Notas de Análisis I. Gabriel Larotonda. Parte 6: Integrales en R

Transcripción

1 Nots de Aálisis I Gbriel Lrotod Prte 6: Itegrles e R. Itegrles Vmos empezr est secció recordrddo l ide de áre e el plo. Todos teemos presete que ddo u rectágulo culquier R e el plo, su áre o superficie se clcul multiplicdo su bse por su ltur, A = b. Tmbié que el áre es idepediete de l posició del rectágulo, es decir que si lo movemos, rotmos, subimos, etc. su áre permece ilterd. Si teemos u figur más complicd, veces el áre l podemos clculr prtir de este hecho: el primer ejemplo es el de u triágulo rectágulo, dode A = b/2. Est fórmul se extiede todos los triágulos, dode hor l ltur está dd por u perpediculr l bse que pse por el vértice opuesto: A = 2 b + 2 b 2 = 2 (b + b 2 ) = b/2 b b 2 b = b + b 2 Qué ps si l curv que delimit el áre es más complicd, como por ejemplo e l regió delimitd por el eje de ls x y l fució y = x? Al áre compredid etre x = 0, x =, el eje x y l gráfic de f(x) = x podemos proximrl co rectágulos como idic l figur: y y = x y y = x A b i i x x Etoces el áre A es proximdmete l sum de ls áres de los rectágulos de ltur i y bse b i, es decir A i b i = f(x i )(t i+ t i )

2 dode x i es lgú puto e el itervlo [t i,t i+ ]. Cómo se ve, mietrs más rectáglos tomemos (es decir mietrs más subdividmos el itervlo), mejor será l proximció. A ests proximcioes se ls deomi sums prciles o sums de Riem. Es usul deotr i = [t i,t i+ ], uque co u buso de otció tmbié usremos i pr deotr el tmño del itervlo, es decir i = t i+ t i. Tmbié se ve e el cso prticulr de rrib que, como tommos siempre como ltur l puto más bjo de l curv, el áre que queremos clculr es siempre myor que uestr proximció. Surge turlmete el cocepto de sum superior. Defiimos cotiució formlmete ls sum iferior y superior socids u prtició, pr culquier fució cotd (o ecesrimete positiv): Defiició.. Se f : [, b] R cotd, y P u prtició del itervlo [,b] e pedzos P = i=0... [t i,t i+ ] = i=0... i = t 0 < t < < t i < t i+ < < t = b. L sum iferior de f e l prtició P es el úmero I( f,p) = i= dode m i es el ífimo de f(x) e el itervlo [t i,t i+ ]. m i (t i+ t i ) Si tommos siempre el supremo M i de f(x) e i se obtiee ls sums superiores S( f,p) = i= M i (t i+ t i ). Siguiedo co el ejemplo terior, u sum superior serí l siguiete: y y = x y A b i i x x Como se puede ver, e el cso de u fució positiv, ls sums superiores so tods proximcioes del áre bjo l curv (pretemete cd vez mejores) co l propiedd diciol de ser tods myores o igules l áre buscd. Diremos que l prtició P del itervlo [,b] es u refimieto de l prtició P si P se puede obteer de P subdividiedo los itervlos de P. Asimismo diremos que l orm de P es el tmño del itervlo más grde de l prtició. 2

3 Evidetemete, dd u prtició culquier P del itervlo, como m i M i pr todo i, se tiee siempre I( f,p) S( f,p). Algus propieddes secills que se deduce de este hecho: Proposició.2. Se f : [,b] R cotd. Etoces. Si P es u refimieto de P, etoces I( f,p ) I( f,p) y tmbié S( f,p ) S( f,p). 2. I( f,p) S( f,q) pr todo pr de prticioes P,Q. Demostrció. Observemos l siguiete figur, dode puede observrse que l refir l prtició, el áre cubiert por l sum iferior es cd vez myor: y y b x b x Si P refi P, etoces ddo u itervlo culquier i de P este se descompoe como u uió de itervlos de P, [t i,t i+ ] = i = j=...ki j = j=...ki [t j,t j+]. Etoces como m i m j pr todo j =...k i (pues el ífimo e u cojuto es meor o igul que el ífimo e u subcojuto), se tiee ( ) ki m i (t i+ t i ) = m i t j+ t j = m i (t k i j+ t j ) m j (t j+ t j ). j= Sumdo sobre i se tiee j= k i j= I( f,p) I( f,p ). Esto prueb que l refir l prtició ls sums iferiores umet. Co u rgumeto álogo se deduce que l refir l prtició ls sums superiores dismiuye. Pr probr el segudo ítem, tomemos P u refimieto e comú de ls prticioes P,Q. Este siempre se puede coseguir subdividiedo el itervlo e prtes más pequeñs que icluy los putos de corte de P y Q. Etoces por el ítem terior, lo que prueb que I( f,p) S( f,q). I( f,p) I( f,p ) S( f,p ) S( f,q), 3

