Redondeo. Análisis Numérico Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias

Transcripción

1 Análisis Numérico Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias

2 Contenido 1 Redondeo

3 Error absoluto de redondeo y ULP Error relativo, ɛ Dígitos significativos Redondeo Sea x un número positivo en el intervalo normalizado, y escribamos x en la forma normalizada x = (1.b 1 b 2... b p 1 b p b p+1...) 2 2 E. Se sigue que el más cercano número de punto flotante menor o igual que x es x = (1.b 1 b 2... b p 1 ) 2 2 E. O sea, se obtiene x por truncamiento de la expansión binaria del significando. Si x no es un número de punto flotante, es decir, si al menos uno de los bits descartados de su expansión no es cero, entonces x + = ((1.b 1 b 2... b p 1 ) 2 + ( )) 2 E,

4 Error absoluto de redondeo y ULP Error relativo, ɛ Dígitos significativos Aqui el 1 en el incremento está en el lugar (p 1) después del punto binario, de modo que el espacio vacio entre x y x + es 2 (p 1) 2 E Observación: Esta cantidad es la misma ulp(x )

5 Error absoluto de redondeo y ULP Error relativo, ɛ Dígitos significativos Aqui el 1 en el incremento está en el lugar (p 1) después del punto binario, de modo que el espacio vacio entre x y x + es 2 (p 1) 2 E Observación: Esta cantidad es la misma ulp(x ) Si x es mayor que N max, entonces x = N max y x + =. Si x es positivo pero menor que N min, entonces x es subnormal o cero, y x + es subnormal o N min. Si x es negativo pero su valor absoluto es menor que N min, entonces x + es, o un número negativo subnormal, o 0, y x es, o un número negativo subnormal, o N min.

6 Error absoluto de redondeo y ULP Error relativo, ɛ Dígitos significativos El estándar IEEE define el valor correctamente redondeado de x, el cual se denota round(x) = x. En caso contrario, el valor correctamente redondeado depende de cuál de los siguientes modos de redondeo esté en efecto: Redondeo hacia abajo (redondeo hacia ). round(x) = x. Redondeo hacia arriba (redondeo hacia ). round(x) = x +. Redondeo hacia cero round(x) = x si x 0; round(x) = x + si x 0. Redondeo al más cercano. round(x) es x o x +, el que esté más próximo a x, excepto si x > N max, en cuyo caso round(x) = y si x < N min entonces round(x) =. En caso de empate, se escoge el que tenga su bit menos significativo igual a cero.

7 Error absoluto de redondeo y ULP Error relativo, ɛ Dígitos significativos Si el primer bit que no alcanza a almacenarse, b p, es 0, el redondeo al más cercano redondea a x. Si b p = 1 y al menos uno de los subsiguiente bits es 1, el redondeo al más cercano redondea a x +. Si b p = 1 y todos los subsiguientes bits son 0, hay un empate. Los bits menos significativos, o sea, los bits finales, de x y x + deben ser diferentes, y para romper el empate se escoge aquél cuyo bit final es 0.

8 Error absoluto de redondeo y ULP Error relativo, ɛ Dígitos significativos Error absoluto y ULP Sea x un número real y sea abserr(x) = round(x) x, el error absoluto de redondeo asociado con x. Su valor depende de la precisión y el modo de redondeo que esté en efecto. Si x no es un número de punto flotante, es claro que el error absoluto de redondeo asociado con x es menos que el espacio vacío entre x y x +, sin importar el modo de redondeo. Así tenemos que round(x) x < 2 (p 1) 2 E

9 Error absoluto de redondeo y ULP Error relativo, ɛ Dígitos significativos Cuando está en efecto el redondeo al más cercano, el error absoluto de redondeo es menor o igual que la mitad del espacio entre x y x +, es decir round(x) x 2 p 2 E. Decimos que el error absoluto de redondeo es a lo más la mitad de una ULP.

10 Error absoluto de redondeo y ULP Error relativo, ɛ Dígitos significativos Error relativo y ɛ El error relativo de redondeo asociado con un número diferente de cero x se define por relerr(x) = δ donde δ = round(x) 1 = round(x) x. x x Si suponemos que x está en el intervalo normalizado, sabemos que x 2 E

11 Error absoluto de redondeo y ULP Error relativo, ɛ Dígitos significativos Para todos los modos de redondeo, el error relativo de redondeo satisface la cota relerr(x) = δ = round(x) x x < 2 (p 1) 2 E 2 E = 2 (p 1) = ɛ. En el caso del redondeo al más cercano, tenemos relerr(x) = δ 2 p 2 E 2 E = 2 p = 1 2 ɛ.

12 Error absoluto de redondeo y ULP Error relativo, ɛ Dígitos significativos Dígitos significativos Usando round(x) x 2 p 2 E. Se sigue de las dos últimas igualdades que log 2 relerr(x) > p 1 y, para redondeo al más cercano, log 2 relerr(x) > p. Esto mide el número de bits para los cuales round(x) y x coinciden: al menos p 1 y al menos p en el caso de redondeo al más cercano.

13 Error absoluto de redondeo y ULP Error relativo, ɛ Dígitos significativos De igual manera log 10 relerr(x) > log 10 (ɛ). Mide el número de dígitos decimales para los cuales round(x) y x coinciden. También se sigue de δ = round(x) x 1 = round(x) x x que round(x) = x(1 + δ). Observación: No importa cómo éste almacenado o como se presente x, sea en formato binario o en un formato decimal convertido, podemos pensar en su valor no como exacto, pero si como exacto dentro de un factor de 1 + ɛ.

14 Adición y sustracción Multiplicación y división Aritmética correctamente redondeada Muy a menudo, el resultado de una operación aritmética en dos números de punto flotante no es un número de punto flotante en el formato de destino. Sean x e y números de punto flotante, denotemos con +,,, / las 4 operaciones ariméticas estándares y con,,, las correspondientes operaciones como en realidad están implementadas en la computadora. Así, x + y puede no ser un número de punto flotante, pero x y es el número de punto flotante calculado como aproximación a x + y.

15 Adición y sustracción Multiplicación y división Cuando el resultado de una operación de punto flotante no es un número de punto flotante en el formato destino, el estándar IEEE requiere que el resultado calculado sea el valor redondeado del resultado exacto, es decir, redondeado para ajustarse al destino, usando el modo de redondeo en efecto. La regla es como sigue: si x e y son números de punto flotante, entonces x y = round(x + y), x y = round(x y), x y = round(x y), x y = round(x/y).

16 Adición y sustracción Multiplicación y división Adición y sustracción Consideremos la suma de dos números de punto flotante en formato IEEE simple x = S 2 E y y = T 2 F, suponiendo que el formato destino para x + y es también IEEE simple. Si los dos exponentes E y F son iguales, sólo es necesario sumar los significados S y T. El resultado final es (S + T ) 2 E, que luego necesita normalización adicional si S + T es mayor o igual que 2, o menor que 1.

17 Adición y sustracción Multiplicación y división Ejemplo Sumar 3 = (1.100) y 2 = (1.000) Solución: ( ) ( ) ( ) Normalizado: ( )

18 Adición y sustracción Multiplicación y división Si los dos exponentes E y F son diferentes, con digamos E > F, el primer paso en la suma de los dos números es alinear los significandos, desplazando T hacia la derecha E F posiciones, de modo que el segundo número ya no quede normalizado, y ambos números tengan el mismo exponente E. Luego se suman los significandos como antes.

19 Adición y sustracción Multiplicación y división Si los dos exponentes E y F son diferentes, con digamos E > F, el primer paso en la suma de los dos números es alinear los significandos, desplazando T hacia la derecha E F posiciones, de modo que el segundo número ya no quede normalizado, y ambos números tengan el mismo exponente E. Luego se suman los significandos como antes. Ejemplo Sumar 3 = (1.100) y 3/4 = (1.100) Solución: ( ) ( ) ( ) En este caso, el resultado no necesita normalización adicional.

20 Adición y sustracción Multiplicación y división Multiplicación y division La multiplicación y división en punto flotante, a diferencia de la suma y la resta, no requieren que se alineen los significandos. Si x = S 2 E y y = T 2 F, entonces x y = (S T ) 2 E+F

21 Adición y sustracción Multiplicación y división Multiplicación y division La multiplicación y división en punto flotante, a diferencia de la suma y la resta, no requieren que se alineen los significandos. Si x = S 2 E y y = T 2 F, entonces x y = (S T ) 2 E+F así, que hay tres pasos en la multiplicación de punto flotante: Multiplicar los significandos. Sumar los exponentes. Normalizar y redondear correctamente el resultado. En forma similar, la división requiere que se tome el cociente de los significandos y la diferencia de los exponentes.

22 Considere los dos números y x = y = El primer número, x, es una aproximación de 16 dígitos a π, mientras el segundo número coincide con π sólo en 12 dígitos. Su diferencia es z = x y = = Esta diferencia está en el intervalo normalizado del formato IEEE simple. Sin embargo, si calculamos la diferencia z = x y en un programa en C, usando el formato simple y mostramos el resultado, el valor resultante de z se presenta como

23 A causa de que coinciden en 12 dígitos, tanto x como y se redondean exactamente al mismo número de formato simple. Así, todos los bits de su representación binaria se cancelan cuando se realiza la sustracción; decimos que tiene una pérdida completa de precisión en el cálculo de z = x y.

