SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES

Transcripción

1 Cálculo I Itegrl (MAT0), Secc.9 4to Trimtre, do Semtre 05; do Prcil Sucio y Seri Documeto elbordo por: M.Sc. Ig. Julio Césr ópez Zeró CICH46 SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES covergeci e u sució tiee como fudmeto l teci l mism y básicmete se refiere l existeci u vlor l cul se cerc los térmios l sució; si si m, do m u vlor umérico y se positivo o egtivo, etoc pomos tblecer que l sució coverget e o o existe, etoc pomos tblecer que l sució divergete Pr comprer mejor el cocepto sució, lizremos u ejercicio secillo, pero ltmete didáctico; ,,,,,,,..., por lo t to, l sució y sus tér mi os se cerc coverget e u vlor Rume Teórico sobre Criterios Covergeci pr Seri Pági

2 Cálculo I Itegrl (MAT0), Secc.9 4to Trimtre, do Semtre 05; do Prcil Sucio y Seri Documeto elbordo por: M.Sc. Ig. Julio Césr ópez Zeró CICH46 Ejemplo Repso Determie si l sució plted coverge o diverge: l l l 0 l l 0 e e e l l l l ll l l l ' H l l 0 Rume Teórico sobre Criterios Covergeci pr Seri Pági

3 Cálculo I Itegrl (MAT0), Secc.9 4to Trimtre, do Semtre 05; do Prcil Sucio y Seri Documeto elbordo por: M.Sc. Ig. Julio Césr ópez Zeró CICH46 SERIES covergeci e u serie tiee como fudmeto l existeci l cercmieto u sumtori fiid por prte todos los térmios que l coform. os criterios covergeci que se tudir cotiució, úicmete cumple l fució idicros si l serie posee u sumtori pecífic (covergete) o o posee dich sumtori pecífic (divergete), pero el mteril o icluye termir el vlor l sumtori, excepto e los csos do l serie tudid se ecuetre tro ls seri típics (geométrics, telcópics, etre otrs.) Procedimieto Recomeddo sobre l plicció Criterios Covergeci pr Seri Térmios Positivos.-) Criterio l -ésimo Térmio pr l Divergeci 0 NO SERIE DIVERGENTE SI.-) Utilizr Criterios Seri Coocids..-) Serie geométric..-) Serie rmóic..-) Serie telcópic.4.-) Serie p o.-) Utilizr Criterio l Itegrl o 4.-) Criterio l Comprció Ordiri o 5.-) Criterio l Comprció ímite o 6.-) Utilizr Criterio l Ríz o 7.-) Utilizr Criterio l Cociete Rume Teórico sobre Criterios Covergeci pr Seri Pági

4 Cálculo I Itegrl (MAT0), Secc.9 4to Trimtre, do Semtre 05; do Prcil Sucio y Seri Documeto elbordo por: M.Sc. Ig. Julio Césr ópez Zeró CICH46 Teorems Importt.-) Criterio l -ésimo Térmio pr l Divergeci..-) si coverge, etoc 0..-) si 0 ó..-) Serie Geométric divergete o existe, etoc diverge. por criterio l ésimo 0; por tér mi o.-) Criterios Seri Coocids lo t to divergeci U serie l tipo r coverge si y solo si, r do r se omi rzó y por lo tto dich serie tiee u sum S = r..-) Serie Armóic U serie l tipo mtemátic, t serie divergete.... se omi rmóic y por fiició o mostrció Cbe mecior que ést serie pecil, y que repret u excepció l criterio l -ésimo térmio pr l divergeci, tl como se mutr cotiució: Rume Teórico sobre Criterios Covergeci pr Seri Pági 4 0

5 Cálculo I Itegrl (MAT0), Secc.9 4to Trimtre, do Semtre 05; do Prcil Sucio y Seri Documeto elbordo por: M.Sc. Ig. Julio Césr ópez Zeró CICH46 Bjo te rultdo y cuerdo l tructur trbjo pretermido pr ls seri térmios positivos, como el límite l -ésimo termio os brid u rput cero, etoc berímos cotiur co el proco mtemático stido pr probr su covergeci o divergeci, to trvés los criterios, pero e te cso o ecrio y que l serie rmóic h sido fiid como divergete...-) Serie Telcópic U serie l tipo b se omi telcópic o colpste y su tructur básicmete b cosiste e el térmio -ésimo meos el térmio siguiete. b coverge si S,...-) b...-) b b diverge sí S, o existe o brid como rultdo ifiito. Do S se omi sum prcil y u térmio que será credo prtir l geerció los primeros térmios l serie y observció/álisis su comportmieto. buscdo el formto u serie telcópic, plicmos A B... ; etoc frccio prcil S S existe el límite su sum ; por prcil lo t to S coverget e porque Rume Teórico sobre Criterios Covergeci pr Seri Pági 5

