FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE ERRORES

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1 21 de Julio de 2014 FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE ERRORES Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Cálculo Numérico José Luis Quintero 1

2 Puntos a tratar 1. Los métodos numéricos 2. Fuentes básicas de errores 3. Definiciones importantes 4. Estimación de la propagación de errores 5. Error de una suma 6. Error de una diferencia 7. Sumatorias y series elementales 8. Algoritmo de Horner 9. Evaluación de funciones analíticas 10. Condicionamiento Cálculo Numérico José Luis Quintero 2

3 Métodos numéricos Son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Cálculo Numérico José Luis Quintero 3

5 Fuentes básicas de errores Planteamiento del problema (errores del problema) Presencia de procesos infinitos en análisis matemático (error residual) Parámetros numéricos (error inicial) Sistema de numeración (error por redondeo) Operaciones con números aproximados (errores de operación) Representación en punto flotante (errores punto flotante) Cálculo Numérico José Luis Quintero 5

7 Error absoluto y error relativo El error absoluto enxɶ denotado x, es la diferencia entre el valor exacto x y el valor aproximado xɶ. El error relativo enxɶ es x/x. El error relativo es más significativo que el error absoluto, ya que carece de unidad. Cálculo Numérico José Luis Quintero 7

8 Redondeo y truncamiento El error por redondeo es aquel originado por las limitaciones que toda herramienta de cálculo posee al no poder representar las cantidades con todas sus cifras. El error por truncamiento se produce al reducir a un número finito de operaciones un proceso matemático que es infinito. Cálculo Numérico José Luis Quintero 8

9 Cota y decimales correctos La cota o estimación de un error es cualquier número no menor que el error. t Si x , se dice quexɶ tiene t decimales correctos. También se dice que xɶ está correctamente redondeado a t decimales. Cálculo Numérico José Luis Quintero 9

10 Épsilon de la máquina, realmin y realmax Utilice las variables especiales eps, realmin y realmax para calcular el épsilon de la máquina, el número más pequeño que la máquina distingue de cero y la mayor magnitud representada respectivamente. Cálculo Numérico José Luis Quintero 10

11 Épsilon de la máquina, realmin y realmax El épsilon de la máquina es el número de máquina positivo más pequeño de doble precisión tal que ε = 1 + ε Cálculo Numérico José Luis Quintero 11

12 Épsilon de la máquina, realmin y realmax El épsilon de la máquina es el número de máquina positivo más pequeño de doble precisión tal que ε = 1 + ε realmin es el número de máquina positivo más pequeño de doble precisión dado por µ = que la máquina distingue de cero Cálculo Numérico José Luis Quintero 12

13 Épsilon de la máquina, realmin y realmax El épsilon de la máquina es el número de máquina positivo más pequeño de doble precisión tal que ε = 1 + ε realmin es el número de máquina positivo más pequeño de doble precisión dado por µ = que la máquina distingue de cero realmax es el número de máquina más grande dado por β que puede ser representado con exactitud Cálculo Numérico José Luis Quintero 13

14 Underflow y overflow x < µ, Si un númerox R es tal que se produce un underflow y el computador considera que x es cero Cálculo Numérico José Luis Quintero 14

15 Underflow y overflow x < µ, Si un númerox R es tal que se produce un underflow y el computador considera que x es cero Si un número x R es tal que x > β, se produce un overflow y se detienen los cálculos Cálculo Numérico José Luis Quintero 15

17 Estimación de la propagación de errores y = f(x,...,x) n i= 1 1 n y x, δ f xi i y n i= 1 f xi x f(x,...,x) 1 n i Cálculo Numérico José Luis Quintero 17

18 Estimación de la propagación de errores n Error absoluto en una suma = = + + y x x... x ; y i 1 n i i= 1 i= 1 n x Error relativo en un producto n j i n i= 1 j= 1,j i = = δ = δ i 1 n y n xi i= 1 i= 1 y x x... x ; n n i= 1 x x x i Cálculo Numérico José Luis Quintero 18

19 y = x x Estimación de la propagación de errores 1 2 Error relativo en un cociente x1 + x1 x2 x 1 x 2 x 2 2 x 2 ( ) y x1 x1 x1 x2 x1 x2 x2 x2 δ = δ + δ = δ + δ m y x ; Error relativo en una potencia m 1 mx x = δ = mδ y m x x Cálculo Numérico José Luis Quintero 19

