LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD

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1 LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I º Bchillerto Alfonso Gonále IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics

2 I) IDEA INTUITIVA DE f() L (Ver págs del libro de teto) Ejemplo : L función f() no está definid en ; investigr, rellenndo ls siguientes tbls (medinte clculdor), su comportmiento en ls proimiddes de dicho punto, y eplicr gráficmente l situción: NUMÉRICAMENTE -,9,99,999 f(),,, f() f() f() f() ANALÍTICAMENTE En l práctic, los límites no se suelen clculr de est form, sino operndo: ( )( ) ( ) Es decir, nótese que l f() del enuncido se comport como l rect y, slvo en (punto en el cul no está definid); por lo tnto, su representción gráfic es: GRÁFICAMENTE f() Vemos que cundo ls se cercn - (flech iqd.; ª tbl) ls imágenes correspondientes tienden -, mientrs que cundo ls se cercn (flech dch.; ª tbl) ls imágenes correspondientes tienden. Y todo ello es independiente de que, ectmente en, l función no está definid. Conclusiones: º Pr que eist límite hn de coincidir los límites lterles. f º A efectos de, no hy que tener en cuent lo que ocurre ectmente en, sino en ls ( ) proimiddes; de hecho, hy csos en los que en un punto no eiste imgen pero sí límite (como en el ejemplo nterior), y est es precismente l utilidd del concepto de límite. º De todos modos, normlmente eisten límite e imgen, y mbos coinciden, como en el siguiente ejemplo:

3 Ejemplo : Dd f(), obtener numéricmente, medinte ls siguientes tbls, f() : -,9,99,999 f() f() y,,, f() f() f() Es decir, cundo ls se cercn - (flech iqd.; ª tbl) ls imágenes correspondientes tienden 4 -, mientrs que cundo ls se cercn (flech dch.; ª tbl) ls imágenes correspondientes tienden 4. En este cso, l función sí está definid precismente en, y su vlor es 4; es decir, en este ejemplo límite e imgen coinciden (lo cul, por cierto, es lo más hbitul). Vemos hor un ejemplo de función en el que no hy límite: - si < Ejemplo : Dd f() se pide: ) Representrl. b) Hllr f() gráficmente. si y y f() ( ) f() f() En este cso, l cercrnos - por l rm iquierd, ls imágenes tienden ectmente - (unque precismente en no tengn el vlor esperdo, sino ; de nuevo, téngse en cuent que efectos del límite no hy que tener en cuent lo que hce l función ectmente en el punto sino en sus proimiddes ), mientrs que l cercrnos por l rm derech, ls imágenes tienden ectmente. Por lo tnto, como no coinciden los límites lterles, el límite globl no eiste. Podrímos ver más ejemplos, pero todos ellos se resumirín en lguno de los 4 csos del siguiente esquem; v eistir límite cundo sólo en los tres primeros supuestos: f() f() L f() f() L f() f() f() f() f() [Lo más hbitul] [ f() L unque f() ] f() L f() / f() [ unque f() ]

4 f Como resumen: «A efectos gráficos, no v hber ( ) si en ls dos rms no coinciden» Ejercicios finl tem:,, Ejercicios libro: pág. 96: (función definid troos, nlíticmente) II) f(). ASÍNTOTA VERTICAL (Ver pág. 85 del libro de teto) Ejemplo 4: Vemos fácilmente que l función f() no está definid en ; investigr, rellenndo ( ) ls siguientes tbls (inténtese sin clculdor), su comportmiento en ls proimiddes de dicho punto, y eplicr nlític y gráficmente l situción: NUMÉRICAMENTE -,9,99,999 f(),,, f() f() f() f() ANALÍTICAMENTE En l práctic, se procede sí : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Gráficmente, l situción es l siguiente: GRÁFICAMENTE X A.V. Es decir, cundo ls se cercn - (flech iqd; rm iquierd) ls imágenes correspondientes tienden hcerse infinitmente grndes i.e., y cundo ls se proimn (flech dch.; rm derech) ls imágenes tienden tmbién. Y todo ello, volvemos insistir, es independiente de que concretmente en l función no está definid. Est es precismente l utilidd de l noción de límite: incluso unque l función no esté definid en un punto, el límite d cuent del comportmiento de l función en dicho punto. o - se conocen como infinitésimos.