4 Este resultdo os dice lgo importte: que ls sums superiores desciede (espermos que hst el vlor del áre buscd, e el cso de u fució positiv) y que ls sums iferiores sciede. Tomemos los siguietes cojutos de úmeros reles: I( f) = {I( f,p) : P es u prtició de [,b]} S( f) = {S( f,p) : P es u prtició de [,b]}. Estos cojutos puede ser o cotdos, pero si f es u fució cotd etoces so mbos cotdos, pues e cd itervlo íf( f) m i ( f) M i ( f) sup( f), dode íf( f) y sup( f) deot respectivmete l ífimo de f e [,b] y l supremo de f e [,b]. Multiplicdo por i y sumdo sobre i se tiee Pero luego íf( f) i i i m i ( f) i i M i ( f) i sup( f) i. i i = t t +t t 2 + +t 2 t +t t 0 = t t 0 = b, íf( f)(b ) I( f,p) S( f,p) sup( f)(b ). De hecho, como probmos que I( f,p) S( f,q) pr todo pr de prticioes P,Q del itervlo, etoces íf( f)(b ) I( f,p) S( f,q) sup( f)(b ). Si deotmos s = sup( f) e [,b], e l figur que sigue se represet l desiguldd S( f,p) s(b ) pr el cso prticulr de u f positiv: y s Gr( f) M i i s i = s(b ) b x Se defie l itegrl superior de f como el ífimo de ls sums superiores (sobre culquier prtició), y l itegrl iferior de f como el supremo de ls sums iferiores (sobre culquier prtició), es decir I ( f) = sup I( f), mietrs que I ( f) = ífs( f). 4

5 Si f es cotd, como íf( f)(b ) I( f,p) S( f,q) sup( f)(b ) pr culquier pr de prticioes, si tommos ífimo sobre prticioes Q (fijdo P) se deduce que íf( f)(b ) I( f,p) I ( f) sup( f)(b ). Pero como P tmbié er culquier, tomdo supremo sobre prticioes P se deduce que íf( f)(b ) I ( f) I ( f) sup( f)(b ). Es decir que e geerl, I ( f) I ( f). Diremos que f es Riem itegrble e [,b] si I ( f) = I ( f), y deotremos este úmero co el símbolo itegrl f = f(x)dx. U criterio pr decidir si u fució es itegrble es el siguiete: Proposició.3. Si f : [,b] R es cotd, etoces f es itegrble e [,b] si y sólo si pr todo ε > 0 existe u prtició P de [, b] tl que S( f,p) I( f,p) < ε. Demostrció. Supogmos primero que vle l codició. Etoces pr todo ε > 0 existe u prtició P tl que I ( f) I ( f) S( f,p) I( f,p) < ε, co lo cul I ( f) I ( f). Como l otr desiguldd vle siempre, f is itegrble. Supogmos hor que f es itegrble, etoces ddo ε > 0 existe por ls propieddes de ífimo y supremo u prtició P tl que Jutdo ests dos desigulddes se tiee como querímos. f I( f,p) < ε/2 y tmbié S( f,p) f < ε/2. S( f,p) I( f,p) < ε E prticulr tod fució costte es itegrble, y c dx = c(b ) = c dx. Tmbié se deduce que tod fució moóto y cotd es itegrble. 5

6 Proposició.4. Se f : [, b] R u fució moóto y cotd. Etoces f es itegrble e [,b]. Demostrció. Supogmos que f es creciete. Etoces dd u prtició, e cd itervlo de l prtició se tiee f(t i ) = m i, f(t i+ ) = M i co lo cul S( f,p) I( f,p) = i puesto que t 0 =, t = b y demás i (M i m i )(t i+ t i ) = [ f(t i+ ) f(t i )](t i+ t i ) i [ f(t i+ ) f(t i )]máx(t i+ t i ) = [ f(b) f()] P, f(t ) f(t 0 )+ f(t 2 ) f(t )+ f(t 3 ) f(t 2 )+ + f(t ) f(t ) = f(b) f(). Co lo cul si refimos l prtició, hciedo teder P 0, por l Proposició.3 deducimos que f es itegrble. El cso f decreciete es álogo. Teorem.5. Se f : [, b] R u fució cotiu. Etoces f es itegrble e [, b]. L demostrció l dejmos pr más delte, e el Corolrio.9. Ejemplo.6. U cso de fució o itegrble Riem es l fució de Dirichlet, defiid e el itervlo [0, ] como: si x Q f(x) = 0 si x / Q Si tommos u prtició culquier P del [0,], e cd itervlo i de l prtició tedremos por lo meos u úmero rciol y u úmero rciol. Por lo tto el supremo de f e cd i es, y el ífimo es 0. Co esto, ls sums iferiores pr culquier prtició d cero, mietrs que ls superiores d siempre. E cosecueci, f o es itegrble porque l itegrl superior I ( f) d y l iferior I ( f) d 0... Propieddes Puede ser útil, dd f, cosiderr ls siguietes fucioes positivs e [,b] que se obtiee prtir de f : f(x) si f(x) > 0 f + (x) = 0 e culquier otro cso f(x) si f(x) < 0 f (x) = 0 e culquier otro cso 6

7 Etoces podemos escribir f(x) = f + (x) f (x) pr todo x [,b]. No es difícil verificr (y qued como ejercicio) que, si f es cotd, etoces f es itegrble e [,b] si y sólo si f +, f so mbs fucioes itegrbles e [,b], y demás f = f + f. U de ls propieddes más útiles que tiee es que f(x) = f + (x)+ f (x) pr todo x [,b]. Algus propieddes útiles y secills de l itegrl: Proposició.7. Se f,g : [,b] R fucioes itegrbles. Etoces. Si α R etoces α f es itegrble, α f = α f. 2. f + g es itegrble, f + g = f + g. 3. Si c b etoces f es itegrble e [,c] y e [c,d] y demás f = c f + c f. 4. Si f g, etoces f g. 5. Si f es itegrble etoces f es itegrble y demás f f. Demostrció. Ls primers tres propieddes se deduce de escribir l defiició como límite de sums superiores. L curt propiedd se deduce de lo siguiete: si h 0 y h es itegrble, sus sums prciles so positivs y etoces h 0. Luego si f g, se tiee que g f 0 es u fució itegrble por los items y 2, y por lo recié dicho (g f) 0. Nuevmete por los ítems y 2, se deduce que g f 0. Por último, si f es itegrble, etoces f + y f so itegrbles. Luego f = f + + f es itegrble, y demás f = f + f f + + f = f + + f = f + + f = f. Tmbié es usul defiir (pr fucioes itegrbles e [,b]) 7

