Cálculo II (0252) TEMA 2 INTEGRAL DEFINIDA. Semestre

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1 Cálculo II (5) Semestre - TEMA INTEGRAL DEFINIDA Semestre - José Luis Quitero Myo

2 INTRODUCCIÓN U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero.. INTRODUCCIÓN El clculr itegrles costituye u proceso etrordirimete importte e Cálculo. Se comiez e este cpítulo itroduciedo l oció de itegrl defiid coectádol co el tem terior trvés del teorem fudmetl del Cálculo. Se demostrrá demás como el áre, el vlor medio y otrs ctiddes puede ser defiids medite l itegrció. Se drá tmié el teorem del vlor medio pr itegrles y ciertos métodos de cálculo umérico pr l estimció de ls itegrles defiids... SUMATORIAS Ddos úmeros reles,,...,, l sum de estos puede ser epresd como = i dode el símolo de sumtori Σ (sigm) idic que se sum los úmeros i cudo i, llmdo ídice, vrí desde hst. De modo que i = i=.... i El ídice puede comezr e culquier etero positivo, termido siempre co culquier etero positivo superior. A. PROPIEDADES: ki = k i i= i= (i ± i) = i ± i i= i= i=

3 SUMATORIAS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero B. FÓRMULAS: ( + ) i = i= i i= i i= ( + )( + ) = 6 ( + ) = i = ( + )( ) i=.. SUMAS DE RIEMANN Si f es u fució cotiu y positiv e el itervlo [,], el áre compredid etre el gráfico de y = f() y el eje de ls sciss () e [,] puede ser proimd usdo l fórmul del áre de u rectágulo de se culquier que se elige etre y. E cosecueci: y de ltur * h = f( ), siedo * u puto * A ( )h = ( )f( ). Pr oteer u mejor proimció se divide el itervlo [,] e suitervlos [, ], [, ],..., [ -, ] co + putos,,..., tles que = < < <... < =, y se costruye como tes rectágulos de lturs * * * f( ), f( ),..., f( ),

4 SUMAS DE RIEMANN U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero y de ses,,...,, * * * dode,,...,, so putos culesquier elegidos e cd uo de los suitervlos respectivmete. Así se tiee que u mejor proimció l áre A jo l curv de y = f(), etre y y sore el eje viee dd por * * i i i i i i= i= A ( )f( ) = f( ), dode i = i i es l logitud de cd suitervlo. Ls sums que proim l áre A trtd teriormete se llm sums de Riem e hoor l mtemático del siglo XIX, George F. Riem (86-866) quié demostró que co u proceso de pso l límite se otiee el vlor ecto del áre. E ls sums de Riem teriores se trjó cosiderdo l fució f cotiu y positiv e [,], los resultdos fuero úmeros positivos y represet u proimció del áre. Cudo f() es u fució cotiu culquier, l sum de Riem puede dr culquier resultdo: positivo, egtivo o cero... INTEGRAL DEFINIDA Defiició. (Itegrl defiid). Se f() u fució cotiu e el itervlo cerrdo [,] y i= i * i f( ) u sum de Riem de f() e [,]. Se defie l itegrl defiid de f() e [,] como el úmero siempre que este límite eist. i= i * i I = lím f( )

5 SUMAS DE RIEMANN U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero E tl cso se dice que f() es itegrle e [,] y se us l otció I = f()d dode <. Los etremos y se llm límite iferior y superior de itegrció respectivmete, f() se llm itegrdo y f()d se llm elemeto de itegrció. El símolo d idic cuál es l vrile de itegrció. Si u fució es positiv e u itervlo [,], l itegrl defiid represet geométricmete l áre compredid etre el eje y el gráfico de l fució. Si f() es egtiv e [,] etoces g() = f() es positiv e [,] y el gráfico de g() es u refleió del gráfico de f() respecto del eje X, de modo que A = g()d = f()d = f()d. TEOREMA. Si u fució f() es cotd y cotiu e el itervlo [,], ecepto e u úmero fiito de putos, etoces f() es itegrle e y cotiu e [,]. Oservció. Si u fució f es cotiu e el itervlo cerrdo [,], etoces f es itegrle e [,]..5. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL TEOREMA (PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL). Se f u fució cotiu e el itervlo cerrdo [,] y se G() = f(t)dt u itegrl idefiid de f, etoces G es u primitiv de f.