5 En el ejemplo nterior, se dice que f() present un síntot verticl en. Observciones: º Cundo por sustitución direct en un límite obtengmos k/, utomáticmente tenemos que plnter límites lterles, pr discernir si el denomindor es o -, lo cul determinrá si el límite finlmente es o - (en función tmbién del signo de k). º Nótese que, l hor de clculr un límite, en el momento en que sustituymos en l función, desprece el símbolo de. Definición de síntot verticl: f() A.V. ( o ) Ejemplo 5: Estudir nlíticmente present l función? y eplicr gráficmente l situción. Qué síntot verticl Ejercicios finl tem: 4, 5 Ejercicios libro: pág. 85: y (nlíticmente); pág. 96: 8 (gráficmente) III) f() L. ASÍNTOTA HORIZONTAL (Ver págs. 8-8 y 86 del libro de teto) Ejemplo 6: Estudir, medinte l siguiente tbl de vlores, 5 f() 5 5 En l práctic, como, lógicmente podemos desprecir el efecto de sumr o restr un número finito, por lo cul podemos proceder de l siguiente form: 5 A.V. y 5 y A.H. 5 Es decir, cundo (o -), nos quedremos con el término de myor grdo del polinomio (lo que se conoce como término dominnte), y despreciremos términos de menor grdo. Nótese que esto sólo tiene sentido cundo (o -)! Ést será un técnic muy utilid pr clculr límites.

6 Gráficmente, l situción está indicd l mrgen. Es decir, cundo ls se hcen cd ve más grndes, ls imágenes correspondientes tienden proimrse cd ve más, pero sin llegr lcnr jmás el vlor. Se dice entonces que f() present un síntot horiontl de ecución y. (Por cierto que, por ls rones eplicds en el nterior prtdo, tmbién present un A.V. en 5). Definición de síntot horiontl: f() L y L ( o ) A.H. Observciones: º L gráfic puede cortr l A.H. pr vlores finitos de º En cmbio, l gráfic de un función nunc puede cortr un A.V. º En el próimo tem veremos un tercer tipo: ls síntots oblicus Ejercicio finl tem: 6 Ejercicios libro: pág. 8: (nlíticmente) IV) f(). RAMAS INFINITAS (Ver págs del libro de teto) Ejemplo 7: Obtener ( ) medinte l siguiente tbl de vlores: f() ( ) Es decir, cundo ls se hcen cd ve más grndes, ls imágenes correspondientes tienden hcerse tn grndes como quermos, como qued reflejdo en l gráfic djunt. En l práctic, y como y hemos comentdo en el prtdo nterior, cundo (o -) nos quedremos con el término de myor grdo del polinomio (lo que se conoce como término dominnte), y despreciremos términos de menor grdo: y ( ) De nuevo, dviértse que est form de proceder sólo tiene sentido cundo (o -), no cundo tiende un número finito. En el ejemplo nterior, se dice demás que f() present un rm infinit. Regl práctic: P() (o ) (o ) (tº de myor grdo) Ejercicio finl tem: 7 Ejercicios libro: pág. 8: ; pág. 96: 9 (gráficmente); pág. 87: y 4; pág. 88: y ; pág. 89: y 4 (nlíticmente)

7 V) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES º) «El límite -en cso de eistir- es único» [ ] g() º) f() ± g() f() ± es decir, «El límite de l sum (diferenci) es l sum (diferenci) de los límites». [ ] g() º) f() g() f() es decir, «El límite del producto es el producto de los límites». f() f() 4º) (siempre y cundo g() ) g() g() 5º) k k es decir, «El límite de un constnte es igul dich constnte» [ ] f() 6º) k f() k es decir, «Ls constntes multiplictivs pueden slir (o entrr) en el límite». g() g() 7º) Límite de un potenci: [f()] [ f()] Ejemplo: e e 8º) Límite de un rí: n n f() f() 9º) Límite de un logritmo: log f() log f() VI) LÍMITES INFINITOS E INDETERMINACIONES SUMA Y RESTA: k -INDTDO. --- Nótese que no podemos concluir que - se siempre igul, puesto que mbos pueden ser, en generl, de distinto orden ; por lo tnto, el resultdo de - tendrá vlores distintos dependiendo de cd ejemplo concreto, y se dice entonces que su resultdo es indetermindo, o bien que se trt de un indeterminción. L myor prte de ls indeterminciones se deshcen operndo. Vemos un sencillo ejemplo justifictivo: INDTDO. Es decir, en este cso concreto - h resultdo ser igul, pero veremos muchos más ejemplos en los que puede resultr otro número (incluido, por supuesto ), o, o -, o incluso no eistir. Tods ests propieddes son válids independientemente de que o un vlor finito. Pueden consultrse ls demostrciones de ests propieddes en el libro de teto. En el cso de un incógnit, sí es cierto que -, o -, etc. es obvimente igul cero; hor bien, dviértse que en el cso de - estmos hblndo de límites, es decir, mbos no tienen por qué ser ectmente igules, sino que pueden ser de distinto orden.