8 . f como b 2. x f = 0 pr todo x [,b]. f cudo > b, es decir y x f = f pr todo x,y [,b]. y Recordemos que tod fució cotiu e u cojuto compcto es uiformemete cotiu. Proposició.8. Si h : [,b] [c,d] es itegrble, y ϕ : [c,d] R es u fució cotiu, etoces ϕ h : [,b] R es itegrble. Demostrció. Como h es itegrble, ddo ε > 0 existe u prtició P de [,b] tl que S(h,P) I(h,P) = (M i m i ) i < ε. () Observemos que, como M i es el supremo de h e i, y m i es el ífimo, etoces M i m i = sup{h(x) : x i } íf{h(y) : y i } = sup{h(x) h(y) : x,y i }, puesto que l difereci etre el vlor más grde y más chico de h coicide co l difereci más grde de vlores de h. Como ϕ es uiformemete cotiu, ddo ε 2 > 0, existe δ > 0 tl que t s < δ e [c,d] implic ϕ(s) ϕ(t) < ε 2. Queremos probr que l siguiete ctidd es rbitrrimete pequeñ: S(ϕ h,p) I(ϕ h,p) = (M i m i ) i, dode M i, m i so respectivmete, el supremo y el ífimo de ϕ h e i. Notemos que, como tes M i m i = sup{ϕ(h(x)) ϕ(h(y)) : x,y i }. Cosideremos los dos cojutos de ídices de l prtició Si i A, etoces A = {i : M i m i < δ}, B = {i : M i m i δ} M i m i < ε 2 por l uiforme cotiuidd de ϕ. E cosecueci, i A (Mi m i ) i < ε 2 i ε 2 (b ). Es decir, eligiedo ε 2 pequeño podemos segurr que ls sums superiores e iferiores está t cerc como querrmos, siempre restrigiédoos l subcojuto de [,b] dode M i m i < δ. i A 8

9 Vemos que ps e el resto del cojuto. Como ϕ es u fució cotiu e u compcto, lcz máximo, es decir existe M > 0 tl que ϕ(x) M pr todo x [c,d]. E geerl, podemos segurr que M i m i = sup{ϕ(h(x)) ϕ(h(y)) : x,y i } 2M. Luego (Mi m i ) i 2M i = i B i B 2M δ δ i 2M i B δ (M i m i ) i < 2M i B δ ε por l ecució (). Así que eligiedo ε pequeño (o se eligiedo u prtició P suficietemete fi) podemos segurr que l difereci etre l sum superior y l iferior es t pequeñ como uo quier, tmbié e este cso. Luego podemos hcer que ls sums superiores esté t próxims ls iferiores como quermos, lo que prueb que ϕ h es itegrble. Corolrio.9. Se f,g : [,b] R. Etoces. Si f es cotiu etoces f es itegrble. 2. Si f es itegrble etoces f = f f f es itegrble pr todo N. 3. Si f, g so itegrbles etoces f g es itegrble. Demostrció. Pr ver. tommos h(x) = x, ϕ(x) = f(x) y usmos el teorem terior, pues ϕ h(x) = f(x). Que h es itegrble se deduce del hecho de que es u fució moóto y cotd e [, b]. Pr ver 2. tommos h = f, ϕ(x) = x. Pr ver 3. escribimos f g = 2 ( f + g)2 2 f 2 2 g2 y usmos que f + g es itegrble y el ítem previo co = 2. Observció.0. E geerl es flso que l composició de dos fucioes itegrbles result itegrble. U ejemplo está ddo por ls fucioes siguietes, mbs defiids e el itervlo [0,]: /q si x = p/q es rciol (y está simplificdo todo lo posible) f(x) = 0 si x / Q 0 si x = 0 g(x) = si x 0 Se defie f(0) = pr evitr mbigüeddes, uque o es muy relevte desde el puto de vist de l itegrl. Etoces f es itegrble (difícil, ver l Not I l fil de este cpítulo), g es itegrble (obvio), pero g f es l fució de Dirichlet, que como vimos o es itegrble. 9

10 Dd u fució cotiu e [,b], su restricció l itervlo [,x] pr culquier x [,b] sigue siedo cotiu. Luego es itegrble, y llmmos F(x) = f(t)dt fució primitiv de f. Est primitiv es u fució derivble, y su derivd coicide co f, resultdo coocido como Teorem Fudmetl del Cálculo Itegrl (TFCI): Teorem.. Se f : [,b] R u fució cotiu. Ddo x [,b], se F : [,b] R defiid como F(x) = f = f(t)dt. Etoces F es cotiu e [, b], derivble e (, b) y pr todo x (, b) se tiee F (x) = f(x). Demostrció. Se s = máx{ f(t) : t [,b]} (que es fiito porque f es cotiu). Vemos que F es cotiu e los bordes. Observemos que F() = 0. F(x) F() = f f = ífs( f,p) dode P es u prtició del itervlo [,x], es decir (si M i es el supremo de f(t) e el itervlo i ) F(x) F() S( f,p) = M i i s i = s(x ). i i Co esto es evidete que F(x) F() si x +. Por otro ldo, F(b) F(x) = f f = f f = ífs( f,p) s(b x) x x dode hor l prtició P es del itervlo [x,b]. Esto prueb que F(x) F(b) cudo x b. Tomemos hor u puto x 0 iterior del itervlo [,b]. Si x es otro puto culquier e (, b), clculmos F(x) F(x 0 ) x = f x 0 x f x = 0 f x x 0 x x 0 x x 0 Queremos ver que est expresió tiede f(x 0 ) cudo x x 0. Esto probrí que F es derivble, que F = f, y e prticulr F es cotiu e el iterior. Como f es cotiu etre x y x 0, existe dos úmeros reles (el máximo y el míimo de f llí) tles que m x f(t) M x pr todo t etre x 0 y x. Supogmos primero que x > x 0. Etoces itegrdo se tiee m x (x x 0 ) f M x (x x 0 ). x 0 0