6 Cálculo I Itegrl (MAT0), Secc.9 4to Trimtre, do Semtre 05; do Prcil Sucio y Seri Documeto elbordo por: M.Sc. Ig. Julio Césr ópez Zeró CICH46.4.-) Serie p U serie l tipo.4..-) u serie.4..-) u serie p p p p p... coverge si y solo si p. p, se omi serie p. diverge si y solo si p. (si p= u serie rmóic).-) Criterio l Itegrl Se f(x) u fució do f(x) cotiu, positiv y creciete durte todo el itervlo do l serie tá fiid ([,+oo[ pr éste cso explicció), etoc:..-) si x..-) si x l f x w l dw x l x l como x l x f dx diverge, etoc diverge. f dx coverge, etoc coverge. x e el it ervlo dx x x x x dw x lw llx dx x se dx x l x cotiu, positiv u w dx f, u y x l x l por lo u dx divergete, y t to fució l u creciet e etoc pomos serie Rume Teórico sobre Criterios Covergeci pr Seri Pági 6 l plicr u lx llu ll l tbl sigos er rivd u tudid, el tmbié criterio u etoc l it egrl divergete

7 Cálculo I Itegrl (MAT0), Secc.9 4to Trimtre, do Semtre 05; do Prcil Sucio y Seri Documeto elbordo por: M.Sc. Ig. Julio Césr ópez Zeró CICH46 4.-) Criterio l Comprció Ordiri Éste criterio cosiste e comprr l serie requerid e u ejercicio cotr u serie coocid (geométric, rmóic o serie p), que por lo geerl extríd poyádoos e los elemetos que coform el ejercicio ser ruelto y como l serie comprtiv u serie típic que y posee u tructur fiid por los postuldos mtemáticos perteeciet éste tem, etoc coocerímos tmbié si l mism covergete o divergete. 4..-) Si cidimos comprr el ejercicio cotr u serie coocid divergete, etoc bemos verificr el cumpieto l siguiete siguldd: serie ejercicio b b serie coocid divergete uego procemos simplificr lgebricmete siguldd y si obteemos como rultdo que l mism se cumple, etoc l serie ejercicio será clrd divergete porque fue comprd co u divergete coocid ; Cso cotrrio, NO pomos tblecer que l serie ejercicio covergete, úicmete bsdos e el icumpieto l siguldd; motivo por el cul se fcilit dos recomedcio procedimieto e los csos do l siguldd o se cumple: Seleccior y probr co otr serie coocid divergete ó Seleccior y probr co otro criterio covergeci pr seri positivs l l l extremos l serie it etr l co serie proput l serie l l 0 verdro comprtiv e el ejercicio que coocid l tomdo y e vist dich recomedc ió, pomos rmóic y como divergete refereci fiició; como l siguld d se cumple, etoc l serie l divergete l ser comprd co u serie coocid divergete trvés l criterio comprció ordiri por los elemetos Rume Teórico sobre Criterios Covergeci pr Seri Pági 7

8 Cálculo I Itegrl (MAT0), Secc.9 4to Trimtre, do Semtre 05; do Prcil Sucio y Seri Documeto elbordo por: M.Sc. Ig. Julio Césr ópez Zeró CICH ) Si cidimos comprr el ejercicio cotr u serie coocid covergete, etoc bemos verificr el cumpieto l siguiete siguldd: serie ejercicio b b serie coocid coverget e uego procemos simplificr lgebricmete siguldd y si obteemos como rultdo que l mism se cumple, etoc l serie ejercicio será clrd covergete porque fue comprd co u covergete coocid ; Cso cotrrio, NO pomos tblecer que l serie ejercicio divergete, úicmete bsdos e el icumpieto l siguldd; motivo por el cul se fcilit dos recomedcio procedimieto e los csos do l siguldd o se cumple: Seleccior y probr co otr serie coocid covergete ó Seleccior y probr co otro criterio covergeci pr seri positivs 5.-) Criterio l Comprció e el ímite Éste criterio cosiste e comprr l serie requerid e u ejercicio cotr u serie coocid (geométric, rmóic o serie p), que por lo geerl extríd poyádoos e los elemetos que coform el ejercicio ser ruelto y como l serie comprtiv u serie típic que y posee u tructur fiid por los postuldos mtemáticos perteeciet éste tem, etoc coocerímos tmbié si l mism covergete o divergete. Se (serie ejercicio) y b (serie coocid covergete o divergete) seri co térmios positivos, etoc: b 5.. ) 5.. ) 5.. ) si si si 0; etoc coverge si b diverge si b diverge 0 & b coverge, etoc & b diverge, etoc coverge y coverge. diverge. Rume Teórico sobre Criterios Covergeci pr Seri Pági 8