21 Error de una suma El error absoluto de una suma de varios números aproximados no excede de la suma de los errores absolutos de los números. Ejemplo. x = 2.10,x = 3.05,s = xɶ = 2.00,xɶ = 3.00,sɶ = x = 0.10, x = 0.05, s = s = = x + x 1 2 Cálculo Numérico José Luis Quintero 21

22 Error de una suma Si todos los números (no nulos) vienen afectados del mismo signo, la cota del error relativo de su suma no excede del de la máxima cota del error relativo de cualquiera de ellos. Ejemplo. x = 2.10,x = 3.05,s = 5.15,xɶ = 2.00,xɶ = 3.00,sɶ = x = 0.10, x = 0.05, s = 0.15, δ = = s s s 5.15 δ = = , δ = = x x x1 x x2 x δ < δ = max(0.0476,0.0164) = s Cálculo Numérico José Luis Quintero 22

24 Error de una diferencia El error absoluto de una diferencia no excede a la suma de las cotas de los errores absolutos del minuendo y sustraendo. Si los números aproximados son números prácticamente iguales y tienen errores absolutos pequeños, su suma exacta es pequeña. La cota del error relativo en este caso puede ser muy grande aun cuando los errores relativos del minuendo y el sustraendo permanezcan pequeños. Esto conduce a una pérdida de exactitud. Esto se denomina cancelación catastrófica. Cálculo Numérico José Luis Quintero 24

26 Sumatorias n i n n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) = i = 2 6 i= 1 i= 1 n i= 1 i 3 n(n + 1) = 2 2 n i= 1 n = i (n 1)(6n 9n n 1) Cálculo Numérico José Luis Quintero 26

27 Tabla de series elementales Cálculo Numérico José Luis Quintero 27

29 Evaluación de polinomios Suponga un polinomio de grado n P(x) = ax + a x ax + a n n 1 n n con coeficientes reales a (k = 0,1,...,n), k y se quiere calcular el valor : (k) P ()(k ξ = 0,1,...,n) Cálculo Numérico José Luis Quintero 29

30 Evaluación de polinomios Evaluación directa: n adiciones n(n+ 1) 2 n(n+ 3) 2 multiplicaciones operaciones Algoritmo de Horner: n adiciones n multiplicaciones 2n operaciones Cálculo Numérico José Luis Quintero 30

31 Evaluación de polinomios Evaluación directa: n(n + 1)(n + 5) 6 Algoritmo de Horner: n(3n + 1) 2 Diferencia: n(n 1)(n 2) 6 Cálculo Numérico José Luis Quintero 31

32 Gráfico de una función x=linspace(0,10,300); y=x.*(x+1).*(x+5)/6; z=x.*(3*x+1)/2; plot(x,y,'r.',x,z,'g.'), grid on xlabel('grado del polinomio') ylabel ('Número de operaciones') legend('evaluación tradicional','algoritmo de Horner') Cálculo Numérico José Luis Quintero 32

33 Gráfico de dos funciones en un mismo sistema Evaluación tradicional Algoritmo de Horner Número de operaciones Grado del polinomio Cálculo Numérico José Luis Quintero 33

34 Gráfico de diferencia de número de operaciones x=linspace(0,10,300); y=x.*(x-1).*(x-2)/6; plot(x,y,'b.') xlabel('grado del polinomio') ylabel ('Número de operaciones') title('diferencia Tradicional-Horner') 120 Diferencia Tradicional-Horner 100 Número de operaciones Grado del polinomio Cálculo Numérico José Luis Quintero 34

35 Algoritmo de Horner completo inicio fin leer (n,(a:0 i n), ξ) i desde k = 0 hasta (n 1) hacer desde j = (n 1) hasta k hacer fin_desde n n fin_desde d a d a factorial(n) j escribir (d:0 i n) i j a a + ξa j j j+ 1 factorial(j) Cálculo Numérico José Luis Quintero 35

37 Evaluación de funciones reales analíticas Una función real f(x) se denomina analítica en un punto ξ si en la vecindad x ξ < R de este punto puede desarrollarse en series de potencias (serie de Taylor). En muchos casos, desarrollar una función en serie de Taylor resulta muy conveniente para calcular los valores de la función, en otros casos basta con racionalizar (radicales), aplicar propiedades (logaritmos) o transformar en expresiones equivalentes (expresiones trigonométricas). Cálculo Numérico José Luis Quintero 37

38 EJEMPLO. Evaluación de funciones reales analíticas Sean las funciones f(x) = x( x + 1 x), g(x) = x x x Halle f(500) y g(500) y compare con el valor exacto Cálculo Numérico José Luis Quintero 38