8 PRODUCTO: (-)- - (-) si k > k INDTDO. si k si k < Vemos un ejemplo justifictivo de l indeterminción nterior: INDTDO. COCIENTE: k operr y/o hcer lterles - si k si k > si k < IN D T D O. k hcer lterles k ± ± IN D T D O. Vemos ejemplos prácticos de lgunos de los csos nteriores: ) [( ) ] ( ) b) INDTDO c) ( )( - ) INDTDO ( ) - d) / (o bien, ±) e) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 ( ) 4 4 Como conclusión, hemos visto un serie de indeterminciones que podemos resumir en cutro 4 :, ±, (±), - ± Ejercicios finl tem: 8, 9 Ejercicios libro: pág. 78: y ; pág. 96: (no indetermindos); pág. 8: ; págs. 96 y ss:, 6 y 7 (indeterminciones sencills) 4 El próimo curso veremos ls indeterminciones de tipo eponencil: ±, (±),

9 VII) CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS º) Límites de polinomios: P() (o ) (tº de myor (o ) grdo) Un ejemplo serí el ejercicio 7 y relido. Ejercicios libro: pág. 96: 5 y 6 º) Límites de cocientes de polinomios: ) P() «Se resuelve fctorindo numerdor y denomindor (hbitulmente por Ruffini) y Q() einndo continución el fctor - que figur repetido en mbos términos de l frcción» (Ver págs. 8 y 8 del libro de teto) Ejemplo: 8 ( )( 4) 4 6 INDTDO ( )( ) Ejercicio finl tem: Ejercicios libro: pág. 8: 4; págs. 96 y ss.:, 4, 7, y b) P() «Se resuelve recurriendo en numerdor y denomindor los términos de myor grdo Q() de cd polinomio 5» (Ver pág. 84 del libro de teto) Ejemplos: Hy tres posibiliddes: ) 4 INDTDO 4 b) INDTDO c) INDTDO Ejercicios finl tem:,, y 4 Ejercicios libro: pág. 84: 4 y 5; págs. 96 y ss.: 7 (resolución de un indeterminción) págs. 97 y ss.:, 4, 5 y (cálculo de síntots) º) Límites de funciones irrcionles: ) «Se resuelve multiplicndo numerdor y denomindor por el conjugdo 6 de l epresión rdicl, y operndo continución» (NOTA: Cso de eistir dos epresiones rdicles, un en el numerdor y otr en el denomindor, hbrí que relir el procedimiento nterior dos veces, un por cd epresión) 5 Eiste otr form lterntiv, en generl más lborios, que consiste en dividir numerdor y denomindor por l myor potenci de que prec en mbos polinomios. 6 El conjugdo de un binomio rdicl consiste en cmbir el signo intermedio de éste; por ejemplo, el conjugdo de es

10 Ejemplo: ( )( ) ( )( ) ( )( ) INDTDO ( ) b) «Se resuelve dividiendo numerdor y denomindor por l myor potenci efectiv 7 de que prec en culquier de ls epresiones» Ejemplo: INDTDO Obsérvese en el ejemplo nterior dos detlles importntes: L entr dividiendo en un rí cudrd tmbién dividiendo, pero l cudrdo. El hecho de dividir por l myor potenci efectiv de nos grnti que los límites prciles que precen l finl serán siempre cero. c) «Se resuelve: º) Multiplicndo y dividiendo por el conjugdo de l epresión rdicl, y operndo continución; en lgunos csos (cundo el numerdor resultnte depend de ), como l indeterminción no desprece sino que ps ser /, demás hy que recurrir l siguiente pso: º) Dividiendo continución numerdor y denomindor por l myor potenci efectiv de» ) b) Ejemplos: ( ) ( )( ) INDTDO ( ) ( )( ) INDTDO INDTDO 7 El djetivo «efectiv» lude l hecho de que hy que tener en cuent que, por ejemplo, en l epresión, l no se comport como sino, de form efectiv, como