11 Luego, como x x 0 > 0, m x f M x. x x 0 x 0 Cudo x x + 0, tto m x como M x tiede f(x 0 ), por ser f cotiu. Esto prueb que F(x) F(x 0 ) lím = f(x 0 ). x 0 + x x 0 Si x < x 0, co u rzomieto álogo se obtiee que el otro límite lterl tmbié d f(x 0 ). Hy que teer cuiddo solmete e el siguiete hecho: si x < x 0, etoces x x 0 < 0, luego ls desigulddes se ivierte. Etoces, dd u fució cotiu f, existe por lo meos u fució derivble tl que F = f. Cuáts puede hber? El siguiete lem muestr que o so muchs, e el setido de que o so muy distits tods ls que hy: Lem.2. Si F,G so fucioes cotius e [,b], derivbles e el iterior, tles que F (x) = G (x) llí, etoces existe u costce c R tl que F(x) = G(x)+c. Demostrció. Si H(x) = F(x) F(x), etoces H (x) = (F G) (x) = F (x) G (x) = 0 e el iterior, etoces por el teorem de Lgrge H es costte llí pues H(x) H(y) = H (c)(x y) = 0. Es decir, dos primitivs de f difiere lo sumo e u costte, o lo que es lo mismo, si uo cooce u primitiv F, etoces tods ls primitivs de f está dds por l fmili f = {F + c : c R}. Pr clculr u itegrl defiid bst ecotrr etoces lgu primitiv de f y se tiee f = F(b) F(). E efecto, esto es obvio si F es l primitiv hlld e el TFC, es decir, si F(x) = f. Pero si G es otr primitiv, etoces G = F + c y e cosecueci G(b) G() = F(b)+c (F()+c) = F(b) F() = Este resultdo se cooce como Regl de Brrow. Del teorem de rrib tmbié se deduce el teorem del vlor medio pr itegrles (TVMI), f.

12 Proposició.3. Si f : [,b] R es cotiu, etoces existe c (,b) tl que f = f(c)(b ). Demostrció. Bst plicr el teorem de Lgrge l fució F(x) = f : f = F(b) F() = F (c)(b ) = f(c)(b ) pr lgú c etre y b. Este teorem, cudo f es positiv, tiee coteido geométrico, pues os dice que el áre bjo el gráfico de f (etre y b) está dd por el áre de lgú rectágulo de bse b, cuy ltur f(c) es lgu ltur itermedi etre el míimo y el máximo de f e [, b]. y f(c) c b Gr( f) x L ide es que si tommos u rectágulo de bse [,b], y hcemos vrir l ltur etre el máximo de f y el míimo de f, e lgú mometo el áre obteid co el rectágulo coicide co el áre bjo el gráfico de f e [,b]. 2. Itegrles impropis Dd u fució cotiu e u itervlo [,b), podemos clculr su itegrl e culquier itervlo más pequeño. Surge l pregut de si existirá el límite de ests itegrles cudo el itervlo tiede l itervlo totl. Es decir, ddo x < b, pogmos F(x) = f(t)dt. Etoces podemos defiir l itegrl impropi como u límite, es decir f = lím x b + F(x), e el supuesto de que este límite exist. E este cso diremos que f coverge. Ls misms cosidercioes se plic pr el otro extremo. Ejemplo 2.. Cosideremos f(t) = t 2, que es u fució co u discotiuidd e t = 0. Etoces f = lím dt = lím 2 t 0 x 0 + x t x 0 + x = lím 2 2 x = 2. x 0 + Esto es, el áre ecerrd por el gráfico de f, los ejes, y l rect x = es fiit. 2

13 Qué ps si l discotiuidd está detro del itervlo y o e el borde? Por ejemplo, tomemos f(t) = t 2 3 e el itervlo [,] {0}. Teemos, por u ldo y por otro ldo y f(t)dt = 3t 3 x = 3(x 3 + ) si x < 0, f(t)dt = 3t 3 y = 3( y 3 ) si y > 0. E el cso prticulr e el que tommos x = y, se tiee y lím f(t)dt + f(t)dt = lím 3( y 3 + )+3( y 3) = 3+3 = 6. y 0 + y y 0 + Est mer de clculr u itegrl impropi (tomdo u itervlo simétrico lrededor de l discotiuidd) se cooce como vlor pricipl de l itegrl, es decir v.p. t 3 2 dt = 6. Hy que teer presete que e muchos csos modificdo el itervlo, se puede modificr este límite. Ejemplo 2.2. Tomemos f(t) = t e el itervlo [,]. Se tiee x v.p. t = lím x 0 + t dt + x t dt = lím l x l x = 0, x 0 + mietrs que si o mirmos el vlor pricipl, podemos obteer otro resultdo: 2x lím x 0 + t dt + x t dt = lím l 2x l x = l2. x Itervlos ifiitos El otro cso que os iteres es el de u itervlo ifiito, y se pies de l mism mer, es decir, como u límite. Ejemplo 2.3. Si f(t) = +t 2, etoces + 0 f(t)dt = lím f(t)dt = lím rctg(x) rctg(0) = π x + 0 x + 2. Nuevmete surge ls misms cosidercioes si hy dos ifiitos; si tommos u itervlo simétrico lrededor del cero diremos que es el vlor pricipl. 3

