Cómo ejecuta el hardware las operaciones básicas (suma, resta, división y multiplicación).

Transcripción

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2 Objetivos Cómo ejecuta el hardware las operaciones básicas (suma, resta, división y multiplicación). Operaciones con números enteros. Operaciones con números reales. Universidad de Sonora 2

3 Suma Sumar 7 más 6: Hay que tomar en cuenta los acarreos: Universidad de Sonora 3

4 Resta Restar 7 6. Se puede hacer directo: O se puede usar una suma, recordando que 7 6 = 7 + (-6): En conclusión, la resta se puede hacer con una suma. Universidad de Sonora 4

5 Pero Por cuestiones de eficiencia las sumas no se hacen bit a bit (sumador de ripple carry). Si dos bits se pueden sumar en un ciclo de reloj, dos números de n bits necesitan al menos 2n ciclos (un ciclo para la suma y otro para pasar el carry al siguiente paso). Hay algoritmos para hacer sumas rápidas. El más común se llama sumador de carry-lookahead (carry adelantado). Universidad de Sonora 5

6 Suma de dos números de 1 bit a b S C S = a b C = a. b A este sumador se le conoce como medio sumador (half adder) Universidad de Sonora 6

7 Suma de tres números de 1 bit Entrada: Dos números, a y b, de 1 bit. Un carry de entrada, c0, de 1 bit. Salida: La suma, S = a + b + c0, de 1 bit. Un carry de salida, c1, de 1 bit. Universidad de Sonora 7

8 Sumador completo (full adder) a b c0 S c S = a b c0 c1 = a. c + a. b + b. c Universidad de Sonora 8

9 Suma de dos números de dos bits Entrada: Un número de 2 bits, A = a1a0. Un número de 2 bits, B = b1b0. Un carry de entrada, c0, de 1 bit. Salida: La suma, S = A + B, de dos bits, S = s1s0. Un carry de salida, c2, de 1 bit. Un carry intermedio, c1, de 1 bit. Universidad de Sonora 9

10 Ecuaciones para los carries La suma es el or exclusivo de ai, bi, y ci. Nos enfocamos en los carries, ci. c1 = (b0. c0) + (a0. c0) + (a0. b0) c2 = (b1. c1) + (a1. c1) + (a1. b1) Sustituyendo c1 en c2: c2 = (a1. a0. b0) + (a1. a0. c0) + (a1. b0. c0) + (b1. a0. b0) + (b1. a0. c0) + (b1. b0. c0) + (a1. b1) Se puede calcular c1 y c2 en paralelo. Universidad de Sonora 10

11 Ecuaciones para los carries Ese razonamiento se puede extender para números de n bits (n = 8, 16, 32, 64, 128, etc.) Y calcular los n carries en paralelo. Universidad de Sonora 11

12 Pero La ecuación para ci se expande conforme i crece. Con números de dos bits se requieren: 6 compuertas AND de 3 entradas. 1 compuerta AND de 2 entradas. 1 compuerta OR de 7 entradas. Para números de 32 bits el costo del hardware y de energía es prohibitivo. Hay que buscar otra solución, aunque no sea las más rápida. Universidad de Sonora 12

13 Sumador de carry lookahead Se tiene que: c1 = (b0. c0) + (a0. c0) + (a0. b0) c2 = (b1. c1) + (a1. c1) + (a1. b1) En general: ci+1 = (bi. ci) + (ai. ci) + (ai. bi) = (ai. bi) + (ai + bi). ci Universidad de Sonora 13

14 Sumador de carry lookahead Se reescribe la ecuación para c2: c2 = (a1. b1) + (a1. b1). ((a0. b0) + (a0 + b0). c0) Se nota que se repiten los factores (ai. bi) y (ai + bi). Se definen los factores genera (gi) y propaga (pi): gi = ai. bi pi = ai + bi Universidad de Sonora 14

15 Genera y propaga Se rescribe la ecuación para ci+1: ci+1 = gi + pi. ci Si gi = 1: ci+1 = 1. Si gi = 0 y pi = 1: ci+1 = ci Universidad de Sonora 15