6 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 5 de 5 José Luis Quitero Este teorem proporcio u primer relció etre l itegrció y l diferecició de fucioes, y el mismo estlece groso modo que l fució derivd de l itegrl idefiid de u fució cotiu f es l mism fució f. Así que el proceso de derivció prece como u proceso iverso l proceso de itegrció. TEOREMA. (SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL). Se f u fució cotiu e el itervlo cerrdo [,] y se F() culquier primitiv de f e [,], etoces f()d = F() F(). (Fórmul de Brrow) Este teorem es l epresió de u segud relció etre l itegrció y diferecició de fucioes y estlece que l itegrl idefiid de u fució derivle F co derivd cotiu; es l mism fució F slvo u costte dd por - F(). Este último teorem costituye l clve mágic pr el cálculo de itegrles: si se dese clculr l itegrl de u fució f e u itervlo ddo [,], se clcul primero u fució primitiv F culquier de f, y etoces f()d = F() F(). A cotiució lguos ejemplos ilustrtivos de l plicció de los coceptos y teorems epuestos teriormete: Ejemplo. L itegrl d represet el áre de u regió R, grfíquel y clcúlel. Solució. Al grficr se tiee (ver figur ):

7 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 6 de 5 José Luis Quitero Figur. Gráfic del ejemplo Al clculr el áre se tiee que: d = ( )d + ( )d = = (9 9 9) = + = Ejemplo. Clcul el áre compredid etre el eje, l fució y = + l() y ls rects =, = Solució. Al grficr l fució os dmos cuet que u prte es egtiv; como deemos hllr el áre ecerrd por l regió descrit plicmos vlor soluto sí l itegrl qued escrit como: + l() d = / Relizdo mipulcioes lgerics: /e ( + l()) d + / /e ( + l()) d

8 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 7 de 5 José Luis Quitero + l() d = - / Al revolver teemos: Luego: Se resuelve por prtes llmdo dv = d luego v = y teemos: ( + l()) d + / + l() d () /e + l() d = d + l()d () l() d d u = l() du = ; l() d = l(). d = l() + c Volviedo () teemos: + l() = l(); sustituyedo e () y plicdo el Teorem Fudmetl del Cálculo os qued: /e - ( + l()) d + + l() d = / /e l(e ) l( ) l() l(e ) l() e + = + e e /e Ejemplo. Clcule, usdo l defiició de itegrl Solució. ( )d Tommos u prtició del itervlo cerrdo [,] de suitervlos dode cd suitervlo tiee logitud = = = y i = + i = + i = i, co i =,,...,, por lo tto teemos u prtició del itervlo [, ]: P [,] = =, =, =, =,, = = Etoces, i i f( i) i i= i= i= i= i= = = = =

9 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 8 de 5 José Luis Quitero Luego, Por lo tto, ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = ( ) =. 6 6 ( ) ( ) ( ) d = lím = lím lím = lím = lím + + = = ( )d = Ejemplo. Clcule el límite psdo u itegrl defiid. lím ( + )l + ( + )l + ( + )l + psdo u itegrl defiid. Solució. E form compct lím = lím. + i i ( + i)l ( + ) + ( + )l ( i + ) i= i= Se tiee etoces: l() l() d du lím = lím = = == + i i * * ( + )l ( + ) + l ( ) l () u u l() i= i= = + =. l() l() l() l() l() Ejemplo. Clcule lím psdo u itegrl defiid.

10 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 9 de 5 José Luis Quitero Solució..i + u lím + = d = du = u + du +.i u u i= u (u = + udu = d) = u + l( + u) = + l Ejemplo 5. Clcule lím e + e + e + e e / / 6/ 8/ / psdo u itegrl defiid. Solució. Por lo tto i/ i (i/) = = = i= i= i= lím i e lím e lím e e d e d = e e d = e e d u = du = d, dv = e d v = e e d = e e d = e e = e e +. u = du = d, dv = e d v = e e d = e e d = e e + e = (e + )(e ). Ejemplo 6. Clcule el límite psdo u itegrl defiid: lím Solució. lím [ ] [ ] = lím = i = lím i= i= d = ( )d + ( i )d =

11 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero Ejemplo 7. Clcule el límite psdo u itegrl defiid: lím Solució. lím = lím = lím i = i = i i i i = = lím = i = d i ( = i ) Ejemplo 8. Clcule el límite psdo u itegrl defiid: Solució. lím lím = i [ l( + i) l( ) ] i [ l( i) l( ) ] lím l + lím l i + = lím = + = = = = i= i = l()d = (l() ) i i = (l() ) + = l() l( ) i Ejemplo 9. Clcule el límite psdo u itegrl defiid: lím Solució. i lím = lím i i= i i = lím = lím = d i i 5 i = 5 i = 5 Clculemos l itegrl hciedo el cmio de vrile u = 5 ; u du = - 8 d y los límites de itegrció se trsform e: cudo =, u = 5 y cudo =, u =, etoces,

12 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero 5 5 d = du = u = 5 5 Ejemplo. Clcule 5+ h 5 se( )d se( )d lím. h Solució. Se defie l fució f :, ) R por f() = se(t )dt. Luego 5+ h 5 se( )d se( )d f(5 + h) f(5) lím = lím = f '(5) = se( ) = se(5). h h = 5 h h h Ejemplo. Si dode hlle f '( ). f() = g() dt, + t cos() se(t ) dt, g() = + Solució. Se k(t) = + se(t ) tl que K'(t) = k(t). Se tiee etoces: Se tl que H'(t) g() = K(cos()) K() g'() = se().k(cos()). = h(t). Se tiee etoces: h(t) = + t f() = H(g()) H() f '() = h(g()).g'() f '( ) = h(g( )).g'( ) = h().( ) =.

