TEMA 7. APROXIMACIÓN DE NÚMEROS. ERRORES. NOTACIÓN CIENTÍFICA

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1 Tema 7. proximación de números. Errores. Notación científica. TEM 7. PROXIMCIÓN DE NÚMEROS. ERRORES. NOTCIÓN CIENTÍFIC. Introducción. La aproximación numéricas es una representación inexacta de un número real que, sin embargo, es suficientemente fiel como para ser útil. La utilización de la aproximación numérica surge cuando las distintas ciencias (física, química, tecnología quieren obtener un valor numérico con expresión decimal exacta (y por tanto mensurable ya sea de magnitudes con valor numérico irracional o racional con expresión periódica. Las limitaciones técnicas y la no necesidad de conocer el valor exacto de muchas magnitudes hacen necesario de la aproximación. Veamos algún caso en concreto donde se usa la aproximación numérica: Tenemos un triángulo rectángulo de catetos tamaño la unidad ( m, y queremos ver el precio de la cuerda de este triángulo, supongamos a el metro. Operando tendremos que el precio exácto es: (4. Cuánto dinero es esto? Si calculamos el valor numérico nos encontramos que no tenemos monedas para pagar exactamente este valor (6,8847. quí tenemos que aproximar este número para interpretar el precio de la cuerda. No sólo se aproxima con números irracionales como en el ejemplo anterior. Veamos un ejemplo sencillo Cuánto cuesta /3 de una cuerda de m?. El problema es sencillo de resolver, cuesta /3.pero de nuevo cuánto dinero es esto? No podemos dividir la moneda de en 3 por lo que tenemos nuevamente a calcular al valor numérico y este es 0,6666. Nuevamente tenemos que aproximar. Incluso podemos obtener un valor numérico exacto y también necesitamos aproximar: supongamos que queremos dividir la cuerda en 80 partes, Cuánto cuesta cada parte?. Otra vez el resultado desde el punto de las matemáticas es sencillo /80/40. cuánto dinero es esto? Obtenemos el valor numérico de este número racional siendo de 0,05.nuevamente tendremos que aproximar, no tenemos monedas de milésimas de euro! Los problemas que hemos presentado anteriormente muestran claramente la necesidad de aproximar. Pero no hemos caído en un problema con las medidas, un problema que se presenta siempre cuando interaccionamos con la naturaleza para calcular su valor. Vamos a presentar el problema con la siguiente pregunta mide realmente los catetos de los triángulos del problema inicial m?. Para esto tenemos que medir, pero surgen dos dificultades: El aparato de medida tiene una precisión finita, puede ser del orden de los centímetros, milímetros o micras, pero al fin y al cabo la precisión es finita. Esto hace que no podamos asegurar el valor exacto de la medida con presión infinita. Los errores debido a la instrumentación se denominan sistemáticos, y no son evitables. Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria

2 Tema 7. proximación de números. Errores. Notación científica. Cuando hacemos la medición el que realiza la medida puede ser más o menos hábil al realizar la medición, pudiendo generar por tanto otro error a la hora de medir. Este error debido a la pericia de la persona que realiza la medida se llama error accidental. priori no sabemos su valor y puede ser evitable. Vemos que este tema interacciona de lleno con la inexactitud del ser humano a la hora de interpretar el mundo que lo rodea y la perfección de las matemáticas.. Número exacto y aproximado. Error relativo y absoluto. Veamos unas definiciones y notaciones previas que usaremos a lo largo del tema: Número exacto: el valor real que representa el número (si aproximamos un número y no una medición o el valor exacto de la magnitud del objeto que deseamos medir. Es un número real que denotaremos con la letra. Número aproximado: es el número que utilizamos por imposibilidad de saber el exacto (aproximación en una medida o por comodidad a la hora de calcular su expresión decimal (aproximación numérica. Puede diferir más o menos del valor exacto aunque lo deseado es que sea lo más próximo a éste. Se denota como. En los ejemplos de la introducción en la aproximación de raíz de dos,,4. Démonos cuenta de que si el valor exacto se refiere al valor de una magnitud este no se puede llegar a conocer, si en cambio la aproximación. Error absoluto: es la diferencia entre el valor exacto y el aproximado. Se denota como Ea. Su valor es por tanto: Ea- Según sea la aproximación por defecto (> o por exceso (< tenemos que el signo del error absoluto varía: proximación por defecto Ea>0 proximación por exceso Ea<0 Tanto si la aproximación es numérica como si es en una medición no es interesante saber el valor de Ea. En el primer caso podemos calcular exactamente Ea pues y son conocidos, pero de nada nos vale hace una aproximación para simplificar los cálculos si el error que utilizamos tiene infinitas cifras decimales; en el segundo caso Ea no se puede conocer pues, como venimos diciendo, no sabemos el valor de. Lo verdaderamente interesante es acotar el error Ea por un número que denotaremos como a, mucho más sencillo que Ea y con misma aproximación numérica o pareja al número aproximado. Esta cota tiene que ser pesimista es decir a Ea de tal forma que: Si la aproximación es por defecto [, a] Si la aproximación es por exceso [-ka, ] Si la aproximación es en valor absoluto (no sabemos si por exceso o por defecto [-ka, a]. Este último caso es el más frecuente, siendo habitual expresar como ± Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria

3 Tema 7. proximación de números. Errores. Notación científica. Veamos gráficamente los intervalos que hemos descrito en el párrafo anterior:. proximación por defecto ka. proximación por exceso -a 3. proximación valor absoluto -a a Nota: la línea más gruesa indica los posibles valores del valor exacto,. Error relativo: es el resultado de dividir el error absoluto entre el valor exacto. Se denota como Er. Por comodidad se suele expresar a partir de la cota de error a y del valor aproximado. La información del error relativo es complementaria al del error absoluto. Mientras que el absoluto nos informa de la diferencia máxima entre el valor exacto y el aproximado, el error relativo nos informa como es de grande esta diferencia en relación al valor del número exacto. sí si medimos unas mesa de m con aproximación de un cm y una carretera de km con la misma aproximación el error absoluto en ambos el mismo, cm, el relativo es muy distinto en la mesa es de Er mesa 0.0 y Er carretera Como se ve en la carretera el error relativo es 000 veces menor al ser su tamaño 000 veces mayor y el error absoluto el mismo. veces el error relativo se da en tanto por cierto, su valor se obtiene multiplicando el Er por 00. Er(% 00 En nuestros ejemplos Er mesa (%% y Er carretera 0.00% 3. Diferentes formas de aproximar. La truncación y el redondeo. Ya hemos visto en los dos puntos anteriores en que consiste la aproximación y las diferentes notaciones para el valor exacto, aproximado y el error. En este apartado veremos las distintas formas de aproximar un valor numérico así como los errores cometidos en cada uno de ellos. ntes de aproximar un número tendremos que fijar la cercanía del valor aproximado al valor exacto, es decir como de pequeño es el error absoluto. Si se trata de aproximar un número real conocido con expresión decimal infinita en el que podemos conocer todos los valores decimales la aproximación se puede hacer con la exactitud que se desee. Si sólo conocemos unas determinadas cifras decimales la aproximación nunca puede ser más precisa que los valores decimales que conozcamos, como es lógico. Los procedimientos más usuales a la hora de aproximar conocido el valor exacto son el truncamiento y el redondeo. Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria 3

4 Tema 7. proximación de números. Errores. Notación científica. 3.. Truncamiento Truncar un desarrollo decimal infinito (o excesivamente largo para un determinado propósito es acortar la expresión decimal en lugar deseado. Cuanto más cifras decimales tenga la aproximación menor será el error cometido.según donde sea la aproximación la trunción es: - ( - Decenal: truncada en las cifras de las decenas. - Unitaria: truncada en las cifras de las unidades. - Decimal: truncada en las cifras de las décimas (primera cifra decimal - Centesimal: truncada en las cifras de las centésimas (segunda cifra decimal - Milesimal: truncada en la cifras de las milésimas (tercera cifra decimal - ( Ejemplo: sea el número Truncar a las unidades 0 3, a las décimas 3, a las centésimas 3,4, milésimas Si estamos aproximando por truncamiento al hacer una medición y vemos que el objeto a medir está entre dos valores tomaremos el valor más pequeño de los dos. Por ejemplo si tenemos que medir una mesa con una regla de precisión de los centímetros y esta mide entre,45 y.46, el valor aproximado por truncamiento será,45cm. Mientras que en la truncación de un desarrollo decimal de un número real conocido puede ser en cualquier orden en el caso de las medidas el orden de aproximación lo marca el error del aparato de medición. sí en el ejemplo anterior no podremos aproximar a los milímetros con esa regla. Error absoluto de la truncación: en la truncación la aproximación siempre es por defecto, por lo que el error absoluto es siempre positivo (recordemos Ea- Proposición: en una aproximación por truncamiento de una expresión decimal o una medida el error absoluto es menor o igual que una unidad de orden de la cifra donde se comete la truncación.(eje: π 3, entonces Ea 0.. a 0 -n con n orden de aproximación Demostración: Sea el número exacto.b 0 b 0 b 0 b -0 -.b -n0 -n b -n-0 -n-... siendo b i { 0,,.,9} para todo i Z. El número aproximado por truncamiento en la cifra decimal n será el número.b 0 b 0 b 0 b -0 -.b -n0 -n. Calculemos el error absoluto: Ea- b -n-0 -n- b -n-0 -n- El valor máximo del error será si todos dígitos son 9 (a i 9. sí Ea 90 -n- 90 -n- 0 -n, luego Ea a0 -n. Esta demostración es válida para todo n Z Veamos gráficamente como se aproxima la truncación al valor exacto: , 33,3 33,795 33,7 33,8 33,795 Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria 4

