ANTIDERIVADAS. Pues... si es tan simple así significa que ya soy capaz de hacerlo. Lo intentaré. Quiero encontrar la antiderivada de 2x.

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1 ANTIDERIVADAS Qué es una antiderivada? La respuesta es muy simple. Una antiderivada es la operación inversa a la derivada. Pero qué significa ser la operación inversa de la derivada? Significa que la antiderivada va a deshacer lo que la derivada se encargó de hacer. El método más básico para resolver una antiderivada es adivinar. Lo que harás es pensar en una posible respuesta, derivarla y ver si da! Las antiderivadas también son llamadas Integrales Indefinidas. Pues... si es tan simple así significa que ya soy capaz de hacerlo. Lo intentaré. Quiero encontrar la antiderivada de 2x. Objetivo: Encontrar la antiderivada de 2x Me guiaré por lo que dije arriba. Necesito deshacer lo que una derivada hizo. Debo devolver la función f(x) = 2x a su forma antes de derivar. Sencillo! Si derivo F (x) = x 2 obtengo 2x! Lo primero que harás al momento de hacer una antiderivada es preguntarte Qué función debo derivar para que me dé 2x? (2x para este caso). Ahora si me fijo con cuidado me puedo dar cuenta que si derivo F (x) = x 2 + también obtengo 2x... y si derivo F (x) = x también obtengo 2x. Cada vez que le sumo una constante a F (x) y derivo eso, sigo obteniendo 2x. Así que realmente la antiderivada de mi función f(x) = 2x es F (x) = x 2 + C, donde C representa cualquier constante. Eso no fue tan difícil. Lo intentaré de nuevo! Objetivo: Encontrar la antiderivada de f(x) = x 2 Me hago la pregunta Qué función debo derivar para obtener x 2? De ahora en adelante le llamaré a esa función F (x). Puedo encontrar F (x) en este caso? Claro que sí! Si digo F (x) = x + C al momento de derivar encuentro que F (x) = x 2 y esto es igual a f(x).

2 Intentemos con una un poco más difícil. Objetivo: Encuentra la antiderivada de f(x) = x 4 Qué función debo derivar para que me de x 4? Puedes pensar un poco y decir, si derivo F (x) = x 5 +C entonces F (x) = 5x 4... Casi! Estoy cerca! Tengo un 5 que no quiero ahí... Intentaré esto, diré que F (x) = x5 5 + C. Si derivo F (x) = x5 5 + C entonces F (x) = 5x4 5 = x4 = f(x) La función F (x) que encontré funciona. Como sé que funciona? Al derivar F (x) obtengo f(x). En notación F (x) = f(x). Haré una más! Objetivo: Encuentra la antiderivada de f(x) = x Qué función debo derivar para que me de x? Intentaré usando F (x) = x4 4 + C F (x) = (4)x 4 = x = f(x) Funciona. La F (x) que encontré es correcta. Es hora de formalizar un par de cosas. Debemos comenzar por encontrar una notación para la operación de la antiderivada. Otra! Objetivo: Encuentra la antiderivada de f(x) = x 2/ Qué función debo derivar para obtener x 2/? Esta es un poco más difícil que las demás... Intentaré F (x) = x 5/. Elegí 5/ por qué al derivar yo le resto al exponente así que si estoy aplicando la operación inversa por que no sumarle... F (x) = 5x2/ 2

3 Derivé mi F (x) pero no me dio lo que tenía que dar! multiplicaré eso por /5. Mi nueva F (x) será x5/. 5 Para quitarle el 5/ que está al frente, F (x) = 5x 2/ = x 2/ 5 Funciona! Uno más... Objetivo: Encuentra la antiderivada de f(x) = x 4 Igual que cuando calculaba derivadas, escribiré x 4 como x 4. Veré si F (x) = x funciona. F (x) = (x 4 ) Casi... intentaré con F (x) = x. F (x) = ( x 4 ) = x 4 Si funciona! Para avanzar debo introducir la notación para la operación antiderivar. Anteriormente utilizábamos la operación de la derivada y decíamos por ejemplo... derivar(x ) = x 2 Luego introdujimos esta notación d dx (x ) = x 2 Qué notación debería usar para la antiderivada? Como símbolo utilizo para expresar antiderivar(x 2 ) = x + C