13 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero Ejemplo. Hlle l fució f() y el vlor de l costte C que stisfce l ecució Solució. 5 + (f(t)) / dt = e + C ( ) 6/5 5t Derivdo co respecto e mos ldos de l ecució 5 5 / / 5 / 5 / 5 = e + = (f( )) = e f( ) = e 6/5 + (f( )) + (f( )) + e 5 Por tto Si = etoces 5 /5 / 5 z (z = = z ) f(z) = e. / 5 f() = e. e = e + C C = +. Ejemplo. Hlle f() siedo que stisfce l ecució rcse() f(t) dt = (rcse()). t Solució. Se g(t) = f(t), t etoces se tiee que Ahor Derivdo: rcse() rcse() g(t)dt = (rcse()). g(t)dt = (rcse()) (G(rcse()) G()) = (rcse()) g(rcse()) = (rcse())

14 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero g(rcse()) (rcse()) = g(rcse()) = (rcse()) f(rcse()) = (rcse()) (rcse()) f(rcse()) = (rcse( )) (rcse()) f() =. Ejemplo. Pr l fució F() = l(t + )dt hlle u ecució de l rect tgete e =. Solució. Se tiee l ecució de l rect tgete F() e = e l form puto pediete como y F() = F '()( ). Se comprue que F() =. Por otr prte si se tiee g(t) = l(t + ) F() = G( ) G(). Derivdo: F'() =.g( ).g() F'() =.l( + ).l( + ) F'() = l() L ecució de l rect tgete es etoces y = ( )l(). Ejemplo 5. Clcule g() dt 6 + se (t) + t lím, dode g() = se (t)dt. Solució. Se f(t) = y h(t) = se (t), 6 + se (t) + t de modo que se tiee hor:

15 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero Elimido idetermició, co L Hospitl: g() f(t)dt F(g()) F() lím = lím =. F(g()) F() f(g())g'() f(g())h() f(g())h() f()se () se () lím = lím = lím = = =. Ejemplo 6. Clcule siedo que f() =, f() =, f '() = 5. Solució. Se defie l itegrl f ''()d f ''()d. Utilizdo itegrció por prtes se tiee que: u = du = d, dv = f ''()d v = f '(). Luego: Ahor se tiee: f ''()d = f '() f '()d = f '() f() + C. f ''()d = f '() f() = f '() f() + f() = = Ejemplo 7. Si f() clcule f( ). Solució. Itegrdo por prtes: = y f() + f ''() se()d =,

16 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 5 de 5 José Luis Quitero f''()se()d = f '()se() f'()cos()d u = se() du = cos()d dv = f ''()d v = f '() f''()se()d = f'()cos()d = f() cos() f()se()d u = cos()d du = se( )d dv = f '()d v = f() (f() + f''())se()d = f()se()d f() cos() f()se()d = f( ) + f() = f( ) + = f( ) = Ejemplo 8. Se g(t) u fució impr tl que g() = y se F() = g(t) dt. 6 + t Hlle l ecució de l rect tgete F() e =. Solució. y que se se que g(t) es impr y g(t) F() = dt =, 6 + t fució impr y u fució pr es otr fució impr. Ecució de l rect tgete pedid: y = F'()( ). 6 k(t) = + t es pr. Ahor ie, el cociete etre u g( ) g( ) g() 5 F'() =. +. F'() = g(). = =. / + + ( ) 5 Por lo tto: Ecució de l rect tgete pedid: y = ( ). Ejemplo 9. L fució f() stisfce l siguiete ecució: Clcule f(). Solució. Derivdo se tiee [ f (t) + l(t + ] )dt = rcse(t)dt se() f( ). + l( ). = + rcse(se()).cos()

17 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 6 de 5 José Luis Quitero Si u = se tiee que Por tto, = u + y = u +. Así, f(u). u + + u + l(u + ) = (u + ) + u +. cos( u + ) + cos() f() = + cos() f() = Ejemplo. Clcule si g () =. Solució. + g(se( e g(l(t + ))dt t))dt lím, Al evlur l epresió dd os result: g(se()) g(se()) Lim = + g() g(l( + ) Idetermició que elimimos usdo L hopitl y os qued:.g(se()) g(se()).().g(se()) g() Lim = = = + g().e g(l( + )).( ) g().e + g(l()).() + Ejemplo. Ecuetre u ecució de l rect tgete l gráfic de l fució defiid por e el puto =. F () = sec () t Solució. L ecució de l rect tgete e el puto = ; tiee l form: y F F' = Así, usquemos los vlores de F y F' e sec ( ) dt F = e e = Ahor usdo el teorem Fudmetl del Clculo Itegrl teemos que:

