CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACIÓN

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1 CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACIÓN En los capítulos anteriores se analizó el cálculo diferencial, el cual trata sobre la tasa de cambio de las funciones. Diferenciación es el proceso de hallar la derivada F (x) de una función F(x). Sin embargo, algunas veces en economía se conoce la tasa de cambio de una función F (x) y lo ue se desea es obtener la función F(x) o la función original. Así, el proceso inverso de la diferenciación es denominado integración o antidiferenciación. De esta forma, la función original F(x) es llamada integral o antiderivada de F (x). En general, las integrales pueden clasificarse en indefinidas y definidas. 5.1 Integral Indefinida Haciendo f (x) = F (x), la antiderivada de f (x) se expresa matemáticamente como: ( ) ( ) f x dx = F x + c (5.1) El lado izuierdo de la expresión (5.1) se lee: la integral indefinida de f de x con respecto a x. El símbolo integración. denota una integral mientras ue c es la constante de Reglas básicas de integración a) Regla 1: La integral de una constante k es: kdx = kx + c (5.) Ejemplo dx = 5x + c b) Regla : La integral de una potencia es: n 1 n+ 1 xdx= x + c n+ 1 (n 1) (5.) Ejemplo xdx= x + c CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 15

2 c) Regla : la integral de una función exponencial es: kx kx a a dx = + c (5.) klna Ejemplo 5-. x x dx = + c ln d) Regla : La integral de una función exponencial natural es: kx kx e e dx = + c (5.5) k Ejemplo 5-. x x x 9e 9e dx = 9 e dx = + c e) Regla 5: la integral de una función logarítmica es: 1 dx = lnx + c ( x > ) (5.6) x Ejemplo x dx = dx = lnx c x 5.1. Condiciones iniciales y condiciones de frontera En muchos problemas una condición inicial (y=y cuando x=) o una condición de frontera (y=y cuando x=x ) es dada para determinar la constante de integración, c. Permitiendo una sola determinación de c. Por ejemplo, si y = dx = x+ c sustituyendo y = 11 cuando x =,hallamos el valor de c: 11 = () + c c = 5 Por lo tanto, y = x + 5. Note ue aun cuando c es especificado, dx permanece como integral indefinida porue x no esta especificado. Entonces, la integral x+5 puede asumirse como un infinito número de valores. CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 16

3 5. Integral Definida El teorema fundamental del calculo establece ue el valor numérico de una integral definida de una función continua f(x) tras un intervalo desde a-b esta dado por la integral indefinida F (x) + c evaluada al limite más alto de integración (b), menos la misma integral evaluada al limite más bajo de integración (a). Puesto ue c es común a ambos, la constante de integración es eliminada en la sustracción b a b a f(x)dx = F(x) = F(b) F(a) (5.7) De esta forma, el área bajo de una función desde a hasta b puede ser expresada como una integral definida de f(x) tras un intervalo a hacia b, como se aprecia en el siguiente Gráfico 5-1. Gráfico 5-1 y y=f(x) a b x Esta técnica tiene diversas aplicaciones en la economía puesto ue permite obtener áreas de funciones continuas de una forma relativamente sencilla. De esta forma, las integrales definidas permiten obtener valores numéricos mientras ue las integrales indefinidas solo permiten obtener funciones. Ejemplo 5-6. Las integrales definidas de (1) 1xdx 1 y () (x + 6x)dx serán: 1 (1) 1 1 1xdx = 5x = 5() 5(1) = 75 () 1 1 (x + 6x)dx = x x () () (1) (1) + = + + = 1 CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 17