4 Para antiderivada usare la siguiente notación x 2 dx = x + C EXPLICACIÓN DE LA SIMBOLOGÍA DE LA ANTIDERIVADA Cuando usábamos la derivada teníamos dos notaciones: dy dx Donde dy dx es la notación de Leibniz y y es la notación de Newton. Para la antiderivada usaremos esta notación y f(x) dx = F (x) + C F (x) es la antiderivada de f(x); recuerda que eso significa qué al derivar F (x) obtienes f(x). La C es para hacer la antiderivada más general (pero necesaria). El símbolo es una S alargada, la razón de eso lo verás más adelante. Lo que haré ahora será intentar encontrar un patrón en las antiderivadas que encontré anteriormente. Cuando busco la antiderivada de x n el resultado tiene exponente n + (le sumo al exponente). Esto tiene sentido dado que d dx (xn ) = nx n La derivada le quita y la antiderivada le suma (SON INVERSAS!). Al mirar nuevamente los ejemplos, veo que el número que tengo en el exponente en el resultado de la antiderivada aparece en el denominador. En el primer ejemplo tengo x 5 en el numerador y 5 en el denominador. Lo que 4

5 significa que si antiderivo x n mi resultado será una fracción en donde el numerador será x n+ y el denominador será n +, con ese patrón reconocido puedo escribir una fórmula general para este caso. x n dx = xn+ n + + C Observa que también funciona para los últimos ejemplos! CUIDADO: Qué sucede si tengo esta integral? dx x = x dx Aplicando la fórmula te encontrarás un inconveniente... Cuál es? Al aplicar la fórmula cuando n = obtengo,. Esto no puede ser... Cuál es la integral 0 entonces? Esto lo veremos más adelante! Con eso, puedo decir que mi fórmula es x 0 5

6 (F.) x n dx = xn+ + C; n n + Recuerda que la constante C es para generalizar la antiderivada! A esta se le llama constante de integración. Integración? Eso también lo veremos después! De cierta manera, la antiderivada y la derivada son hermanas, es posible que la antiderivada herede propiedades de la derivada. Objetivo: Encuentra la antiderivada de x 2 + 2x. Usando los símbolos, evalúa (x 2 + 2x) dx Recuerda hacerte la pregunta Qué debo derivar para obtener x 2 +2x? Si derivo la expresión x + x 2 + C obtengo x 2 + 2x. Si ves es como si hubiese antiderivado x 2 primero y luego 2x. Al tener ambas antiderivadas simplemente las sumo y obtengo mi respuesta. Puedo decir entonces que la antiderivada de una suma es la suma de las antiderivadas de cada función. Tomaré dos funciones f(x), g(x), sus antiderivadas serán F (x) y G(x) respectivamente. Para mi ejemplo puedo escribir (x 2 + 2x)dx = x 2 dx + 2x dx = x + x 2 + C Después te demostraré que poner una sola constante de integración es suficiente. Con eso listo, puedo escribir mi propiedad 6

7 (P.) [f(x) + g(x)]dx = f(x) dx + g(x) dx = F (x) + G(x) + C Objetivo: Evalúa dx Cuando ves solamente el diferencial se da por entendido que es dx Qué derivo para obtener? Simple, x + C. 4x Como evalúo dx? Si derivo, x + C obtengo, listo. Y si evalúo dx? En este caso la 5 respuesta es x4 5 + C. En los últimos dos casos puedo escribir las antiderivadas así 4x dx = 5 dx = 5 dx 4x dx Si saco alguna constante de la antiderivada el resultado es el mismo! (Siempre y cuando multiplique la constante de vuelta). Escribiré mi otra propiedad. Si k es una constante y F (x) es la antiderivada de f(x), (P.2) kf(x)dx = k f(x) dx = kf (x) + C Las propiedades P. y P.2 muestran la linealidad de una antiderivada (busca más información de esto en otros documentos). 7