18 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 7 de 5 José Luis Quitero ' sec ( ) F = e. sec ()tg() e.; ( ) Al evlur e el puto ddo teemos que : ( ) ( ) sec ' F = e. sec ( )tg( ) e. = e Luego l ecució de l rect tgete viee epresd como: y F F' y = = e Ejemplo. Pruee que se(t) lím dt = / t / Solució. Cudo el limite preset l form idetermid, plicdo l hopitl se(t) se() dt + / t / se(t) lím = lím dt + se() =. t / / L itegrl d cero porque tiee límites de itegrció igules y por lo tto l evlur el límite qued se() que evludo result igul. / Ejemplo. Determie e cd firmció, si es verdder o fls, compñdo co u justificció:. Si F() = t + 5dt, etoces F '() = 9 /. Solució. F() = t + 5dt = g(t)dt = G(t) Por lo tto, l firmció es FALSA. / F'() = g( ) F'() =. Si I = tg () d co >, etoces Solució. = G( ) G() + I =. I + 5 F'() =

19 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 8 de 5 José Luis Quitero I = / tg ()d = = Etoces: / tg / tg ()tg ()d = () sec ()d / tg / tg I + I = I + I Por lo tto, l firmció es VERDADERA. ()(sec () )d = tg () ()d = =. / I = I.6. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA A. Itegrl e u itervlo degeerdo Si f es itegrle e se tiee que f()d = B. Itegrl de u costte Si f() = c, el áre represetd por l itegrl defiid e [,] es t sólo u rectágulo de se - y ltur c. De cuerdo esto se tiee que: cd = c( ). C. Permutció de los límites de itegrció Si f() es itegrle e [,], l permutr los límites de itegrció l itegrl cmi de sigo: f()d = f()d

20 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 9 de 5 José Luis Quitero D. Múltiplo itegrle Si f() es itegrle e [,], tod costte rel puede slir de l itegrl: α f()d = α f()d E. Lielidd Si f y g so itegrles e [,], tmié lo es l comició α f() + β g() pr todo pr de costtes reles α y β. E este cso se tiee: α f() + β g() d = α f()d + β g()d F. Lielidd del itervlo Si f es itegrle e [,] y c es u úmero rel tl que < c <, etoces: c f()d = f()d + f()d c G. Comprció Si f y g so itegrles e [,] y f() g() pr cd [,], etoces: f()d g()d H. Acotció Si f es itegrle e [,], m y M so úmeros tles que m f() M pr cd [,], etoces: m( ) f()d M( )

21 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero teriormete. A cotiució se desrroll ejemplos que ilustr los coceptos e ides epuests Ejemplo. Clcule l itegrl Solució. Primer cso: ( = ) Segudo cso: ( ) se().se()d ( y eteros positivos) se ()d = ( cos())d = se() = Usdo l idetidd se().se() = cos(( )) cos(( )) +, se tiee que: se(( )) se(( + )) se().se()d = cos(( ))d cos(( + ))d = + De modo que: se(( )) se(( + )) se(( ) ) se(( + ) ) se().se()d = = = + + Ejemplo 5. Clcule plicdo ls propieddes de l itegrl defiid. Solució. se() + + se() d, l( + ) se() + d = l( + ) se() + se() + + se() d = d + se() d + + l( ) l( ) y que el itegrdo es u fució impr. 6 se() d = se() d + se() d 6 6 = + cos() cos() + = = + 6 6

22 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero Ejemplo 6. Clcule se () d, e plicdo ls propieddes de l itegrl defiid. Solució. Se.se () f() = : e. D(f) = R (simétrico respecto l orige).. ( ).se ( ).se () f( ) = = = f(). ( ) e e Por tto: f() es u fució impr y Por otro ldo: Etoces: / f()d =. /,, = +,, + (. ) / / / / / d = ( )d + ( )d = + / / Por lo tto / = / se () d =. e / Ejemplo 7. Clcule plicdo ls propieddes de l itegrl defiid. Solució. se( ) + d, + se( ) + se( ) d = d + d

23 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero Se Se tiee que: D(f) = R. se( ) f() =. + se(( ) ) se( ) se( ) f( ) = = = = f() Como f() es impr sore culquier itervlo cuyo puto medio se =, etoces: Se Se tiee que: D(g) = R. se( ) d =. + g() =. + g( ) = = = g(). + + De modo que g() es pr sore culquier itervlo cuyo puto medio se =. E cosecueci: Por lo tto z d = d = d = dz = dz + + z z + z = + z = dz = d = z l(z) = ( l() ) = ( l()) = ( l()) = ( + l()) se( ) + d = ( + l()). + Ejemplo 8. Clcule l itegrl Solució. / 6.rctg ()d