5 Tema 7. proximación de números. Errores. Notación científica. En el ejemplo donde 33,795 las aproximaciones en la unidad es 0 33, 33, y 33,7. Observando gráficamente las aproximaciones fácilmente vemos como, en este caso, 0 33 es mejor aproximación que 34 pero no ocurre lo mismo para 33, donde es más próximo 33,3 y para 33,7 donde el más próximo para este valor decimal es 33,8. Veremos como con la siguiente aproximación, el redondeo, esto no ocurre y siempre se coge el mejor valor decimal en cada aproximación. Error relativo de la truncación: podemos calcular el valor relativo a partir de la aproximación del valor absoluto que terminamos de ver Er decenas, n0 en las unidades, n- décimas. 3.. El redondeo (siendo n aproximación Definición: el redondeo es el método de aproximación de un número en una cifra decimal donde seguimos las siguientes pautas: Si la cifra siguiente a la que vamos a aproximar es menor que 5 entonces se corta la expresión numérica en esta n-esima cifra decimal (igual que truncamiento Si la siguiente cifra es mayor o igual que 5 la aproximación resultara de sumar una unidad en este orden a la aproximación realizada por truncamiento. En el primer caso el redondeo será una aproximación por defecto (Ea>0 y en el segundo por exceso (Ea<0. Para aplicar el redondeo en las mediciones es necesario que el aparato de medida donde vamos a aproximar tenga marcado en la escala donde aproximamos el punto medio de cada valor. Por ejemplo si queremos aproximar el tamaño de una mesa con una regla con escala en centímetros, para hacer la aproximación por redondeo tendrá que tener marcada el punto medio entre dos centímetros, es decir precisión de 0.5 cm. Ejemplo: vamos a aproximar el número que utilizamos antes en el ejemplo de la aproximación con redondeo : 0 33, 33,3, 33.8, Vemos como a diferencia del truncamiento ahora cogemos el valor decimal mejor en cada aproximación , 33,3 33,795 33,7 33,8 33,795 Como el error en el truncamiento puede ser negativo o positivo se suele trabajar con error en valor absoluto que siempre es positivo. Veamos el valor de la cota superior en la siguiente proposición. Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria 5

6 Tema 7. proximación de números. Errores. Notación científica. Proposición: en una aproximación por redondeo de una expresión decimal o una medida el error absoluto en valor absoluto es menor o igual que la mitad de una unidad de orden de la cifra donde se comete la truncación.(eje: π 3, entonces Ea a con n orden de aproximación (n- aproximación décimas, n- centésimas Demostración: aproximaremos en la cifra decimal n-ésima y consideremos los dos casos siendo el valor exacto.b 0 b 0 b 0 b -0 -.b -n0 -n b -n-0 -n Por defecto b -n- <5:.b 0 b 0 b 0 b -0 -.b -n0 -n, si calculamos el error Ea b -n-0 -n-... con b -n- <5 el máximo error es Ea40 -n- 90 -n- 90 -n-3.<0 -n / - Por exceso b -n- 5:.b 0 b 0 b 0 b -0 -.(b -n 0 -n, si calculamos el error Ea-0 -n (b -n-0 -n-... con b -n- 5 el máximo error es Ea 0 -n n- 0 -n / Notación: dado que el error puede ser positivo o negativo se suele utilizar la notación ± para incluir el valor aproximado y la cota máxima de error. Por ejemplo con la notación sería ±0,5, ±0,05, ±0,05, ±0,005. Error relativo del redondeo: podemos calcular el valor relativo a partir de la aproximación del valor absoluto que terminamos de ver Er (siendo n aproximación decenas, n0 en las unidades, n- décimas Otras aproximaciones. Estimación mediante cotas. El truncamiento y el redondeo son los métodos más utilizados a la hora de la aproximación numérica, pero no son los únicos, veremos en este punto otros métodos diferentes. Estimación mediante cotas: se utiliza cuando el número exacto,, está comprendido entre dos valores, cotas. Denotaremos a las cotas x y x cumpliéndose x <<x. La aproximación de en primera iteración es es a. y la cota de error (error máximo cometido Si podemos comprobar si es mayor o menor que podremos iterar este método las veces que se desee encajando entre una de las anteriores cotas y el valor de. Cada iteración hace que el valor aproximado,, se aproxime más al exacto,, y por tanto sea menor la cota de error, a. Este método es muy bueno para aproximar raíces, sin necesidad de calcular la raíz. Se puede usar en los primeros cursos de secundaria, pues además de ser un método de aproximación nos puede servir para que los alumnos comprendan el concepto de raíz cuadrada y su relación con el cuadrado del resultado. Con el fin de entender mejor el método veamos un ejemplo. Ejemplo: 4 : x 6, x 7 al cumplirse que 6<4 <7 (pues x 36<4<497 x. En primera aproximación 6.5. Si queremos una segunda aproximación mejor que la primera tendremos que saber si es mayor o menor que, para esto calculamos , luego 6<4<6.5 y tendremos que. 6.5 segunda aproximación. Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria 6