14 Ejemplo 2.4. Cosideremos f(t) = 2t. Etoces v.p. + +t 2 f(t)dt es el límite lím f(t)dt = lím x + x x + l(+t2 ) x x = lím x + l(+x2 ) l(+x 2 ) = 0 Por otro ldo, si o tommos u itervlo simétrico, el límite puede dr distito: 2x lím f(t)dt = lím x + x x + l(+t2 ) 2x x = lím x + l(+4x2 ) l(+x 2 ) = l4. Ejemplo 2.5. U cso relevte es el de l itegrl + t p dt = t p+ p+ x = x p p p t p dt, pr p > 0. Como pr culquier p > 0, p, l expresió de l derech tiee límite cudo x + si y sólo si p < 0. Qué ps si p =? E este cso l primitiv es el logritmo y por lo tto l itegrl diverge. E resume, l itegrl. coverge si p > 2. diverge si 0 < p Covergeci codiciol y bsolut Diremos que f coverge bsolutmete si f coverge. Si o es sí, pero l itegrl de f coverge, diremos que l itegrl de f coverge codiciolmete. El siguiete lem geerliz u ide que y desrrollmos pr sucesioes. Nos v resultr útil pr ls itegrles de fucioes positivs. Lem Se G : [, b) R u fució creciete (b puede ser + ). Etoces existe el límite lím G(x). Este límite es fiito si y sólo si G es cotd superiormete. x b + 2. Ls misms cosidercioes vle pr G : (, b] R y el límite lím x G(x). Demostrció. Vemos. Supogmos que G es creciete, se l = sup {G(x)}. Afirmmos que x [,b) l = lím G(x). E efecto, por defiició de supremo, ddo ε > 0 existe x x b + 0 [,b) tl que l G(x 0 ) < ε. Si b x = b x < δ = b x 0, etoces como x x 0 y G es creciete, G(x) G(x 0 ). Etoces l G(x) l G(x 0 ) < ε, lo que prueb que el límite existe y coicide co el supremo. E prticulr el límite es fiito si y sólo si G es cotd superiormete. L demostrció de 2. es álog. 4

15 Observció 2.7. U hecho importte es que, e el cso de fucioes itegrbles y positivs f 0, el Lem 2.6 os dice que el problem de covergeci se reduce probr que l itegrl f(t)dt está cotd, y que es u fució creciete de x. Teorem 2.8. Si f es cotiu e [,b), y f coverge bsolutmete, etoces coverge. Es decir, si existe lím x x b + f(t) dt y es fiito etoces existe lím x x b + f(t)dt y es fiito. Demostrció. Si lím x b + f(t) dt < +, etoces cd u de ls fucioes positivs f +, f debe verificr l mism codició. E efecto, e primer lugr como f es cotiu, es itegrble, y etoces mbs fucioes f +, f so itegrbles e [,x]. Pogmos F + (x) = f + (t)dt, F (x) = f (t)dt, F(x) = F + (x)+f (x). Como f(t) = f + (t)+ f (t), se tiee F(x) = f(t) dt. Ls tres fucioes F +,F,F so crecietes y positivs. Además como lím F(x) es fiito, F está cotd superiormete por este límite. x b + Etoces F + (x) F + (x)+f (x) = F(x) f(t) dt = lím F(x). x b + Esto prueb que F + (y co u rgumeto idético F ) es u fució cotd superiormete. Por el lem previo, existe los los límites l = lím F +(x) = lím f + (t)dt, x b + x b + l 2 = lím F (x) = lím f (t)dt. x b + x b + E cosecueci, como f = f + f, lím f(t)dt = lím f + (t)dt lím f (t)dt = l l 2. x b + x b + x b Criterios de comprció Dds dos fucioes positivs, f, g : [, b) R (b puede ser + ) si ls supoemos itegrbles e [, b), etoces l covergeci de g implic l covergeci de f siempre que f g. Más precismete: Proposició 2.9. Se f, g : [, b) R fucioes itegrbles (b puede ser + ) y o egtivs.. Si f(t) g(t) pr todo t [,b), etoces si g coverge, tmbié coverge f. 2. Si f(t) g(t) pr todo t [,b), etoces si f diverge, tmbié diverge g. 5