24 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero / / / rctg () + / 6.rctg ()d = 6. 6 rctg() d rctg() u = rctg () du = d, dv = d v = + / / rctg() rctg() d = rctg() rctg() d + + d u = rctg() du =, dv = d = d v = rctg() / / / rctg() d = rctg() rctg() l( + ) rctg () + / / / rctg () + = l( + ) 6 6.rctg ()d = 6. 6 rctg() d 6 6 = l( + ) = l( + ) Ejemplo 9. Clcule l siguiete itegrl, plicdo propieddes: Solució. / / / / + tg() + d + / + tg() + d = d + tg() d + d / El itervlo de itegrció es simétrico y. L fució f() = es pr, etoces +. L fució g() = / / + + / / / d = d = rctg = tg() + es impr por lo tto c. L fució h() = es pr por lo que Luego, / / tg() d = + / / / = = 8 d d 6 / / / ( ) d = = ( )

25 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero / / + tg() + + d = + 6 ( 8 ). Ejemplo. Aplicdo propieddes, determie el itervlo dode se ecuetr el vlor de l itegrl defiid Solució. Se f () = +. Como d. f'() = 5 [, ], 5 + usdo l propiedd de cotció se tiee que + tto 5 5 pr cd [, ] + d y por lo Ejemplo. Clcule l itegrl Solució. / 6(cos()) d + cos() Ι = 6 (cos()) d = 6 (cos ()) d = 6 d = ( + cos( )) d = ( + cos( ) + cos ())d = = d + 8 cos( )d + cos ( )d + cos() = d + 8 cos( )d + d = d + 8 cos( )d + d + cos()d

26 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 5 de 5 José Luis Quitero = 6 d + 8 cos()d + cos()d I Ι Itegrdo por prtes l itegrl Ι : se() Tomdo u =, du = d, dv = cos()d, v = se() cos() Ι = se()d = =. Itegrdo por prtes l itegrl I : se() cos() Ι = se()d = =. 6 Luego, cos() cos( ) Ι = 6 (cos()) d = = Por lo tto, Ι = 6 (cos()) d = Ejemplo. Clcule l itegrl Solució. Hciedo el cmio de vrile: emplo. Clcul l itegrl d ( + ) d = d ( + ) ( + ) = tg(z), d = sec (z)dz Los límites de itegrció se trsform e: cudo =, z = y cudo =, z = Etoces, sec (z) sec (z) d = dz = dz = cos (z)dz = ( + ) ( + tg (z))

27 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 6 de 5 José Luis Quitero cos(z) + se(z) = dz = dz cos(z)dz z + = + = + Luego, Por lo tto, d = d = + ( + ) ( + ) + d =. ( + ) Ejemplo. Clcule l itegrl Solució. rl, u itervlo e el cul se ecuetr el vlor de l itegrl e d. L fució f() = e es moóto decreciete e el itervlo [-,-] puesto que ( ) f'( ) = e + pr todo [-, -]. Etoces f es cotd y que f(-) f() f(-) pr todo [-, -], es decir, e pr todo [-, -], e e luego f es itegrle e dicho itervlo y el vlor de l itegrl dd está e el itervlo [ /e, /e ]. Ejemplo. Clcul l itegrl Solució. Como L() d. Luego, etoces L() si L() = L() si < L() d = L()d + L() d.

28 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 7 de 5 José Luis Quitero Clculemos l itegrl idefiid L()d plicdo el método de itegrció por prtes: u = L(), du = d, dv = d, v = etoces Ahor, Por lo tto, d L()d = L() = L() d + C = L() + C. L() d = L()d + L()d = (.L() ) + ( L() ) = = L() L ( L() l() ) L() = L() + L() = L() = L() L()d = Ejemplo 5. Clcul l itegrl Solució. se ()d. ( ) cos() Ι = se ()d = se () d = d = = cos() d = cos() + cos () d = ( ) ( ) = d cos( )d + cos ( )d + cos() = d cos()d + d I I

29 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 8 de 5 José Luis Quitero Itegrdo por prtes l itegrl Ι : se() Tomdo u =, du = d, dv = cos()d, v = se() cos() Ι = se()d = + =. Itegrdo por prtes l itegrl I : se() u =, du = d, dv = cos()d, v = se() cos() Ι = se()d = + =. 6 Luego, Por lo tto, Ι = 9 se ()d = = Ι = se ()d = 6.7. TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DEFINIDAS TEOREMA. Si f es u fució cotiu e [,] etoces eiste l meos u úmero c e [,] tl que f()d = f(c)( ). Ejemplo 6. Determie el vlor de c (,) que stisfce el teorem del vlor medio pr l itegrl 6 d. Solució. 6 = ( 6) = ( ) = ( 6 + 9) + 9 = ( ) + 9 = 9 ( )