8 Curiosidad: Te he dicho que las derivadas y las antiderivadas son operaciones inversas. Se que son inversas pero de alguna manera, muy en el fondo, son hermanas. Linealidad de una derivada: d d [f(x) + g(x)] = dx dx (f(x)) + d dx (g(x)) d dx [kf(x)] = k d dx [f(x)] EJEMPLOS Ejemplo : Calcula la antiderivada 9 x 8 dx a.) Primer acercamiento: En vez de aplicar la fórmula y memorizar todo, puedes piensa: Qué puedo derivar para conseguir la función que está dentro de la integral? Digamos que la respuesta a la integral es f(x). La misma puede ser f(x) = x 9 + o incluso f(x) = x , por eso la respuesta mas general es: f(x) = x 9 + C. b.) Segundo Acercamiento: Aplicando la fórmula F., el procedimiento será el siguiente... Para este caso (y usando la propiedad P.) n = 8. Por eso: 9 x 8 dx = 9 x 8 dx = 9 x C = x9 + C Listo! Toma en cuenta que según el diferencial (dx) me dice que integre x, por eso lo hice. No olvides, nunca, la constante de integración. Ejemplo 2: Evalúa u du En problemas que se ven como este, pensar en una solución directa (como se hizo en el primer acercamiento del primer ejemplo) puede resultar complicado. Por eso, después de modificar un par de cosas utilizaré, las fórmulas. Solución: 8

9 Antes de comenzar a resolver, puedo usar varias propiedades de exponentes para volver a escribir lo que está dentro de la integral de manera que pueda aplicar una de las fórmulas mencionadas. Para esto digo: u = (u ) /2 (escribo la raíz como exponente), luego (u ) /2 = u /2 (propiedad de exponenciación), finalmente = u /2 (propiedad de exponenciación, la u sube al numerador u /2 con exponente negativo). Haciendo esto, puedes aplicar la fórmula F.: du = u u /2 du = u( /2)+ ( /2) + + C = u /2 /2 + C Recuerda que se ve mejor hacer que la respuesta se vea como la función que está dentro de la antiderivada por eso; el /2 sube al numerador como 2 y el u /2 baja al denominador con exponente positivo y cambiado a raíz cuadrada. Por eso la respuesta es: u du = 2 u + C No olvides la constante de integración, y observa que antiderivé con respecto a u por que el diferencial du me lo dijo! Ejemplo : Integra ( 2t 7t 2 t ) dt Para poder resolver la integral lo ideal es separar la fracción en varias partes: 2t 7t 2 t 2 = 2t t 2 7t2 t 2 = 2t 7 Mira que puedo sumar el 7 y el 25 antes de hacer la antiderivada: ( 2t 7t 2 t ) dt = (2t ) dt = (2t + 8) dt Puedo separar, usando la propiedad P., esta antiderivada en varias partes: = 2t dt + 8 dt 9

10 Un dato interesante, para estas dos antiderivadas no es necesario escribir una constante de integración para cada una; puedes escribir una sola para todas las antiderivadas, ya te lo demostraré. Observa que ambas antiderivadas se pueden resolver de manera directa haciendo la pregunta: Qué debo derivar para que me resulte lo que tengo dentro de la integral? Si derivo t 2 + C donde C es una constante, obtengo 2t, si derivo 8t + C 2 donde C 2 es una constante obtengo 8. Por eso: 2t dt + 2 dt = t 2 + C + 2t + C 2 Con esto hecho, la respuesta debe ser: ( 2t 7t 2 t ) dt = t 2 + 8t + C + C 2 Pero como C y C 2 son constantes, las puedo sumar para hacer una sola constante C. Por eso la respuesta es: ( 2t + 7t 2 t ) dt = t 2 + 8t + C Ya te demostré que puedes usar una sola constante de integración. Terminó el problema. No olvides: Nunca dejes la constante de integración, no olvides ver el diferencial antes de integrar. Ejemplo 4: Calcula la antiderivada ( a y/4 a2 + b ) dy donde a y b son constantes. 2 ab2 a.) Recuerda que a y b son constantes, por eso las puedes sacar de la antiderivada (propiedad P.2). Aplica la fórmula F.. a y /4 a2 + b dy = a 2 a2 + b 2 y /4 dy = a y (/4)+ a2 + b 2 (/4) + = a y 7/4 a2 + b 2 7/4 = 4 a y7/4 7 a 2 + b 2 b.) Constantes fuera de la antiderivada y luego efectuó la operación. ab 2 dy = ab 2 dy = ab 2 y = y ab 2 0

11 d.) Combinando todo y agregando la constante de integración: ( a y/4 a2 + b 4 a y7/4 ) dy = 2 ab2 7 a 2 + b y 2 ab 2 + C