Asignatura : Análisis Numérico Grupo : ::Tarea 1::.

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1 .::Tarea 1::. Ejercicios Teóricos 1. Convertir los siguientes Números Binarios en forma decimal. (a) dos (b) dos (c) dos (d) dos (e) dos (f) dos 2. Convertir los siguientes números decimales en forma binaria. (a) 87 (b) 378 (c) Convertir los siguientes números decimales en fracciones binarias de la forma 0.d 1 d 2 d 3 d nbasedos. Y si fuese el caso, hacer las fracciones binarias periódicas si no fueran finitas. (a) 7/16 (b) 13/16 (c) 23/32 (d) 75/128 (e) 1/10 (f) 1/3 (g) 1/7 4. Probar que el desarrollo binario de 1/7 = dos, es equivalente a 1 7 = Teorema de la Convergencia de una Serie Geométrica para justificar dicho desarrollo. 5. Probar que el desarrollo binario de 1/5 = dos, es equivalente a 1 5 = Teorema de la Convergencia de una Serie Geométrica para justificar dicho desarrollo y usar el + y usar el 6. Tenemos un sistema de punto flotante F(2, 3, 1, 2), que significa un sistema binario, mantisa de 3 lugares binarios y 4 exponentes (del -1 al 2). Pueden consultar el archivo SISNUM.pdf que envió la profesora. (a) Mencionar el valor del underflow, el overflow, y la épsilon. (b) Cuántos flotantes hay? (c) Graficar 7. Tenemos un sistema de punto flotante F(2, 4, 7, 8), que significa un sistema bianario,mantisa de 4 lugares binarios y 16 exponentes (del -7 al 8). Pueden consultar el archivo SISNUM.pdf que envió la profesora. (a) Mencionar el valor del underflow, el overflow, y la épsilon. (b) Cuántos flotantes hay? 8. En el sistema de punto flotante IEEE754 de doble precisión F(2, 52, 1023, 1024). Cuántos flotantes hay? 1 Profesora :

2 9. La diferencia entre x y fl(x) es llamada Error de Redondeo, el Error de Redondeo, depende del tamaño de x. Si escribimos fl(x) = x(1 + δ) donde δ = δ(x) depende de x, demostrar que (a) δ < 1 2 β1 n ; en el caso del redondeo. (b) β 1 n < δ 0 ; en el caso del truncamiento. En ambos casos, n es el número de dígitos en la mantisa. 10. La diferencia entre x y fl(x) es llamada Error de Redondeo, y el Máximo Error de Redondeo es denotado por u. Dado U = {1 + δ : δ u}, demuestra que: (α 1 α 2 α r 1 α r ) U r, α U, tal que r i=1 α i = α r 1/4 1/4 ) 11. Completa el siguiente cálculo : e x2 dx (1 + x 2 + x ! + x3 dx = ˆp Por nuestros cursos de Cálculo, sabemos que ésta es una aproximación del término de la derecha, ambas expresiones son números reales. Determina el tipo de error que se presenta en esta situación y compara su resultado con el valor exacto p= En cada uno de los siguientes casos, tenemos un número real y una estimación del mismo. Hallar el Error Absoluto E p, el Error Relativo R p y determinar el número significtivo de cifras de la aproximación. (a) p= , ˆp= (b) q=98 350, ˆq= (c) r= , ˆr= Considerando una aritmética de dígitos finitos... (a) Consideremos los datos p 1 = y p 2 = que vienen dados por una precisión de 4 cifras significativas. Determinar el resultado adecuado en esta situación de la suma p 1 + p 2 y el producto p 1 p 2. (b) Consideremos los datos p 1 = y p 2 = que vienen dados por una precisión de 5 cifras significativas. Determinar el resultado adecuado en esta situación de la suma p 1 + p 2 y el producto p 1 p 2. Puedes basarte en el libro Burden. 14. La pérdida de cifras significativas se puede evitar a veces reordenando los términos de la función usando una identidad concida del álgebra o la trigonometría. Encuentra en cada uno de los siguientes casos, una fórmula equivalente a la dada que evite la pérdida de cifras significativas (a) ln(x + 1) ln(x) para x grande. (b) x x para x grande. (c) cos 2 (x) sen 2 (x) para x π 4 1+cos(x) (d) 2 para x π 2 Profesora :

