Propagación de errores

Transcripción

1 Clase No. 2: MAT 251 Propagación de errores Dr. Alonso Ramírez Manzanares Depto. de Matemáticas Univ. de Guanajuato cimat.mx web: alram/met_num/ Dr. Joaquín Peña Acevedo CIMAT A.C. cimat.mx Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

2 El épsilon de la máquina Definimos el épsilon de la máquina (a veces se abrevia como macheps), como el número de máquina ε m más pequeño tal que 1 < fl(1 + ε m ). La representación de cualquier número real x está en el intervalo (x(1 δ m ), x(1 + ε m )). Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

3 El épsilon de la máquina Definimos el épsilon de la máquina (a veces se abrevia como macheps), como el número de máquina ε m más pequeño tal que 1 < fl(1 + ε m ). La representación de cualquier número real x está en el intervalo (x(1 δ m ), x(1 + ε m )). Cuando se trabaja con precisión finita, 0 no es la única solución de la ecuación 1 + x = 1. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

4 El épsilon de la máquina Definimos el épsilon de la máquina (a veces se abrevia como macheps), como el número de máquina ε m más pequeño tal que 1 < fl(1 + ε m ). La representación de cualquier número real x está en el intervalo (x(1 δ m ), x(1 + ε m )). Cuando se trabaja con precisión finita, 0 no es la única solución de la ecuación 1 + x = 1. Una manera de calcularlo es la siguiente: 1: eps = 1; 2: y = 1 + eps; 3: while y > 1 do 4: eps = eps/2; 5: y = 1 + eps; 6: end while Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

5 Errores al realizar operaciones aritméticas (I) La asociatividad en la suma puede no ser válida. Ejemplo en base 10 con tres dígitos de precisión y redondeo hacia el más cercano: a = , b = , c = Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

6 Errores al realizar operaciones aritméticas (I) La asociatividad en la suma puede no ser válida. Ejemplo en base 10 con tres dígitos de precisión y redondeo hacia el más cercano: a = , b = , c = fl(fl(a + b) + c) = fl( ) = = a fl(a + fl(b + c)) = fl( ) = Hay que especificar el tipo de redondeo que se afectúa. Al calcular usando tres dígitos de precisión, tenemos que Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

7 Errores al realizar operaciones aritméticas (I) La asociatividad en la suma puede no ser válida. Ejemplo en base 10 con tres dígitos de precisión y redondeo hacia el más cercano: a = , b = , c = fl(fl(a + b) + c) = fl( ) = = a fl(a + fl(b + c)) = fl( ) = Hay que especificar el tipo de redondeo que se afectúa. Al calcular usando tres dígitos de precisión, tenemos que a = = , b = fl(ab) = fl( Redondeo hacia arriba ) = Redondeo hacia abajo Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

8 Errores al realizar operaciones aritméticas (II) Errores por sustracción. Sea f (x) = (1 cos x)/x 2. Para x = y una precisión a 10 decimales, se tiene que cos x = = 1 cos x = = 1 cos x x 2 = Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

9 Errores al realizar operaciones aritméticas (II) Errores por sustracción. Sea f (x) = (1 cos x)/x 2. Para x = y una precisión a 10 decimales, se tiene que cos x = = 1 cos x = = 1 cos x x 2 = El resultado es incorrecto. Resulta que 0 f (x) 0.5 para todo x = 0. vy vx Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

10 Errores al realizar operaciones aritméticas (III) Para evitarlo, podemos usar cos x = 1 2 sin 2 (x/2). sin(x/2) 2. f (x) = 1 2 x/ = 0.5 x = = f (x) = Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

11 Propagación del error en la suma :tab Supongamos que tenemos dos números reales x, y con el mismo signo, y que El error relativo de la suma x + y es fl(x) = x(1 + δ x ), fl(y) = y(1 + δ y ) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

12 Propagación del error en la suma :tab Supongamos que tenemos dos números reales x, y con el mismo signo, y que El error relativo de la suma x + y es fl(x) = x(1 + δ x ), fl(y) = y(1 + δ y ) [fl(x) + fl(y)] (x + y) δ x+y = x + y = fl(x) x x + y + fl(y) y x + y x + y δ x+y u = u x + y = δ x x x + y + δ y y x + y Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

13 Propagación del error en la suma :tab Supongamos que tenemos dos números reales x, y con el mismo signo, y que El error relativo de la suma x + y es fl(x) = x(1 + δ x ), fl(y) = y(1 + δ y ) [fl(x) + fl(y)] (x + y) δ x+y = x + y = fl(x) x x + y + fl(y) y x + y x + y δ x+y u = u x + y = δ x x x + y + δ y y x + y Para la resta se tiene algo similar: x δ x y = δ x x y δ y y x y Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

14 Ejemplo El polinomio de Rump se define como R(x, y) = y6 + x 2 (11x 2 y 2 y 6 121y 4 2) y8 + x Si evaluamos este polinomio usando double y long double se tiene que (float) R(77617, 33096) = (double) R(77617, 33096) = (long double) R(77617, 33096) = y Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