16 Genera y propaga Usando la ecuación de ci+1 se definen los carries: c1 = g0 + (p0. c0) c2 = g1 + (p1. g0) + (p1. p0. c0) c3 = g2 + (p2. g1) + (p2. p1. g0) + (p2. p1. p0. c0) c4 = g3 + (p3. g2) + (p3. p2. g1) + (p3. p2. p1. g0) + (p3. p2. p1. p0. c0) Se pueden calcular los carries en paralelo. Las ecuaciones se complican rápidamente. Hay que buscar una forma de simplificar las ecuaciones. Universidad de Sonora 16

17 Usando un segundo nivel de abstracción Suponer que se cuenta con un sumador de 4 bits con carry-lookahead. Se puede construir un sumador de 16 bits conectando 4 sumadores de 4 bits en serie (ripple). El carry de salida del sumador j se conecta al carry de entrada de sumador j + 1. El carry de entrada del sumador 0 es el carry inicial. El carry de salida del sumador 3 es el carry final. Universidad de Sonora 17

18 Propaga de segundo nivel Se define la señal súper propaga: P0 = p3. p2. p1. p0 P1 = p7. p6. p5. p4 P2 = p11. p10. p9. p8 P3 = p15. p14. p13. p12 Universidad de Sonora 18

19 Genera de segundo nivel Se define la señal súper genera G0 = g3 + (p3. g2) + (p3. p2. g1) + (p3. p2. p1. g0) G1 = g7 + (p7. g6) + (p7. p6. g5) + (p7. p6. p5. g4) G2 = g11 + (p11. g10) + (p11. p10. g9) + (p11. p10. p9. g8) G3 = g15 + (p15. g14) + (p15. p14. g13) + (p15. p14. p13. g12) Universidad de Sonora 19

20 Carries de segundo nivel Los carries para cada sumador de 4 bits: C1 = G0 + (P0. c0) C2 = G1 + (P1. G0) + (P1. P0. c0) C3 = G2 + (P2. G1) + (P2. P1. G0) + (P2. P1. P0. c0) C4 = G3 + (P3. G2) + (P3. P2. G1) + (P3. P2. P1. G0) + (P3. P2. P1. P0. c0) Universidad de Sonora 20

21 Conclusión Para hacer un sumador de 16 bits con carrylookahead se necesitan: 4 sumadores con carry- lookahead de 4 bits. 1 unidad de carry-lookahead. Los carries de entrada de cada sumador de 4 bits se toma de la unidad de carry-lookahead. Universidad de Sonora 21

22 Universidad de Sonora 22

23 Ejemplo Calcular gi, pi, Pi, Gi y el carry final (C4) al sumar los siguientes dos números de 16 bits: Se obtiene gi = ai. bi y pi = ai + bi: Universidad de Sonora 23

24 Ejemplo Se calculan los súper propaga (P0, P1, P2, P3): Y los súper genera: Universidad de Sonora 24

25 Ejemplo Por último, el carry final (C4) En conclusión, al sumar a y b se obtiene un carry final. Universidad de Sonora 25

26 Comparación Un sumador de 16 bits de ripple-carry necesita 32 ciclos. Un sumador de 16 bits de carry-lookahead necesita 5 ciclos: 1 ciclo para obtener pi y gi en paralelo. 2 ciclos para obtener Pi y Gi en paralelo. 2 ciclos para obtener C4. Universidad de Sonora 26

27 Multiplicación Algoritmo clásico o multiplicación larga Algoritmo del campesino Algoritmo de quarter square (cuartos al cuadrado) Algoritmo de Karatsuba Universidad de Sonora 27

28 Multiplicación Multiplicación larga Universidad de Sonora 28

29 Algoritmo Universidad de Sonora 29

30 Ejemplo Multiplicar 3 x 2 Universidad de Sonora 30

31 Números con signos distintos Multiplicar 3 x (-2). Se le quita el signo al -2 y se guarda en alguna variable. Se multiplica 3 x 2 usando el algoritmo ya visto. Se multiplica el resultado por -1 para obtener -6. Universidad de Sonora 31

