Representación de Números Reales

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Juan Manuel Cordero Navarro
hace 10 años
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1 30 de marzo de 2010

2 Números Reales A qué nos referimos cuando decimos número Real? Un número que tiene una parte entera y una parte fraccionaria En una representación dónde debe estar el punto binario Fijo o Movible? si es Fijo, hay ĺımites Si no es fijo, la representación debe mostrar adónde está ése punto.

representación dónde debe estar el punto binario Fijo o Movible?

3 Formato de un número real +/.significante x β exponente El punto permanece fijo entre el bit de signo y el significante Exponente indica la posición del punto

4 Formato de Punto Flotante - Representación p dígitos { }} { ± d.d... d β e } {{ } Formato Base β y Precisión p ( ± d 0 + d 1 β d p 1 β (p 1)) β e, 0 d i < β Otros parámetros: e min y e max

5 Normalización, necesaria Representación única > Normalización Ejemplo: β = 2, p = 3, e min = 1, e max = 2 normalizado con 1.(Figura 1) Tabla: 16 Números representados en este sistema de punto flotante Figura: 16 Números normalizados cuando β = 2, p = 3, e min = 1 y e max = 2

6 Ejemplo de 8 bits, Rango Supongamos una representación de 8 bits distribuidos de la siguiente forma: s e e e p p p p Exponente con exceso 3. ±.Significante 2 Exponente, e min = 3,e max = 4, normalizado con 1. mín neg máx neg mín pos máx pos (1 2 5 ) (1 2 5 ) 2 5 Rango: [ (1 2 5 ) 2 5 ; ] [ ;(1 2 5 ) 2 5 ] Figura: Rango en la recta numérica

Significante 2 Exponente, e min = 3,e max = 4, normalizado con 1.

7 Formato 32 bits

8 Ejemplo anterior con formato 32 bits Ahora 32 bits distribuidos: 1 bit signo, 8 bits para el exponente(exceso 127), 23 bits significante,e min = 126,e max = 127, normalizado 1.

9 Aritmética de punto flotante Suponemos operaciones suma y resta entre dos operandos. Asegurar que ambos tienen el mismo exponente. Problemas Exponente overflow: Si el exponente excede el máximo > + o Exponente underflow: Si exponente es más pequeño que el minimo devuelve 0. Significante underflow: el caso cuando agrego bits para alinear, operar y el resultado es muy pequeño, excede los bits del formato, entonces se aplica un forma de redondeo. Significante overflow: puede ocurrir cuando se operen con 2 del mismo signo.

10 Standard IEEE754 IEEE 754 standard para intercambiar entre distintas arquitecturas

11 IEEE754 Formatos Formato Parámetro Simple Doble Simple Doble Extendido Extendido ρ e max >16383 e min Bits Exponente(exceso) Cant. bits

max +127 +1023 1023 >16383 e min -126-1022

12 Observaciones sobre el exponente, caso simple precisión e max = 127 y e min = 126. Motivo para tener e min < e max es para que el recíproco del número más pequeño no desborde, (overflow). e min 1 se utiliza para representar 0 e max + 1 para cantidades especiales e max = 127 y e min = 126, aunque el rango representable está entre 0 y 255, que son exactamente los números no negativos representables con 8 bits.

13 Representaciones de IEEE 754 Exponente Fracción Representación e = e min 1 f = 0 0 e = e min 1 f 0 0.f x 2 e min e min e e max f x 2e e = e max + 1 f = 0 ± e = e max + 1 f 0 NaN Tabla: IEEE 754 Valores especiales

14 Casos especiales provenientes de la aritmética Cero con signo Infinito NAN Desnormalizados

15 Cero con Signo Exponente Fracción Representación e = e min 1 f = 0 0 Tabla: Formato de cero con signo Dos tipos de ceros +0 y 0 Ejemplo: 3 (+0) = +0 y +0 / 3 = 0.

16 Infinitos Exponente Fracción Representación e = e max + 1 f = 0 ± Tabla: Formato de infinito 5 + (+ ) = + 5 (+ ) = +0 5 (+ ) = (+ ) + (+ ) = ( ) = ( ) + ( ) = 5 ( ) = + ( ) (+ ) = 5 (+ ) = + (+ ) ( ) = + Tabla: Ejemplos

17 NAN Not a Number Exponente Fracción Representación e = e max + 1 f 0 NaN Tabla: Formato de NAN Operación NAN producido por + + ( ) x 0 x / 0/0, / REM x REM 0, REM y x(when x < 0) Tabla: Operaciones que producen NAN

18 Números Desnormalizados, undeflow gradual Exponente Fracción Representación e = e min 1 f 0 0.fx2 e min Tabla: Formato de números desnormalizados

19 Números Desnormalizados, undeflow gradual Ejemplo Supongamos: β = 10, p = 3, y e min = 98 Op1 10 Op2 10 Diferencia = Tabla: Ejemplo numérico de desnormalización Su representación desnormalizada es

20 Pasar Decimal a IEEE 754 Ejemplo Supongamos: 3.75 signo exponente significante En bits en Hexa: Pasar parte entera a binario. Pasar parte fraccionaria a binario. Normalizar

.. 0 En bits 01000000011100000000000000000000 en Hexa:

21 Resolución con un convertidor IEEE 754

22 Codificación UTF-8 Formato general usado para codificar caracteres UCS(Conjunto universal de caracteres) en UTF-8: Bits Bytes Representación 7 1 0xxxxxxx xxxxx 10xxxxxx xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx xxx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx xx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx x 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx Observación: la cantidad de bits 1 consecutivos a la izquierda en el byte ĺıder es la cantidad de bytes de la secuencia multibyte. Como ejemplo del ej 22 de la práctica 0xC2= los 2 bits indican que voy a decod. 2 bytes, que son 0xC2 y 0xA1 me fijo en la tabla y veo que es el símbolo

23 Observaciones En IEEE 754 el exponente está expresado en notación exceso 127 e min = 126 y e max = 127 otro ejemplo de pasar fraccionario decimal a binario = Dado que : = = = 0.0

24 Bibliografía What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic http : //docs.sun.com/source/ /ncg goldberg.html(1991) Computer Organization and Architecture: Designing for Performance,8/E William Stallings. ISBN-10: ISBN-13: Publisher: Prentice Hall. Copyright: 2010 Conversor IEEE 754 http : // a1.htm UTF-8 Tabla UTF-8 http : //kellyjones.netfirms.com/webtools/ascii utf 8 table.shtml Simulador UTF-8 http : //

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