30 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DEFINIDAS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 9 de 5 José Luis Quitero De mer que: Se u =, du = d, se tiee etoces: 6 d 9 ( ) = d. 9 ( ) d = 9 u du Aplicdo l sustitució trigoométric: u = se( θ ), du = cos( θ)dθ 9 9 u du = 9 9se ( θ)cos( θ)dθ = 9 cos ( θ)dθ = se( ) C θ + θ + 9 ( ) 6 = rcse C E cosecueci: Aplicdo el teorem: 9 ( ) d = rcse + = = ± = 6c c = 6c c = 6c c c 6c + = c =. 6 6 Se tom 6 6 c = que se ecuetr e el itervlo. 9 9 Ejemplo 7. Determie el vlor de c (,) que stisfce el teorem del vlor medio pr l itegrl Solució. 6 d. L epresió detro del rdicl es de l form ; por lo que l sustitució dee ser: = se( θ) d = cos( θ)dθ. Etoces 6 d = 6 6se ( θ)cos( θ)dθ = 6 cos ( θ)dθ 6 = 8 ( + cos( θ))dθ = 8( θ + se( θ )) + C = 8(rcse( ) + 6 ) + C

31 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DEFINIDAS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero Aplicdo el teorem del vlor medio se tiee: Se elige 6 6 d = 8(rcse( ) + 6 ) = 8( ) =. f()d = f(c)( ) = 6 c = 6 c c = ± 6 c = 6 (, )...8. APROXIMACIÓN DE INTEGRALES Hy dos situcioes e que es imposile clculr el vlor ecto de u itegrl defiid. L primer es cosecueci de que pr evlur f()d co el teorem fudmetl del cálculo, se ecesit coocer u tiderivd de f, si emrgo, veces es difícil, o hst imposile, ecotrrl. Por ejemplo, es imposile evlur co ectitud ls itegrles siguietes: e d + d. L segud situció se preset cudo l fució se determi co u eperimeto cietífico utilizdo ls idiccioes de istrumetos. Puede o her fórmul pr l fució. Ls sums de Riem provee u ue herrmiet pr clculr proimcioes este tipo de itegrles defiids. Culquier sum de Riem represet u proimció l itegrl defiid, e prticulr se puede usr como ltur pr los rectágulos proimtes itervlo [,]. * f( i ), siedo * i los etremos derechos o izquierdos de u prtició del

32 APROXIMACIÓN DE INTEGRALES U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero Se f() u fució cotiu e [,] y cosidere u prtició de [,] e suitervlos de igul logitud =, co lo cul los putos etremos de cd itervlo [ i, i] viee ddos por i = + i co i =,,...,. A. Aproimció por etremos derechos [, ] Eligiedo los putos de muestr i i se tiee que * i como el etremo derecho de cd suitervlo i = f()d f( ). i B. Aproimció por etremos izquierdos [, ] Eligiedo los putos de muestr i i se tiee que * i como el etremo izquierdo de cd suitervlo i = f()d f( ). i C. Aproimció por putos medios [, ] Eligiedo los putos de muestr i i se tiee que * i como el puto medio de cd suitervlo i + i i= f()d f.

33 APROXIMACIÓN DE INTEGRALES U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero Geométricmete e ls proimcioes por etremos derechos o izquierdos o por putos medios se costruye rectágulos desde el eje hci l gráfic de y = f(), los cules puede quedr por ecim o por dejo de l gráfic depediedo de si f(), es creciete o decreciete. D. Aproimció trpezoidl Cosidere u fució f() cotiu e [,] y u prtició de [,] e suitervlos de igul logitud geerd por los putos =,,,..., =. Uiedo putos cosecutivos ( i,f( i )), ( i,f( i)) medite segmetos de rects, se form trpecios. El áre del i-ésimo trpecio viee dd por f( i ) + f( i ). Este úmero puede ser egtivo, y que depede de f( i ) y f( i), que puede ser egtivos. Sumdo sore i se tiee i= f( i ) + f( i) = [(f( ) + f( )) + (f( ) + f( )) (f( ) + f( )) + (f( ) + f( ))]. - Es decir f()d f( ) + f( ) f( ) + f( ). L siguiete proimció es más precis que l proimció trpezoidl. E. Aproimció de Simpso L proimció de Simpso, llmd sí e hoor l mtemático iglés Thoms Simpso (7-76) quié itrodujo este método, cosiste e costruir geométricmete segmetos prólicos por cd ter de putos cosecutivos ( i,f( i )), ( i,f( i)), ( i+,f( i+ )).

