Programación y Métodos Numéricos Errores de de redondeo en en la la representación de de números reales: CODIFICACIÓN DE NÚMEROS REALES

Transcripción

1 Programación y Métodos Numéricos Errores de de redondeo en en la la representación de de números reales: CODIFICACIÓN DE NÚMEROS REALES Carlos Conde LázaroL Arturo Hidalgo LópezL Alfredo López L Benito Febrero,

2 Sistemas de de codificación binarios en en coma flotante normalizada Expresan los números en notación científica binaria pero: º) Asignando (t+) bits para almacenar el exponente. 2º) Utilizando mantisas con (s+) bits 3º) Almacenando sólo la información significativa de la mantisa La condición ª implica que sólo se pueden representar números no nulos cuyo valor absoluto esté comprendido entre ciertas cotas. Las condiciones ª y 2ª implican que: * Sólo existe un número finito de números. * Las mantisas de los números reales con más dígitos decimales deben ser aproximadas por otras con s dígitos binarios decimales. 64

3 Codificación del exponente en en (t+) bits Bit de signo del exponente t bits para el valor absoluto del exponente CONVENIO: 0 Signo + Signo - Ejemplo: Con 7 bits se tienen las siguientes codificaciones de exponentes: -8 = = = No puede codificarse 93 = No puede codificarse 65

4 Codificación del exponente en en (t+) bits: cotas Mayor exponente que puede codificarse: M = = ( 2 t ) 0 t bits Menor exponente que puede codificarse: m = = -( 2 t ) 0 t bits OBSERVACIÓN: En los sistemas reales estas cotas son ligeramente distintas al evitarse la duplicidad del código asignado al exponente nulo y normalizarse los exponentes. 66

5 Aproximación de de números reales en en base 2 expresados en en coma flotante normalizada Técnicas de aproximación de mantisas de la forma: ±. d d...d d... 2 s s+ por mantisas con s dígitos decimales: Truncado: ±. dd 2...dsd s+... ±. dd2...ds Redondeo: ±. dd 2...ds si ds+ = 0 ±. dd 2...dsd s+... ± (. dd 2...ds + si ds+ = ) Suma binaria NOTA: Algunos fabricantes de ordenadores incorporan también otras técnicas 67

6 Aproximación de de números reales en en base 2 expresados en en coma flotante normalizada Redondeo a mantisas con 6 dígitos binarios decimales: z = º Dígito decimal z = e 7º Dígito decimal Ajuste de exponentes: = z*..2 e e e e+ = z* 68

7 Codificación de de las mantisas Los (s+) bits disponibles para almacenar la mantisa se destinan a: El primero para almacenar el signo (un 0 si es positivo y un si es negativo). Los s bits siguientes para almacenar los s primeros dígitos binarios decimales de la mantisa. El dígito entero de la mantisa no se almacena pues siempre es (salvo para el número 0., que tiene una codificación especial). 69

8 Codificación de de las mantisas: ejemplo Sistema con t = 7 bits para el exponente y s = 3 bits para mantisa ( ) 0 = i2 3 Exponente: +0 Mantisa: (redondeo)

9 Los números máquina binarios El conjunto de todos los números expresados en base 2 que expresados en coma flotante tienen mantisas formadas por s dígitos decimales y exponentes acotados por entre los valores enteros m y M se denomina conjunto de números máquina del sistema: Inicial de Float F((s+), m, M, 2) Bits de la mantisa Menor exponente permitido Mayor exponente permitido Base de numeración utilizada 7

10 Ejemplo F(3, -2, 2, 2) { , ±. 00i2, ±. 0i2, ±. 0i2, ±. i2, ±. 00 i2, ±. 0i2, ±. 0i2, ±. i2, ±. 00i2, ±. 0i2, ±. 0i2, ±. i2, ±. 2, ±. 2, ±. 2, ±. 2 00i 0i 0i i, ±. 00i2, ±. 0i2, ± 0i ± i ,. 2 } En base 0 { 0, + 2-2, +( ), +( ), +( ), + 2 -, +( ), +( ), +( ), + 2 0, +( ), +( ), +( ), + 2, +( ), +( ), +( ), + 2 2, +( ), +( ), +( ) } 72