4 5. Excedente del consumidor y el excedente del productor Una función de demanda P 1 = f 1 (Q) como en el Gráfico 5-a representa los diferentes precios ue el consumidor esta dispuesto a pagar por diferentes cantidades de un bien. Si el mercado esta en euilibro en un punto como (Q, P ), entonces los consumidores estarán dispuestos a pagar más de P. El beneficio total para los consumidores esta representado por el área sombreada, la cual se denomina excedente del consumidor, EC. Esta área euivale a la diferencia entre lo ue el consumidor esta dispuesto a pagar y lo ue realmente paga. Q 1 (5.8) EC = f (Q)dQ Q P Una función de oferta P = f (Q) como en el gráfico, representa el precio al cual diferentes cantidades de un bien será ofertado. Si el euilibrio de mercado sucede en (Q, P ), los productores ue ofertan a un precio menor a P se beneficiaran. Este beneficio o ganancia es llamado excedente del productor, EP, el cual euivale al área sombreada del Grafico 5-b. Esta área euivale a la diferencia entre el precio ue el productor vende y precio límite al cual el productor estaría dispuesto a vender su producto. Q EP Q P f (Q)dQ = (5.9) Gráfico 5-a Gráfico 5-b P P f (Q) P P f1(q) Q Q Q Q Ejercicio 18: Dada una función de demanda, p = 5, y asumiendo ue el precio de euilibrio es 6, obtenga el excedente del consumidor. Solución. Para encontrar el nivel de producción asociado a p = 6: CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 18

5 5 = 6, = Ahora, el excedente del consumidor será: ( ) ( )( ) EC = 5 d 6 Gráfico 5-1 EC =.5 ( ) EC = = 8.7 p EC 6 p = 5 Ejercicio 19: Dada la función de oferta, p = (+), encuentre el excedente del productor cuando p =81. Solución. ( )( ) ( ) 6 6 EP = d Gráfico 5-1 EP = 86 + EP = 5 ( ) p EP p = ( + ) 81 6 Ejercicio 11: Dada la función de demanda p d = 5 y la función de oferta p s = + 1 y asumiendo competencia perfecta, encuentre el a) Excedente del consumidor. CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 19

6 b) Excedente del productor. Solución. En competencia perfecta, demanda = oferta: + 1= 5 de donde =, lo ue implica p = 9 a) Excedente del consumidor: ( ) ( )( ) EC = 5 d 9 1 EC = EC 5( ) ( ) = 6 =.67 a) Excedente del productor ( )( ) ( ) EP = d EP = 6 + = 16 p Gráfico EC 9 ps = EP p = 5 d Ejercicio 111: Dadas las funciones de demanda y oferta: P =.5 (1) CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 1

7 P = +. () a) Halle el precio y la cantidad de euilibrio. Grafiue.Determine el excedente del consumidor, el excedente del productor y el bienestar social. b) Si el precio de euilibrio aumenta unidades, obtenga la variación del bienestar. Si se aplica un impuesto al productor de unidades por unidad vendida. c) Determine el nuevo precio y cantidad de euilibrio. Grafiue d) Determine el nuevo excedente del consumidor, el excedente del productor, el bienestar social y la perdida de eficiencia social. Grafiue e) Qué monto del impuesto paga cada agente por unidad? f) Cuál es la recaudación del gobierno? Si el gobierno ha decidido otorgar un subsidio de unidades por unidad vendida. g) Determine el nuevo precio y cantidad de euilibrio. Grafiue h) Determine el nuevo excedente del consumidor, el excedente del productor, el bienestar social y la perdida de eficiencia social. Grafiue i) A cuanto asciende el gasto en subsidios del gobierno? Solución. a) Para hallar el euilibrio debemos de igualar las ecuaciones (1) y () y resolver..5 = +. Gráfico 5-6. P = P=+. = P = 1 1 P=-.5 b) El excedente del consumidor y el excedente del productor se hallará por integración, ya ue tenemos una función de demanda no lineal. CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 11

8 ( ) EC =.5 1 Gráfico EC = 1x EC = 1 ( ) EP = 1 +. d EP = 1x +. EP = P EC P=+. B = EC + EP EP P=-.5 B = B = c) Si el precio aumenta unidades con respecto al euilibrio, el nuevo precio es: P1 = 1 y reemplazando en la ecuación de demanda, la cantidad demandada es 1 = ( ) ( )( ) Gráfico 5-8 EC =.5 d EC = ( )( ) EC1 = 6 16 ( )( ) ( ) EP = d 1 16 EP1 = ( 1)( 16) +. EP 1 = 16.9 B 1 = EC 1 + EP P EC1 P=+. B 1 = B 1 = EP1 P= La variación del bienestar será la diferencia de B 1 - B = = CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 1

