Cap1: Initial Value Problems (IVP)

Transcripción

1 Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias Cálculo Numérico 2 IF392 Cap1: Initial Value Problems (IVP) Prof: J. Solano 2018-I

2 Solve y =F(x,y), y(a)= )= 2

3 IVPs Problemas de Valor Inicial Resolver la ecuación diferencial de 1 er orden y = F(x,y) ; y(a) =, donde a x b 3

4 Método de Serie de Taylor El error de truncado es Usando la aproximación por diferencias finitas Obtenemos esta forma, computable numéricamente 4

5 Método de Serie de Taylor En el ejemplo: Determinar y(0,2). La solución analítica es: SOLUCIÓN: por serie de Taylor 5

6 Método de Serie de Taylor Derivando de la ecuación diferencial: Determinar y(0,2). La solución aproximada/numérica es: 6

7 Método de Serie de Taylor El error de truncamiento seria: Donde: La solución analítica da: Y el error sería: 0,4515-0,4539 = -0,0024 7

8 Método de Serie de Taylor Ejemplo: Método de serie de Taylor de integración orden 4 donde i=1,2,3,.,n Tenemos: Resolver: de x=1 a 2, usando h=0.25 8

9 SOLUCIÓN Método de Serie de Taylor Usando y 1 =y, y 2 =y, las ecs de primer orden equivalentes y condiciones iniciales son: Diferenciación repetida de las ecuaciones diferenciales da: 9

10 Eliminar error de truncamiento y j+1 - y j = k f(t j,y j ) PASO 4: Método de Euler para j = 0,1,2,..,M-1, además y 0 = 10

11 Métodos Runge-Kutta de 1 er orden El fin principal del método Runge-Kutta es eliminar la necesidad para derivadas repetidas de las ecuaciones diferenciales. Como la fórmula de integración por serie de Taylor de 1 er orden no envuelve diferenciación entonces el método de Euler puede ser considerado un método Runge-Kutta de 1 er orden. Problema: excesivo error por truncamiento Interpretación gráfica de la ecuación de Euler para y = f(x,y) Cambio en la solución de y entre x y x+h 11

12 Métodos Runge-Kutta de 1 er orden El error de truncamiento es proporcional a la pendiente, o sea a y (x) 12

13 Métodos Runge-Kutta de 2 do orden Aquí asumimos una fórmula de integración de la forma y tratamos de hallar los parámetros c 0, c 1, p y q comparándola con la serie de Taylor, notar que donde n es el número de ecuaciones diferenciales de 1 er orden 13

14 Métodos Runge-Kutta de 2 do orden Podemos reescribir la fórmula de la forma y también, aplicando series de Taylor en varias variables, lo que nos da la ecuación inicial y comparando con ecuación anterior, término a término tres ecuaciones y cuatro parámetros 14

15 Métodos Runge-Kutta de 2 do orden Lo que nos da varias opciones: Método modificado de Euler Método de Heun Método de Ralston todas esas fórmulas son clasificadas como métodos de Runge-Kutta de 2 do orden, y si escogemos el método modificado de Euler La fórmula de integración puede ser evaluada con la siguiente secuencia de operaciones 15

16 Métodos Runge-Kutta de 2 do orden Representación gráfica de la fórmula modificada de Euler para la ecuación diferencial simple y = f(x,y) La primera de las ecuaciones anteriores da un estimado de y en el punto medio x+h/2: y(x+h/2) = y(x) + f(x,y)h/2 = y(x) + K 1 /2. La segunda ecuación aproxima el área bajo la curva de y =f(x,y) por el área K 2 del rectángulo achurado. 16

17 Métodos Runge-Kutta de 2 do orden Usar el método de Runge-Kutta de orden para integrar y = sin y y(0) = 1 desde x=0 a 0.5, en pasos de h=0.1. Precisión computacional de 4 decimales. SOLUCIÓN: Tenemos f(x,y) = sin y entonces las fórmulas de integración dan: 17

18 Métodos Runge-Kutta de 2 do orden Recordar que y(0) = 1, entonces en la integración se procede así: 18

19 Métodos Runge-Kutta de 2 do orden Resumen de todos los cálculos computacionales (máquina o hombre :)): La solución exacta es lo que da para x(1,4664)= La solución numérica es precisa hasta 4 casas decimales, pero si el rango, los pasos, y las casas decimales, aumentan sería difícil mantener esta precisión (errores acumulados de truncamiento y rendondeo) 19