39 Evaluación de funciones reales analíticas SOLUCIÓN. f(500) = 500( ) 500( ) = g(500) 500 = = = Cálculo Numérico José Luis Quintero 39

40 Evaluación de funciones reales analíticas La segunda función es algebraicamente equivalente a f(x), como muestra el siguiente cálculo f(x) = x( x + 1 x)( x x) ( x x) 2 2 x ( x + 1) ( x) x = = x x x x La respuesta g(500) = tiene un error absoluto menor.. Cálculo Numérico José Luis Quintero 40

41 Ejercicio computacional Considere la función 1 cos(x) f(x) = 2 x 1. Obtenga su gráfica. 2. Verifique que 1 f(x 0) =, analítica y 2 gráficamente. 3. Verifique las siguientes expresiones equivalentes para f(x): f(x) 2 2 x sen(x) 2sen() 2 = y f(x) = 2 2 x(1 + cos(x)) x Cálculo Numérico José Luis Quintero 41

42 Ejercicio computacional 4. Obtenga una expresión equivalente para f(x) a partir del siguiente polinomio de Taylor de la función cos(x), alrededor de x = 0 2i i x x x x x cos(x) ( 1) 1... = = + + (2i)! 2! 4! 6! 8! i= 0 Cálculo Numérico José Luis Quintero 42

43 Ejercicio computacional 5. Evalúe las dos expresiones disponibles para f en los valores x = 2,2,2,2,2. 6. Guarde el código (programa 1) con el nombre de taylor.m para evaluar las expresiones. Cálculo Numérico José Luis Quintero 43

44 Programa 1 clc x=1/2; for i=1:10 term=0.5; sum=0; n=0; while (abs(term)+sum)>sum sum=sum+term; n=n+1; term=term*(-1)*x*x/((2*n+1)*(2*n+2)); end fun=(1-cos(x))/(x.*x); fun2=((sin(x))^2/(1+cos(x)))/(x.*x); fun3=2*(sin(x/2))^2/(x.*x); fprintf(' n=%1.0f',n) fprintf(' i=%1.0f',i) fprintf(' taylor=%1.28f ',sum) fprintf(' funcion=%1.28f ',fun) fprintf(' funcion2=%1.28f ',fun2) fprintf(' funcion3=%1.28f\n',fun3) x=x.^2; end Cálculo Numérico José Luis Quintero 44

45 Ejercicio computacional 7. Justifique los resultados obtenidos mencionando la existencia de dificultades numéricas presentes en las fórmulas (si las hubiera) para el rango de valores considerados (cancelación catastrófica, división por cero, etc). 8. Concluya cuál de estas expresiones resulta más estable numéricamente. Cálculo Numérico José Luis Quintero 45

47 Condición y condicionamiento Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar cuán sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un número de condición. Si el número es grande significa que se tiene un problema mal condicionado. Cálculo Numérico José Luis Quintero 47

48 Número de condición para la evaluación de funciones Error absoluto (EA): EAimagenes = K.EApreimagenes f(x + h) f(x) f'(x) h Error relativo (ER): ERimagenes = K.ERpreimagenes f(x + h) f(x) f(x) xf'(x) f(x) h x Cálculo Numérico José Luis Quintero 48

49 Ejemplo x=linspace(-1,1,3000); y=exp(x); z=abs(x); plot(x,y,'r.',x,z,'g.'), grid on xlabel('preimagenes') ylabel ('Imagenes') legend('condición absoluta','condición relativa') title('funciones de condicionamiento para y = exp(x)') Cálculo Numérico José Luis Quintero 49

50 Ejemplo Funciones de condicionamiento para y = exp(x) Condición absoluta Condición relativa 2 Imagenes Preimagenes Cálculo Numérico José Luis Quintero 50

51 Norma de una matriz A = max a 1 1 j n 1 i n n i= 1 A = max a n j= 1 ij ij A e = n n i= 1 j= 1 a 2 ij Cálculo Numérico José Luis Quintero 51

52 Número de condición de una matriz Error absoluto (EA): EAsolución K.EAladoderecho 1 ɶ A ɶ x x b b Error relativo (ER): ERsolución K.ERladoderecho x xɶ b bɶ 1 A A x b Cálculo Numérico José Luis Quintero 52

53 Número de condición de una matriz A = A = κ = = = 1 (A) A A Cálculo Numérico José Luis Quintero 53

54 Número de condición de una matriz x x x = = x x1 2 x x = = x Cálculo Numérico José Luis Quintero 54

55 Pensamiento de hoy La confianza en si mismo es el primer secreto del éxito. Emerson Cálculo Numérico José Luis Quintero 55