7 Tema 7. proximación de números. Errores. Notación científica. Repitiendo de nuevo el proceso y por tanto 6.5<4<6.5 y 3.. 6,375. Este método se puede repetir las veces que se desee siendo cada vez el valor aproximado más próximo al exacto pues las cotas cada vez más próximas (la mitad en cada aproximación En nuestro problema a 0.5, a. 0.5 y finalmente a Si queremos una aproximación con error menor que un valor fijo podemos calcular fácilmente el número de iteraciones necesarias: <. luego n- <0.5/ y por tanto tomando logaritmo en base (que al ser decreciente hace cambiar el sentido de la desigualdad anterior n>log (0.5/. proximación de la media aritmética: se utiliza cuando la aproximación se hace en medidas conde aparece el error accidental por lo que tomamos diferentes medidas de :,,, n. La aproximación que se utiliza consiste en calcular como la media aritmética de todas las medidas calculadas anteriormente y como cota de error amax{ - i } o as (. En este caso los dos errores no podemos asegurar que ±a, pues hemos usado métodos estadísticos. 4. Cifras significativas Cuando escribimos un número aproximado se deben escribir las cifras que conocemos como mínimo aproximadamente, estas cifras es lo que llamamos cifras significativas. Podemos definir las cifras significativas a partir del error. Cuando un número se expresa con sus cifras significativas, la última cifra es siempre incierta. Veamos un ejemplo: 5.434±0,00 Cifras no significativas 4 cifras significativas la hora de contar las cifras significativas no se tienen en cuenta los ceros que están a la izquierda de la primera cifra no nula: Los ceros entre dígitos si son significativos, así por ejemplo 3.04±0.005 tiene 4 cifras significativas. Para una correcta notación sólo se deberán escribir las cifras significativas, pues las siguientes no nos van a dar información, al no saber realmente su valor. Esto hace que si tenemos números con ceros a la derecha de la última cifra decimal si se cuentan como significativas. Veamos un ejemplo: 3.0±0,05 tiene 3 cifras significativas y aunque en un número exacto este cero no tendría información en este caso el 0 después del nos indica que el error es del orden de las centésimas y no de las décimas. Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria 7

8 Tema 7. proximación de números. Errores. Notación científica. La notación más ambigua es cuando el número termina en 0 sin decimales (por ejemplo estos ceros en los que termina pueden ser o no significativos, en este caso si no son significativos no los podemos quitar pues 36 ahora no es los mismo que Para evitar confusiones se utiliza la notación científica que veremos en el apartado 6, y donde sólo se ponen los ceros que sean significativos. Veamos en la siguiente tabla dos ejemplos: 5. Operaciones con números aproximados. Propagación de errores. Cuando utilizamos los números aproximados para diversas operaciones, por ejemplo si queremos calcular la velocidad de un móvil y la distancia y el tiempo no son exactos (vd/t tendremos que ver el valor del error en el número obtenido (en el ejemplo el error de la velocidad a partir de los errores de los números utilizados en el cálculo. El estudio de cómo se modifica el error en todas las operaciones, suma, resta, producto, división, raíz cuadrada, derivadas, integrales se denomina propagación de errores y es una parte muy importante de la física o de cualquier ciencia experimental. El cálculo del error se calcula por derivadas parciales: Con La demostración de esta expresión del error es secilla, ya que lo que estamos haciendo es ver como varía la expresión f en función de las variables,, C que son las magnitudes sometidas a error. Esta variación es la definición de diferencial de f que se calcula a partir de f f las derivadas parciales: df d d... Como en el caso del error nos interesa ver el máximo cometido tomamos las parciales siempre como positivas siendo d, d y demás diferenciales como varía las magnitudes, es decir el error que en la expresión denotamos como,, etc. En el tema veremos la propagación de errores de la suma, resta, producto y división. Calcularemos el error total a partir de la expresión anterior y, debido a la sencillez de las 4 operaciones, lo haremos también a partir del desarrollo algebraico de las operaciones y buscando el máximo error cometido. Ni que decir tiene que el resultado será el mismo. Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria 8

