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series 49

37 Cpítulo : Itegrl defiid ismo er ecesrio pr justificr los movimietos pretes de los plets que, como se se, precí teer segú los periodos del ño movimieto directo, retrógrdo o estciorio Idudlemete l or de Eudoio es u muestr de l mdurez teóric y el rigor lógico lczdo por l geometrí e su époc, que creó ls codicioes previs pr lo que serí l époc de myor espledor de l mtemátic grieg 5 Teorem del vlor itermedio Ates de demostrr el teorem ásico de este módulo euciremos si demostrr u propiedd muy importte que tiee ls fucioes cotius e u itervlo cerrdo Teorem : Teorem del vlor itermedio Se f u fució cotiu e [, ] Si f ( ) f( ), etoces pr culquier úmero r etre f ( ) y f ( ) eiste l meos u úmero c etre y tl que f () c = r Como l demostrció de este teorem requiere lguos coocimietos más vzdos, o l icluiremos e este liro Presetremos si emrgo l iterpretció geométric E l figur 5, f ( ) < f( ) y f ( ) r f( ) El puto (, r ) es u puto culquier etre (, f ( )) y (, f ( )) El teorem estlece que l rect y = r cort l curv de f ( ) l meos e u puto (,) cr L hipótesis de cotiuidd e u itervlo cerrdo es esecil y que si f es discotiu e [, ] o siempre eiste c tl que f () c = r, como lo ilustr el siguiete ejemplo Figur 5 Se + si f( ) = si < e el itervlo [,] 5

38 Módulo 5: Teorem del vlor medio (TVM) pr itegrles Figur 5 Est fució es discotiu e = Ahor, si r es culquier úmero etre y, o eiste igú c e [,] tl que f () c = r Es decir, l rect y = r o cort l curv e igú puto (figur 5) 5 Teorem del vlor medio (TVM) pr itegrles Si f es cotiu e [, ], etoces eiste l meos u c tl que c y tl que: f ( ) d = f( c)( ) f( c) = f( ) d Al vlor f () c se le cooce como vlor medio de l fució e [, ] Geométricmete, cudo l fució es o egtiv, se puede iterpretr el teorem de l mer siguiete: el vlor de l itegrl etre y es igul l áre del rectágulo cuy se es ( ) y su ltur es f () c (figur 5) Ve el módulo 5 del progrm de televisió Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series 5

39 Cpítulo : Itegrl defiid U fctor que desempeñ u gr ppel e el desrrollo de l mtemátic es l solució de prolems que durte siglos desfiro l cpcidd de ls mejores metes U ejemplo de lo terior es el fmoso quito postuldo que co clrivideci o trtó de demostrr Euclides y que durte siglos mtuvo ocupdos muchos mtemáticos hst que se crero ls geometrís o euclidis A cotiució se presetrá lguos de esos prolems Los tres prolems clásicos de l mtemátic grieg Pr el filósofo Pltó los etes geométricos ideles er l rect y l circufereci Por lo terior, l geometrí hrí que limitrl ls costruccioes co regl y compás (co l clrció de que l regl sólo se utiliz pr trzr rects y por tto o es metrizd) Prolems de est clse se resolviero después utilizdo otros istrumetos y permitiero ecotrr respuests decuds los tres prolems clásicos de l mtemátic grieg: l duplicció del cuo, l trisecció del águlo y l cudrtur del círculo Cometémoslos revemete: Duplicció del cuo Se trt de resolver el siguiete prolem: costruir, utilizdo solmete regl y compás, l rist de u cuo que duplique el volume de u cuo coocido El prolem de l duplicció del cuo se crcteriz por l ecució =, e dode es l rist del cuo coocido y es l rist que tedrá el cuo de volume dole U simple álisis de costrucció co regl y compás revel, empledo lgus ocioes de geometrí lític, que los segmetos costruidos prtir de otros segmetos ddos so epresles por ríces cudrds y l iterr ess costruccioes prece uevmete sólo ríces cudrds y uc de otro ídice Demostrció Figur 5 i Si f es costte, el teorem se cumple trivilmete ii Si f o es costte, como f es cotiu e el itervlo cerrdo, etoces f lcz u máimo soluto y u míimo solut e [, ] Se f ( c ) = M el máimo soluto y f ( c ) = m el míimo soluto de f e [, ] Etoces, m f( ) M, y por l oservció iv (prte ) del teorem del módulo 4, teemos que De dode m ( ) f( ) d M( ) () m f ( ) d M Como f es cotiu e [, ], etoces por el teorem del vlor itermedio (secció 5) f tom todos sus vlores etre m y M Por tto, f ( d ) correspode uo de dichos vlores fucioles Es decir, eiste c e [, ] tl que f() c = f ( d ), de dode f ( d ) = fc ( )( ) 5