15 Ejemplo El polinomio de Rump se define como R(x, y) = y6 + x 2 (11x 2 y 2 y 6 121y 4 2) y8 + x Si evaluamos este polinomio usando double y long double se tiene que (float) R(77617, 33096) = (double) R(77617, 33096) = (long double) R(77617, 33096) = Realizando las operaciones con fracciones, obtenemos R(77617, 33096) = y Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

16 Ejemplo (I) Si Entonces R 1 (x, y) = y6 + x 2 (11x 2 y 2 y 6 121y 4 2) R 2 (x, y) = y8 R 3 (x, y) = x 2y R 1 (77617, 33096) = , R 2 (77617, 33096) = , R 3 (77617, 33096) = Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

17 Ejemplo (II) Repetimos los cálculos usando 16 dígitos de precisión R 1 (77617, 33096) = , R 2 (77617, 33096) = , R 3 (77617, 33096) = R(77617, 33096) = = Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

18 Propagación del error en el producto Si fl(x) = x(1 + δ x ), fl(x)fl(y) xy δ xy = xy fl(y) = y(1 + δ y ), entonces = xy(1 + δ x)(1 + δ y ) xy xy δ xy 2u + u 2 = δ x + δ y + δ x δ y Para el caso de la división se tiene que: δ x = δ x δ y y 1 + δ y Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

19 Error combinando sumas y productos Consideremos tres números reales x, y, z, y queremos calcular x(y + z). Entonces, en lugar de operar x, y, z operamos con x(1 + δ x ) = x + ε x, y(1 + δ y ) = y + ε y y z(1 + δ z ) = z + ε z (x + ε x )(y + ε y + z + ε z ) = x(y + z) + x(ε y + ε z ) + (y + z)ε x + ε x (ε y + ε z ) Entonces el error es E = x(ε y + ε z ) + (y + z)ε x + ε x (ε y + ε z ) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

20 Error combinando sumas y productos Consideremos tres números reales x, y, z, y queremos calcular x(y + z). Entonces, en lugar de operar x, y, z operamos con x(1 + δ x ) = x + ε x, y(1 + δ y ) = y + ε y y z(1 + δ z ) = z + ε z (x + ε x )(y + ε y + z + ε z ) = x(y + z) + x(ε y + ε z ) + (y + z)ε x + ε x (ε y + ε z ) Entonces el error es E = x(ε y + ε z ) + (y + z)ε x + ε x (ε y + ε z ) Si suponemos que ε i < ε, entonces E 2ε x + y + z ε + 2ε 2 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

21 Evaluación de polinomios (I) Evaluamos el polinomio cúbico donde p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d a = 1.000, b = , c = , d = , (1) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

22 Evaluación de polinomios (I) Evaluamos el polinomio cúbico donde p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d a = 1.000, b = , c = , d = , (1) vy x x x vy x x x ((ax 3 + bx 2 ) + cx) + d vx (((ax + b)x)x + c)x + d vx Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

23 Evaluación de polinomios (II) Usando algunas estrategias, como las que se describen en S. Graillat, P. Langlois and N. Louvet. Algorithms for accurate, validated and fast polynomial evaluation. Japan J. Indust. Appl. Math., vol. 26, pp. 191âĂŞ214, 2009 se obtiene lo siguiente: vy x x x vx Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

24 Evaluación de polinomios (III) El polinomio p(x) se obtuvo al desarrollar la expresión donde p(x) = (x s 1 )(x s 2 )(x s 3 ) s 1 = , s 2 = , s 3 = , de modo que a = 1 b = s 1 s 2 s 3 c = s 2 s 3 + s 1 s 3 + s 1 s 2 d = s 1 s 2 s 3 Los puntos indicados con x en la gráfica anterior indican la posición de las raíces. Es posible estimar los valores y i que corrigen el cálculo de los coeficientes del polinomio a = fl(a) + y 1 b = fl(b) + y 2 c = fl(c) + y 3 d = fl(d) + y 4 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

25 Evaluación de polinomios (IV) Entonces p(x) = Horner(p, x) + y(x) y al evaluarlo se obtiene vy x x x En general, se puedan estrategias para calcular los coecientes de un polinomio dadas sus raíces: Calvetti, D. and Reichel, Lothar. On the evaluation of polynomial coefficients. Numerical Algorithms 33, pp , vx Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

26 Otros ejemplos (I) Ejemplo 1. Dado un número x, considere el siguiente procedimiento: 1: for i = 1 : 60 do 2: x = x 3: end for 4: for i = 1 : 60 do 5: x = x x 6: end for Qué valor se obtiene para x = 2? Para x = 1000? Ejemplo 2. En la versión de Maple 7, al calcular el resultado obtenido era 1!! 1001! 1000! Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16