9 Tema 7. proximación de números. Errores. Notación científica. 5.. Suma y diferencia Sea ± y ± dos aproximaciones y sus errores absolutos en valor absoluto. Veamos el error cometido si sumamos o restamos estos números aproximados, es decir o - siendo y los valores exactos. Veamos la propagación de errores por los dos métodos:. partir de las derivadas parciales Suma: F F d d Resta: F - F. partir cálculo máximo error de forma algebraica: Suma: ( ± ( ± ( ± suma ( ±max{, -, -, - - } ( ±( Resta: : - ( ± - ( ± ( - ± resta ( - ±max{, -, -, - - } ( ±( Conclusión: Luego como vemos en la suma y en la resta se suman los errores absolutos y no depende del valor de las aproximaciones. Ejemplo: (3,0±0,05(4,0±0,57,±0, Producto. Calculemos el valor de los errores en el producto por los dos métodos:. partir de las derivadas parciales: F F. partir cálculo máximo error de forma algebraica: ( ± ( ± ±max{, - -, - -, - - } ±( Vemos que en el segundo caso hay un término a mayores,, pero al ser mucho más pequeño que los otros términos este es despreciable. Conclusión: producto, con lo que el error relativo es la suma de los errores relativos, Er Er Er 0,5 5 Ejemplo: (±0,5(50±500±(0,550500±35 Er 0, Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria 9

10 Tema 7. proximación de números. Errores. Notación científica. Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria División. Calculemos el valor de los errores en la división por los dos métodos:. partir de las derivadas parciales: F / ( ( F F F. Luego el valor de la cota de error es división (. partir cálculo máximo error de forma algebraica: división ± ± ± ( (. (, (, ( sup sup división ± ± Podemos aproximar ( - ( y vemos que el resultado es el mismo en los dos casos Si calculamos el error relativo Er Er Er, luego al igual que el producto el error relativo es la suma de los errores relativos. 6. Notación científica Expresar un número en notación científica consiste en plantearlo mediante un número decimal con una única cifra entera distinta de cero, multiplicando por una potencia entera en base 0. Las cifras que se ponen antes de la potencia son las cifras significativas que describimos en el apartado 4 de este mismo tema. Ejemplos: Masa de la Tierra: M Tierra ( ± kg Carga del electrón: e(.60-9 ±0.0-9 C La notación científica se utiliza muchas veces en la física y en la química siendo sus principales ventajas las siguientes: Facilita estimar el orden de las magnitudes (M t ~0 4 kg, e~0-9 C Sencillez a la hora de escribir los números y conocer las cifras significativas. Simplificar las operaciones.

11 Tema 7. proximación de números. Errores. Notación científica. Veamos la tercera ventaja viendo distintas operaciones con números en notación científica: Producto: se multiplica las cifras significativas y se suman exponentes de las potencias de 0. En caso del resultado no estar expresado en forma de notación científica por tener la cifra significativa dos cifras movemos la coma a la izquierda y por tanto sumamos los movimientos de la coma en el exponente. Ejemplo: (,30 (50,50 3,50 33 División: se divide las cifras significativas y se restan exponentes de las potencias de 0, en caso del resultado no estar expresado en forma de notación científica por ser la primera cifra un cero movemos la coma a la derecha y por tanto restamos los movimientos de la coma en el exponente. Ejemplo: (,40 - :(0 8 0, Suma y resta: se ponen todos los números con la misma potencia, se suman los argumentos y se saca factor común los valores de las potencias de 0. Si el resultado no está en forma de notación científica no tenemos más que desplazar la cola hacia la derecha o izquierda como se vio antes en el producto y la división. Ejemplo: ( ( , Contexto con secundaria y achillerato. La aproximación de números y la notación científica se abordan en especial en el tercer curso de matemática de la ESO, si bien se introduce conceptos en º de la ESO y se vuelve a ver en 4º de la ESO. También se explica tanto los errores como la notación científica en la asignatura de Física y Química. Es por tanto conveniente que los profesores de matemáticas y física y química se coordinen para abordar el tema con la misma notación y para organizar el momento en que se imparte en el curso. Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria