1. INTRODUCCIÓN A LA COMPUTACIÓN NUMÉRICA: Segunda parte: Teoría de Errores

Transcripción

1 1. INTRODUCCIÓN A LA COMPUTACIÓN NUMÉRICA: Segunda parte: Teoría de Errores Jorge Eduardo Ortiz Triviño jeortizt@unal.edu.co

2 Objetivos de la sección Exponer los conceptos de error y aproximación así como las ideas de exactitud y precisión. Establecer la manera como se representan los números en un computador y cómo se operan aritméticamente dentro de la máquina.

3 Contenido de la sección 1. Modelo matemático. 2. Aproximaciones y errores de redondeo. 3. Exactitud y precisión. 4. Definiciones de error. 5. Representación de punto flotante y errores de redondeo. 6. Manipulación aritmética de números en el computador. 7. Ejercicios propuestos.

4 1. Modelos matemáticos Un Modelo matemático es una formulación o una ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o proceso en términos matemáticos Variable dependiente f variables, parámetros, independientes funciones de fuerza Variable dependiente: característica que refleja el comportamiento o estado de un sistema Variables independientes: generalmente dimensiones tales como tiempo y espacio, a través de las cuales se determina el comportamiento del sistema Parámetros: son las propiedades o la composición del sistema Funciones de fuerza: influencias externas que actúan sobre el sistema

5 Un modelo matemático simple Segunda Ley de Newton F ma a F m a: variable dependiente F: función de fuerza m: parámetro que representa una propiedad del sistema Por su forma algebraica sencilla puede despejarse directamente.

6 Un modelo matemático más complicado Segunda Ley de Newton para determinar la velocidad terminal de caída libre de un cuerpo cerca de la superficie de la Tierra (paracaidista) dv F dt m F mg cv g: aceleración de la gravedad c: coef. de arrastre Sustituyendo F dv dt g c m v Es una ecuación diferencial gm c Solución analítica c/ m v t 1 e *Hay casos donde es imposible obtener una solución analítica t

7 t, s Un modelo matemático más complicado Solución numérica Se busca una aproximación a la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo con una diferencia finita dividida dv dt v t v t vt i1 t i1 t i i Pendiente verdadera Sustituyendo v t vt i1 t i1 t i i g c m Solución numérica v t i v v, m/s Pendiente aproximada c m t vt g vt t t i 1 i i i 1 i *Es necesario el valor de la velocidad en un tiempo inicial t i

8 v, m/s Un modelo matemático más complicado Solución analítica vs. Solución numérica Solucion analitica Solucion numerica t, s *mejor solución numérica implica mayor costo computacional

9 2. Aproximaciones y errores de redondeo Dos errores más comunes en métodos numéricos Errores de redondeo: se deben a que la computadora sólo puede presentar cantidades con un número finito de dígitos. Errores de truncamiento: representan la diferencia entre una formulación matemática exacta de un problema y la aproximación dada por un método numérico.

10 2. Aproximaciones y errores de Cifras significativas: redondeo El concepto de cifra significativa se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden ser usadas en forma confiable.

11 2. Aproximaciones y errores de redondeo Implicaciones de las cifras significativas en los métodos numéricos : 1. Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados. Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas.

12 2. Aproximaciones y errores de redondeo 2. Ciertas cantidades representan números específicos,, e, 7, pero no se pueden expresar exactamente con un número finito de dígitos Ejemplo, = hasta el infinito. En los computadores tales números jamás se podrán representar en forma exacta. A la omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo.

13 3. Exactitud y precisión EXACTITUD: se refiere a qué tan cercano está un valor calculado o medido del valor verdadero. PRECISIÓN: se refiere a qué tan cercano está un valor individual calculado o medido con respecto a otros. INEXACTITUD: o sesgo, se define como un alejamiento sistemático de la verdad. IMPRECISIÓN: o incertidumbre, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores.

14 Aumenta la precisión 3. Exactitud y precisión Aumenta la exactitud Los métodos numéricos deber ser: Lo suficientemente exactos o sin sesgo para que cumplan con los requisitos de un problema particular de ingeniería. Lo suficientemente precisos para el diseño en ingeniería.

15 4. Definiciones de error Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas Estos incluyen: Errores de redondeo: se producen cuando los números tienen un limite de cifras significativas que se usan para representar números exactos Errores de truncamiento: que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto

16 4. Definiciones de error Error verdadero E t valor verdadero - aproximación Un defecto de esta definición es que no toma en cuenta el orden de magnitud del valor que se esta probando Error relativo porcentual t Et valor verdadero 100%

17 4. Definiciones de error Error aproximado a Aproximación actual - Aproximación anterior Aproximación actual 100% a Error aproximado valor aproximado 100% Los signos de las ecuaciones pueden ser positivos o negativos No importa el signo, sino que su valor absoluto sea menor que una tolerancia prefijada s a s

18 4. Definiciones de error Estos errores pueden ser relacionados con el número de cifras significativas en la aproximación. Puede tenerse la seguridad de que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas, si s 2n % De esta forma se debe especificar el valor del error esperado.