16 Demostrció. Tomemos F(x) = f(t)dt, y G(x) = g(t)dt. Ambs so crecietes e [,b), por ser f,g 0 llí. Además F(x) G(x) pr todo x [,b) por ser f g. Como g coverge, se tiee demás que G(x) g. Luego F es creciete y cotd, co lo cul tiee límite fiito cudo x b + por el Lem 2.6. El segudo ítem es cosecueci del primero. Corolrio 2.0. Se f,g : [,b) R fucioes itegrbles (b puede ser + ). Si f(t) g(t) pr todo t [,b), y l itegrl de g coverge bsolutmete, etoces tmbié coverge bsolutmete l itegrl de f, y si l itegrl de f o coverge bsolutmete etoces tmpoco coverge bsolutmete l itegrl de g. Teorem 2.. Si f,g so positivs e [,b), dode b puede ser +. Si lím Etoces. L es fiito y o ulo. Etoces f coverge si y sólo si g coverge. 2. L = 0. Etoces g < + f < L = +. Etoces g diverge f diverge. Demostrció. Ddo ε > 0, si L es fiito, se tiee (L ε)g(t) < f(t) < (L+ε)g(t) x b + f(x) g(x) = L existe. pr todo t tl que x 0 < t < b. Observemos que L 0 siempre que exist, por ser f,g positivs.. Si L o es cero etoces podemos elegir ε positivo de mer que L ε sig siedo positivo. Etoces por el criterio de comprció, se tiee que u es covergete si y sólo si l otr tmbié. 2. Si L = 0, el ldo izquierdo es egtivo por lo tto sólo podemos segurr que l covergeci de g grtiz l de f, y o l recíproc. 3. Si L = +, etoces ddo M positivo existe x 0 tl que f(t) Mg(t) pr todo x 0 < t < b. Si l itegrl de f coverge se deduce que l de g tmbié, si poder decir d sobre l recíproc. Observció 2.2. Los mismos resultdos vle si tommos itervlos (, b] dode hor el extremo izquierdo es bierto. 6

17 2.3.. Criterio itegrl de Cuchy E geerl, dd u itegrl impropi defiid e u itervlo, es posible decidir l covergeci de l mism comprádol co u serie decud. Recordemos primero lguos hechos elemetles de series. Se k u sucesió de úmeros reles y l sucesió de sums prciles. Etoces S =. k 0 o implic que l serie coverge. k k=0 2. Sí es cierto que si l serie coverge etoces k U serie de térmios positivos k 0 es covergete si y sólo si sus sums prciles está cotds, pues e este cso S es u sucesió creciete de úmeros reles. Teorem 2.3 (Criterio de comprció de Cuchy). Se f :[N,+ ) R u fució decreciete y o egtiv. Etoces l itegrl + N f coverge si y sólo si l sucesió de sums prciles S = k=n es covergete. Es decir, si llmmos k = f(k), l itegrl coverge si y sólo si l serie k coverge. Demostrció. Observemos que por ser f decreciete y positiv, pr todo k N se tiee f(k) k+ f(k+) f(t)dt f(k), k como se puede precir e l figur, pues l bse del rectágulo mide exctmete : y f(k) f(k+) Gr( f) k k+ x 7

18 Sumdo desde k = N hst k = se tiee k=n k N = k=n+ k + N f(t)dt Como k 0, l serie es covergete si y sólo ls sums prciles está cotds, y esto ocurre si y sólo si l itegrl de f está cotd, y como f 0 esto ocurre si y sólo si l itegrl es covergete. Corolrio 2.4. Combido el teorem previo co el Ejemplo 2.5, se deduce que pr p > 0, l serie coverge si y sólo si p >. k k p k=n k. Ejemplo 2.5. Observemos que, se(t 2 ) t 2 dt t 2 = t x = x cudo x +. Luego l itegrl + coverge bsolutmete, y e prticulr coverge. Por otro ldo, itegrdo por prtes, se(t 2 ) dt cos(t 2 )dt = se(t2 ) x x 2t + se(t 2 ) 2t 2 dt = se(x2 ) se() + 2x 2 2 se(x Como lím 2 ) x + 2x = 0, se deduce que + cos(t 2 )dt es covergete. t 2 se(t 2 ) t 2 dt. Si embrgo, como cos(x) es periódic, cotiu, y se mueve etre 0 y, existe δ > 0 tl que pr todo k N, siempre que x [kπ δ,kπ+δ]. Luego cos(x) 2 cos(t 2 ) 2 siempre que kπ δ t kπ+δ, pr culquier k N. Etoces como cos(t 2 ) es positiv, π+ π 2 cos(t 2 ) dt = δ kπ+δ k= kπ δ k= cos(t 2 ) dt. kπ+δ+ kπ δ k= 2 ( kπ+δ kπ δ) 8

19 Como kπ+δ+ kπ δ 2 kπ+δ 2 δ+π k pr todo k N, se deduce que π+ π 2 cos(t 2 ) dt C k=. k Est últim serie es divergete por el criterio de l itegrl, luego l itegrl de cos(t 2 ) o coverge bsolutmete. Como vimos tes, coverge si el módulo, luego l covergeci es codiciol Criterios de covergeci de series E geerl, si podemos comprr dos sucesioes de térmios positivos podemos rzor como e el cso de fucioes. Se tiee el siguiete resultdo, de demostrció secill que qued como ejercicio: Proposició 2.6. Se { k },{b k } dos sucesioes de térmios positivos. Si k b k prtir de u k 0, etoces. Si b k < etoces k <. 2. Si k diverge, etoces b k diverge. Ejemplo 2.7. U ejemplo importte y simple de serie, cotr l que es fácil comprr, es l llmd serie geométric: si c > 0, etoces l serie c k = +c+c 2 + c k 0 es covergete si c < y divergete si c. E efecto, si S = c k, se tiee k=0 Multiplicdo por c, de dode se deduce despejdo que S = +c+c 2 + c c. cs = c+c 2 + c 3 + +c + c + = S + c +, S = +c+c 2 + c 3 + +c = c+ c. E est expresió es evidete l firmció sobre l covergeci. Diremos que u serie coverge bsolutmete si es covergete. Dejmos pr más delte l demostrció del hecho siguiete: < <. Repsemos u pr de criterios útiles y coocidos por todos: 9