11 Nótese que en el primer ejemplo h bstdo con plicr el primer pso del procedimiento, mientrs que en el segundo h hbido que plicr los dos psos. CONSEJO: En los csos en que -, se recomiend hcer el cmbio de vrible -, que hce que, como puede verse en el siguiente ejemplo: cmbio de vrible - INDTDO Ejercicios finl tem: 5, 6 Ejercicios libro: pág. 99: 47 y 49 VIII) CONTINUIDAD (Ver pág. 76 del libro de teto) Intuitivmente, un función es continu cundo se puede dibujr sin levntr el lápi del ppel. Más formlmente, se define función continu en un punto de l siguiente form: f() continu en f() f() Es decir: Un función es continu en un punto si el límite coincide con l imgen en dicho punto. A efectos prácticos, pr estudir si un función es continu en un punto, hy que comprobr: ) que eist imgen ) que eist límite ) y que mbos coincidn (En cso de no ser continu en un punto, se dice que es discontinu). Por etensión, diremos que un función es continu en un intervlo cundo lo es en todos los puntos de dicho intervlo. Vmos recordr de nuevo el esquem-resumen visto en el prtdo I del tem, e investigr en cd uno de los cutro csos si l función es continu en, pr lo cul plicremos los tres requisitos de l continuidd rrib menciondos; observmos que l función es continu en sólo en el primer supuesto:

12 f() f() L f() f() f() f() CONTINUA en f() f() L f() DISCONTINUA en f() L f() f() f() f() L f() f() DISCONTINUA en / f() f() DISCONTINUA en Nótese que en el último cso l función es discontinu, independientemente de que eist o no imgen. Este hecho conduce los siguientes 5 tipos de discontinuiddes: f ) Evitble: «l función no es continu en, pero finito»; se llm evitble porque podemos redefinir f() f() supuestos º y º nteriores. ( ) de modo que l función psrá ser continu. A este tipo responden los ) De ª especie: Eisten tres tipos:.) De slto finito: «Eisten mbos límites lterles y son finitos, pero no coinciden». El slto viene ddo por l diferenci entre los límites. A este cso pertenece el 4º gráfico..) De slto infinito: «Un límite lterl es finito y el otro infinito». Se present entonces un síntot verticl, pero por un ldo. Gráficmente, l situción es l siguiente: f() A.V. f() y f() f() -

13 .) Asintótic: «Los dos límites lterles son infinitos». Se d entonces un síntot verticl, por mbos ldos. Gráficmente, l situción puede ser l siguiente: f() A.V. o bien: f() A.V. - f() y f() - f() f() ) Esencil, o de ª especie: «Uno, o los dos límites lterles, no eiste» 4 Ejemplo 8: Dd f(), estudir su continuidd en Aplicndo los tres requisitos de l continuidd, vemos que fll el º, y que f() continu R-{} f() f() es discontinu en (Nótese que ello es independiente de que eist límite, como de hecho ocurre: / 4 ( )( ) ( ) 4 IN D T D O. Por lo tnto, se trt de discontinuidd evitble, es decir, bstrí redefinir l función de l siguiente form: 4 f() 4 si si pr que psr ser continu en Ejercicio : Representr ls siguientes funciones, y estudir su continuidd. Cso de presentr discontinuiddes, clsificrls rondmente: ) f()

14 b) f() ln si si > c) f() Continuidd lterl: Se dice que un función es continu por l derech bjo l siguiente condición: f() continu en f() f() Análogmente se define l continuidd por l iquierd. Observciones: º Obvimente, - f() continu en y f() continu en º L continuidd lterl se suele plicr funciones definids por rms (ver, por ejemplo, el ejercicio 8, o l pág. 79 del libro) Ejercicios finl tem: 7 y ss. Ejercicios libro: pág. 75:, b, c;, b; págs. 95:, y 4 (funciones definids por epresión nlític) pág. 75: d; c, d; págs. 95 y ss.: 5, 6, 7, 4, 5 y 9 (funciones troos) pág. 95: (funciones troos, gráficmente) pág. 79: ; pág. 98: 8 y 4 (hllr k pr que un función troos se continu)