9 d) El gobierno decide aplicar un impuesto al productor de unidades por unidad vendida lo cual genera una desigualdad en el precio ue paga cada agente (P C P p ), nuestro nuevo euilibrio será: P p = p C - t (1) Nuestras nuevas funciones de demanda y oferta serán: Demanda P p =.5 () Oferta P C = +. + () Reemplazamos () y () en (1) y resolvemos la ecuación:.5 = = =167.6 Hallamos el precio para cada agente (consumidor y productor), reemplazando x en () y (1). P C = -.5(167.6) P C = 11.6 P p = P C - t P p = = 7.6 P Gráfico 5-9 P=6+. P=+. Pc= Pp =7.6 P= e) Por integración hallamos el excedente del consumidor y del productor, el bienestar y la pérdida de eficiencia social. CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 1

10 ( ) = ( + ) EC =.5 d EC = 11.6x167.6 EC = 7. EP = 68.6 EP d EP = 11.6x B = EC + EP B = B B = 1. La pérdida de eficiencia social será el triángulo ABC de la figura 5-7 y se hallará por una diferencia de integración de la función de demanda y oferta. PES ( ) ( ) PES =.5 d +. d PES = + PES = PES = P Gráfico 5-1 EC P=6+. P=+. Tc Tp Pc=11.6 Pe=1 Pp=7.6 6 EP C A B P= f) Para hallar el impuesto ue asume cada agente por unidad, se observa en la gráfica: T CONSUMIDOR = P C P*= = 1.6 CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 1

11 T PRODUCTOR = P* - P P = =.8 g) La recaudación del gobierno al implantar este impuesto es x167.6=67.8 h) Si el gobierno otorga al productor un subsidio de unidades por unidad vendida, genera también una desigualdad en el precio ue paga cada agente ( P nuevo euilibrio será: c P ), nuestro p P p = P c + s (1) Nuestras nuevas funciones de demanda y oferta serán: Demanda P p = -.5 () Oferta P c = +. () Reemplazamos () y () en (1): -.5 = = =.1 Hallamos el precio para cada agente reemplazando en () y (1). P c =.5(.1) P c = 8.88 P p = P c - t P p = = P Gráfico 5-11 P=+. PP = P= Pc= 8.88 P=-.5.1 i) Por integración hallamos el excedente del consumidor y del productor, el bienestar y la pérdida de eficiencia social. CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 15

12 EC EP.1 ( ) EC =.5 d EC = 8.88x.1 EC = 16.5 EP = 8.88 * x d ( ) ( ).1 EP = EP = 7.1 B = EC + EP B B = B = La pérdida de eficiencia social será el triángulo ABC de la figura 5-1 y se hallará por una diferencia de integración de la función de oferta y demanda. PES.1.1 ( ) ( ) PES = +. d.5 d PES = + PES = =.9 P Gráfico 5-1 EC P=+. PP = B P= Pc= 8.88 A C P=-.5 EP.1 j) El gasto del gobierno por implantar el subsidio es: x.1=666.9 CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 16

13 5. Problemas resueltos La integral es ampliamente aplicada en la economía. Quizá su mayor uso es en el campo de la microeconomía, puesto ue se utiliza para calcular el excedente del consumidor y el excedente del productor. Sobretodo en la valoración económica de los impactos ambientales Ejercicio 11: La tonelada de un mineral cuesta US$ 6. Los estudios indican ue dentro de x semanas, el precio estará cambiando a una tasa de.9 +.6x US$/semana. Cuánto costará la tonelada de este mineral dentro de 1 semanas?. Solución. Como ( ) 1 dp.9.6x.9.6x dx dx = + + El precio dentro de 1 semanas será:.x P = 6 +.9x + = = Ejercicio 11: Obtenga la cantidad producida de maximiza la utilidad y las correspondiente utilidad total (asumiendo competencia perfecta) si IMg = - 6 y CMg = -, siendo Img el ingreso marginal y Cmg, el costo marginal. Solución. Asumiendo competencia perfecta, las curvas de ingreso marginal y costo marginal se interceptan y determinan el precio y la cantidad demandada. Entonces, - 6 = = 5 Como UMg = IMg - CMg ( UMg: utilidad marginal) entonces, UMg = CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 17