34 APROXIMACIÓN DE INTEGRALES U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero Como tes, se divide el itervlo [,] e suitervlos de igul logitud = ( ) pero co como u úmero pr, luego se costruye los segmetos prólicos e cd ter de putos cosecutivos. Supog que i i i i P() = + + c es l práol costruid e tres putos cosecutivos ( i,f( i )), ( i,f( i)), ( i+,f( i+ )), u cálculo rutirio lgerico muestr que i + P()d i P( i i ) P( i i) P( i i+ ) + +. i Ahor se proim l itegrl f()d reemplzdo f co P() i y sumdo sore i pr oteer f()d [f( ) + (f( ) + f( ) f( )) + (f( ) + f( ) f( )) + f( )]. Ls proimcioes trpezoidles o de Simpso so útiles pr clculr vlores proimdos de itegrles cuyo itegrdo es u fució de l que sólo se cooce u gráfic o uos cutos vlores isldos, cosecueci de medicioes eperimetles..9. CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS CON MAPLE Mple reliz l itegrció defiid co el comdo it. Est fució ecesit dos rgumetos: u epresió y u itervlo de itegrció. Estos so lguos ejemplos de itegrció defiid: > It(**ep(^),=..)=it(**ep(^),=..); e ( ) d = e + e 6

35 CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS CON MAPLE U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero Si Mple o puede clculr u primitiv, l devuelve idicd: > It(si(^)*cos(^),=..pi)=it(si(^)*cos(^),=..pi); si( ) cos( ) d = si( ) cos( ) d SUMAS DE RIEMANN L lirerí studet cotiee comdos útiles pr el predizje de lguos coceptos: > with(studet); [ D, Diff, Douleit, It, Limit, Lieit, Product, Sum, Tripleit, chgevr, completesqure, distce, equte, itegrd, itercept, itprts, lefto, leftsum, mkeproc, middleo, middlesum, midpoit, powsus, righto, rightsum, showtget, simpso, slope, summd, trpezoid ] El comdo middleo diuj u sum de Riem de trmos evludo l fució e el puto cetrl de cd trmo. El comdo middlesum clcul el vlor de l sum de Riem represetd por middleo. > f:=->^*si(^); :=; :=; :=;#úmero de itervlos middleo(f(),=..,,title=`aproimció co puto cetrl`); `******** cálculo de l sum co puto cetrl *******`; ms:=middlesum(f(),=..,); msf:=evlf(ms); `********* vlor ecto y error *****`; v:=it(f(),=..); vf:=evlf(v); er:=vf-msf; f := si( ) := := :=

36 CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS CON MAPLE U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 5 de 5 José Luis Quitero ******** cálculo de l sum co puto cetrl ******* 9 ms := i + si i = i + msf := ********* vlor ecto y error ***** v := cos( ) + FreselC vf := er :=.596 APROXIMACIÓN DE INTEGRALES El comdo trpezoid permite clculr el vlor de l regl del trpecio compuesto. A cotiució u ejemplo usdo trpecio compuesto co trmos. Cálculo directo usdo l fórmul: > f:=->^*si(^); :=; :=; :=;

37 CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS CON MAPLE U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 6 de 5 José Luis Quitero h:=(-)/; vtc:=h/*(f()+*f(+h)+*f(+*h)+f()); vtcf:=evlf(vtc); f := si( ) := := := h := vtc := si si 7 9 vtcf := si( ) Cálculo usdo el comdo trpezoid de l lirerí studet : > vt:=trpezoid(f(),=..,); vtf:=evlf(vt); vt := + i = 9 i si i 9 vtf := si( ) El comdo simpso permite clculr el vlor de l regl compuest de Simpso. Se idic el úmero de suitervlos que es el dole del úmero de trmos. El úmero de suitervlos dee de ser pr. Se empezrá clculdo el vlor de Simpso dole usdo l fórmul. > f:=->^*si(^); :=; :=; m:=;# úmero de trmos h:=(-)/(*m); vsc:=h/*(f()+*f(+h)+*f(+*h)+*f(+*h)+f()); vscf:=evlf(vsc);

38 CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS CON MAPLE U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 7 de 5 José Luis Quitero f := si( ) := := m := h := vsc := si si 6 si vscf := si( ) Ahor se clcul el mismo vlor usdo l lirerí studet : > with(studet): > vs:=simpso(f(),=..,); vs := si( ) + i + si i = i > vtf:=evlf(vs); vtf := i = i si i

39 PROBLEMAS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 8 de 5 José Luis Quitero.. PROBLEMAS PROPUESTOS. Clcule 5.. (i ).. i= 8 i= ( + i). Clcule lím + i= + i= i + lím (i ) lím i lím + + i= i lím + + i= lím +. Clcule usdo l defiició ls siguietes itegrles:.. d.. d.. ( )d. Clcule el áre compredid etre el gráfico de [,]. f() = y el eje, e el itervlo 5. Clcule el áre etre l curv f() = cos() co y el eje. 6. L itegrl + + d represet el áre de u regió del plo, grfíquel y clcule dich áre. 7. Clcule siedo que - f()d,

