LOGICA DIGITAL ARITMETICA DE COMPUTADORAS ASPECTOS FUNDAMENTALES 1. FORMA DE REPRESENTAR LOS NUMEROS ( FORMATO BINARIO)

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1 LOGICA DIGITAL ARITMETICA DE COMPUTADORAS ASPECTOS FUNDAMENTALES 1. FORMA DE REPRESENTAR LOS NUMEROS ( FORMATO BINARIO) 2. ALGORITMOS UTILIZADOS PARA REALIZAR LAS OPERACIONES BASICAS (SUMA, RESTA, MULTIPLICACION Y DIVISION) Page 1

2 ALGORITMO CONJUNTO PREESCRITO DE INSTRUCCIONES O REGLAS BIEN DEFINIDAS, ORDENADAS Y FINITAS QUE PERMITEN REALIZAR UNA ACTIVIDAD MEDIANTE PASOS SUCESIVOS QUE NO GENERAN DUDAS A QUIEN DEBA REALIZAR ESA ACTIVIDAD. Dado un estado inicial y una entrada siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución. Los números Page 2

3 Numeros de punto fijo Cuando se usan dos digitos de precision para numeros en base 10, el rango (intervalo entre el numero mayor y el menor) es [-99, +99] y la precision (distancia entre dos numeros sucesivos es 1. El error maximo, el cual es la diferencia entre el valor de un numero real y el mas proximo representable es ½. Para este caso seria ½ x 1: 0.5 Si a = 70, b = 40, and c = -30, entonces a + (b + c) = 80 (lo cual es correcto) pero (a + b) + c = -20. (a + b) es +110, el cual excede el rango de +99, y solo se retiene +10 como resultado intermedio. Este es un problema a tener en cuenta cuando se representan numeros reales en una representacion finita. Sistema de numeracion posicional La base, o raiz de un sistema numerico define el rango de los posibles valores que puede tener un digito: 0 9 para decimal; 0,1 para binario. La forma general para determinar el valor decimal de un numero esta dado por: Ejemplo = = (500) 10 + (40) 10 + (1) 10 + (2/10) 10 + (5/100) 10 = (541.25) 10 Page 3

4 Conversion entre sistemas. Metodo de los restos Ejemplo: Convertir 23, a base 2. Comenzar convirtiendo la parte entera: 23 Conversion entre sistemas. Metodo de las multiplicaciones Ahora convertir la fraccion 0,375 Colocando todo junto 23, = Page 4

5 Fracciones no exactas en base 2 No siempre se puede convertir una fraccion de base 10 en una fraccion equivalente de base 2: Sistemas numericos en Base 2, 8, 10, 16 Page 5

6 CONVERTIR ENTRE BASES DE 2 ES SIMPLE = (10 2 )(11 2 ) = = (2 4 )(3 4 ) = (10 2 )(11 2 ) = = (101 2 )(010 2 ) = = ( )( ) = 6D 16 Suma Binaria C2 REPRESENTACION DE DATOS Page 6

7 Numeros con signo con formato de punto fijo Para un numero de 8 bits hay 2 8 = 256 posibles combinaciones, las que pueden representar numeros positivos y negativos de acuerdo a como se manejen estas combinaciones, como por ejemplo asignar la mitad de las mismas a nros positivos, y la otra a negativos. Las representaciones mas comunes son: MAGNITUD Y SIGNO COMPLEMENTO (A UNO, A DOS, ETC) REPRESENTACION EXCEDIDA Magnitud y signo Tambien conocida como signo y magnitud Ejemplo: EL BIT DE LA EXTREMA IZQUIERDA DEFINE EL SIGNO (0 = POSITIVO, 1 = NEGATIVO) Y LOS BITS RESTANTES REPRESENTAN LA MAGNITUD = = Hay dos representaciones para el cero: +0 = , -0 = Utilizando una representacion de 8 bits el mayor numero es +127, y el menor , Page 7

8 Complemento a uno Nos permite obtener la representación binaria de números negativos El bit de la extrema izquierda es el signo (0 = +, 1 = -). El negativo de un numero se obtiene complementando cada bit de 0 a 1 o de 1 a 0.Esto convierte numeros positivos en negativos y negativos en positivos. Ejemplo: = = Dos representaciones para cero: +0 = , -0 = Si se usa una representacion de 8 bits el mayor numero es , y el mas pequeño C2 REPRESENTACION DE DATOS Complemento a dos El complemento a dos de un número N que, expresado en el sistema binario está compuesto por n dígitos, se define como: C 2 N : 2 n N El cálculo del complemento a dos es muy sencillo y muy fácil de realizar mediante puertas lógicas, donde reside su utilidad. Para comenzar los números positivos se quedarán igual en su representación binaria. Los números negativos deberemos invertir el valor de cada una de sus cifras, es decir realizar el complemento a uno, y sumarle 1 al número obtenido. Cabe recordar que debido a la utilización de un bit para representar el signo, el rango de valores será diferente al de una representación binaria habitual Page 8

