Módulo 8. Simplificación de radicales

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1 Módulo 8 Simplificación de radicales OBJETIVO Simplificar expresiones algebraicas con radicales. La simplificación de radicales tiene su principal aplicación en las operaciones con radicales. Estas operaciones se refieren a las clásicas en aritmética, como son la suma, la resta, la multiplicación y la división, sin embargo, en este caso empezaremos estudiando la operación de multiplicación. Veamos algunos métodos para efectuar diversas operaciones con radicales. Para empezar consideremos el proceso de multiplicación de radicales, en la que usaremos el hecho básico: n n n a b ( ab) Lo cual, tiene una expresión equivalente en radicales: n n n a b ab Como ejemplo de este principio se puede ver que, por ejemplo De igual manera x 5y 10xy. Ahora complete lo siguiente: Las respuestas son: a) b) 6 a) b) 6 A veces se puede simplificar el producto de dos radicales. Por ejemplo: Pero , así que: De acuerdo con esto, 15 5, porque

2 Utilizando la propiedad distributiva se pueden resolver las siguientes operaciones, expresando las soluciones de la forma más simple: a) b) c) d) e) f ) g) El hecho básico en que descansa la multiplicación de radicales es que n n n ab a b, donde, si n es par a 0 y b 0. Ahora observe las dos operaciones siguientes y escriba si son verdaderas o falsas: a) b) Por supuesto que son falsas. En lo general a + b a + b, así que ahora debemos aprender cómo hacer sumas y restas de expresiones radicales. La suma de algunos radicales puede únicamente indicarse porque no es posible efectuarla, como en los casos anteriores. De hecho, la suma sólo es posible si se puede aplicar la propiedad distributiva. Recuerde que ésta propiedad afirma que,, ; x y z x y + z xy + xz Observe que, como la propiedad distributiva no tiene aplicación a la suma +, esto no puede efectuarse por lo que sólo quedará indicada. En cambio, en la expresión + 4, si se admite la propiedad distributiva, por lo que: + 4 ( + 4) 7

3 También, como 50 5, la suma + 50 es perfectamente realizable, porque Con frecuencia es necesario simplificar uno o más radicales en una suma indicada, para poder determinar si la propiedad distributiva tiene aplicación y la suma se puede efectuar. Por ejemplo, no se ve claro, de un modo inmediato, si la suma puede hacerse. Sin embargo al simplificar cada radical: Del mismo modo, por ejemplo, se puede sumar 4x + 81x : 4x + 81x 8 x + 7 x x + x 5 x De acuerdo con esto , porque: Ahora intentemos la suma Veamos: Ahora, veamos como efectuar divisiones con radicales. Para esto se utiliza el siguiente hecho: n n a b n a b 0 0 Esto permite que, por ejemplo Observe que todos los radicales comprendidos en la operación son del mismo orden; esto es, que todos tiene el mismo índice n.

4 El resultado simplificado de 6 15 es porque Recordemos divisiones como x 4 x 4 x. La división de radicales tiene el mismo patrón. Por ejemplo: Es posible dividir 10 al menos de dos maneras: Una depende del hecho de que a ac. Por ejemplo: b bc N Otra manera depende del hecho de que N De igual manera:. 5 N porque: Veamos más ejemplos: a) b) Antes de proceder a ampliar nuestra discusión sobre la división de radicales hacia situaciones más complicadas, es importante hacerte notar que el importante hecho de que x es un número irracional, siempre que x no sea el cuadrado de un número racional. Recuerda que x no puede ser negativa en

5 este contexto Así se tiene que De los siguientes cuáles son irracionales? 1 8 ; ; ; ; 5; 6 son números irracionales. a) 7 b) 16 9 Cierto, el único irracional está en a) puesto que 16 4 y. 4 c) Vamos a suponer que se desea hacer la división: Aquí, nos gustaría contar con una técnica para expresar este cociente en su forma más simple. Una forma en la que el denominador sea número racional. Para hacer la división 1, recurriremos al principio a ac. Así, elegimos un b bc multiplicador, con la idea de encontrar un quebrado equivalente cuyo denominador no contenga radicales. Note que si seleccionamos ( + 1) como multiplicador para la fracción anterior, el denominador del quebrado equivalente que resulta es: Ahora, para efectuar la división denominador por ( + 1) para obtener: ( 1) ( + 1) 1, multiplicaremos el numerador y el

6 Esta técnica encuentra aplicación en todos los casos parecidos. Por ejemplo, la división requiere que se multiplique el numerador y el denominador por ( 4) porque ( 4) ( 4) Ya que ( 4) ( 4) llama conjugados A los factores ( 4 ) y ( 4) Por ejemplo, el conjugado de ( 7 ) es ( 7 ) ( 7 )? El conjugado de ( 7 ) es ( 7 ) + se les + Cuál es el conjugado de +. En general ( a + b ) y ( a b ) son conjugados entre sí. El producto de estos conjugados es: Efectúe la división ( a + b ) ( a b ) a b. La solución es porque: ( 5 + ) Actividades de aprendizaje Resuelva las siguientes operaciones con radicales:

7 1)5 + ) 1 + ) 6 4) 5) 16 ( x y ) ( x y ) 6) + 7) ) ) 4 15 ( + ) 1 10) + +

8 SOLUCIONES 1) ) + 6 ) 16 4) 5) x + y x y x y 6) + 1 7) ) ( + ) 9) ) +