14 du El dato es la utilidad marginal ( UMg = ) y se desea obtener es la utilidad total (U). d Entonces, es necesario integrar la primera función para (UMg) obtener la segunda función (U) o función original. 5 ( ) U = d U = = 5 5 Se ha evaluado desde 5 a puesto ue = 5 es el valor ue maximiza la utilidad, es decir, el punto máximo. Ejercicio 11: La tasa de inversión neta esta dada por I (t) = 1t /, y el stock inicial de capital en t = es 15. Determine la función de capital K. Solución. La función K será: K = 1t dt = 1 t dt 7 7 K = 1 t + c = 8t + c 7 pero c = K = 15 entonces, K = 8t 7/ + 15 Ejercicio 115: Hallar la cantidad producida ue maximice la utilidad y determinar la utilidad total en dicho punto s las funciones de ingreso marginal y costo marginal son respectivamente, I (x) = 5-5x - x C (x) = 1 - x x Solución. Una forma de solucionar es obtener el ingreso total y el costo total para luego obtener el beneficio y finalmente, determinar el máximo valor de la última función. La forma más directa es obtener el beneficio marginal y luego determinar el beneficio. Con esta última se determina el valor máximo. I - C = B CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 18

15 5 5x - x (1 - x x ) = B 15 x x = B (beneficio marginal) Integrando B' se obtiene B: x B = (15 x x )dx = 15x x Determinando el máximo en B: db 15 x x x dx = = = Evaluando este valor en B se tiene 7. Ejercicio 116: La propensión marginal a ahorrar es 1/. Cuando la renta es cero el consumo es 11 millones. Hallar la función de consumo. Solución. dc ds = 1 = dx dx c = dx = x+ C x = c() =11 C = 11 Por lo tanto: c = x+ 11 Ejercicio 117: Si la función de demanda es P = 85 - x x, hallar el excedente del consumidor cuando a) x = 5 y b) P = 6 Solución. a) x = 5 5 EC = (85 x x )dx 5x EC = 1. b) P = 6 6 = 85 x x (para obtener el valor de x) x = CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 19

16 EC = (85 x x )dx x6 EC = 6 Ejercicio 118: La cantidad demandada y el correspondiente precio en competencia perfecta- se determinan con las funciones de demanda y oferta respectivamente: P = 6 x d x y Po = 6+. Determinar el excedente del consumidor y productor Solución. Primero se determina el precio de euilibrio: P d = P o x 6 x = 6 + De donde: x = 6, P = 1 (coordenadas de integración) 6 EC = (6 x )dx ( 6)(1) EC = x EP = ( 6)(1) (6 + )dx EP = Ejercicio 119: Una compañía esta considerando la adición de vendedores a su nómina. El costo del empleo de vendedores adicionales es: 5y = 8x, donde y es el costo del empleo, x es el número de vendedores adicionales empleados, siendo el ingreso adicional: (R-) = (x+1), donde R es el ingreso. La compañía empleará vendedores adicionales hasta cuando el costo de esta adición iguale al ingreso adicional. Se pide obtener: a) El número de vendedores adicionales (Recuerde ue en este caso, Img = Cmg) y el costo respectivo b) Ingreso neto total (ingreso menos costo) CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 1

