Representación de números en binario

Transcripción

1

2 Representación de números en binario Enteros con signo. Overflow con enteros. Reales con punto flotante. Overflow y underflow con reales. Universidad de Sonora 2

3 Enteros con signo Método del complemento a 2. Los números no negativos se representan en binario. Ejemplo: 7 10 = Los números negativos se representan en complemento a 2. Universidad de Sonora 3

4 Complemento a 2 Convertir el valor absoluto del número a base 2. Intercambiar ceros por unos y viceversa. Sumar 1 al resultado. Ejemplo: con 4 bits. 5 = Invertir el número: Sumar 1: 1011 Conclusión: = = B 16. Universidad de Sonora 4

5 Complemento a 2 Ojo: el complemento a 2 depende del número de bits que se usen para representar enteros (típicamente 32 o 64 bits). Ejemplos: = = B 16 en una CPU de 4 bits = = FB 16 en una CPU de 8 bits = = FFFB 16 en una CPU de 16 bits. Universidad de Sonora 5

6 Complemento a 2 Usando complemento a 2 la resta se vuelve una suma. A B se convierte en A + (-B). Ejemplo: En binario: se convierte en: (17) (-9) (8 porque siempre se elimina el carry final) Universidad de Sonora 6

7 Overflow con enteros El overflow ocurre cuando el resultado de una operación no se puede representar en el hardware. Con 4 bits, el rango de enteros con signo, usando complemento a dos para los negativos, es de -8 a +7. La suma genera overflow. La resta -5 6 genera overflow Universidad de Sonora 7

8 Overflow con enteros Sumando con 4 bits: 0101 (+5) (+6) (-5) error! Restando -5 6 con 4 bits: 1011 (-5) (-6) (+5) error! Universidad de Sonora 8

9 Detectando overflow El overflow ocurre en la suma cuando: Al sumar dos positivos el resultado es negativo. Al sumar dos negativos el resultado es positivo. El overflow ocurre en la resta cuando: Al restar un negativo de un positivo el resultado es negativo. Al restar un positivo de un negativo el resultado es positivo. Universidad de Sonora 9

10 Detectando overflow Operación A B Resultado indicando overflow A + B > 0 > 0 < 0 A + B < 0 < 0 > 0 A - B > 0 < 0 < 0 A - B < 0 > 0 > 0 Universidad de Sonora 10

11 Números reales con punto flotante Se usa para representar números reales con precisión finita. PI = es un número real es número real sin normalizar. 7 x 10-5 es un número real en notación científica y está normalizado. Un número normalizado tiene un solo dígito (distinto de cero) en la parte entera. Universidad de Sonora 11

12 En binario x x x x 2-3 = En notación científica normalizada: x 2 4 Un número binario real normalizado siempre tiene un 1 en el lugar de las unidades. Universidad de Sonora 12

13 Precisión sencilla vs doble En Java: Tipo Precisión Tamaño Rango float Sencilla 4 bytes e-45 a e+38 (positivo o negativo) double Doble 8 bytes e-324 a e+308 (positivo o negativo) Universidad de Sonora 13

14 Standard IEEE Standard del IEEE (Institute of Electrical and Electronic Engineers) para cálculos de punto flotante. El standard define: Formatos para representar números Formatos de intercambio Reglas de redondeo Operaciones Manejo de excepciones Usado por toda CPU diseñada desde Universidad de Sonora 14

15 Formatos Ver Universidad de Sonora 15

16 Precisión sencilla Los 32 bits se dividen en: 1 bit de signo (1 negativo, 0 positivo). 8 bits para el exponente. 23 bits para la mantisa. Universidad de Sonora 16

17 Precisión sencilla Notas: 1. El exponente se guarda en exceso a En el campo de mantisa se guarda solo la parte fraccionaria, el 1 de la parte entera no se almacena. 3. La mantisa se guarda justificada a la izquierda rellenando de ceros a la derecha si es necesario. 4. El número se reconstruye así: N = (-1) s x (1 + mantisa) x 2 E 127 Universidad de Sonora 17

18 Ejemplo Representar en el standard IEEE con precisión sencilla. El bit de signo es 0 Se pasa a binario Se normaliza x 2 4 El exponente, 4, en exceso 127 es 131. En binario es La parte fraccionaria de la mantisa extendida a 23 bits es En conclusión, se representa en binario como Universidad de Sonora 18

19 Ejemplo Representar en el standard IEEE con precisión sencilla. El bit de signo es en binario es El binario normalizado es El exponente, 6, en exceso 127 es 133. En binario es La parte fraccionaria de la mantisa, rellenando con ceros a la derecha, es En conclusión se representa en binario como Universidad de Sonora 19

20 Características principales Dos ceros: Cero positivo (+0): s = 0, e = 0, m = 0 Cero negativo (-0): s = 1, e = 0, m = 0 Dos infinitos: Infinito positivo: s = 0, e = 255, m = 0 Infinito negativo: s = 1, e = 255, m = 0 Dos NaN (not a number): NaN positivo: s = 0, e = 255, m > 0 NaN negativo: s = 1, e = 255, m > 0 Universidad de Sonora 20

21 Características principales Números más grandes: Positivo: = Negativo: = Números más pequeños: Normalizado positivo: = Normalizado negativo: = Denormal positivo: = Denormal negativo: = Universidad de Sonora 21

22 Resumen Universidad de Sonora 22

23 Overflow y underflow Se produce un overflow cuando un exponente positivo es tan grande que no cabe en el campo exponente. Se produce un underflow cuando un exponente negativo es tan grande que no cabe en el campo exponente. Se puede evitar el overflow y/o el underflow usando precisión doble en lugar de precisión sencilla. Universidad de Sonora 23