Universidad de San Buenaventura - Facultad de Ingeniería

Transcripción

1 Aproximaciones Para trabajar con números decimales que tienen muchas cifras decimales, o infinitas, hacemos aproximaciones. Decimos que la aproximación de un número es por defecto cuando es menor que el valor exacto y por exceso cuando es mayor. Ejemplo: Valor exacto Aproximación por defecto Aproximación por exceso = 3, ,14 3,15 = 2, ,718 2,719 5, ,856 5,857 Podemos aproximar un número real por redondeo: Para aproximar un número por redondeo, tomamos el número de cifras que necesitamos, eliminamos el resto y modificamos, si es necesario, la última cifra decimal de la aproximación según la siguiente regla: - Si la primera cifra que eliminamos es menor que 5, dejamos igual las cifras anteriores - Si la primera cifra que eliminamos es mayor o igual que 5, sumamos 1 a la cifra anterior (la última cifra de la aproximación) Ejemplo: Valor exacto Aproximación por redondeo 321, ,55-1, ,523 0,25 0,2556 Matemáticas: Prueba de acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior Escrito por Alicia Espuig, pag: 26, 27

2 Precisión y exactitud En ingeniería, ciencia, industria, estadística, exactitud y precisión no son equivalentes. Precisión. Se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión. Una medida común de la variabilidad es la desviación estándar de las mediciones y la precisión se puede estimar como una función de ella. Exactitud Se refiere a cuán cerca del valor real se encuentra el valor medido. Se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa. Cuando expresamos la exactitud de un resultado se expresa mediante el error absoluto que es la diferencia entre el valor experimental y el valor verdadero. " " " Precisión alta Precisión alta Precisión alta Exactitud baja Exactitud baja Exactitud alta

3 Error absoluto, relativo y porcentual Error absoluto Es la diferencia entre la medición y el valor promedio. Error absoluto = Medición Valor promedio Error relativo Es el cociente ubicado entre el valor absoluto y el valor promedio (se expresa en valores absolutos, sin importar el signo del error absoluto). Error porcentual Es el error relativo multiplicado por 100, con lo cual queda expresado como porcentaje. Ejemplo: Datos (2, 6, 5, 1, 7) Valor promedio / 5 21/ Error absoluto = = = = = 4.9 Error porcentual = Error relativo x 100

4 Error relativo -0.1 / 2.1 = / 2.1 = / 2.1 = / 2.1 = / 2.1 = Error porcentual x 100 = 4.8% x 100 = 185.7% x 100 = % x 100 = 52.4% x 100 = 233.3% Física 1: bachillerato, Pearson Educación, 2007, página 21

5 Cifras significativas El concepto de cifra significativa es uno de los más confusos del análisis de incertidumbres, al superponerse en él consideraciones de tipo matemático y de tipo físico. En general, estamos interesados en encontrar un concepto de significación física (por tanto experimental, no exclusivamente numérica) de una determinada cifra integrante de una expresión numérica. Es evidente que ello dependerá de la medida concreta y vendrá determinada por su incertidumbre experimental concreta. Podemos definir el concepto de cifra significativa como aquella que aporta información no ambigua ni superflua acerca de una determinada medida experimental. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error. Esta definición nos conduce a las siguientes reglas de cómputo de cifras significativas, general aunque no universalmente admitidas: 1. Todas las cifras diferentes de cero que expresen cantidades iguales o superiores a la incertidumbre experimental son significativas. A la hora de contar el número de cifras exactas o significativas no se tiene en cuenta los ceros que están a la izquierda de la primera cifra no nula. Número N cifras significativas ( )mm 5 (0, )mm 3 2. Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos Número N cifras significativas