17 y, R 5y =8x (R-) =(x+1) x Solución. De la primera condición: De la segunda condición: 5y x = (costo marginal) 8 R x = R 9 (ingreso marginal) Igualando x, y además dado ue R=y (Img = Cmg): 7y 8y - = De donde: y=1 y entonces, x=15 Para encontrar el ingreso neto total solo se reuiere encontrar el área entre la curva superior y la curva inferior, delimitada por el euilibrio (1,5). Es decir, el área encerrada entre ambas curvas ue euivalen al ingreso marginal menos costo marginal. Note ue la integración debe realizarse en el eje Y, y no en el eje X dado ue la integración será en términos de y. Sea el ingreso total neto (ITN): ITN = y y + y + 9) dy 8 y 7 ITN = + 9y y = = Si hubo euivocación entre la diferencia de ambas curvas, es decir, en lugar de Cmg - Img se planteó Img - Cmg el resultado sería el mismo pero con signo negativo. Nótese CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 11

18 ue en este caso lo correcto es la diferencia Cmg - Img porue estamos evaluando en el eje Y y no en el eje X, donde SI debería ser lo contrario. Ejercicio 1: Dadas las funciones de oferta y demanda: p =.5x y p = +.x, encuentre: a) Precio y cantidad de euilibrio b) Excedente del productor y excedente del consumidor y bienestar social c) Si el precio de euilibrio aumenta unidades, obtenga la variación del bienestar Solu ción. a).5x = +.x.x +.5x - 18 = x = p = 1 b) EC = (.5x 1)dx EC = 1x.5x = 1 EP = (1 ( +.x ))dx x EP = 8x. B = EC + EP = 67 = 167 c) Ahora: P 1 = 1, reemplazando este precio en la función de demanda se tiene ue: x 1 = EC = (.5x)dx (1)(16) 16.5 EC1 = x x (1)(16) EC1 = x 1 EP = p x ( +.x )dx 1 16 EP = (1)(16) ( +.x )dx CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 1

19 EP 1 = (1)(16) x +.(x / ) EP1 = (1) (16) 59.7 = B = EC + EP = = B = B B = = Ejercicio 11: La propensión marginal a ahorrar es 1/. consumo es 11 millones. Hallar la función de consumo. Cuando la renta es cero el Solución. Por identidades sabemos ue c = 1 - s, por lo tanto hallando su derivada se obtiene dc ds = 1 =, de allí por integración a la propensión marginal a consumir hallamos dx dx la función de consumo c = dx = x+ C(ecuación general), por último con los datos dados en el problema se puede obtener la solución particular para la función de consumo x = c () =11 C = 11. Por lo tanto: c = x+ 11. Ejercicio 1: Asuma ue el kilo de huevo cuesta S/..6. Los estudios indican ue dentro de x semanas, el precio estará cambiando a una tasa de.9 +.6x soles x semana. Cuánto costará el kilo de huevo dentro de 1 semanas? Solución. La tasa de cambio esta representada por la siguiente ecuación: 1 dp.9.6x (.9.6x )dx dx = + + Es el aumento del precio en 1 semanas. Entonces, dentro de 1 semanas: 1 P =.6 + (.9 +.6x )dx = = 5.7 CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 1

20 5.5 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de monopolio se 1 ( ) determina por la función de demanda p = 1 y el costo total es c = + 5. Determinar el excedente del consumidor. Rpta: 6/. Cuando la mauina tiene x años, la tasa a la cual está cambiando su valor es de (x 1) soles por año. En ue cantidad se deprecia la mauina al cumplir dos años y cual es su precio de reventa en un tiempo si su costo fue de S/- 1,. Rpta: S/., Dado dc dy =.6 + y C = 5 cuando Y=, obtenga la función de consumo, Y C. Rpta: C =.6Y +.15 Y / +5. La propensión marginal al ahorro esta dada por ds/sy =.5.Y -1/. Existe desahorro de.5 cuando el ingreso es 5, es decir, S =. 5 cuando Y=5. Obtenga la función de ahorro. Rpta: S =.5Y.Y 1/ El costo marginal esta dado por CM = dct/cq = 5 + Q 9Q. El costo fijo es 55. Encuentre (a) el costo total, (b) el costo medio y (c) la función costo variable. Rpta. (a) 5Q + 15Q - Q + 55, (b) Q Q + 55/Q, (c) 5Q +15Q - Q. CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 1