FUNDAMENTOS NUMÉRICOS

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1 SEMANA 3

2 ÍNDICE ECUACIONES... 3 APRENDIZAJES ESPERADOS... 3 INTRODUCCIÓN... 3 PROPIEDADES DE LA IGUALDAD... 4 ECUACIONES... 4 ECUACIONES LINEALES... 4 ECUACIONES CUADRÁTICAS... 5 RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA SIMPLE... 6 COMPLETAR UN CUADRADO... 7 LA FÓRMULA CUADRÁTICA... 8 EL DISCRIMINANTE... 9 ECUACIONES DE OTROS TIPOS EJEMPLO: UNA ECUACIÓN CON EXPRESIONES FRACCIONARIAS ECUACIÓN CON VALOR ABSOLUTO COMENTARIO FINAL REFERENCIAS

3 ECUACIONES APRENDIZAJES ESPERADOS Después de completar esta semana, se espera que el estudiante sea capaz de resolver ecuaciones de primer orden cuadráticas y otras que basan sus mecanismos de solución en las anteriores, por ejemplo ecuaciones con raíces, fraccionarias o con valor absoluto. INTRODUCCIÓN Una ecuación es un enunciado en el que se establece que las expresiones matemáticas son iguales. Por ejemplo: = 8 Esta es una ecuación. La mayor parte de las ecuaciones que se estudian en álgebra contienen variables, las cuales son símbolos, casi siempre letras que representan números. En la ecuación: La letra es la variable. Se considera que la es la incógnita de la ecuación, por lo que el objetivo es determinar el valor de que hace que la ecuación sea cierta. Los valores de la incógnita que hacen que la ecuación sea verdadera se llaman soluciones o raíces de la ecuación y el proceso para determinar las soluciones se denomina resolución de una ecuación. Dos ecuaciones con exactamente las mismas soluciones reciben el nombre de ecuaciones equivalentes. Para resolver una ecuación, se trata de encontrar una ecuación más simple equivalente en la que la variable esté sola en un lado del signo =. Asimismo, están las propiedades que se aplican para resolver una ecuación. (En estas propiedades: A, B y C representan expresiones algebraicas y el símbolo significa equivale a ). 3

4 PROPIEDADES DE LA IGUALDAD 1., al sumar la misma cantidad a ambos miembros de una ecuación se obtiene una ecuación equivalente. 2., al multiplicar la misma cantidad distinta de cero a ambos miembros de una ecuación se obtiene una ecuación equivalente. Estas propiedades requieren que usted efectúe la misma operación en ambos lados de una ecuación cuando la resuelve. Por lo tanto, al decir se suma -7 al resolver una ecuación, lo que realmente se quiere decir es sumar -7 a cada miembro de la ecuación. ECUACIONES ECUACIONES LINEALES El tipo más sencillo de ecuación es la ecuación lineal o ecuación de primer grado, que es una ecuación en la cual cada término es una constante o un múltiplo distinto de cero de la variable. Definición: una ecuación lineal de una variable es una ecuación equivalente a una de la forma: Donde y son números reales y es la variable. A continuación, algunos ejemplos que ilustran la diferencia entre ecuaciones lineales y no lineales: Ecuaciones lineales Ecuaciones no lineales Explicación La ecuación no lineal tiene la variable al cuadrado. La ecuación no lineal tiene la variable en raíz. La variable aparece en el denominador de una de las expresiones. 4

5 Ejemplo de una ecuación Iineal. Resuelva: Solución: la ecuación se resuelve cambiándola a una equivalente en la que todos los términos que tienen la variable están en un lado y todos los términos constantes están en el otro. /-3 / +4 / Observación: puede ser una buena idea comprobar que su respuesta está correcta: Por otro lado: Con lo que se ha comprobado que la solución de la ecuación. efectivamente, es la respuesta correcta ECUACIONES CUADRÁTICAS Las ecuaciones lineales son las ecuaciones de primer grado como. Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones de segundo grado: o como Definición: una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma: o Donde, y son números reales con. Algunas ecuaciones cuadráticas se pueden resolver mediante factorización y usando la propiedad básica siguiente de los números reales. Propiedad del producto nulo: 1) si y solo si o bien 5

