Representación de Números Reales

Transcripción

1 Representación de Números Reales María Elena Buemi 15 abril de 2011 Introducción a la Computación

2 Representación de Números Reales Cómo se representa un número real? Un numeral con parte entera y parte fraccionaria Dos maneras de representarlos: con Punto Fijo y con Punto Flotante. Punto Fijo: se asigna una cantidad fija de dígitos para la parte entera y una cantidad fija para la parte fraccionaria. Problemas! no premite representar números muy grandes o muy pequeños, al no ser flexible, cuando se hacen algunas operaciones donde hay acarreo se pierde precisión.

3 Representación Punto Fijo, pasar 32, 75 a base 2, con 16 dígitos, 8 para parte entera y 8 para parte fraccionaria Pasar parte entera binario = = Pasar fracción decimal a binario = Dado que : = = = 0.0 parte entera parte fraccionaria

4 Notación Científica ± d X Base Exponente d, un sólo dígito distinto de 0, tal que d Base Base: 2, 10,16,... Exponente u Orden de magnitud

5 Representación en Punto Flotante Donde: Mantisa {}}{} ± d.d... d Base {{ Exponente } Formato Mantisa B Precisión Base y ± ( d 0 B 0 + d 1 B d p 1 B (p 1)) B Exponente, 0 d i < B

6 Distintas formas de representar 32, 75 con 16 dígitos binarios Punto fijo: Notación Científica x10 5 Notación Punto flotante de 32 binarios x10 5

7 Formato Punto Flotante de 32 bits Sea una tira de 32 bits distribuidos de modo que: 1 bit signo, 8 bits para el exponente(exceso 127), 23 bits mantisa exponente min = 126, exponente max = 127, normalizado 1.

8 Exceso bits Exceso

9 Aritmética de punto flotante Suponemos operaciones suma y resta entre dos operandos. Asegurar que ambos tienen el mismo exponente. Problemas Exponente Overflow: Si el exponente excede el máximo > + o Exponente Underflow: Si exponente es más pequeño que el minimo devuelve 0. Mantisa Underflow: el caso cuando agrego bits para alinear, operar y el resultado es muy pequeño, excede los bits del formato, entonces se aplica un forma de redondeo. Mantisa Overflow: puede ocurrir cuando se operen con 2 del mismo signo.

10 IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers

11 Standard IEEE 754 Permite intercambios entre distintas arquitecturas

12 Standard IEEE 754 Formato Parámetro Simple Doble Simple Doble Extendido Extendido signo + mantisa e max >16383 e min Bits Exponente(exceso) Cant. bits

13 Observaciones sobre el exponente, caso simple precisión e max = 127 y e min = 126. Motivo para tener e min < e max es para que el recíproco del número más pequeño no desborde, (overflow). e min 1 se utiliza para representar 0 e max + 1 para cantidades especiales e max = 127 y e min = 126, aunque en la representación de exponentes el mínimo (el 0 en notacion sin signo )corresponde al 127 y el máximo a 128(corresponde al 255 sin signo).

14 Representaciones de IEEE 754 Exponente Mantisa Representación e = e min 1 m = 0 0 e = e min 1 m 0 0.m x 2 e min e min e e max m x 2e e = e max + 1 m = 0 ± e = e max + 1 m 0 NaN Tabla: IEEE754 Valores especiales

15 Pasar un número decimal a IEEE 754 Supongamos: Recordar que IEEE 754 el exponente está expresado en notación exceso 127 e min = 126 y e max = 127 Parte entera 33 = Pasar fracción decimal a binario = Dado que : = = = = = X 2 5 = X ya que 5 = en notación exceso 127 por lo tanto el 5 se representa como el 132 =

16 Pasar Decimal a IEEE 754 Ejemplo Supongamos: 3.75 signo exponente mantisa En bits en Hexa: Pasar parte entera a binario. Pasar parte fraccionaria a binario. Modificar el exponente hasta que quede un dígito entero distinto de cero

17 Casos especiales provenientes de la aritmética Cero con signo Infinito NAN Desnormalizados

18 Cero con Signo Exponente Mantisa Representación e = e min 1 m = 0 0 Tabla: Formato de cero con signo Dos tipos de ceros +0 y 0 Ejemplo: 3 (+0) = +0 y +0 / 3 = 0.

19 Infinitos Exponente Fracción Representación e = e max + 1 m = 0 ± Tabla: Formato de infinito 5 + (+ ) = + 5 (+ ) = +0 5 (+ ) = (+ ) + (+ ) = ( ) = ( ) + ( ) = 5 ( ) = + ( ) (+ ) = 5 (+ ) = + (+ ) ( ) = + Tabla: Ejemplos

20 NAN Not a Number Exponente Fracción Representación e = e max + 1 m 0 NaN Tabla: Formato de NAN Operación NAN producido por + + ( ) x 0 x / 0/0, / REM x REM 0, REM y x(when x < 0) Tabla: Operaciones que producen NAN

21 Números Desnormalizados, underflow gradual Exponente Fracción Representación e = e min 1 m 0 0.mx2 e min Tabla: Formato de números desnormalizados

22 Números Desnormalizados, underflow gradual Ejemplo Supongamos: B = 10, p = 3, y e min = 98 Op1 10 Op2 10 Diferencia = Tabla: Ejemplo numérico de desnormalización Su representación desnormalizada es

23 Resolución con un convertidor IEEE 754

24 Lenguaje C: float, printf y %f, Python print %f, %.2f En la declaración de variables f indica una variable de tipo float Dentro del printf, %f imprime una variable de tipo float En Python >>> r= >>> print %2.f %r >>> 23 >>> print %.2f %r >>> >>> print %.4f %r >>> print %2.f Si pro es una variabe de tipo float print float(pro)

25 Algoritmo en C para calcular el promedio, con 2 digitos decimales

26 Algoritmo en Python

27 Ejercicio hacer un algoritmo en C y en Python n i=0 Mostrar para n= 5, 10,..., 100, con 2 y con 4 digitos. 1 i (1)

28 Bibliografía What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic http : //docs.sun.com/source/ /ncg goldberg.html(1991) Computer Organization and Architecture: Designing for Performance,8/E William Stallings. ISBN-10: ISBN-13: Publisher: Prentice Hall. Copyright: 2010 Conversor IEEE 754 http : // a1.htm