20 Proposició 2.8. Se { } u sucesió de úmeros reles.. Criterio de D Alembert (cociete). Si L = lím + existe, etoces L > k diverge, mietrs que L < k coverge bsolutmete. 2. Criterio de Cuchy (ríz eésim). Si C = lím existe, etoces C > k diverge, mietrs que C < k coverge bsolutmete. Demostrció.. Supogmos que L <. Elegimos ε > 0 chico tl que c = L+ε <. Etoces tommos 0 N tl que si 0, ε < + L < ε. (2) Despejdo del ldo derecho se deduce que + < (L+ε) = c. Como esto vle pr culquier 0, se tiee pr culquier p N 0 +p < c 0 +p < c 2 0 +p 2 <... < c p 0 = c 0+p 0 c 0 = Kc 0+p. Esto prueb que < Kc pr todo 0, y por el criterio de comprció co l serie geométric, como c <, se deduce que coverge bsolutmete. L demostrció de que diverge si L > es álog: hor hy que elegir ε > 0 tl que L ε >, y despejr del ldo izquierdo de l desiguldd (2). Iterdo uevmete, se compr (hor por debjo) cotr l serie geométric e c = L ε, que hor diverge. 2. L ide de l demostrció es similr. Ahor hy que observr que podemos coseguir 0 tl que 0 implic C ε < < C + ε, y co esto (C ε) < < (C + ε). Si ε es suficietemete pequeño, se cosigue C ε > 0. Qued como ejercicio termir de escribir l demostrció e este cso, comprdo l serie co ls series geométrics de C ε y C + ε respectivmete. Observció 2.9. E mbos csos, si el límite d o podemos usr el criterio. Pr coveceros, bst cosiderr = /, que os d u serie divergete, y dode / = L, mietrs que si cosidermos = / 2, os d u serie covergete, y tmbié 2 = L. 20

21 Necesitmos, tes de seguir, u resultdo fudmetl sobre sucesioes (que euciremos e prticulr pr series). Teorem Se { k } u sucesió de úmeros reles, S = k. Etoces existe el límite k=0 S = líms = k si y sólo si l col de l serie tiede cero. Es decir, si y sólo si ddo ε > 0, k=0 existe 0 N tl que, pr culquier p N, S 0 +p S 0 = 0 +p k= 0 + k < ε. Demostrció. Supogmos primero que l serie es covergete, es decir S S. Etoces, ddo ε > 0, existe 0 tl que S S < ε/2 pr todo 0, co lo cul y esto vle pr culquier p N. S 0 +p S 0 S 0 +p S + S S 0 < ε/2+ε/2 = ε, Supogmos hor que se verific l codició del teorem, es decir, l col tiede cero. E prticulr, se tiee, ddo ε =, que si 0 etoces S S S 0 + S 0 < + S 0 pr todo 0. Es decir, todos los térmios de l sucesió S, de 0 e delte, está cotdos por + S 0. Etoces tod l sucesió {S } es cotd pues los primeros térmios, que so fiitos, tmbié está cotdos. Se deduce que existe u subsucesió covergete, S k L cudo k. Afirmo que este úmero L es el límite de l serie. Pr verlos, ddo ε > 0, existe por l codició que es hipótesis u 0 N tl que S S 0 < ε/2 pr todo > 0. Como S k tiede L, tmbié existe u k 0 N tl que S k L < ε/2 si k k 0. Podemos supoer, grddo k 0, que k0 0. Etoces, si > 0 lo que prueb que S L cudo. S L S S k0 + S k0 L < ε/2+ε/2 = ε Observció 2.2. Se deduce fácilmete hor que l serie k coverge cudo k es covergete, pues +p k=+ k +p k=+ Est últim ctidd tiede cero cudo si l serie de los módulos coverge, por el teorem. Se deduce que l col de l serie tiede cero, y uevmete ivocdo el teorem, se deduce que l serie k es covergete. Este resultdo se suele mecior diciedo que l covergeci bsolut implic l covergeci de u serie, l igul que co ls itegrles. k. Ates de psr u plicció vemos u criterio pr series lterds. 2

22 Proposició Criterio de Leibiz (series lterds). Si 0, 0 y + < pr todo, etoces S = ( ) k k < +. Además S S < +, dode S es l sum prcil ( ) k k. k=0 Demostrció. Cosideremos l col, y supogmos que, p so pres pr simplificr. Todos los otros csos tiee idétic demostrció. Observemos que, como l sucesió k es estrictmete decreciete, cd uo de los térmios etre prétesis es estrictmete positivo: S +p S = +p k=+ ( ) k k = +p +p = ( + +2 )+( )+ +( +p +p ) = p +p = + ( ) ( +p +p ). El último térmio etoces siempre es meor que +. Esto prueb que S +p S < +, y como k 0, se deduce que l col tiede cero. Por el Teorem 2.20, l serie es covergete. Hciedo teder p ifiito se deduce que S S < +. Ejemplo Sbemos que l serie por el criterio de Leibiz l serie es divergete por el criterio itegrl. Si embrgo, ( ) = es covergete y su sum S difiere de S 2 = 2 e meos que 3 = 3. Este ejemplo tmbié os dice que l recíproc de lo eucido e l Observció 2.2 es fls, pues l serie coverge pero o coverge bsolutmete. 3. NOTAS I. L fució f defiid e [0, ], co f(0) = y dd por q si x = p q Q y p,q o tiee divisores comues f(x) = 0 si x / Q. es itegrble e [0,] y demás 0 f = 0. Pr probrlo, cotemos u poco: Cuátos úmeros rcioles p/q hy e (0,) co l propiedd de teer u úmero 2 e el deomidor? Úicmete uo, el úmero 2, pues si poemos e el umerdor 2 u úmero myor o igul 2, obteemos el úmero 2 2, que tiee fctores comues, o úmeros myores que. Cuátos úmeros rcioles 3 hy e (0,]? Hy dos, que so 3, 2 3, por los mismos motivos. 22