6 Esto quiere decir que si se puede descomponer en factores el primer miembro de una ecuación cuadrática o de otro orden, entonces se puede resolverla igualando a cero, por turnos, a cada factor. Este método funciona solo cuando el segundo miembro de la ecuación es cero. Ejemplo de una ecuación cuadrática mediante factorización. Resuelva: Solución: primero se debe volver a escribir la ecuación de modo que el segundo miembro sea igual a cero. Las soluciones son: y. o Se puede observar ahora por qué a un lado de la ecuación debe ser cero en el ejemplo anterior? Al factorizar la ecuación como ayuda a determinar la solución, puesto que 24 se puede descomponer en factores de infinitas maneras, como: 6 4,,, etc. Una ecuación cuadrática de la forma, donde es una constante positiva, se factoriza como, así que las soluciones son: y. Con frecuencia se abrevia este como: Las soluciones de la ecuación son y. RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA SIMPLE Ejemplo de ecuaciones cuadráticas simples. Encuentre la solución de cada ecuación: a) b) Solución: a) De acuerdo con el principio del ejemplo anterior, se obtiene que b) Se obtiene también la raíz cuadrada de cada miembro de esta ecuación: 6

7 Las soluciones son: y. Como se estudió en el ejemplo, si una ecuación cuadrática es de la forma, entonces se puede resolver obteniendo la raíz cuadrada de cada miembro. En una ecuación de esta forma, el primer miembro es un cuadrado perfecto: el cuadrado de una expresión lineal es. Así, si una ecuación cuadrática no se factoriza con facilidad, entonces se puede resolver, aplicando la técnica de completar el cuadrado. Esto quiere decir que se suma una constante a una expresión para hacerla un cuadrado perfecto. Por ejemplo, para hacer cuadrado perfecto se tiene que añadir 9, ya que. un COMPLETAR UN CUADRADO Para hacer que sea un cuadrado perfecto se suma. El cuadrado de la mitad del coeficiente de. Esto da el cuadrado perfecto: Ejemplos de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado. Resuelva: a) b) Solución: a) Si entonces, entonces: Luego: Es decir, y luego es decir o. 7

8 b) Después de restar 6 a cada miembro de la ecuación, es necesario factorizar el coeficiente de es decir, el 3, en el primer miembro para poner la ecuación en la forma correcta completando el cuadrado. Entonces o dicho de otra manera o. LA FÓRMULA CUADRÁTICA Las raíces de la ecuación cuadrática, donde, son: y Se puede aplicar esta fórmula en todos los ejercicios de ecuaciones cuadráticas que se han visto hasta ahora en el curso. Ejemplos de aplicación de Ia fórmula cuadrática. Encuentre las soluciones de las ecuaciones: a) b) c) Solución: a) En esta ecuación cuadrática se tiene que y. De acuerdo con la fórmula cuadrática: 8

9 Si se desean aproximaciones, se puede usar una calculadora para obtener: b) Al usar la fórmula cuadrática con, y se tiene que al usar la fórmula cuadrática: y Esta ecuación tiene solo una raíz, también se puede hablar de que esta ecuación tiene una raíz repetida. c) Si se usa la fórmula cuadrática con y, se obtiene: Durante el desarrollo de la asignatura, se aprendió que el dominio de la función raíz cuadrada es el conjunto de los números positivos y, por lo que la raíz de -1 solo tiene sentido matemático y no real, por lo que la ecuación cuadrática: No tiene raíces. La cantidad se denomina discriminante de la ecuación que aparece bajo el signo de la raíz cuadrada en Ia fórmula cuadrática y se representan con el signo. Si, entonces no está definido, por lo que la ecuación cuadrática no tiene solución real, como en el ejemplo anterior parte c). Si, la ecuación tiene solo una solución real, como en el ejemplo anterior parte b). Por último, si, entonces Ia ecuación tiene dos soluciones reales distintas, como en el ejemplo parte a). En lo que sigue se resumen estas observaciones. EL DISCRIMINANTE El discriminante de la ecuación cuadrática general, es: a) Si, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas. b) Si, entonces la ecuación tiene exactamente una solución real. c) Si, entonces la ecuación no tiene solución real. Ejemplo del uso del discriminante. Utilice el discriminante para determinar cuantas soluciones reales tiene cada ecuación: a) 9

