SOLUCIONARIO EXAMEN PARCIAL

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1 SOLUCIONARIO EXAMEN PARCIAL Matemáticas II Miércoles 7 de Mayo del 07. ( puntos) Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifiue su respuesta. a) ( punto) Si el costo marginal es siempre mayor ue el costo medio, entonces el costo medio es creciente. Probaremos ue la derivada del costo medio es positivo 0 C C 0 C() () = = C0 () C() 0 C() z } { () CMg() C() = = > 0. {z} P Luego, el costo medio es creciente. b) ( punto) Todo punto crítico de una función derivable es un máximo relativo o un mínimo relativo. La función f : R! R definida por f(x) =x tiene como único punto crítico a x =0, pero no posee extremo relativo (máximo o mínimo) por ser estrictamente creciente.. ( puntos) Sea C :[0, [! R una función derivable ue representa el costo total de una empresa en la producción de unidades de un bien. Si se cumple ue C( )=C( )para 0 < <, pruebe ue existe 0 entre y tal ue el Costo Marginal de producir 0 unidades es cero. Por ser la función costo derivable en su dominio, C cumple las condiciones del Teorema del Valor Medio en el intervalo [, ]. Luego, existe 0 ], [talue Es decir, CMg( 0 )=0. C 0 ( 0 )= C( ) C( ) =0. UP V F

2 . (6 puntos) Sea f : R! R con f(x) =(x a) e bx, donde a y b son constantes positivas. a) ( punto) Complete b) (.5 puntos) Calcule lím f(x). x! lím x! f(x) = lím x! = lím f 0 (x) = bx x ab e bx P x e bx x! be bx = lím = 0. x! x b e bx c) ( puntos) Reemplace a =5yb = a es de la forma entre, aplicamos L Hôpital es de la forma entre, aplicamos L Hôpital en f ycompletelosiguiente.. Puntos críticos :, 5. Intervalos de crecimiento : [, 5]. Intervalos de decrecimiento : ], ], [5, [. Máximo local : 5. Mínimo local :. Asíntota horizontal : y = 0. lím x! f(x) = UP

3 d) (.5 puntos) A partir de los datos del ítem anterior, esboce la gráfica de f en el siguiente sistema de coordenadas. P Y UP X

4 4. (4 puntos) Sea p = f() la función demanda de cierto bien, donde p está medido en cientos de soles y en unidades y sea L T : p 5 = 0 la recta tangente a f en =.Por otro lado, la cantidad demandada depende del tiempo de la siguiente manera: = (t) = t t, donde t indica el número de años transcurridos a partir del primero de enero del 00. a) ( puntos) Determine la elasticidad puntual de la demanda cuando el precio es de 400 soles. Interprete el resultado. Como el precio está en función de la cantidad demandanda podemos calcular la elásticidad de la demanda como: = p dp Un precio de 400 soles corresponde a p 0 =4yobserveuereemplazandoestevaloren L T obtenemos 0 =,porlotantop 0 = f( 0 )y dp ( d 0)=m T =. Así P = 4 d = 4. Cuando el precio es de S/ 400, si se incrementa el precio en %, la cantidad demandada disminuirá en un 4 % aproximadamente. b) ( puntos) Determine el valor aproximado del precio demandado al término del tercer trimestre del 05. Observe ue el inicio del 00 corresponde a t =0porlotantoeltérminodeltercer trimestre del 05 corresponde a t =5.75. Lo ue debemos calcular es: p(t 0 (t)) p(t 0 ) dp dt (t 0) (t) =p(t 0 ) dp d ( 0) d dt (t 0) Por lo tanto debemos buscar un 0 y t 0 conocidos ue nos permitan realizar el calculo anterior. Para =,tenemosue = t t ) 0=t(t 6) ) t =0ot =6. Así, tomando t 0 =6y t = 0.5, tenemos 0 =, dp ( d 0)= y d (t dt 0)= 6 =. Por lo tanto: p(t 0 (t)) p(t 0 ) dp d ( 0) d dt (t 0) (t) =4 () = El valor aproximado del precio es de soles. UP (t)

5 5. a) ( puntos) Sean R :[0, [! R la función ingreso total y C :[0, [! R la función costo total de una empresa en la venta y producción de unidades de un bien, definidas por R() =p y C() =a b c, donde p, a, b y c son constantes positivas con b>. Determine el valor de ue maximice la función de utilidad :[0, [! R. La función utilidad ueda definida por () =p a b c. Para hallar el máximo de la función encontraremos sus puntos críticos. p 0 () =p ab b =0! 0 = ab Aplicamos el criterio de la segunda derivada. 00 () = ab(b ) b! 00 ( 0 )= {z} a {z} b b {z } 0 b < 0 {z} luego 0 es máximo de. P b) ( puntos) Una fábrica de euipamientos electrónicos vende una cantidad de artículos (en miles) cuando el precio es de p soles por unidad. La relación entre el precio y la demanda está dada por la siguiente expresión: p p =. Calcule la razón de cambio instantánea de la demanda con respecto al precio unitario, cuando el precio unitario es de sol. Interprete dicho resultado. Derivamos implícitamente la expresión dada, con respecto a p yobtenemos: 0 0 p 4p 6p = 0. Por otro lado, observamos ue cuando p =lacantidaddemandadasedeterminaal resolver la siguiente ecuación cuadrática =! 0 = 0! ( 5)( ) = 0! =_ = 5! =. Reemplazando el par p =, =enlaexpresiónderivadaobtenemos 0 =. Es decir, cuando el precio unitario es de sol, por cada sol ue aumente el precio, la cantidad demandada disminuirá aproximadamente en 000 unidades. b. UP