9 Cálculo I Itegrl (MAT0), Secc.9 4to Trimtre, do Semtre 05; do Prcil Sucio y Seri Documeto elbordo por: M.Sc. Ig. Julio Césr ópez Zeró CICH46 uego rolver el límite, bemos comprobr l rput cotr el quem mostrdo teriormete; Si e ddo cso, o posible tblecer u coicici co iguo los prámetros pretermidos, etoc NO se pue cocluir u rput putul/fiitiv sobre l covergeci/divergeci e relció l serie tudid e el ejercicio; motivo por el cul se fcilit dos recomedcio procedimieto e los csos do o existe coicici: Seleccior y probr co otr serie coocid covergete/divergete ó Seleccior y probr co otro criterio covergeci pr seri positivs extremos e y l cálculo filmete criterio serie l serie proput difereci l l e como 0, l serie comprció comprtiv mometo el e ejercicio, el coocid si que e vist lo terior, pomos it etr co l serie que u serie p coverget e porque p b límite plicdo trbjr tomdo u límit como herrmiet l if iito refereci los coverget e lg ebric elemetos por tudid Rume Teórico sobre Criterios Covergeci pr Seri Pági 9

10 Cálculo I Itegrl (MAT0), Secc.9 4to Trimtre, do Semtre 05; do Prcil Sucio y Seri Documeto elbordo por: M.Sc. Ig. Julio Césr ópez Zeró CICH46 6.-) Criterio l Ríz Se l serie tudir, el criterio l ríz cosiste e plicr el siguiete procedimieto: 6.. ) 6.. ) 6.. ) si si si ; etoc l serie bsolutme te coverget e. ó ; etoc l serie divergete. ; l prueb l ríz o cocluyet e. Cudo l prueb ríz o cocluyete, lmetblemete éste criterio o yud termir l covergeci o divergeci l serie tudid, motivo por el cul bemos probr co otro criterio. como, etoc coverget e por criterio ríz. Rume Teórico sobre Criterios Covergeci pr Seri Pági 0

11 Cálculo I Itegrl (MAT0), Secc.9 4to Trimtre, do Semtre 05; do Prcil Sucio y Seri Documeto elbordo por: M.Sc. Ig. Julio Césr ópez Zeró CICH46 7.-) Criterio l Cociete Se l serie tudir, el criterio l cociete cosiste e plicr el siguiete procedimieto: 7.. ) 7.. ) 7.. ) si si si ; etoc l serie bsolutme te coverget e. ó ; etoc l serie divergete. ; l prueb l cociete o cocluyet e. Cudo l prueb l cociete o cocluyete, lmetblemete éste criterio o yud termir l covergeci o divergeci l serie tudid, motivo por el cul bemos probr co otro criterio.!!! como e, etoc Defiicio mtemátic s!!!!!...!...!! divergete e por & criterio!! cociete. e e Rume Teórico sobre Criterios Covergeci pr Seri Pági

12 Cálculo I Itegrl (MAT0), Secc.9 4to Trimtre, do Semtre 05; do Prcil Sucio y Seri Documeto elbordo por: M.Sc. Ig. Julio Césr ópez Zeró CICH46 Bibliogrfí Utilizd pr l Coformció Teórico/Práctic l Coteido Proputo. Purcell, E. (009). Cálculo, ª ed. México. Perso Educció.. Sáchez, G.; Cstro, J. (00). Cálculo Itegrl (Ejercicios y Problems), ª ed. Istituto Tecológico y Estudios Superior Moterrey (ITESM). México. Thomso Editor. Stewrt, J. (00). Cálculo, Trscet Temprs, 4ª ed. México. Thomso Editor. 4. Zill, D. (994). Cálculo co Geometrí Alític, ª ed. México. Grupo Editoril Iberomeric. 5. Stewrt, J. (008). Cálculo u Vrible, Trscet Temprs, 6ª ed. México. Cegge erig Editor. 6. Edwrds, H.; Peey, D. (008). Cálculo co Trscet Temprs, 7ª ed. México. Perso Educció. 7. Thoms, G. (00). Cálculo U Vrible, ª ed. México. Perso Educció. 8. rso, R. (00). Cálculo U Vrible, 9ª ed. México. McGrw-Hill Educció. 9. Zill, D. (0). Cálculo U Vrible. Trscet Temprs, 4ª ed. México. McGrw-Hill Educció. 0. Cálculo Diferecil e Itegrl. Igeierí Mtemátic; Fcultd Ciecis Físics y Mtemátics. Uiversidd Chile. Stigo Chile.. Crrsco, P.; Torr, G. (008). Mtemátics IV Cálculo Itegrl, ª ed. México. Cegge erig Editor.. Cort, I. (978). Cálculo Elemetl. Uiversidd Nciol Experimetl Táchir. Táchir, Repúblic Bolivri Veezuel.. Rojs, D. Mtemátics II: Igeierí Mecáic y Químic. Istituto Uiversitrio Tecologí José Atoio Azoátegui. Repúblic Bolivri Veezuel. 4. Uiversidd Stigo Chile, (00-00). Pruebs cumultivs y exáme prcil Cálculo 000. Stigo Chile, Chile. 5. Jiméez, B. Cruz,. Mez, M. (009). Elemetos Cálculo Itegrl. ª ed. Istituto Tecológico y Estudios Superior Moterrey (ITESM). México. imus, Grupo Norieg Editor. JCZ09 D.R.05 Rume Teórico sobre Criterios Covergeci pr Seri Pági