40 Ejemplo Módulo 5: Teorem del vlor medio (TVM) pr itegrles Se f ( ) = defiid e [, ] Ecuetre el vlor de c que stisfce ls codicioes del TVM pr itegrles Solució Como f ( ) = es cotiu e [, ], etoces de cuerdo co el TVM pr itegrles eiste por lo meos u c [,] tl que: = ()( ) () = d f c f c d E primer lugr, se se que d = Así que: Ahor, e el prolem de l duplicció del cuo, el elemeto de solució o es epresle por ríces cudrds de ls que puede costruirse co regl y compás, y que como =, etoces =, y o puede costruirse sólo co estos dos istrumetos Trisecció del águlo El prolem se euci del siguiete modo: divid u águlo ddo e tres águlos prciles igules, usdo sólo regl y compás Se puede demostrr que el prolem terior equivle hllr u tl que = ; pero el hlldo sólo es epresle como u ríz cúic que o es costruile co tles istrumetos d f() c = = =, Cudrtur del círculo El prolem de l cudrtur del círculo es ú más profudo, y que implic u irrciolidd de turlez etermete diferete ls de ls teriores y como Ejemplo f c = se tiee c =, de dode () c, c = Verifique l vlidez del TVM pr itegrles, co l fució itervlo [, ] Solució f ( ) 4 = e el El prolem se euci sí: determie, utilizdo solmete regl y compás, el ldo de u cudrdo de áre equivlete l áre de u círculo de rdio ddo L solució del prolem de l cudrtur coduce l ecució que tiee como vrile l medid del ldo del cudrdo de áre equivlete l áre del círculo de rdio uidd Est ecució es = π, e l cul el coeficiete π del térmio idepediete o es lgerico y por tto o puede ser ríz de u ecució lgeric co coeficietes rcioles Figur 54 L gráfic de l fució f ( ) = 4 e el itervlo [, ] determi l porció del círculo + y = 4 e el primer cudrte (figur 54), y cuy áre es π De Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series 5

41 Cpítulo : Itegrl defiid est form, f( ) d= 4 d= π Ahor, como f ( ) = 4 es cotiu e el itervlo [, ], el TVM pr itegrles grtiz l eisteci de por lo meos u c [,] tl que: 4 d π f() c = = Es decir, π = y resolviedo pr c se otiee: 4 c, 6 π c = [,] Cómo iterpret geométricmete el resultdo? 54