15 ln 4 f 5 EJERCICIOS de LÍMITES DE FUNCIONES y CONTINUIDAD. Clculr los siguientes límites no indetermindos : ) 4 b) c) 4 f) e log g), h) 4 d) i) 4 e) j) 4. Dd l gráfic de l figur, indicr si eiste f() en los siguientes csos: ) Cundo b) Cundo c) Cundo 4 d) Cundo 5. Representr l función si < 4 si < si y obtener nlíticmente f() cundo,, 5,, - 4. Ddos los siguientes límites, se pide: i) Clculrlos. ii) En cso de deducirse de ellos l eistenci de A.V., indicr su ecución. iii) Eplicr gráficmente el comportmiento mbos ldos de l hipotétic síntot: ) 4 b) c) d) 4 e) ( )( 4) ( )( 5) f) g) ( )( ) k) 6 8 l) h) 5 6 m) h); i)±; j)±; k)±; l)±; m)±) i) j) (Soluc: ); b)-; c)±; d)±; e)±; f) ; g)±; 5. ) Si l gráfic de un función f() es l de l figur, verigur f() cundo,,,, b) Qué rects son síntots? b Es decir, se pueden hcer por sustitución direct, y que límite e imgen coinciden.

16 5 7 ALFONSO GONZÁLEZ 6. f() g() ) Dds ls funciones cuys gráfics precen en ls figurs, clculr sus límites cundo,,, 4,, - h() b) Cuáles son ls síntots en cd gráfic? Clculr los siguientes límites de funciones polinómics: ) b) c) 7 d) 7 e) i) f) j) 5 g) h) (Soluc: ) 7; b) ; c) ; d) ; e) ; f) -; g) ; h) -; i) ; j) ) 8. Clculr: ) b) c) 5 d) 5 e) f) g) h) i) j) 9 l) k) e p) ( ) ln u) e q) ( ) v) log m) n),5,5 o) log r) e s) e t) ln w) ln ) log y)

17 ) log α) ε) ln ζ) e β) log η) ln γ) log δ) sen sen θ) (Soluc: ) ; b) ; c) 4; d) 5; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) 5; k) ; l) ; m) ; n) ; o) ; p) ; q) ; r) ; s) ; t) ; u) -; v) ; w) ; ) ; y) -; ) ; α) ; β) ; γ) ; δ) -; ε) -; ζ) -; η) ; θ) ) 9. Clculr los siguientes límites por sustitución direct y, en lgunos csos, operndo: b) ( ) c) d) e) 4 g) (Soluc: ) -; b) ; c) ; d) -; e) ; f) ; g) ) ) ( ) f) Resolución de indeterminciones:. Clculr los siguientes límites de funciones rcionles (nótese que en el º miembro de l iguldd se indic l solución): 8 ) 4 b) 4 7 c) 4 d) e) f) ± 5 9 g) 4 h) ± i) ± / j) k) b b b b 5b b b l) m) n) o) p) q) r) s) ± 5 6 ± ± NOTA: Cundo señlmos que el resultdo de un límite es ±, no estmos indicndo que hy dos límites (recordr que el límite, cso de eistir, es único), sino que, mbos ldos de un vlor finito, l función diverge o -. Clculr los siguientes límites infinitos (en lgunos csos figur l solución): ) 8 4 b) 4 c) 4 d) e) 4 5 9

18 f) g) h) i) j) k) b b b 5b b l) 5-6 m) n) o) p) q) r) s) t) En un empres se h comprobdo que el número de uniddes diris producids depende de los dís trbjdos, de cuerdo con l siguiente función: N t t t 4 (donde t viene epresdo en dís) ) Cuánts uniddes se producen el primer dí? Y el décimo? b) Representr l función N(t). Qué ocurre si el período de producción se hce muy grnde?. Siendo f(), g() y h(), hllr: ) g() ± b) h() e) [ f() g() ] ± f) g() c) [ f() g() ] d) g) [ ] f() g() h() 4. Hllr un función f() que cumpl l ve f() y f() 4 5. Clculr los siguientes límites de funciones irrcionles (en el º miembro de l iguldd se indic l solución): ) e) ( ) i) m) b) f) j) ( )( ) n) ( ) c) ( ) g) k) o) d) 4 h) ( ) l) ( ) p)