9 Complemento a dos El bit de la extrema izquierda es el signo (0 = +, 1 = -. El negativo de un numero se obtiene sumando a 1 al complemento a 1 negativo. Esto funciona para convertir positivos en negativos y viceversa. Ejemplo (recordar que en complemento a uno es ): = = Una representacion para cero: +0 = , -0 = Si se usa una representacion de 8 bits el mayor numero es , y el mas pequeño Complemento a dos +3 = = = = = = = Page 9

10 Beneficios Una sola representacion de cero Aritmetica muy simple Se puede implementar facilmente con compuertas El negativo es facil de obtener Ejemplo +3 = El complemento booleano es Sumando 1 al LSB = = Descripcion geometrica de complemento a dos Page 10

11 PARA RESTAR SOLO SUMO NUMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS Representacion excedida (Desplazada) El efecto es que numeros pequeños tienen configuraciones de bits menores, simplificando la comparacion para exponentes de punto flotante. Ejemplo (exceso 128 suma 128 al complemento a dos, ignorando cualquier acarreo del bit mas significativo) : = = ( ) = = ( ) Page 11

12 Representacion de BCD en complementos a 9 y 10 Cada digito decimal codificado en binario esta compuesto de 4 bits. Ejemplo: Representar en BCD: Ejemplo: Representar en BCD: Esto se obtiene primero restando cada digito de 079 de 9 para obtener el complemento a 9, por lo que = 920. Sumando 1 produce el complemento a diez: = 921. Convirtiendo cada digito de 921 en base 10 a BCD produce Page 12

13 Numeros en punto flotante base 10 La representacion de numeros con punto flotante permite que numeros muy grandes y muy pequeños puedan ser representados utilizando pocos bits, a expensas de su precision. Esta esta primariamente determinada por el numero de dígitos en la fracción (o significativo), y el tamaño esta determinado primariamente por el número de digitos en el exponente. Ejemplo : : Normalizacion El número 254 en base 10 puede ser representado en forma de punto flotante como o 25, o 2, o 0, o 0, O en otras infinitas maneras, lo que crea problemas cuando se realizan comparaciones. Page 13

14 Normalizacion Los numeros en punto flotante esta usualmente normalizados de forma que la coma esta localizada en una sola posible posicion para un numero dado. Usualmente, la representacion normalizada pone la coma inmediatamente a la izquierda del digito mas a la izquierda que no sea cero en la fraccion: 0, Ejemplo de punto flotante Representar en formato normalizado base 8 con bit de signo, seguido por exponente de 3 bits exceso 4, seguido por 4 digitos en base 8. Paso #1: Convertir la base inicial = Usando el correspondiente metodo, encontramos que = : 254/8 = 31 Resto 6 31/8 = 3 Resto 7 3/8 = 0 Resto 3 Paso #2: Normalizar: = Paso #3: Llenar en el campo de bits con un signo positivo (bit de signo= 0), un exponente de = 7 (exceso 4), y una fraccion de 4 digitos=.3760: Page 14

15 Error, Tamaño y Precision En el ejemplo previo, tenemos la base b = 8, el numero de digitos significativos (no bits!) en la fraccion s = 4, el mayor valor del exponente (no cadena de bits) M = 3, y el menor valor de exponente m = -4. En el ejemplo previo no hay una representacion explicita de 0, pero se necesita reservar un conjunto especifico de bits para no representar el 0 sin violar la regla de normalizacion. Se asume que representa 0. Utilizando b, s, M, y m, podriamos caracterizar esta representacion de punto flotante en terminos del mayor numero positivo representable, el menor numero positivo representable (no cero), el menor intervalo entre dos numeros sucesivos, el mayor intervalo entre dos numeros sucesivos y la cantidad total de numeros que pueden ser representados. Mayor numero representable: b M (1 - b -s ) = 8 3 ( ) Menor numero representable: b m b -1 = = 8-5 Mayor gap : b M b -s = = 8-1 Menor gap : b m b -s = = 8-8 Page 15

16 Bit de signo Exponente Primer digito de la fraccion Digitos Remanentes De la fraccion cero Cantidad de numeros representables: Hay 5 componentes: (A) bit de signo; para cada numero (excepto para 0), hay tanto una version positiva y otra negtiva; (B) (M - m) + 1 exponentes; (C) b - 1 valores para el primer digito (0 esta desaprobado para el primer digito normalizado); (D) b s-1 valores para cada uno de los s-1 digitos remanentes, mas (E) una representacion especial para 0. Para este ejemplo, los 5 componentes resultan en: 2 ((3-4) + 1) (8-1) numeros que pueden ser representados. Notese que este numero no puede ser mayor que el numero de combinaciones posibles que pueden ser generados con los bits disponibles, que en este caso es Ejemplo del formato de punto flotante El menor numero es 1/8 El mayor numero es 7/4 El menor gap es 1/32 El mayor gap es 1/4 Cantidad de numeros representables es 33. Page 16