3 15. Evaluación Polinomial. Sean P (x) = x 3 3x 2 + 3x 1 Q(x) = ((x 3) + 3) 1 R(x) = (x 1) 3 (a) Usando aritmética en punto flotante con cuatro cifras y redondeo, calcular P (2.72), Q(2.72) y R(2.72). En el cálculo de P (x) suponer que (2.72) 3 = y (2.72) 2 = (b) Usando aritmética en punto flotante con cuatro cifras y redondeo, calcular P (0.975), Q(0.975) y R(0.975). En el cálculo de P (x) suponer que (0.975) 3 = y (0.975) 2 = Usando aritmética en punto flotante, con tres cifras y redondeo, calcular las siguientes sumas (sumando en el orden que se indica). (a) 6 k=1 1 3 k (b) 6 k= k 17. Discute la propagación de los errores en las siguientes operaciones. (a) La suma de tres números : p + q + r = (ˆp + ɛ p ) + (ˆq + ɛ q ) + (ˆr + ɛ r ) (b) El cociente de dos números : p q = ˆp+ɛp ˆq+ɛ q (c) El producto de tres números : pqr = (ˆp + ɛ p )(ˆq + ɛ q )(ˆr + ɛ r ) 18. Dados los desarrollos de Taylor 1 1 h = 1 + h + h2 + h 3 + o(h 4 ) cos(h) = 1 h2 2! + h4 4! + o(h 4 ) Determina el orden de aproximación de su suma y su producto. 19. Dados los desarrollos de Taylor e h = 1 + h + h2 2! + h3 + h4 4! + o(h 5 ) sen(h) = h h3 + o(h 5 ) Determina el orden de aproximación de su suma y su producto. 20. La Fórmula mejorada para la Resolución de las Ecuaciones de Segundo Grado Supongamos que a 0 y que b 2 4ac > 0 y consideremos la ecuación ax 2 + bx + c = 0. Sus raíces pueden calcularse mediante la conocida fórmula (i) x 1 = b+ b 2 4ac 2a y x 2 = b b 2 4ac 2a Pruebe que éstas raíces pueden calcularse mediante las fórmulas equivalentes 2c (ii)x 1 = b+ y x 2c b 2 4ac 2 = b b 2 4ac Cuando b b 2 4ac hay que proceder con cuidado para evitar la pérdida de precisión por cancelación. Si b > 0, entonces x 1 debería ser calculado usando (ii) y x 2 debería ser calculado usando (i); mientras que si b < 0, entonces x 1 debería ser calculado usando (i) y x 2 debería ser calculado usando (ii). 21. Use la fórmula adecuada para calcular x 1 y x 2, tal como se explica en el ejercicio anterior, para hallar las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo grado. (a) x x + 1 = 0 (b) x x + 1 = 0 (c) x x + 1 = 0 (d) x x + 1 = 0 3 Profesora :

4 Prácticas en Software 22. Programar en MatLab los programas que calculen (a) El underflow (b) El overflow (c) La épsilon (d) Mantisa del computador 23. Programar en MatLab los programas que calculen (a) x n, n N (b) x (c) x m, 0 < m < 1 (d) sen x (e) cos x (f) arcsin x (g) arccos x (h) arctan x (i) ln x (j) e x Deben hacerse con los algoritmos vistos en clase. 24. Programar en MatLab usando los resultados de los ejercicios 20 y 21, un algoritmo y un programa que calcule las raíces de una ecuación cuadrática en todas las situaciones posibles, incluyendo los casos problemáticos cuando en que b b 2 4ac. 25. Programar en MatLab el cambio de bases (por ejemplo de base 2 a base 5) que se practicó en clase. El dato de entrada podría tener decimales. 4 Profesora :

5 Bibliografía sugerida Bibliografía Principal: 1. Análisis Numérico, Richard L. Burden, J. Douglas. 2. Métodos Numéricos con MatLab, John H. Mathews. 3. SISNUM.pdf enviado por la profesora Claudia (A. A. Olmos - Numéricos y Errores) CÁLCULO NUMÉRICO - Sistemas Bibliografía complementaria 4. Elementary Numerical Analysis, Samuel D.Conte. 5. Bibliografía sugerida por el alumno. 5 Profesora :