METODOS NUMERICOS. Para redondear un número a un determinado orden de unidades:

Transcripción

1 APROXIMACIONES Y ERRORES DE REDONDEO Dada la precisión de los instrumentos de medida, no tiene sentido dejar el valor de una medida calculado mediante una fórmula con un número excesivo de cifras decimales que no son significativas. Por eso es preciso aproximar el valor de las medidas calculadas para dejarlo con un número significativo de decimales. Ese otro número más sencillo decimos que es una aproximación del número de partida. Cuando aproximamos un número, nos quedamos con sus primeras cifras y completamos con ceros. Esas cifras, con las que nos quedamos, se llaman cifras significativas. Llamamos orden de la aproximación, a la posición hasta la que nos quedamos con cifras significativas. Se puede aproximar por defecto si el número utilizado es menor que el de partida, o por exceso si el número utilizado es mayor que el de partida. MÉTODOS DE APROXIMAR Redondeo Para redondear un número a un determinado orden de unidades: 1. Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden 2. Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco se suma una unidad a la cifra anterior Ejemplo: Redondeo Redondea los siguientes números: a) 27640,342 a la centena. b) 3857,567 a la décima. c) 24572,2578 a la unidad de millar. El redondeo a par es el método básico de redondeo con mayor precisión estadística, sobre todo para redondear cantidades que posteriormente se van a cominar en algún tipo de operación, dado que el error cometido en el redondeo tiende a cancelarse sin ningún tipo de sesgo. Las reglas del redondeo a par son las siguientes: Si el primer dígito a eliminar es mayor o igual que 6, se redondea hacia arriba. Si el primer dígito a eliminar es menor o igual que 4, se redondea hacia abajo. Si ese dígito es un 5 seguido de algo (ver indicaciones más abajo), se redondea hacia arriba. Si es un 5 justo (es decir, seguido de ceros), se redondea hacia el par superior o igual. Es decir, si es un par se queda como está, si es un impar, se redondea hacia arriba. El método equivalente de redondeo a impar es igualmente válido, pero es menos común ya que tiende a dar números acabados en 5 con una (pequeña) mayor frecuencia, lo que introduce problemas para posteriores redondeos MISSEY RIVEROS H. ING, CIVIL 1

2 Truncamiento Para truncar un número a un determinado orden de unidades se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden. Ejemplo: Truncamiento Trunca los siguientes números: a) 27630,24578 a la milésima. b) 3851,34 a la unidad. c) ,2 a la decena de millar. Errores Cuando damos una cantidad de forma aproximada, cometemos un error. Distinguiremos los siguientes tipos de errores: Error absoluto El error absoluto es la diferencia entre el valor real y el aproximado, en valor absoluto, es decir, siempre con signo positivo. Ejemplo: Error absoluto Una montaña mide 2475 m. Redondea la altura a las centenas y halla el error absoluto cometido: Error relativo El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. Ejemplo: Error relativo Una montaña mide 2475 m. Trunca la altura a las centenas y halla el error relativo cometido: Cota del error Para que la cantidad aproximada que utilizamos sea fiable, el error cometido debe estar controlado o acotado de manera que: MISSEY RIVEROS H. ING, CIVIL 2