23 Cuátos úmeros rcioles 4 hy e (0,]? Hy dos, que so 4, 3 4, por los mismos motivos. Observemos que el 4 2 o hy que cotrlo pues o verific que p y q o tiee fctores comues. E geerl, hbrá los sumo j rcioles j e el itervlo (0,]. Luego, los que tiee deomidor meor que K, que se obtiee jutdo todos los de l list de rrib, so fiitos. Ddo ε > 0, usemos el criterio de itegrbilidd: lcz co ecotrr u prtició del [0,] dode S( f,p) I( f,p) < ε. Como e culquier itervlo de culquier prtició, hbrá siempre u úmero irrciol, está clro que ls sums iferiores d tods cero. Bst probr etoces que, ddo ε > 0, hy u prtició tl que l sum S( f,p) < ε. Tomemos K N tl que K < 2 ε. Por lo que observmos recié, hy fiitos úmeros rcioles o ulos r = p q e el itervlo [0,] tles que q < K, cotdo r =. Digmos que so N = N(K), los ordemos de meor myor y los ombrmos {r i } i= N, co r N =. Ahor tommos α suficietemete pequeño de mer que l siguiete sucesió resulte bie orded 0,r α,r,r + α,r 2 α,r 2,r 2 + α,r 3 α,,r N α,r N. Podemos defiir u prtició P del itervlo [0, ] de l siguiete mer: seprmos e itervlos que tiee rcioles co q < K y e itervlos que o tiee rcioles co q < K, como idic l figur: 2α r r 2 0 α r α r + α r 2 α r 2 + α α Es decir, tommos primero los itervlos k remrcdos e l figur, que so quellos de cho 2α, cetrdos e los putos r i (como por ejemplo [r α,r + α]). De estos hy N. Icluimos tmbié los itervlos [0,α] y [ α,]. Si los itervlos resttes los deomimos k, se observ que so quellos itervlos que qued etre medio (como por ejemplo [r + α,r 2 α]), dode o hy igú úmero rciol co q < K: r r 2 0 α r α r + α r 2 α r 2 + α α Esto defie u prtició P = { k } del itervlo [0,]. Clculemos S( f,p) = M k k, pero seprdo e dos térmios: S( f,p) = M k k + M k k, dode M k es el supremo de f e k, mietrs que M k es el supremo de f e k. Observemos que, como f(x) pr todo x [0,], se tiee e prticulr que M k pr todo k. Por otro ldo, como señlmos tes, e culquier de los itervlos k, culquier rciol es de l pit r = p q co q K, co lo cul: f(x) = 0 si x / Q, mietrs que f(p/q) = /q /K. Esto os dice que M k < 2 ε pr todo k. Co esto, S( f,p) k + ε 2 k. Ciertmete k pues estos itervlos so sólo u prte del [0,]. Por otro ldo, cd itervlo k tiee cho 2α, y hy N de ellos (e relidd so N y después hy que cotr ls dos mitdes de los extremos), co lo cul S( f,p) 2αN + ε 2. 23

24 Si elegimos (chicdo si es ecesrio) α de mer que α < 4N ε, se tiee S( f,p) < ε, que es lo que querímos probr. II. L fució f defiid e l ot terior verific l siguiete propiedd: pr culquier [0, ], se tiee lím x f(x) = 0. Pr probrlo, se [0,], ε > 0, y tomemos culquier úmero turl K tl que K < ε. Recordemos que por lo obsevdo e el item previo, los úmeros que tiee deomidor meor que K, que se obtiee jutdo todos los de l list de rrib, so fiitos. Esto quiere decir que tiee que hber lgú etoro ( δ,+δ) del puto e el itervlo [0,] dode o hy igú rciol p/q co q < K (co l posible excepció de p/q =, pero o import porque estmos mirdo el límite lím f(x), y x etoces el puto x = o os iteres). Pr coveceros de est últim firmció sobre el etoro, pesemos e l firmció opuest: serí decir que pr todo δ > 0 hy lgú rciol p/q co q < K y tl que p/q < δ; pero esto os permitirí fbric ifiitos de estos putos cotrdiciedo lo que cotmos teriormete. Ahor vemos que el límite es e efecto 0. Tomemos x co x < δ, x. Etoces si x / Q, se tiee f(x) = 0 por defiició y ciertmete f(x) < ε. Por otr prte si x Q, por como elegimos δ, debe ser x = p/q co q K, luego que es lo que querímos probr. f(x) = f(p/q) = q K < ε, E prticulr, observdo l defiició de f, result que f es cotiu e los irrcioles, y discotiu e los rcioles. Esto permitirí otr prueb de l itegrbilidd de f, pero pr ello ecesitrímos probr (y o vmos hcerlo quí) que u fució cotd, que es cotiu slvo u cojuto umerble de putos, es itegrble. Referecis [] R. J. Norieg, Cálculo diferecil e itegrl. Ed. Doceci, Bueos Aires, 987. [2] J. Rey Pstor, P. Pi Cllej, C. Trejo, Aálisis Mtemático. Vol. I. Ed. Kpelusz, 973. [3] M. Spivk, Cálculo ifiitesiml. Ed. Reverté,