32 Algoritmo del campesino Sean x y y dos números. 1. i = 0 2. X[i] = x 3. Y[i] = y 4. x = x / 2 x >> 1 5. y = y * 2 y << 1 6. i++ 7. if x > 1 goto 2 8. x.y = suma de Y[i] en donde X[i] sea impar Universidad de Sonora 32

33 Ejemplo en base 10 Obtener 24 x 5: X[i] Y[i] El producto es = 120. Los demás se ignoran porque X[i] es par. Universidad de Sonora 33

34 Ejemplo en base 2 Obtener (24) x 101 (5): X[i] Y[i] El producto es la suma de las Y[i] en donde X[i] sea impar: = (120). Universidad de Sonora 34

35 Algoritmo de quarter square Basado en la siguiente igualdad: 2 2 ( x + y) ( x y) 1 ( ( x xy y x xy y ) 4 4 = = (4 xy ) = xy 4 Universidad de Sonora 35

36 Algoritmo de quarter square El algoritmo es eficiente si los quarter squares se guardan en tablas. Ejemplo: n n 2 / Calcular 9 x 3. Se obtiene = 12 y 9 3 = 6. Se buscan en la tabla y se restan = 27. Universidad de Sonora 36

37 Algoritmo de quarter square Implementaciones: En hardware en 1980 por E.L. Johnson (ver E.L. Johnson, "A Digital Quarter Square Multiplier", IEEE Transactions on Computers, vol. 29, pp , March 1980, abs.html). En la CPU 6502 en 1995 por S. Judd (ver Universidad de Sonora 37

38 Algoritmo de Karatsuba Sean x y y números de n dígitos en base B. Se desea calcular el producto xy. x y y se escriben de la siguiente forma: x = x 1 B m + x 0 y = y 1 B m + y 1 Por ejemplo 7425 en base 10 es: 7 x x 1 = 7, x 0 = 425 Universidad de Sonora 38

39 Algoritmo de Karatsuba El producto xy se obtiene así: xy = (x 1 B m + x 0 )(y 1 B m + y 0 ) = z 2 B 2m + z 1 B m + z 0 donde: z 2 = x 1 y 1 z 1 = x 1 y 0 + x 0 y 1 z 0 = x 0 y 0 z 1 se puede también escribir: z 1 = (x 1 + x 0 )(y 1 + y 0 ) z 2 z 0 Universidad de Sonora 39

40 Algoritmo de Karatsuba El producto se puede también escribir así: xy = (b 2 + b)x 1 y 1 b(x 1 x 0 )(y 1 y 0 ) + (b + 1)x 0 y 0 Con b = B m. Ahora se requieren 3 multiplicaciones. Ventajas: [x 1 y 1 ] << [x y], [x 0 y 0 ] < [x y] Los 3 productos se pueden hacer de forma recursivas. Al final se hacen productos de un dígito. Universidad de Sonora 40

41 Algoritmo de Karatsuba Para números de n bits, la complejidad: Multiplicación larga es O(n 2 ). Algoritmos de Karatsuba es O(n log2 3 º n 1.6 ) Para números de 32 bits: 32 2 = log2 3 = 243 Speedup = 1024 / 243 = 4.21 Universidad de Sonora 41

42 Algoritmo de Karatsuba Para números de 1024 bits (usados en encriptación): = 1,048, log2 3 = 59,049 Speedup = / = En 2011 Intel patentó un algoritmo basado en el de Karatsuba: Universidad de Sonora 42

43 Comparación Multiplicación larga vs Karatsuba. Fuente: Universidad de Sonora 43

44 División Método restoring. Método non-restoring (tema para un curso avanzado). Universidad de Sonora 44

45 División Nomenclatura: Universidad de Sonora 45

46 División Nomenclatura alterna: Numerador Denominador Universidad de Sonora 46

47 Método restoring Ejemplo: Obtener 4537 / 3 en base tiene 4 dígitos numerados 3, 2, 1, x 10 3 = 1537 q3 = x 10 3 = q3 = x 10 3 = 1537 restaura q3 = x 10 2 = 1237 q2 = x 10 2 = 937 q2 = x 10 2 = 637 q2 = 3 Universidad de Sonora 47

