2. Representación de números 1

Transcripción

1 2. Representación de números 1 Julio C. Carrillo E. Escuela de Matemáticas, UIS

2 2. Representación de números 2 1. Pérdida de significancia Usualmente se presenta una pérdida de significancia cuando se realizan operaciones aritméticas con números que contienen errores. Definición 1. Sea que denota cualquiera de las operaciones aritméticas, y sea ˆ la correspondiente versión de computador de la misma operación. Supogamos que x y ỹ denotan los números usados en los cálculos de computador los cuales contienen errores ǫ y η, resp., con valores reales x = x+ǫ, y = ỹ +η Entonces x ˆ ỹ es el número realmente calculado por la máquina, y para su error, x y xˆ ỹ = [x y x ỹ]+[ x ỹ xˆ ỹ], donde la primera cantidad del lado derecho es llamada error propagado, y la segunda cantidad es normalmente el error por recorte o redondeo.

3 2. Representación de números 3 En la definición anterior, en la segunda cantidad del lado derecho usualmente se tiene que xˆ ỹ = fl( x ỹ), lo cual indica que x ỹ es calculado exactamente y entonces redondeado. En esta sección se muestra como la pérdida de significancia en la resta en algunos casos se puede reducir o eliminar mediante algunas técnicas, las cuales pueden ser contra la pérdida de precisión en los cálculos Dígitos significantes Supongamos que x es un número real expresado en la notación científica normalizada, o de punto flotante, en el sistema decimal

4 2. Representación de números 4 de la forma donde x = ±r 10 n, r = 0.b 1 b 2 b t, siendo el dígito no nulo b 1 el dígito decimal más significativo y b t el dígito decimal menos significativo. Así, t representa la exactitud (accuracy) o número de dígitos decimales exactos en la representación de x (usualmente en precisión simple (24 bits) o doble (54bits)). Por ejemplo, si x = 0, , entonces3es el dígito decimal más significativo y 8 el menos significativo de estos dígitos en esta representación de x. La forma en que se obtiene x determina cuantos dígitos significativos contienen su forma decimal aproximada. Por ejemplo, es distinto este número de dígitos cuando x es un número real con representación

5 2. Representación de números 5 matemáticas exacta a cuandoxes un número real que representa una cantidad en una medición. En este último caso se debe considerar que toda cantidad medida involucra un error cuya magnitud depende de la naturaleza del dispositivo de medición a. Observaciones similares corresponden a las cantidades calculadas de las cantidades medidas. Por ejemplo, si s = 0,376 metros es el lado de un cuadrado, entonces puede asumirse que el error no puede exceder las unidades más allá del tercer lugar decimal. Aún se disponga de la precisión infinita de s, 2 = 1, , y se pueda obtener la diagonal d del cuadrado como d = 2s 0, , a En cálculos científicos se tiene como convención considerar que el menor número de dígitos significativos en una medida deben contener un error de a los más cinco unidades.

6 2. Representación de números 6 sólo puede ser reportado su valor como d = 0, , o más conservativamente como d = 0, Ejemplo 1. Si x = 0, y y = 0, , cuál es el error relativo en el cálculo de x y en un computador que tiene cinco dígitos decimales de exactitud. Solución. Primero los números deben ser redondeados a x = 0,37214 y ỹ = 0, Entonces x ỹ = 0,00012, mientras que la respuesta exacta (correcta) es x y = 0, El error relativo involucrado es (x y) ( x ỹ) x y = 0, , Para este caso el error de redondeo es gobernado por la ecuación fl(x y) = (x y)(1+δ) donde δ

7 2. Representación de números 7 Como tenemos que la diferencia calculada de 0,00012 únicamente tiene dos dígitos decimales de exactitud, mientras que en general uno espera cinco dígitos decimales de exactitud. Teorema 1 (de pérdida de presión). Sean x y y números de máquina de punto flotante normalizado, donde x > y > 0. Si 2 p x y x 2 q, para algunos enteros positivos p y q, entonces a lo más p y al menos q dígitos binarios significativos se pierden en la resta de x y b. Solución. Primero, supongamos que x = r 2 n y que y = s 2 m, donde 1 2 r,s < 1. Como y < x, el computador puede que tenga que desplazar dígitos de y antes de realizar la operación de resta. En cualquier caso, y primero debe ser expresado con el mismo exponente b Nótese que el error relativo x y puede ser escrito de la forma 1 y, en la x x primera se requiere dos evaluaciones de x y en la segunda una sola.

8 2. Representación de números 8 que x. Así, y = (s 2 m n ) 2 n y x y = (r s 2 m n ) 2 n. Para la mantisa de este número, ) r 2 2 m n = r (1 s 2m r 2 n = r ( 1 y ) x < 2 q. Por lo tanto, para normalizar la representación de x y, un desplazamiento de al menos q dígitos a la izquierda es necesario. Entonces, al menos q ceros son obtenidos en la parte derecha de la mantisa. Esto quiere decir que al menos se han perdido q bits de precisión. La desigualdad del lado derecho tiene una prueba similar. En el caso del sistema decimal, en la siguiente definición también se utiliza el error relativo promedio como una medida de las cifras significativas de precisión para una aproximación.

9 2. Representación de números 9 Definición 2. Se dice que el número x que aproxima a x con t cifras (decimales) significativas si t es el menor entero para el cual x x x 5 10 t. Teorema 2. Para la representación en máquina de x = 0.d 1 d 2 d k d k+1 10 n, entonces el error relativo al usar la aritmética de redondeo a k cifras es x x x 10 k+1 por recorte, x x x 0,5 10 k+1 por redondeo.

10 2. Representación de números 10 Lo anterior demuestra que el error relativo por recorte es el doble del mismo error por efectos de redondeo. En aritmética de computadora, con un número finito de cifras, los errores que más comúnmente se presentan son consecuencia de: 1. Suma de números grandes y pequeños. 2. Resta de números casi iguales. 3. El error que se introduce por representación con un número finito de cifras, o cálculo, se puede aumentar al dividir por cantidades muy pequeñas o multiplicar por cantidades muy grandes (propagación del error). Dependiendo del tipo de problema y operaciones aritméticas involucradas, existe algunas soluciones. En el caso de la resta, se pueden utilizar algunas soluciones.

11 2. Representación de números Racionalizar: x = x 2 x Utilizar series de Taylor. 3. Utilizar identidades trigonométricas.