17 El tamaño del gap es de acuerdo al tamaño del exponente El error relativo es aproximadamente el mismo para todos los numeros. Si tomamos la relacion de un gap grande con un numero grande, y lo comparamos con la relacion de un gap chico con un numero chico, las relaciones son similares: Ejemplo de conversion Ejemplo: Convertir ( ) 10 a notacion cientifica base 2 Comenzar convirtiendo punto flotante base 10 a punto fijo base 10 moviendo el punto decimal dos posiciones a la derecha, lo que corresponde al exponente -2: Luego, convertir de punto fijo base 10 a punto fijo base 2: = = = = = 1.0 Entonces (.09375) 10 = (.00011) 2. Finalmente, convertir a punto flotante base 2 normalizado: = = Page 17

18 Numeros expresables Formato de punto flotante IEEE-754 Page 18

19 El exponente esta sesgado -126 a en formato simple a en el doble Debe contener un 1 a la izquierda de la coma binaria y este bit estará implícito dando una mantisa efectiva de 24 o 53 bits Ejemplos IEEE-754 Page 19

20 Ejemplo de conversion IEEE-754 Representar en formato IEEE-754 precision simple. Paso 1: Convetir base = Paso 2: Normalizar = Paso 3: Llenar los campos de bits. El signo es negativo, por lo que sera 1. El exponente es en exceso 127, por lo que esta representado como = = Colocar implicito el 1er bit de la mantisa = Efecto de la perdida de precision De acuerdo al gobierno de EE.UU, la perdida de precision al convertir un numero integrado de 24 bits en un numero de punto flotante de 24 bits fue el responsablepor la falla del misil Patriot. Page 20

21 ASCII es un codigo de 7 bits comunmente almacenado en bytes de 8 bits. Codigo de caracteres ASCII A esta en Para convertir mayusculas en minusculas, sumar Entonces a esta en = El caracter 5 en la posicion es diferente al numero 5. Para convertir caracteres-numero en nunmero-numero, reste : = 5. Page 21

22 Codigo de caracteres Unicode Es un codigo de 16 bits. ARITMETICA Page 22

23 Contenidos Sumas y restas con punto fijo Multiplicacion y division con punto fijo Aritmetica de alta performance UNIDAD ARITMETICA Y LOGICA Realiza los calculos Todo el resto de la computadora esta a su servicio Puede manejar numeros de punto flotante (reales) Puede tener coprocesadores separados Page 23

24 Entradas y salidas de la ALU SUMA Y RESTA EN LA REPRESENTACION DE COMPLEMENTO A DOS a b = a + ( - b) El correspondiente negativo de un número se puede obtener por medio de su complemento, por lo que una resta se puede realizar como la suma de su complemento. Lo que se debe hacer cuando se sumen números en representación de complemento es modificar la interpretación de los resultados de la suma. Page 24

25 (+10) (+23) (+33)10 De igual forma se pueden sumar números de signos opuestos (+5) (-2)10 arrastre a descartar (1) (+3)10 DESBORDE Cuando se suman dos números de igual signo, Se producirá desborde si el resultado es demasiado grande con la cantidad de bits utilizados para representar los operandos (+80) (+50) (-126)10 Page 25

26 Hardware para sumas y restas OF: Bit de desborde SW: Conmutador (selecciona Suma o Resta) REGLA Si los números que se suman tienen el mismo signo y el resultado tiene signo opuesto, se ha producido desborde por lo que el resultado es incorrecto Page 26

27 Desborde (Overflow) Sucede cuando al sumar dos numeros positivos aparece un resultado negativo, o cuando al sumar dos numeros negativos aparece un resultado positivo. Sumando operandos de diferente signo nunca producen overflow. Notese que se descarta el acarreo del bit mas significativo durante una suma de complemento a dos lo que es una actitud normal y no significa por si mismo overflow. Como ejemplo de overflow, considere la suma( = 160) 10, el cual produce un resultado de en un formato de complemento a dos de 8 bits = = = -96 Sumador Dos numeros binarios A y B se suman de derecha a izquierda, creando una suma y un acarreo a la salida de cada sumador para la posicion de cada bit. Page 27

28 Un sumador de 16 bits se hace colocando en cascada sumadores de 4 bits. Restador Tabla de la verdad y esquema de un restador Page 28

29 Sumador y restador combinados Un sumador puede ejecutar tanto sumas como restas, realizando el negativo del complemento a dos para obtener el elemento negativo, y luego realizar una suma convencional Restador Un restador mayor puede construirse a traves de una casacada de restadores Dos numeros binarios se restan de derecha a izquierda, Page 29

30 Suma de complemento a uno Ejemplo de una suma de complemento a uno con un bit de acarreo Acarreos en las fracciones de complemento a uno Complica la suma en los numeros con complemento a uno y en general no se usa. Page 30