24 A causa de que coinciden en 12 dígitos, tanto x como y se redondean exactamente al mismo número de formato simple. Así, todos los bits de su representación binaria se cancelan cuando se realiza la sustracción; decimos que tiene una pérdida completa de precisión en el cálculo de z = x y. Si usamos el formato doble para almacenar x e y y su diferencia z, y presentamos el resultado en precisión doble, encontramos que z tiene el valor e 12 Esto coincide con la respuesta exacta en cerca de cuatro dígitos. Decimos que tenemos una pérdida parcial de precisión en el cómputo de z = x y. Sin importar si la perdida de precisión es completa o parcial, el fenómeno se llama cancelación.

25 Ejercicio Sean x = e y = Use aritmética de cuatro dígitos para aproximar x y y determine los errores absoluto y relativo utilizando (a) redondeo y (b) truncamiento

26 Los errores de truncamiento corresponden al caso de calcular por ejemplo sen(x), cos(x), e x, etc., usando series de potencias. Estas series tienen un número infinito de elementos, pero evidentemente para calcular su valor sólo se puede considerar un número finito de ellos.

27 Los errores de truncamiento corresponden al caso de calcular por ejemplo sen(x), cos(x), e x, etc., usando series de potencias. Estas series tienen un número infinito de elementos, pero evidentemente para calcular su valor sólo se puede considerar un número finito de ellos. Definición Serie de Taylor. Es una serie infinita de potencias que representa de manera exacta a una funcion f (x) alrededor de un punto x = c. f (x) = f (c)+f (c)(x c)+ f (c)(x c) 2 si c = 0 se trata de la serie de Maclaurin. 2! + + f n (c)(x c) n + n!

28 Ejemplo Obtener los primeros 6 términos de la serie de Taylor para f (x) = e x alrededor de 0. Solución: Obteniendo las cinco primeras derivadas de la función f (x) = f (x) = f (x) = f (x) = f iv (x) = f v (x) = e x Después se evalúan alrededor del punto cero f (0) = e 0 = 1 = f (0) = f (0) = f (0) = f iv (0) = f v (0). Finalmente se sustituyen los resultados anteriores en la ecuación de la definición.

29 (x 0)2 (x 0)3 (x 0)4 (x 0)5 f (x) = 1+(x 0) ! 3! 4! 5! f (x) = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + Así, tenemos para los primeros seis términos de e x e x 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +

30 Ejemplo Si se sabe que la raíz exacta de e 0.5 = , calcular el error relativo porcentual que se comete, si se trunca la serie en seis términos. Utilizar seis decimales. Solución: Términos Resultado ɛ r ( %) Tabla:

31 Ejercicio Obtener los primeros cinco términos de la serie de Taylor para f (x) = cos(x) alrededor de cero. Si se sabe que la raíz exacta de cos(0.01) = calcular el error relativo porcentual que se comete, si se trunca la serie en cinco términos. Utilizar doce decimales.

32 La pérdida de precisión debida al error de redondeo se puede evitar a menudo mediante la reformulación del problema, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo La fórmula cuadrática establece que las raíces de ax 2 + bx + c = 0, cuando a 0 son x 1 = b + b 2 4ac 2a x 2 = b b 2 4ac. 2a Considere aplicar esta fórmula a la ecuación x x + 1 = 0, cuyas raíces son aproximadamente x 1 = y x 2 =

33 Solución: Usaremos en los cálculos la aritmética de cuatro cifras para determinar la raíz. En esta ecuación, b 2 es mucho más grande que 4ac, así que el numerador en el cálculo de x 1 implica la resta de números similares. Como b 2 4ac = (62.10) 2 (4.000)(1.000)(1.000) así, tenemos que = = 3852 = 62.06,

34 fl(x 1 ) = = = , una pobre aproximación a x 1 = , con un error relativo grande Por otra parte, el cálculo de x 2 implica la suma de números similares. Esto no presenta ningún problema ya que fl(x 2 ) = tiene un error relativo pequeño = = 62.10,

35 Para obtener una mayor exactitud en la aproximación de redondeo a cuatro cifras para x 1, cambiamos la forma de la fórmula cuadrática racionalizando el numerador: x 1 = b + b 2 4ac 2a ( b ) b 2 4ac b b 2 4ac = b2 (b 2 4ac) 2a( b b 2 4ac), La cual se simplifica en una fórmula cuadrática alternativa x 1 = Usando esta fórmula tenemos 2c b + b 2 4ac.

36 fl(x 1 ) = = = , que tiene un error relativo pequeño de

37 fl(x 1 ) = = = , que tiene un error relativo pequeño de La técnica de racionalización también puede aplicarse para obtener la siguiente fórmula cuadrática alternativa para x 2 : x 2 = 2c b b 2 4ac. Ésta es la forma que se utiliza si b es un número negativo.

38 Overton, Michael L. Numerical computing with IEEE floating point arithmetic. SIAM Burden, R; Faires, D. Análisis numérico. Cengage Learning. Novena edición. 2011