48 Método restoring x 10 2 = 337 q2 = x 10 2 = 37 q2 = x 10 2 = -263 q2 = x 10 2 = 37 restaura q2 = x 10 1 = 7 q1 = x 10 1 = -23 q1 = x 10 1 = 7 restaura q1 = x 10 0 = 4 q0 = x 10 0 = 1 q0 = 2 Universidad de Sonora 48

49 Método restoring 1 3 x 10 0 = -2 q0 = x 10 0 = 1 restaura q0 = 2 El cociente está en las qi restauradas (en rojo). El residuo está en la última operación (en verde) / 3 = 1512 (división entera) % 3 = 1 (módulo). Universidad de Sonora 49

50 Método restoring Ejemplo: Obtener / 11 en base 2 (29 / 3 en base 10) tiene 5 dígitos numerados 4, 3, 2, 1, x 2 4 = -19 q4 = x 2 4 = 29 restaura q4 = x 2 3 = 5 q3 = x 2 3 = -19 q3 = x 2 3 = 5 restaura q3 = x 2 2 = -7 q2 = 1 Universidad de Sonora 50

51 Método restoring x 2 2 = 5 restaura q2 = x 2 1 = -1 q1 = x 2 1 = 5 restaura q1 = x 2 0 = 2 q0 = x 2 0 = -1 q0 = x 2 0 = 2 restaura q0 = 1 Conclusión: / 11 = 1001 (29 / 3 = 9) % 11 = 10 (29 % 3 = 2) Universidad de Sonora 51

52 Método restoring en Java // Enteros positivos de 16 bits: public Point restoring(int n, int d) { int q = 0; // Cociente int p = n; // Residuo d = d << 16; for (int i = 15; i >= 0; i--) { p = 2 * p - d; if (p >= 0) { q = 1 << i; } else { p = p + d; } } return new Point(q, p >> 16); } Universidad de Sonora 52

53 Conclusión de la división El método restoring es fácil de entender e implementar. Los métodos non-restoring (son una familia) son más eficientes de implementar en hardware. Uno de los métodos más usados es la división SRT (Sweeney, Robertson, Tocher), el cuál es nonrestoring. Universidad de Sonora 53

54 Números de punto flotante Suma Resta Multiplicación División Universidad de Sonora 54

55 Suma Para sumar dos números normalizados en notación científica: 1. Alinear los exponentes. 2. Hacer la suma. 3. Normalizar si es necesario. 4. Redondear. Universidad de Sonora 55

56 Suma Ejemplo: sumar x x 10-1 en base 10 con cuatro dígitos. Paso 1: alinear los exponentes. Se mueve el punto decimal del número con el exponente más pequeño x 10-1 se convierte en x Paso 2: hacer la suma: Universidad de Sonora 56

57 Suma La suma es x Paso 3: normalizar x 10 1 = x Paso 4: redondear a 4 dígitos x x 10-1 = x Universidad de Sonora 57

58 Suma Fuente: COD 5, p. 205 Universidad de Sonora 58

59 Precisión Ejemplo: hacer 2.56 x x 10 2 en base 10 con 3 dígitos. Paso 1: alinear los exponentes x 10 0 se convierte en 0.02 x 10 2 con tres dígitos. Se perdió precisión. El standard IEEE 754 define dos bits extras, llamados guard y round, para cálculos intermedios. Universidad de Sonora 59

60 Precisión En realidad los números se guardan cómo x x Paso 1: alinear los exponentes x 10 0 se convierte x Paso 2: hacer la suma Universidad de Sonora 60

61 Precisión Paso 3: normalizar x 10 2 ya está normalizado. Paso 4: redondear a 3 dígitos x x x 10 2 = 2.37 x Universidad de Sonora 61

62 Algoritmo para sumar Se usa el mismo algoritmo que para números enteros. En el standard IEEE 754 la mantisa está guardada como un número binario entero. Fuente: Wikipedia ( _Point_Format.svg/618px-IEEE_754_Single_Floating_Point_Format.svg.png) Universidad de Sonora 62

63 Resta La resta se convierte en suma al poner el segundo número en complemento a 2. Universidad de Sonora 63

64 Multiplicación Para multiplicar dos números normalizados en notación científica: 1. Sumar los exponentes. 2. Multiplicar las mantisas. 3. Normalizar si es necesario. 4. Redondear. Universidad de Sonora 64

