AYUDA MEMORIA PARA EL ESTUDIO DE MATEMÁTICAS II - (COMUNES)

Transcripción

1 AYUDA MEMORIA PARA EL ESTUDIO DE MATEMÁTICAS II - (COMUNES) DERIVADAS INMEDIATAS Función Derivada y = c = 0 y = x = 1 y = x n = n x n-1 y = u n = n u n-1 y = u v = +v y = = v 0 y = u ± v± w = Y=u v = DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Función Derivada y = ln x = y = ln u = y = log a x = = log a e log a x = y = log a u = = log a e log a u = y = e x = y = e u = e u y = a x = a x ln a) y = a u = a u ln a) 1 JJN

2 Regla de la cadena. APLICACIONES ECONÓMICAS DEMANDA: Cantidad de un bien o servicio que los compradores demandan o desean comprar para cada nivel de precios. OFERTA: Cantidad de un bien o servicio que los vendedores ofrecen al mercado en función del nivel de precios. EQUILIBRIO: Se dice que existe equilibrio en un mercado, cuando a un determinado precio, los consumidores pueden adquirir todo lo que deseen de un determinado bien o servicio y los oferentes pueden vender todas sus existencias. El punto de equilibrio, es el punto de intersección de las curvas de la oferta y demanda. 2 JJN

3 COSTO: Costo Total = Costos Fijos + Costos Variables C = CF + CV Costo Total(C) = precio en $ (c) por cantidad ofertada en unidades (q) C = c*q Costo promedio = Costo Total sobre cantidad ofertada C = Costo marginal = a la derivada del costo total con respecto a la cantidad C = INGRESO: Ingreso Total (R) = precio unitario (p) por cantidad demandada (q) R = p *q Ingreso promedio = Ingreso Total (R) sobre cantidad demandada (q) R = Ingreso marginal = a la derivada del Ingreso con respecto a la cantidad demandada (q) R = 3 JJN

4 UTILIDAD: Utilidad Total = Ingresos - Egresos U = R C Utilidad promedio = Utilidad Total sobre cantidad (q) U = Utilidad Marginal = a la derivada de la utilidad total U = = - = R C RAZÓN DE CAMBIO: Relativa = Porcentual = x 100 PROPENSIÓN MARGINAL AL CONSUMO Y AL AHORRO: Ingreso disponible (x) es igual al consumo (c) más el ahorro (s) x = c + s Propensión marginal al consumo = Propensión marginal al ahorro = 1-4 JJN

5 ELASTICIDAD DE LA DEMANDA: La elasticidad de la demanda η (eta), permite medir como un cambio en el precio afecta la cantidad demandada; es decir, admite cuantificar cual es la respuesta del consumidor frente a un cambio del precio de un determinado bien o servicio. Informalmente, la elasticidad de la demanda es la tasa o razón de cambio porcentual en la cantidad demandada que resulta en un cambio porcentual en el precio de un producto o servicio. η = = Hay tres tipos de categorías de elasticidad: 1.- Cuando η > 1, la demanda es elástica 2.- Cuando η = 1, la demanda es unitaria 3.- Cuando η < 1, la demanda es inelástica ELASTICIDAD PUNTUAL DE LA DEMANDA: Mide la sensibilidad de la cantidad demanda a las variaciones del precio. Indica la variación porcentual que experimentará la cantidad demanda de un bien si sube su precio en 1%. η = = Demanda Elástica: La cantidad demanda es relativamente sensible a las variaciones del precio, es decir un bien tiene demanda elástica cuando al variar su precio en un determinado porcentaje, las cantidades demandadas varían en un porcentaje mayor. Demanda Unitaria: El bien tiene demanda de elasticidad unitaria si al variar el precio en un determinado porcentaje las cantidades demandadas varían en el mismo porcentaje Demanda Inelástica: La cantidad demandada es relativamente insensible a las variaciones del precio. El bien tiene demanda inelástica si al variar el precio en un determinado porcentaje las cantidades demandadas disminuyen en un porcentaje menor. 5 JJN

6 Niveles de elasticidad y el efecto sobre el precio: Si la demanda es elástica (>1), el ingreso disminuye cuando el precio aumenta y viceversa. Si la demanda es inelástica (<1), el ingreso aumenta cuando el precio aumenta y viceversa. Si la demanda es unitaria (=1), el ingreso no se afecta por un pequeño cambio en el precio. Funciones creciente, decreciente y constante. Una función y = f(x) es creciente si y aumenta algebraicamente cuando x aumenta. Una función y = f(x) es decreciente si y disminuye algebraicamente cuando x aumenta. Una función y = f(x) es constante si y no cambia algebraicamente cuando x aumenta. Por lo que: una función es creciente cuando su pendiente es positiva (+), es decir la primera derivada es mayor que cero, es decreciente cuando su pendiente es negativa (-), es decir la primera derivada es menor que cero y es constante cuando su pendiente es igual a cero, es decir su primera derivada es igual a cero. 6 JJN

7 Máximos y mínimos Máximos y mínimos absolutos o globales. Una función tiene su máximo global o absoluto en el punto x = x 0, si la ordenada en ese punto es mayor o igual a las ordenadas de cualquier otro punto del dominio de la función. Una función tiene su mínimo global o absoluto en el punto x = x 0, si la ordenada en ese punto es menor o igual a las ordenadas de cualquier otro punto del dominio de la función Máximos y mínimos locales o relativos. Una función f tiene un máximo relativo en el punto X 0, si f(x 0 ) es mayor o igual que los puntos próximos al punto. Una función f tiene un mínimo relativo en el punto X 0, si f(x 0 ) es menor o igual que los puntos próximos al punto. 1. Primer método para calcular máximos y mínimos de una función, principio de la primera derivada. Regla guía de aplicaciones: Primer paso. Hallar la primera derivada de la función Segundo paso. Igualar la primera derivada a cero y se hallan las raíces reales de la ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable. Tercer paso. Se consideran los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de la primera derivada para un valor un poco menor que el valor crítico y después para un valor un poco mayor que él. Si el signo de la derivada es primeramente positivo y después negativo la función tiene un máximo para ese valor crítico de la variable, en caso contrario, si el signo de la derivada es primeramente negativo y después positivo la función tiene un tiene un mínimo para ese valor crítico de la variable. 7 JJN

8 Si el signo no cambia, la función no tiene ni un máximo ni un mínimo para el valor crítico considerado. Curvatura: concavidad y convexidad. Diremos que una función es cóncava o presenta su concavidad hacia abajo, cuando a dos puntos cualesquiera, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Análogamente diremos que una función es convexa o presenta su concavidad hacia arriba, cuando a dos puntos cualesquiera, el segmento que los une queda por encima de la curva. Se saca la segunda derivada f (x) y se compara con cero 2. Segundo método para calcular máximos y mínimos de una función, principio de la segunda derivada. Regla guía de aplicaciones: Primer paso. Hallar la primera derivada de la función Segundo paso. Igualar a cero la primera derivada y resolver la ecuación; las raíces reales son los valores críticos de la variable. Tercer paso. Hallar la segundad derivada de la función Cuarto paso. Sustituir en la segunda derivada, en lugar de la variable, uno por uno, cada uno de los valores críticos obtenidos. Si el resultado es negativo, la función tiene un máximo para ese valor crítico; si el resultado es positivo, la función tiene un mínimo para ese valor crítico. Cuando f (x) = 0; o bien no existe máximo ni mínimo para ese valor crítico, o este procedimiento no es aplicable para esta función. Puntos de inflexión Los puntos en los que la curvatura de una función pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman puntos de inflexión. Si f (x 0 ) = 0, entonces X 0 es un punto de inflexión Se saca la tercera derivada f (x 0 ) y se compara con cero 8 JJN

9 9 JJN

10 Funciones Exponenciales y logarítmicas Funciones Exponenciales: La función, en la que b > 0, b 1 y el exponente x es cualquier número real se llama función exponencial con base b. Propiedades de los exponentes: Regla de la igualdad: = si y solo si x = y El número de Euler e = ( ) = ( ) = Funciones Logarítmicas: Si la función, en la que b > 0, b 1 y el exponente x es cualquier número real se llama función exponencial con base b, entonces la inversa de esta función se llama función logarítmica de base b y se denota como, por lo que: si y solo si En otras palabras: el logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. Propiedades de los logaritmos: ( ) Para cambio de base 10 JJN