42 6 Los teorems fudmetles del cálculo Coteidos del módulo 6 Primer teorem fudmetl del cálculo: derivd de u itegrl 6 Segudo teorem fudmetl del cálculo 6 Algus propieddes que yud simplificr los cálculos e lgus itegrles Ojetivos del módulo Eucir y demostrr los dos teorems fudmetles del cálculo Estlecer l relció etre derivció y primitivció Preguts ásics L fució logritmo turl de, deotd por l, se defie como l = dt, t > AB B Ddos A y B úmeros reles positivos, pruee que dt = dt A t t Use l defiició dd de l y l prte pr deducir ls propieddes de los logritmos Itroducció Hst hor sólo hemos ecotrdo el vlor de pocs itegrles defiids Semos de muchs fucioes que so itegrles, como ls fucioes cotius, pero o hemos ecotrdo su vlor; demás, o hemos utilizdo los poderosos istrumetos desrrolldos teriormete, como so ls técics de itegrció Mostrremos hor que ls opercioes de derivció y de itegrció está ítimmete relciods medite u teorem que muestr cómo l derivd «deshce» l cció de l itegrl de u fució f (t) Posteriormete se preset el t esperdo segudo teorem fudmetl del cálculo pr poder completr sí los fudmetos teóricos del cálculo itegrl, cuys herrmiets ásics empleremos e el próimo cpítulo de ls pliccioes Glileo Glilei El fmoso stróomo Glileo Glilei ció el 5 de ferero de 564 e Pis y flleció el 8 de eero de 64 e Arcetri (cerc de Floreci) Teí 79 ños de edd y su cello y su r er t lcos como l espum Sus ojos, que mirro l cielo trvés de sus telescopios y oservro más que culquier ser humo desde el pricipio de los tiempos, est pgdos por l edd Su reputció de ser uo de los más rilltes cietíficos de su tiempo fue l rzó de que reyes y reis disputr sus servicios Ahor est rrodilldo te el temido triul de l Iquisició, oligdo cofesr púlicmete u error que o er error: «Yo, Glileo Glilei, doo l fls opiió de que el Sol es el cetro (del uiverso) y está imóvil Ajuro, mldigo y detesto los dichos errores» Alguos dice que cudo el cio se puso de pie murmuró pr sus detros: «E pur si mueve» [Y si emrgo (l Tierr) se mueve (lrededor del Sol)] Glileo ció e u fmili de siete hijos, co u pdre que er u tletoso músico y u homre de cosiderle cultur A tempr edd, Glileo prometí mucho tto metl como mulmete Teí diecisiete ños cudo igresó l Uiversidd de Pis, dode se especilizó e medici y estudió tmié mtemátics y ciecis físics U vez, cudo todví estudi e Pis, oservó l regulridd co que oscil u lámpr e l ctedrl Apes pudo esperr hst que volvió su cs pr eperimetr co olits de plomo tds hilos de diferetes logitudes Descurió que, culquier que fuese l mgitud de l oscilció o el peso del plomo, l olit ecesit el mismo tiempo pr completr u vije de id y vuelt Sólo el cmio de l Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series 55

43 Cpítulo : Itegrl defiid logitud fect el tiempo de l oscilció (periodo de virció) Est oservció codujo l iveto del pédulo, usdo e los relojes y otros istrumetos pr medir co precisió el tiempo Leyó ls ors de Arquímedes y usó ls mtemátics pr pror lguos de los eperimetos de este último co líquidos y lecioes Creó el cocepto de l celerció que se us e l físic moder y el cocepto modero de l fricció y l ierci co respecto los ojetos e movimieto Alizó los compoetes de l fuerz, demostrdo, por ejemplo, que ls fuerzs que fect l tryectori de u l so hci jo y hci delte, de tl mer que puede medirse sistemáticmete Estos eperimetos, iicidos tes de 59, fuero perfecciodos y pulicdos e 68 e su or Diálogos sore dos uevs ciecis (movimieto y mecáic) L or de Glileo, que iició l compresió de ests ciecis, llevó l formulció de ls leyes de movimieto de Newto, más preciss, y l perfecciomieto que de ess leyes hiciero más trde otros cietíficos Estleció u tller pr fricr istrumetos como rújuls mgétics, termómetros y telescopios Tmié llegó ser u eperto e l costrucció de fortificcioes militres A pricipios del siglo XVII escuchó que u óptico holdés hí logrdo uir u lete cócv y otr cove, de tl mer que hcí que los ojetos disttes precier más cercos Usdo es ide costruyó u telescopio que mpli los ojetos treit veces, y e 69 dio u demostrció púlic de su uso Cudo Glileo volvió su telescopio hci el cielo, por l oche, rió uevos cmpos de coocimieto que descriió e su liro Mesjero de ls estrells E él dice: «Doy grcis Dios, que h teido ie hcerme el primero e oservr ls mrvills ocults los siglos psdos Me he cerciordo de que l Lu es u cuerpo semejte l Tierr He cotempldo u multitud de estrells fijs que uc tes se oservro Pero l myor mrvill de tods ells es el descurimieto de cutro uevos plets (cutro stélites de Júpiter) He oservdo que se mueve lrededor del Sol» Descurió que l Ví Lácte cosistí e u miríd de estrells; que el Uiverso o er fijo i imutle, como creí sus cotemporáeos, pues precí te su vist uevs estrells que luego desprecí; y que los plets Veus y Mercurio se moví tmié lrededor del Sol y que el Sol mismo gir sore su eje Su liro Diálogo sore los dos priciples sistems del mudo es u rillte sátir que 6 Primer teorem fudmetl del cálculo: derivd de u itegrl Ates de mostrr dich relció estudiremos lguos resultdos previos Se f u fució itegrle e el itervlo [, ] Por l propiedd iv del teorem del módulo 4, f es tmié itegrle sore el itervlo [, ] co, y puesto que pr cd de [, ] el vlor de l itegrl f () t dt es úico, etoces podemos defiir l siguiete fució: F( ) = f( t) dt co e [, ] Segú vimos tes, si f( ) e [, ], etoces l fució F( ) defiid teriormete represet geométricmete el áre de l regió compredid etre y y jo l curv de l fució f (figur 6) Osérvese que Teorem F ( ) = ftdt ( ) = y F() = f() t dt Figur 6 Si f es itegrle e [, ] y F está defiid por F( ) = f( t) dt, co e [, ], etoces F es cotiu e [, ] Demostrció Se C u puto culquier de (, ) y h tl que C+ h Demostrremos que F es cotiu e C, es decir, demostrremos que lim F( C+ h) = F( C) h 56