65 Multiplicación Ejemplo: multiplicar x por x 10-5 en base 10 con 4 dígitos en la mantisa y 2 en el exponente. Paso 1: sumar los exponentes (-5) = 5. Paso 2: multiplicar las mantisas. Universidad de Sonora 65

66 Multiplicación x Se le pone el punto decimal Universidad de Sonora 66

67 Multiplicación Paso 3: normalizar x 10 5 se normaliza a x En este punto se checa si hay overflow o underflow. Paso 4: redondear x 10 6 se convierte en x 10 6 con 4 dígitos para la mantisa. Universidad de Sonora 67

68 Algoritmo para multiplicar Se puede usar cualquiera de los algoritmos vistos para multiplicar números enteros. Universidad de Sonora 68

69 División Para dividir dos números normalizados en notación científica: 1. Restar los exponentes. 2. Dividir las mantisas. 3. Normalizar si es necesario. 4. Redondear. Universidad de Sonora 69

70 División Ejemplo: dividir x 10 0 entre x 10 2 en base 10 con 3 dígitos en la mantisa. Paso 1: restar los exponentes. 0 2 = -2. Paso 2: dividir las mantisas / = Paso 3: normalizar. El cociente ya está normalizado. Universidad de Sonora 70

71 División Paso 4: redondear = con 3 dígitos en la mantisa. Conclusión: x 10 0 entre x 10 2 = x Universidad de Sonora 71

72 Algoritmos de división Se pueden usar los algoritmos de división entera. Pero hay que tener cuidado con la interpretación de los resultados. La división entera entrega el cociente y el residuo (módulo) por separado. En la división de punto flotante solo interesa el cociente (número de punto flotante) con cierta precisión. Universidad de Sonora 72

73 Algoritmos de división Por ejemplo, al dividir / nos interesa que el resultado sea y no que el resultado sea cociente = 19, residuo = Una opción es la división Newton-Raphson. Universidad de Sonora 73

74 División Newton-Raphson Se desea calcular a / b. 1. Calcular 1 / b usando Newton-Raphson. 2. Multiplicar a x (1 / b). Universidad de Sonora 74

75 Newton-Raphson Es un método para encontrar raíces de una función (x:f(x) = 0). Dada f(x), la derivada f (x) y un valor inicial x 0 para la raíz de f, una mejor aproximación es: x = x 1 0 Se repite el proceso: x x = n+ 1 n f( x0) f'( x) 0 f( xn) f'( x ) n Universidad de Sonora 75

76 Newton-Raphson Para obtener 1 / b, se utiliza: 1 f( x) = b x 1 f'( x) = = x 2 x Sustituyendo lo anterior en la ecuación general: 2 x x = i+ 1 i f( x) f'( x) Universidad de Sonora 76

77 Newton-Raphson 1 b x i xi+ 1 = xi 2 xi = x bx i ( 2 ) i Universidad de Sonora 77

78 Ventaja Convergencia cuadrática. Ejemplo: calcular 1 / 4 con x 0 = 0.2. x x x x x x Universidad de Sonora 78

79 Desventaja Si x 0 no es una buena aproximación, el método diverge. Ejemplo: calcular 1 / 4 con x 0 = x x x x 9 x 10 x E E16 -Infinity Universidad de Sonora 79

80 Solución Tomar ventaja de que los números están normalizados: En base 10, 1 mantisa < 10. En base 2, 1 mantisa < 2. Guardar en una tabla (o en una ROM para implementaciones en hardware) algunos inversos. Por ejemplo, para base 10. Universidad de Sonora 80

81 Solución Índice Inverso Para calcular 1 / 8.25: Se toma la parte entera, 8. Se usa ROM[7] como x 0. Universidad de Sonora 81

82 Solución 1 / x x x x x Universidad de Sonora 82

83 División Newton-Raphson Para leer sobre una implementación en hardware. Gaurav Agrawal, Ankit Khandelwal. A Newton Raphson Divider Based on Improved Reciprocal Approximation Algorithm. Universidad de Sonora 83