6 3. Los ceros a la izquierda del primer dígito que no es cero sirven solamente para fijar la posición del punto decimal y no son significativos 4. En un número con dígitos a la derecha del punto decimal, los ceros a la derecha del último número diferente de cero son significativos 5. En un número que no tiene punto decimal y que termina con uno o más ceros (como 3600), los ceros con los cuales termina el número pueden ser o no significativos. El número es ambiguo en términos de cifras significativas. Antes de poder especificar el número de cifras significativas, se requiere información adicional acerca de cómo se obtuvo el número. Si el número es el resultado de una medición, los ceros probablemente no son significativos. Si el número ha sido contado o definido, todos los dígitos son significativos. Número N cifras significativas Número N cifras significativas

7 Se evitan confusiones expresando los números en notación científica. Cuando están expresados en esta forma todos los dígitos se interpretan como significativos. Número 2.0 x 2 (Cifras Significativas) N cifras significativas 3.6 x x x 4 2 x 1

8 Representación de un número en la memoria de una computadora Sistema de numeración binario El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1). En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. La base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números. Conversión entre números decimales y binarios Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos. Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes: 77 : 2 = 38 Resto: 1 38 : 2 = 19 Resto: 0 19 : 2 = 9 Resto: 1 9 : 2 = 4 Resto: 1 4 : 2 = 2 Resto: 0 2 : 2 = 1 Resto: 0 1 : 2 = 0 Resto: 1 y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria: Conversión de binario a decimal 7710 = El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda. Por ejemplo, para convertir el número binario a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit: 1* * * * * * *2 0 = = 8310

9 Sistema de numeración octal El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8. Conversión de un número decimal a octal La conversión de un número decimal a octal se hace mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal tendremos que hacer las siguientes divisiones: 122 : 8 = 15 Resto: 2 15 : 8 = 1 Resto: 7 1 : 8 = 0 Resto: 1 Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal: Conversión octal a decimal = 1728 La conversión de un número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posición en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el número 2378 a decimal basta con desarrollar el valor de cada dígito: 2* * *8 0 = = = Sistema de numeración hexadecimal En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente,

10 porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16. Utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del número será necesario hacer las siguientes divisiones: 1735 : 16 = 108 Resto: : 16 = 6 Resto: C es decir, : 16 = 0 Resto: 6 De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en hexadecimal: = 6C716

11 " Representación de un número en punto flotante de acuerdo al estándar de punto flotante IEEE 754. En el año 1985 la IEEE estandarizó la forma de representar los números flotantes y como realizar las operaciones aritméticas, esta norma se conoce como IEEE 754. Se definen dos resoluciones posibles para los números, simplificando a dos modalidades la norma. Simple precisión (32 bit) y doble precisión (64 bit) Cómo funcionan los números de punto flotante La idea es descomponer el número en dos partes: Una mantisa (también llamada coeficiente o significando) que contiene los dígitos del número. Mantisas negativas representan números negativos. Un exponente que indica dónde se coloca el punto decimal (o binario) en relación al inicio de la mantisa. Exponentes negativos representan números menores que uno. donde S es el bit de signo y Exp es el campo exponente. (Para el signo: 0=Positivo ; 1= Negativo). El exponente es desplazado en el un número en precisión simple, un exponente en el rango 126 a +127 es desplazado mediante la suma de 127 para obtener un valor en el rango 1 a 254 (0 y 255 tienen valores especiales descritos más adelante). Cuando se interpreta el valor en coma flotante, el número es desplazado de nuevo para obtener el exponente real.

12 El conjunto de valores posibles pueden ser divididos en los siguientes: ceros números normalizados números desnormalizados infinitos NaN ( E, no es un número, como por ejemplo, la raíz cuadrada de un número negativo) Las clases se distinguen principalmente por el valor del campo Exp, siendo modificada ésta por el campo fracción. Considera Exp y Fracción como campos de números binarios sin signo (Exp se encuentra en el rango 0 255): Matemáticamente, cómo funciona este sistema de representación? Dado un número real x será representado como su signo, multiplicado por el valor de su mantisa (número normalizado tipo notación científica) y multiplicado además por la base de representación elevada al valor del exponente sesgado. (1)" (2)"