40 PROBLEMAS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 9 de 5 José Luis Quitero f()d =, f()d = y f()d = Clcule d ( ctg () + )d l( + )d d 9. Demuestre ls siguietes propieddes: 9.. Supog que f es u fució impr, es decir, f( ) = f() pr cd [,] etoces f()d =. 9.. Supog que f es u fució pr, es decir, f( ) = f() pr cd [, ] etoces. Si f :R R es u fució impr y cotiu y hlle el vlor de f()d = f()d. f()d = 6, f()d.. Aplicdo l propiedd de cotció pruee que + d.. Clcule el vlor de los siguietes límites psdo u itegrl defiid y luego plicdo el teorem fudmetl del cálculo itegrl:

41 PROBLEMAS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero lím lím lím se ( ) + se ( ) se ( ) lím l + + l l +.5. lím Clcule.. t lím e dt.. lím + co s() se() dt t. Hlle l itegrl de f() siedo que f() es solució de l iguldd rctg() f(t) rctg() dt = e + C + t 5. Determie l fució f() pr l cul se cumple tg() ctg() t + t / e / e f(t) dt + dt = t 6. Clcule 7. Clcule h'() si se se que lím t e dt e t dt h() = t se(t)dt..

42 PROBLEMAS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero 8. L ecució y se(t)l( t )dt + y rctg( t)dt = defie de form implícit l vrile y como u fució de l vrile, ecuetre dy/d. 9. Hlle f( ) pr l fució f() de l siguiete ecució:. Hlle f( ) si f() stisfce l ecució e rc sec () f(t)l(t)dt + sec( t)dt = +. l() rcse () t e f(t)dt + se( t)dt = +.. Hlle f() si f(t)dt = cos( ).. Hlle y = f() y el vlor de l costte tl que: f(t)dt = + cos() f(t)dt = + se() + f (t) l () dt = + l() + t. Se f u fució defiid y cotiu pr todo R, que stisfce l ecució t.f(t)dt = ( + ) + C, dode C es u costte. Ecuetre e form eplícit f() y hlle el vlor de l costte C.

43 PROBLEMAS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero. Se g(t) u fució impr tl que g() = y se F() = g(t) dt. 6 + t Hlle l ecució de l rect tgete F() e =. 5. Ecuetre u fució cotiu f y l costte C que stisfg l ecució itegrl dd por l() (f(t)) + (f(t)) dt = + l( + ) + C. 6. Determie e cd firmció, si es verdder o fls, compñdo co u justificció. 6.. Si f()d >, etoces f() > pr todo e [,] Si F'() = f() e [,] etoces ( / )d = ( / ) = =. f()d = F(). ( + + c + e)d = ( + e)d..f(se())d = f(se())d. 7. Demuestre que f() = es cócv hci rri e todo su domiio. t + t dt 8. Hlle f() siedo que f() = y que f '() = +.

44 PROBLEMAS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero 9. L fució f defiid y cotiu pr todo úmero rel, stisfce l ecució Ecuetre f(). 6 8 f(t)dt = t f(t)dt Clcule ls siguietes itegrles utilizdo propieddes.. d.. / / + tg() + d +. Aplicdo ls propieddes de l itegrl defiid y el teorem fudmetl del Cálculo, clcule: ( + )d rcse()d d ( + ) d l( + )d d + se()d e se()d d d ( + ) ( )d ( + + )d 5 (7 5 )d se d d cos()se()d d d + d + + d

45 PROBLEMAS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero. Demuestre l iguldd f()d = f( + )d.. Demuestre l iguldd f()g( )d = g()f( )d. Clcule ls siguietes itegrles medite u cmio de vrile:.. ( + ) d.. d /.. d.. + d / l() e e ( + e ) l().5. d.6. d e + e + + (l()) 5. Se l itegrl dode es u etero. 5.. Demuestre l fórmul de reducció se ()d, se ()d = cos()se () + se ()d. 5.. Utilice l fórmul terior pr demostrr que dode es u etero. / / se ()d = se ()d, 5.. Use el resultdo terior y demuestre que pr potecis impres del seo: / se ()d = ( + )

46 PROBLEMAS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: 5 de 5 José Luis Quitero 6. Demuestre que si etoces F() = g() h() f(t)dt F'() = f(g())g'() f(h())h'(). 7. Determie 6 D ( t )dt d Resuelv + d por el método de los trpecios y Simpso co = L logitud de l elipse está dd por l itegrl y + = 9 9cos (t) + se (t) dt, l cul o es elemetl. Clcule su logitud proimd usdo Simpso co =.. U tlet corre sore u líe rect y se registrro ls siguietes relcioes de tiempovelocidd: Tiempo (seg) Velocidd (m/seg) Use Simpso pr proimr l distci recorrid por el tlet.