3 Los números k y k' se llaman cotas del error absoluto o relativo, respectivamente. Redondeo y cota del error Al redondear, podemos dar una cota del error absoluto de la siguiente manera: Donde c = 5 unidades del orden de la primera cifra no utilizada en el redondeo. Y una cota del error relativo: Ejemplo: Cota del error En el ejemplo anterior de la montaña que mide 2475 m, halla la cota de los errores absoluto y relativo cometidos en el redondeo a las centenas. Contenidos Conceptuales: Nociones relacionadas con los errores en estimación. Valor exacto de una medida: Se trata del valor simbólico atribuido a una cantidad de magnitud, a partir de una unidad fijada de antemano. Por ejemplo: Dado un triángulo rectángulo isósceles, si fijamos como unidad de medida de longitud la de cualquiera de los dos catetos iguales, la hipotenusa mide 2 unidades. En general, si tomamos experimentalmente las medidas de las magnitudes, siempre estamos sujetos a error, por diversas circunstancias (instrumento no preciso, errores del observador, etc.). Valor aproximado de una medida: Es cualquier representación numérica posible del valor exacto (por ejemplo, 1,41 por 2; 3,1416 por π, etc.). Sin embargo 3,14 es un número exacto si representa a la fracción 314/100. Un número puede admitir múltiples aproximaciones que serán más próximas o más lejanas al valor exacto que se quiere representar. Si la aproximación es menor o mayor que el valor exacto se dirá que la aproximación es por defecto o por exceso, respectivamente. Error: Con el término error nos referimos a dos tipos de errores: Error absoluto: es el término que designa la diferencia entre el valor aproximado a y el valor exacto ααα, εεε =a-ααα. Según sea a mayor o menor que ααα, el error absoluto es, respectivamente, positivo (aproximación por exceso), o negativo (aproximación por defecto). MISSEY RIVEROS H. ING, CIVIL 3

4 (Por ejemplo: Si el valor exacto es 456/125 y el valor aproximado, obtenido por redondeo hasta las centésimas: 3,65, puesto que el valor exacto es 456/125=3,648; el error absoluto es εεε = 3,65-3,648= 0,002, es decir: se trataría de una aproximación por exceso de 2 milésimas. Error relativo: es el valor absoluto de la razón entre el error absoluto y el valor exacto: εεεr= εεε/ααα (en el ejemplo anterior, el error relativo sería εεεr= 0,002/ 3,648 = 0,000548). Si no conocemos el valor exacto (o sólo lo podemos conocer de forma simbólica, como en el caso del número π, no podemos conocer el error absoluto(relativo): solo podemos conocer una cota, es decir, un número al cual este error no supera: (por ejemplo, si aproximamos 2 por 1,414, cometemos un error absoluto menor que 0.5 x 10-3, puesto que la primera cifra desconocida es la cuarta cifra decimal, y, como la tercera ha sido redondeada, el error en la última cifra del valor aproximado es menor que 0,5. Porcentaje de aproximación: se define como p= valor.aproximado ε 100 (Por ejemplo., si representamos 18 por 20, entonces εεε =2 y p= (2 x 100)/ 20 = 10%; pero si representamos por 20000, entonces εεε =2, pero p= (2 x 100)/ = 0,01 %). A menor porcentaje de aproximación, más precisa es la aproximación a un valor dado. Se suele admitir que una aproximación con porcentaje de aproximación igual o superior al 10% es una estimación rudimentaria, es decir, se trata de una aproximación deficiente. No obstante, una aproximación rudimentaria puede servir si los cálculos no tienen que ser muy exactos, y para estimar si un resultado puede ser razonable o no. Truncamiento: Todo número real admite una expresión decimal de infinitas cifras decimales (Por ejemplo, 1=0, ). Como no podemos trabajar con infinitas cifras, tenemos que trabajar con aproximaciones. Truncar el desarrollo decimal de un número es cortar la expresión decimal en un lugar particular (por ejemplo, 29/7 4,14, π= 3, si lo truncamos en la cuarta cifra decimal es π 3,1415, con lo que cometemos un error absoluto por defecto de 10 ( se lee aproximadamente igual )). MISSEY RIVEROS H. ING, CIVIL 4