13 Conversión de un número escrito en memoria de computador, en el estándar de punto flotante IEEE 754, a decimal. Hablando en términos de representación numérica en computadores y tomando como ejemplo el caso de simple precisión donde se reserva un bit para el signo, 8 bits para el exponente y 23 bits para la matisa tenemos: Bit de signo: 0 positivo / 1 negativo El exponente se representa sesgado al valor dado por la fórmula (2). En el caso de simple precisión sería: exps = 2^(8-1)-1 = (2^7) - 1 =127. La mantisa en binario es un número del tipo 1.xxxxx donde el primer 1 no fraccionario se asume y no se representa dentro del formato. Conversión de un número decimal, en el estándar de punto flotante IEEE 754, a número escrito en memoria de computador. Ejemplo1 : Conversión del decimal -118,625 al estándar de punto flotante IEEE 754 Necesitamos obtener el signo, el exponente y la fracción. Dado que es un número negativo, el bit de signo es "1". Primero, escribimos el número (sin signo, es decir 118,625) usando notación binaria. Consulta el sistema de numeración binario para ver cómo hacer esto. El resultado es ,101.

14 " Ahora, movemos la coma decimal a la izquierda, dejando sólo un 1 a su izquierda ,101 = 1, Esto es un número en coma flotante normalizado. El significante es la parte a la derecha de la coma decimal, rellenada con ceros a la derecha hasta que obtengamos todos los 23 bits. Es decir El exponente es 6, pero necesitamos convertirlo a binario y desplazar (de forma que el exponente más negativo es 0, y todos los exponentes son solamente números binarios no negativos). Para el formato IEEE coma flotante, el desplazamiento es 127, así es que = 133. En binario, esto se escribe como Ejemplo2 : */comentado-- 437/512= -9/* Conversión del decimal 5037,792 al estándar de punto flotante IEEE 754 El bit de signo es 0 por lo que es positivo. Se debe pasar a binario, el resultado es Se Normaliza, el resultado es 1, la coma se corrió 12 lugares.

15 Esto es un número en coma flotante normalizado. 1, Para el formato IEEE coma flotante, el desplazamiento es 127, así es que = 139. En binario, esto se escribe como <-- Tamaño en bits S Exp Significante <-- índice del bit (0 a la derecha) desplazado +127 Ejemplo 3: Convertir la siguiente precisión simple IEEE 754 número en un valor decimal de coma flotante En primer lugar, poner los trozos en tres grupos. Bit 31 (el bit más a la izquierda) muestra el signo del número. Bits (los próximos 8 bits) son el exponente. Bits 0-22 (a la derecha) da la fracción Ahora,determina el bit de signo. Si este bit es un 1, el número es negativo. Si es 0, el número es positivo. Este bit es 1, por lo que el número es negativo. Obtener el exponente y el sesgo correcto.

16 El exponente es simplemente un número binario positivo bin = 129 diez Recuerde que tendremos que restar un sesgo de este exponente para encontrar la potencia de 2. Como se trata de un número de precisión simple, el sesgo es 127. Convertir la parte fracción en base diez. Este es el paso más difícil. La cadena binaria representa una fracción, por lo que la conversión es un poco diferente. fracciones binarias aspecto: 0,1 = (1/2) = 2-1 = 0,01 (1/4) = = (1/8) = 2-3 Por lo tanto, para este ejemplo, multiplicamos cada dígito por la potencia correspondiente de 2: bin =( 1 * 2-1 )+ (0 * 2-2 )+( 1 * 2-3 )+ (1 * 2-4 )+ (0 * 2-5 )+ (0 * 2-6 ) bin = 1/2 + 1/8 + 1/ Tenga en cuenta que este número es sólo una aproximación de un número decimal. Lo más probable es haber algún error. En este caso, la fracción es de aproximadamente, con la información anterior, se colocan los números en la expresión: (-1) bit de signo * (1+ fracción ) * 2 exponente - sesgo = (-1) 1 * ( ) * La respuesta es aproximadamente -6.8 = -6.8