Lección 7. Aritmética Computacional

Transcripción

1 Lección 7. Aritmética Computacional MIGUEL ANGEL UH ZAPATA 1 Análisis Numérico I Facultad de Matemáticas, UADY Agosto Centro de Investigación en Matemáticas, Unidad Mérida.

2 En esta lección analizaremos los errores al realizar operaciones con los números punto flotante. Al final debemos de: En base al análisis de errores indicar si distintas operaciones aritméticas con punto flotante son bien condicionadas o no. Explicar la razón por la cual tenemos pérdida de dígitos significativos en la resta de dos números muy parecidos.

3 Análisis Numérico Aritmética Computacional En la clase anterior vimos que ya sea por redondeo o por truncamiento, denotaremos la versión punto flotante de la máquina de un número x como fl(x). 1. Aritmética computacional Además de la representación imprecisa de los números, la aritmética realizada por la computadora no es exacta. Suponga que se tienen representaciones de punto flotante f l(x) y f l(y) para los números reales x y y. Y que los simbolos,,, representan las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de la máquina, respectivamente. Supondremos que se usa una aritmética con un número finito de cifras dada por x y = fl(fl(x) + fl(y)) x y = fl(fl(x) fl(y)) x y = fl(fl(x) fl(y)) x y = fl(fl(x)/fl(y)) Esto corresponde a hacer la aritmética exacta con las representaciones de punto flotante x y y para luego convertir el resultado exacto en su representación de punto flotante con un número finito de cifras. Ejemplo: Suponga que x = 5/7 y x = 1/3 y que se usa el truncamiento a cinco cifras para los cálculos aritméticos donde intervienen x y y. En la siguiente tabla se muestra los valores de estas operaciones de tipo computadora con fl(x) = fl(y) = Operación Resultado Valor real Error absoluto Error relativo x y / x y / x y / x y Como el máximo error relativo para las operaciones de este ejemplo es entonces la aritmética produce resultados satisfactorios con cinco cifras. Errores 3

4 Análisis Numérico 2. Cancelación de cifras significativas Uno de los cálculos más comunes que producen errores tiene que ver con la cancelación de cifras significativas debido a la resta de números casi iguales. Ejemplo: Consideremos una representación punto flotante de 6 dígitos y los números x = 101 = y y = 100=10. Entonces el número punto flotante para representar a x y de 6 cifras es: fl(x) = fl(y) = fl(x) fl(y) = Entonces x y = mientras que el valor real debería ser Análisis de la propagación del error Es importante que los cálculos realizados por la computadora sean bien considionados, es decir pequeños cambios en los datos deben de resultar en pequeños cambios en la solución. A continuación veremos como la suma, la multiplicación y un ejemplo de una función resultan en pequeños errores al considerar las operaciones en punto flotante. Consideremos la siguiente representación de punto flotante. Puede ser mostrato que un número fl(x) puede ser escrito de la forma donde ε es un número pequeño dependiente de x. fl(x) = x(1 + ε) (1) Como ε es pequeño, se dice que fl(x) es una pequeña perturbación de x. Entonces el error relativo del número punto flotante en esta forma está dado pot x fl(x) x = x (x + ɛx) x = ɛ x x = ε Entonces el error relativo del número punto flotante está determinado por ε el cual es pequeño En la suma Consideremos los números punto flotante fl(x) = x + ε 1 x fl(y) = y + ε 2 y Errores 4

5 3.2 En la multiplicación Análisis Numérico y sea ε el máximo entre las perturbaciones: Entonces calculando el error relativo ε = máx( ε 1, ε 2 ). fl(x) + fl(y)) (x + y) = ε 1x + ε 2 y ε 1 x + ε 2 y x + y ε En el caso de que ambos números tengan el mismo signo tenemos que entonces x + y =, fl(x) + fl(y)) (x + y) ε y por lo tanto la suma es bien condisionada. En el caso de la resta (dos números con signo diferente) este argumento no puede ser aplicado y problemas como la pérdida de precisión puede ocurrir como vimos anteriormente En la multiplicación Consideremos los mismos números punto flotante fl(x), fl(y) y ε. Tenemos que fl(x)fl(y) = x(1 + ε 2 )y(1 + ε 2 ) = xy(1 + ε 1 + ε 2 + ε 1 ε 2 ). Observemos que los valores de ε 1 ε 2 es mucho más pequeños comparados a la suma, entonces lo podemos cancelar fl(x)fl(y) xy(1 + ε 1 + ε 2 ). Así fl(x)fl(y)) (xy) (xy + xy(ε 1 + ε 2 ) xy = xy(ε 1 + ε 2 ) = ε 1 + ε 2, finalmente fl(x)fl(y)) (xy) ε 1 + ε 2 ε 1 + ε 2 2 ε. Por lo tanto si ε 1 y ε 2 son pequeños, entonces la multiplicación es bien condicionada En funciones Consideremos la función logaritmo natural f(x) = ln(x), desarrolando en series de Taylor podemos aproximar ln(x + a) ln(x) + d(f(x)) a = ln(x) + a dx x. Errores 5

6 3.3 En funciones Análisis Numérico Entonces un error aproximado al calcular el logaritmo esta dado por ln(x + a) ln(x) a x Así ln(x + εx) ln(x) εx = ε x Es decir los errores absolutos son pequeños. Errores 6