19 Ejemplo 1. Se mide un puente y un remache, y se obtienen 9999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son y 10 a) encontrar el error verdadero y b) el error relativo porcentual verdadero en cada caso. a) Puente: Remache: b) E t = = 1 cm E t = 10 9 = 1 cm Puente: t = 1/10000 x 100% = 0.01 % Remache: t = 1/10 x 100% = 10 %

20 Ejemplo 2. Escriba un programa en C++ que imprima una tabla con valores calculados de e x, para x = 0.5 utilizando la siguiente expansión: e x 1 x 2 x 2! Imprima el número de términos (comenzando en 1), el resultado de la suma y el error relativo porcentual. Termine el proceso cuando el error relativo porcentual sea menor a 0.004%. El valor exacto determínelo con la función exp() de C++. 3 x 3!

21 /* Programa para evaluar la función exponencial en 0.5 usando la serie de Taylor. */ #include <iostream> #include <math.h> int main() { float x = 0.5, suma = 1, pi = ,error,fact = 1,pot = 1; int iter = 1; cout << "No.\tSuma\tError" << \n ; do{ error = (suma-exp(x))/exp(x)*100.0; std::cout << iter << "\t" << suma << "\t" << error << "\t" << \n ; pot *= x; //siguiente potencia de x fact *= iter; //siguiente factorial suma += pot/fact; //siguiente valor de la suma iter++; }while(fabs(error)>0.004); } system("pause"); return 0;

22 No. Suma Error Presione una tecla para continuar...

23 5. Representación de punto flotante y errores de redondeo 1. Hay un rango limitado para representar cantidades Hay números grandes positivos y negativos que no pueden ser representados (overflow) No pueden representarse números muy pequeños (underflow) 2. Hay sólo un número finito de cantidades que puede ser representado dentro de un rango. El grado de precisión es limitado. Para aquellos que no pueden ser representados exactamente, la aproximación real se puede lograr: cortando o redondeando.

24 5. Representación de punto flotante y errores de redondeo 3. El intervalo entre números aumenta tanto como los números crecen en magnitud. El error cuantificable más grande ocurrirá para aquellos valores que caigan justo debajo del limite superior de la primera serie de intervalos igualmente espaciados.

25 6. Manipulación aritmética de números en el computador Junto con las limitaciones del sistema numérico de un computador, las manipulaciones aritméticas pueden dar como resultado errores de redondeo Para ilustrar el efecto del error de redondeo en operaciones aritméticas comunes emplearemos un computador decimal hipotética con una mantisa (significado) de 4 dígitos y exponente de 1 dígito

26 Suma 6. Manipulación aritmética de números en la computadora Cuando dos números de punto flotante son sumados, el número de la mantisa con menor exponente es modificado de tal forma que los exponentes sean los mismos, para alinear el punto decimal Ejemplo:

27 Resta 6. Manipulación aritmética de números en el computador Se agrega un cero que no es significativo La pérdida significativa durante la resta de números casi iguales es una gran fuente de errores de redondeo en métodos numéricos Se agregan tres ceros que no son significativos

28 6. Manipulación aritmética de números en la computadora Multiplicación Los exponentes se suman y la mantisa se multiplica Ejemplo: = Cálculos grandes Ciertos métodos requieren un número extremadamente grande de operaciones aritméticas Generalmente los cálculos son dependientes de los resultados previos En consecuencia, incluso el error de redondeo individual puede ser pequeño, pero acumulando esos efectos durante el proceso puede ser significativo

29 6. Manipulación aritmética de números en la computadora Suma de un número grande y uno pequeño Puede no estar realizando la suma Este tipo de error puede ocurrir cuando se calculan series infinitas El término inicial dentro de cada serie es a menudo relativamente grande en comparación con los otros términos, después de sumar algunos términos estamos en la situación del ejemplo Para reducir este tipo de errores se suma la serie en reversa 4

30 7. Ejercicios propuestos 1. a) Evalúe el polinomio y = x 3 7x 2 + 8x En x = 1.37, utilizando aritmética de 3 dígitos con truncamiento (corte). Evalúe el error relativo porcentual. b) Repita a) con y calculada con y = ((x 7)x + 8)x Evalúe el error y compárelo con el de a)

31 7. Ejercicios propuestos 2. La serie: n i1 1 4 i Converge al valor f(n) = 4 /90, conforme n tiende a infinito. Escriba un programa en C++ de precisión sencilla para calcular para n =10000 por medio de calcular la suma desde i = 1 hasta Después repita el cálculo pero en sentido inverso, es decir, desde i = a 1, con incrementos de -1. En cada caso, calcule el error relativo porcentual verdadero. PI =