19 q) u) y) 6 5 r) v) ( ) ) ( ) / s) 5 t) w) ) 6. Clculr los siguientes límites, plicndo el procedimiento propido en cd cso (en el º miembro de l iguldd se indic l solución): ) d) g) j) ( ) b) e) ( ) h) k) c) f) 5 6 i) l) 4 5 Continuidd: RECORDAR: f() continu en f() f() Es decir: Un función es continu en un punto si el límite coincide con l imgen en dicho punto. A efectos prácticos, pr estudir si un función es continu en un punto, hy que comprobr: ) que eist imgen ) que eist límite ) y que coincidn 7. Indicr en qué puntos son discontinus ls funciones cuys gráfics se muestrn en los ejercicios gráficos, 5 y 6, ronndo el porqué e indicndo el tipo de discontinuidd. 8. Estudir l continuidd de ls siguientes funciones, indicndo el tipo de discontinuidd: ) f() b) f() 5 6 c) f() d) f() sen e) f() f) f() 6 g) i) f()log () j) f()ln( -4) k) f()ln( 4) f() 4 h) f()tg (Soluc: ) discont. sintótic en ; b) discont. sintótic en y ; c) continu R; d) discont. sintótic en n π donde n Z; e) continu en [,); f) continu en (-,-] [, ); g) continu R; h) discont. sintótic en (n) π/; i) continu en (-,) ; j) continu en (-,-]U[, ); k) continu R)

20 9. Estudir l continuidd de ls siguientes funciones (cso de presentr discontinuiddes, clsificrls) y representrls gráficmente: ) si f() si < b) si < f() si si > c) si (,) f() si (, ) d) si f() 6 si > e) f() si (,) si [, ) si < f) f() si < 4 si 4 si g) f() si < si > h) si (,) f() Ln si [, ) i) f() e si si > (Soluc: ) discont de slto finito en ; b) discont evitble en ; c) discont evitble en ; d) continu R; e) discont sintótic en y de slto finito en ; f) discont. de slto finito en y 4; g) discontinu de slto finito en ; h) continu R; i) discont. de slto finito en ). TEORÍA: ) Se puede clculr el límite de un función en un punto en el que l función no está definid? Puede ser l función continu en ese punto? Ronr l respuest con ejemplos. b) Puede tener un función dos síntots verticles? En cso firmtivo, poner lgún ejemplo. c) El denomindor de un determind función se nul en Present necesrimente un síntot verticl en? Poner ejemplos. d) Puede tener un función más de dos síntots horiontles? Por qué? e) Si f() 5, podemos firmr que f() es continu en?. Probr que l función f() 7 8 no es continu en e indicr qué tipo de discontinuidd present en dicho punto. (Soluc: no es continu pues / f(); discontinuidd evitble). Considerr l siguiente función: f() ) Es discontinu en lgún punto? Por qué? b) En l función no está definid. Amplir est función de modo que se continu R. (Soluc: discontinu en pues / f(); bst hcer f()). L función f() no está definid en. Hllr el vlor de pr que se posible definir el vlor de f(), resultndo sí un función continu. (Soluc: -; f()6)

21 f f ALFONSO GONZÁLEZ 4. Hllr el vlor de k pr que l función se continu R. (Soluc: k6) 9 si f() k si 5. Estudir l continuidd de l siguiente función: (Soluc: discontinu sintótic en ) f si / 5 / si / 5 6. Clculr cuánto debe vler pr que l siguiente función se continu R: (Soluc: ) f si si > 7. Se consider l función Ln si < < b si < Determinr los vlores de y b pr que f() se continu y f() (Soluc: y b-) 8. Dd l función si < si b si < hllr y b pr que l función se continu y dibujr l gráfic de l función. (Soluc: y b-) 9. Dd l función si f() m n si < si > hllr los vlores de m y n pr que f() se continu (puede ser útil dibujr l gráfic). (Soluc: m, n). Ídem: (Soluc: -/, b-) si f() si b si

22 . Ídem: (Soluc: -, b) < ln( b) si si f() 4 si <. Ídem: (Soluc: -5, b54, c) si < f() c si < 5 si 5 b si <