5 Redondeo: Es un caso especial de truncamiento donde, si la primera cifra que se desecha es menor que 5, la última cifra del número redondeado se mantiene igual que el número que redondeamos y, si es mayor o igual que 5, a esta última cifra del número redondeado se le añade una unidad: (por ejemplo, el número 3,751 redondeado a dos cifras decimales es el 3,75, mientras que el número 14,377, redondeado a dos cifras decimales es 7 el 14,38, el número π redondeado a las milésimas es π 3,142). En el redondeo de un número se comete un error absoluto (en valor absoluto) menor que media unidad de la última cifra que se mantiene, (por ejemplo, si redondeamos a las centésimas 5 =2, por 2,24, cometemos un error absoluto menor que ½ 10, si sustituimos 798 por 800, el error absoluto es menor que ½.10) Cifras exactas: Por convenio, decimos que un número aproximado tiene sus primeras d cifras exactas, cuando al suprimir (o sustituir por ceros) todas las demás, el error absoluto cometido es menor que media unidad del orden decimal del último dígito que se mantiene (por ejemplo,, 95/555= si lo aproximamos por 0,17, la aproximación tiene las tres cifras exactas, pero si al número 105/555= 0, lo reemplazamos por 0,18 no tiene las tres cifras exactas y, sin embargo, la aproximación por 0,19 tiene las tres cifras exactas. En un redondeo pueden cambiar varias cifras y, sin embargo, ser todas exactas: si reemplazamos 899,8 por 900, esta aproximación tiene todas sus cifras exactas. Estimación mediante cotas: Cuando desconocemos un valor numérico exacto z, pero sabemos que tiene dos cotas z1 y z2, z1<z< z2, entonces podemos aproximar z por el valor z* =(z1 + z2 )/2, de tal forma que el error de aproximación es menor que (z2 - z1 )/2. Este método puede reiterarse sucesivamente hasta alcanzar porcentajes de aproximación muy bajos. (por ejemplo,, para aproximar raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos, como 12, cuyas cotas son 3 y 4). El cálculo con números aproximados. El cálculo aproximado tiene por objeto establecer las cotas de error que cometemos cuando, en lugar de operar con valores exactos, trabajamos con representaciones aproximadas de los mismos. Así, si en lugar de la multiplicación 425 x 198, multiplicamos 425 x 200 (mentalmente esta segunda operación es 85000), cometemos un error absoluto de 850 unidades en el resultado, mientras que el error en el factor es sólo de 2 unidades. Sin embargo, si comparamos el porcentaje de aproximación vemos que, en el caso de las unidades es: (2 x 100)/ 200 = 1%, y en el resultado es (850 x 100)/85000 = 1%, es decir, el error relativo no se modifica. Lo mismo sucede en el caso de la división: si en lugar de dividir entre 5, dividimos entre 5, cometemos un error absoluto (por defecto) de 85 unidades en el dividendo, lo que origina un error relativo: 85/ ,002, mientras que el error absoluto del resultado es 17, pero el error relativo es 17/7017 0,002, que es el mismo obtenido para el dividendo. MISSEY RIVEROS H. ING, CIVIL 5

6 Estos hechos que pueden demostrarse algebraicamente (véase, por ejemplo, el desarrollo para el docente de la actividad 5) nos proporcionan una información valiosa para el cálculo ordinario, en donde la precisión en los resultados no debe ser muy meticulosa. Veamos: -Si utilizamos el redondeo, como estrategia de aproximación de un número por otro, a) si redondeamos el número de partida a 4 cifras significativas el porcentaje de aproximación se mantiene por debajo del 0,05 % independientemente de cuál sea el número que aproximamos (por ejemplo,, si redondeamos el número a la decena de millar obtenemos el número El porcentaje de aproximación es: (1231 x 100)/ ,2%. b) si redondeamos el número inicial a 3 cifras significativas, el porcentaje de aproximación es inferior al 0,5% (lo que constituye una aproximación razonable en los cálculos ordinarios). Por ejemplo, el número 4,32807, al redondearlo a las centésimas es el 8 4,33. El porcentaje de aproximación es: (0,00193 x 100)/4,33 0,4%.. De la misma forma podemos concluir que si redondeamos un número a dos cifras significativas el porcentaje de aproximación es menor que el 5%. Esto nos da la oportunidad de operar en los cálculos ordinarios con números redondeados a 3 cifras significativas, limitando el resultado también a tres cifras significativas. Por ejemplo, la operación 75,4376 x 3,2677, se podría cambiar por 75,4 x 3,3 =248 (la operación con los números iniciales sería: 246,5074. El porcentaje de aproximación del resultado es: (1,4926 x 100)/248 0,6%, error relativo algo superior al 0,5% al haber redondeado los dos factores, pero totalmente aceptable en los cálculos ordinarios. MISSEY RIVEROS H. ING, CIVIL 6