44 Por l defiició de F se tiee que C+ h F( C+ h) = f( t) dt y F( C) = f( t) dt C Módulo 6: Los teorems fudmetles del cálculo demostr por medio del diálogo ls flls del sistem geocétrico tolomeico e comprció co el sistem heliocétrico coperico Luego Es decir, C+ h C C+ h C C+ h f() t dt C F( C + h) F( C) = f () t dt f () t dt = f () t dt + f () t dt = C+ h C F( C+ h) F( C) = f( t) dt (figur 6) Puesto que f es cotd e [, ] (por ser f itegrle), etoces eiste M tl que f () t Luego M pr todo t de [, ] M f() t M () Figur 6 Alicemos dos csos: cudo h y cudo h < Primer cso Si h, etoces, plicdo e () el teorem módulo4 (oservció iv), oteemos: El trjo eperimetl y teórico de Glileo sore el movimieto de los cuerpos, juto co los trjos de Kepler y Reé Descrtes, fue el iicio de l mecáic clásic desrrolld por Sir Isc Newto Glileo fue el pioero, l meos e l trdició europe, e desrrollr eperimetos rigurosos isistiedo e l descripció mtemátic de ls leyes de l turlez Etre sus portes fudmetles está l trsformció de Glileo etre sistems de refereci ierciles y el desrrollo del cocepto de ierci Uo de los mitos más fmosos sore Glileo es quel e que tir ojetos de diferetes mss desde lo lto de l Torre de Pis, co el fi de demostrr que l velocidd de desceso er idepediete de l ms Esto cotrdecí el pesmieto de Aristóteles de que los ojetos pesdos cerá más rápido que los ligeros, e form directmete proporciol su peso L histori de l torre prece e u iogrfí de uo de sus lumos, Vicezo Vivii, pero es cosiderd fls E relidd Glileo uc relizó, que se sep, este eperimeto de est form y de herlo hecho su resultdo serí el opuesto, como él sí L fuerz de resisteci del ire depede o sólo de l form del ojeto sio idirectmete tmié e prte de su ms, de dode se origió l ide ristotélic Si emrgo, Glileo relizó eperimetos que implic el deslizmieto de ojetos sore plos iclidos, pr hcer más let l cíd, reduciedo los efectos de l resisteci del ire que depede de l velocidd, isldo sí l cció de l grvedd y prodo que l cíd o deslizmieto «lires» so celerdos idepedietemete de l ms Sore los ños (posilemete tes), Glileo costruyó u termómetro usdo l epsió y cotrcció del ire e u recipiete de cristl pr mover el gu de u tuo djuto Y e 69 estuvo etre los primeros e usr el telescopio refrctor como istrumeto pr oservr ls estrells, plets y lus E 6 utilizó u telescopio como microscopio compuesto, e hizo mejors e los microscopios de 6 e delte Lmetlemete, l edd de 74 ños, Glileo quedó ciego Cudo murió, veerdo por los ciuddos y muchos homres priciples de l Iglesi y de los seglres, l Iquisició se egó permitir l relizció de u fuerl púlico Elemetos ásicos de cálculo itegrl y series 57