La Integral Definida I

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Encarnación Aguilar Belmonte
hace 5 años
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1 La Integral Definida I Anteriormente habíamos estudiado el concepto de antiderivada o integral indefinida. Habíamos mencionado que el símbolo para representar a la operación de antiderivada era, y este símbolo es una S alargada. Por qué es una S alargada? Para qué estudié antiderivadas? Introduciré una nueva definición, un nuevo concepto. Estudiaremos la Integral Definida. Para no introducir un concepto muy abstracto, resolveremos un problema para introducir el concepto de manera más clara. Aproximaremos el área bajo una curva. Mira la gráfica de abajo. Lo primero que haré es dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos de longitud x como se muestra (estoy asumiendo que todos los intervalos tienen la misma longitud). Ya que estoy dividiendo el intervalo [a, b] en n intervalos de igual longitud entonces, x = b a n Llamaré a cada punto del eje x 1, x 2,...x i (lo que quiero decir es que i = 1, 2,...), por eso tiene sentido que también pueda escribir x = x i x i 1. Ahora escogeré un punto que esté en la mitad del intervalo [x i 1, x i ] y le llamaré x i. 1

2 Ahora, coloco un rectángulo como se muestra en la gráfica de abajo. Observa que la base del rectángulo es de longitud x (recuerda que todos los intervalos miden lo mismo) y la altura será la función evaluada en el punto medio (x i ) del intervalo, en otras palabras la altura es f(x i ). El área A i de ese rectángulo es A i = f(x i ) x Lo que haré ahora es colocar más rectángulos como se muestra abajo. Llenando el área bajo la curva de rectángulos, puedo aproximar el valor de dicha área. 2

3 Si el área bajo la curva f(x) es A y el área de cada rectángulo es A i entonces A A 1 + A 2 + A A n = f(x 1) x + f(x 2) x f(x n) x Expresando esto con una sumatoria, n A f(x i ) x i=1 Esto es solo una aproximación, Cómo encuentro el valor exacto? Mira (en las gráficas de abajo) que a medida aumento la cantidad de subintervalos la aproximación se vuelve más y más exacta. Sucede lo mismo si hago el intervalo x muy muy pequeño.

4 Por eso el valor exacto del área será A = lim n i=1 n f(x i ) x 4

Definición: Si f se define en el intervalo cerrado [a,b] y el límite lim n i=1 n f(x i ) x existe, entonces f es integrable en [a,b] y el límite se denota lim n i=1 n f(x i ) x = b a f(x)dx Este

5 Definición: Si f se define en el intervalo cerrado [a,b] y el límite lim n i=1 n f(x i ) x existe, entonces f es integrable en [a,b] y el límite se denota lim n i=1 n f(x i ) x = b a f(x)dx Este límite es llamado integral definida, donde a es llamado límite inferior y b límite superior. La Integral Definida es el límite de la sumatoria mostrada. El área bajo la curva f es una manera de interpretar este límite. Como dije anteriormente, esto es solo un problema a resolver. Este límite aparecerá en repetidas ocasiones, haciendo la integral definida una de las herramientas más importantes de ciencias físicas e ingenieriles (en aplicación). Utilizaremos la interpretación de área bajo la curva para evaluar algunas integrales definidas. Ejemplo 1: Cuál es el valor de f(x)dx = dx? La integral dx puede ser interpretada como el área bajo la curva y = (o bien f(x) = ), desde x = hasta x = 2 (todo mostrado en la figura). Graficando f(x), encuentro que el área sombreada 5

6 es un rectángulo de base 2 y altura. El área de este rectángulo es 2 = 6. Ya que el área de la región sombreada (el rectángulo) es 6, entonces dx = 6 Ejemplo 2: Cuál es el valor de x dx? En este caso la curva es y = f(x) = x (graficada abajo). Gráficamente, obtengo un triangulo de base y altura. Mira que la altura la determiné evaluando la función en x = (f() = ). Con eso puedo calcular el valor de la integral. El área del triangulo será 1 2 (base)(altura) = 1 2 ()() = 9 2. Puedo decir entonces que: x dx = 9 2 Listo! Existe un teorema que nos permite relacionar la integral indefinida (antiderivada) a la integral 6

7 definida. Este teorema nos permite evaluar una integral definida. No demostraré el teorema en este documento. Teorema Fundamental del Cálculo: Si f es integrable en [a,b], y F es la antiderivada de f entonces b a f(x)dx = F (b) F (a) Antes de explicar el teorema, te diré que otra manera de escribir f(b) f(a) es f(x) b a. b a f(x)dx = F (x) b = F (b) F (a) a Para evaluar una integral definida lo que harás es encontrar la antiderivada F (x) de la función f(x) y la evaluarás en a y b como se muestra en el teorema. Nota: Antes de resolver una integral definida, recomiendo que revises si la función es continua en el intervalo de integración. Por ejemplo, x dx Puedes ver que le pasa a la función en el intervalo [ 1, 1]? Los métodos para evaluar este tipo de integral serán discutidos más adelante. Ejemplo : Resuelve el ejemplo 1 utilizando el teorema mencionado. a.) Me aseguro que la función esté definida en el intervalo de integración. La función en este caso f(x) = y está definida en el intervalo [,2]. b.) Encontraré la antiderivada de la función f(x) = 7

8 dx = x + C c.) Evalúo la antiderivada en cada límite de integración como lo señala el teorema. dx donde F (x) = x + C dx = F (2) F () dx = F (2) F () = [(2) + C] [() + C] = 6 + C C = 6 Nota: La constante de integración siempre se eliminará (como se muestra arriba) al momento de usar el teorema para evaluar una integral definida. Por eso, de ahora en adelante no la incluiré al momento de evaluar una integral definida. Ejemplo 4: Resuelve el ejemplo 2 usando el teorema mencionado. a.) Encuentro la antiderivada de la función. xdx = x2 2 + C b.) Evalúo la integral. xdx = x2 2 = = 9 2 8

9 Ejemplo 5: Integra (t 2 + t 1) dt Puedo separar la integral en varías integrales. Cada una tendrá los mismo límites de integración. (t 2 + t 1) dt = t 2 dt + tdt dt Integrando, t 2 dt + tdt dt = t 5 + t2 5 t 5 ( 5 = 2 ) ( 5 2 ) ( ) entonces, (t 2 + t 1) dt = Si gustas, puedes escribir la integral como (t 2 + t + 1)dt = [ t + t2 2 t] 5 y luego evaluar. Fin! 9

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