11 F(3, -2, 2, 2) { 0., +0.25, , , , +0.5, , , , +.0, +.25, +.5, +.75, + 2.0, +2.5, +3.0, +3.5, + 4.0, +5.0, +6.0, +7.0 } Ejemplo (cont.) Sólo hay N = 4 números. El mayor de ellos es C = 7. El positivo menor no nulo es c =0.25. No todos los números consecutivos distan lo mismo. 73

12 Distribución de de los los números de de F(s+, m, m, M, M, 2) 2) Los números máquina de mayor valor absoluto son más distantes entre sí 74

13 Distribución del conjunto F(s+, m, m, M, M, 2) 2) *) Número de números máquina de F(s+, m, M, 2): (s ) N = 2 + i(m m + ) + *) Mayor número máquina de F(s+, m, M, 2): (s+ ) M s C = (2 ) i2 *) Menor número máquina positivo de F(s+, m, M, 2): m c = 2 *) Siendo e el exponente de un número máquina positivo de F(s+,m,M,2), la distancia entre él y el siguiente e s en valor absoluto es: d = 2 (Igual para negativos sustituyendo siguiente por anterior.) 75

14 Propiedades de de la la aproximación de de números reales por números máquina de de F(s+, m, m, M, M, 2) 2) mediante truncado Sean: z = ±. d d...d d e... i 2 (número que se aproxima) 2 s s+ z*. 2 Se verifica: e = ± dd 2...dsi (número máquina de F(s+, m, M, 2) Δ = E z z e z z* 2 s z z* z obtenido aproximando z por truncado) s = 2 z 0 76

15 Propiedades de de la la aproximación de de números reales por números máquina de de F(s+, m, m, M, M, 2) 2) mediante redondeo Sean: z = ±. d d...d d e... i 2 (número que se aproxima) 2 s s+ z*. 2 e' = ± d' d' 2...d' si (número máquina de F(s+, m, M, 2) Se verifica: Δ E z z = e s z z* 2 z z* z obtenido aproximando z por redondeo) s = 2 z 0 77

16 La La unidad de de redondeo de de F(s+, m, m, M, M, 2) 2) De las propiedades anteriores se tiene que: z 0: E z z z* = u = s 2 aproximando por truncado s z 2 aproximando por redondeo UNIDAD DE REDONDEO DE F(s+, m, M, 2) Propiedad. z* z z 0 sea δz = z* = ( + δz) iz z Se verifica que: δ z u 78

17 Overflow y underflow en en F(s+, m, m, M, M, 2) 2) NO pueden aproximarse por un número máquina del sistema F(s+ s+, m, M,, 2): * Los números reales con valor absoluto superior o igual a: M+ 2 (truncando) N OVERFLOW = s+ 2 M s (2 ) i2 (redondeando) * Los números reales no nulos con valor absoluto inferior a: n m 2 (truncando) = (2 ) i2 (redondea ndo) UNDERFLOW s+ 2 m s 2 79

18 Overflow y underflow en en F(s+, m, m, M, M, 2) 2) (cont.) Sólo pueden aproximarse por números máquina no nulos del sistema F(s+, m, M, 2) aquellos números reales z para los que se verifique: nunderflow z < N OVERFLOW Si z N OVERFLOW ERROR DE OVERFLOW Si z < n UNDERFLOW ERROR DE UNDERFLOW ASIMILACIÓN A 0. 80

19 Exponente: 8 bits (uno para el signo) Mantisa: 24 bits (uno para el signo) Mayor exponente: + ( ) = 27 Menor exponente: -27 Ejemplo º º Número de números máquina: 2 24 (27 (-27) + ) + = Mayor número máquina: (2 24 -) = Menor número máquina positivo: Unidad de redondeo: Truncando u = Redondeando u =

20 Exponente: bits (uno para el signo) Mantisa: 53 bits (uno para el signo) Mayor exponente: + ( ) = 023 Menor exponente: -023 Ejemplo 2º 2º Número de números máquina: 2 53 (023 (-023) + ) + = Mayor número máquina: (2 53 -) = Menor número máquina positivo: Unidad de redondeo: Truncando u = Redondeando u =

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