10 b) c) Solución: a) El discriminante asociado a la ecuación, es:, por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones. b) El discriminante asociado a la ecuación es, por lo que la ecuación tiene solo una solución. c) Finalmente, la ecuación de la letra c) tiene discriminante:. Por lo que esta ecuación no tiene soluciones en En seguida, se considerará una situación de la vida real que puede ser modelada mediante una ecuación cuadrática. Ejercicio propuesto: Trayectoria de un proyectil. Un objeto arrojado o lanzado hacia arriba con una velocidad inicial, alcanzando una altura de metros después de t segundos, donde y están relacionadas mediante la fórmula: Donde representa la fuerza de gravedad. Suponga que se dispara una bala directamente hacia arriba con una velocidad inicial de. Su trayectoria se muestra en la figura:. 10

11 a) Cuándo regresará la bala al nivel del piso? b) Cuándo alcanzará una altura de 1 metro? c) Cuándo alcanzará una altura de 2000 metros? d) Cuál es el punto más alto que alcanza la bala? Para resolver el ejercicio puede, si lo desea, aproximar el valor de por 10. ECUACIONES DE OTROS TIPOS EJEMPLO: UNA ECUACIÓN CON EXPRESIONES FRACCIONARIAS Resuelva la ecuación: Solución: Si se eliminan los denominadores, multiplicando ambos miembros por el mínimo común denominador se obtiene: Y simplificando las fracciones se obtiene la expresión equivalente: Reordenando los términos se escribe: Ecuación cuadrática con discriminante dos soluciones que son: y., es decir la ecuación tiene Es importante notar que al buscar soluciones para la ecuación fraccionaria original pues como se sabe no es factible dividir por cero. y Es necesario comprobar las respuestas, porque la multiplicación por una expresión que contiene la variable puede introducir soluciones extrañas. 11

12 Compruebe su respuesta cuando resuelva una ecuación que contenga radicales, se debe ser especialmente cuidadoso al comprobar las respuestas finales. EI ejemplo siguiente demuestra por qué: Solución: Para eliminar la raíz cuadrada, primero se aísla la raíz y luego se eleva al cuadrado: El discriminante de la ecuación cuadrática es, por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática son: y. Para comprobar, si estas dos soluciones son efectivamente soluciones de la ecuación original: debería ser igual a, pero es negativo y la raíz es siempre positiva, lo cuál es una contradicción, luego no puede ser solución de la ecuación. Se comprueba ahora la otra solución: Por otro lado: Por lo que sí es solución de la ecuación original. ECUACIÓN CON VALOR ABSOLUTO Del contenido de la semana 1 se sabe que, quiere decir que las soluciones son y, esta misma idea se puede aplicar a una expresión de la forma: 12

13 De donde se descompone el problema en dos: o Y la solución de la ecuación original estará formada por las dos soluciones obtenidas de los dos problemas presentados anteriormente, es decir, y. Ejemplo de una ecuación con valor absoluto. Resuelva: Solución: De acuerdo con la definición de valor absoluto, equivale a: o bien o o bien bien Las soluciones son o. 13

14 COMENTARIO FINAL Una ecuación puede plantearse como una pregunta, cuál es el valor de que satisface la expresión? Y la solución de esta ecuación viene a jugar el rol de la respuesta. Esta semana se han aprendido dos cosas fundamentales en matemáticas, por un lado está la modelación de las preguntas, es decir, saber escribir con números y variables la pregunta que se está planteando en lenguaje tradicional y luego saber cómo son los pasos a seguir para poder dar una respuesta a esta pregunta. Es necesario observar que no todas las preguntas se plantean en la misma ecuación, pero sí en cada caso se tendrá preguntas que plantean la misma idea y posteriormente la misma solución. 14

15 REFERENCIAS Baldor, A. (2004). Álgebra. México D.F.: Publicaciones Cultural S. A. Stewart, J. (1999). Cálculo, trascendentes tempranas. México: Thomson. Purcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Prentice-Hall Hispanoamericana. 15