Temario. Arquitectura de Computadores. El manejo de la información se divide en: procesamiento analógico procesamiento digital

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1 Arquitectura de Computadores Representación de la Información Dr. Mauricio Solar, (basado en los apuntes de mis colegas Prof. Javier Cañas R. y Prof. Xavier Bonnaire) Temario Introducción 2 Sistemas Numéricos 3 Conversión entre Bases Numéricas 4 Introducción a la Aritmética Computacional 5 Códigos (UTFSM), Chile Introducción Representación de la Información Sociedad de la información Información es poder (TI, TIC, ) Informática : (Del fr. informatique).. f. Conjunto de conocimientos científicos y técnicas que hacen posible el tratamiento automático de la información por medio de ordenadores. Qué es información?, Cómo se representa? La respuesta no es simple. Más aún, se ha ido modificando con el tiempo. Según Maturana y Varela: No existe información en términos absolutos. Existen convencionalismos que representan fragmentos de la realidad y que al estar dentro de contextos culturales adquieren sentido. Qué significa entonces Procesar información? En los distintos espacios, depende de las abstracciones que se hagan Representación de la Información Información Analógica y Digital Espacio Mental Espacio del Lenguaje Espacio Tipográfico Tres! 3 Espacio Material Computador Bits: La unidad de información es el bit El manejo de la información se divide en: procesamiento analógico procesamiento digital Procesamiento de la Información: Procesador analógico procesa información analógica Procesador digital procesa información digital Qué significa esto? La representación de ambas informaciones se realiza utilizando señales BIT: acrónimo de Binary digit

2 Información Analógica y Digital Señal analógica: Una señal se expresa como una función del tiempo Cada nivel de la función g(t) aporta información Ejemplos: Señal de audio (instrumento, radio, etc ) Señal de video (TV, cámara, etc ) Señal Digital: También es una función del tiempo La función es discreta con varios niveles Ejemplos: Compact Disc-CD, Digital Versatile Disc-DVD, TV digital, etc g(t) Información Analógica Función g(t) continua en términos matemáticos: Es una señal analógica Cada nivel aporta información t Información Digital Observaciones Función g(t) discreta: Es una señal digital Sólo los niveles discretos aportan información Nivel 4 4 niveles Nivel 3 Nivel 2 Nivel t En último término, todo es analógico porque físicamente todo es continuo (excepto a nivel atómico). Digital se refiere a la forma de procesar, donde se enfatiza lo discreto. Es posible digitalizar una señal analógica Es posible transformar una analógica en digital (ej. CD DDD)...Observaciones 2 Sistemas Numéricos posicionales Por qué conviene digitalizar? Evitar el error acumulativo de los sistemas analógicos Se evita la deriva, es decir, errores introducidos por variaciones térmicas de transistores Se logra reducir los costos (VLSI, DSP) Almacenamiento mas eficiente El sistema numérico comúnmente usado es el sistema decimal: Es llamado posicional porque el valor de un dígito depende de la posición en la cual se encuentra. Corresponde a un polinomio en base 2

3 El Sistema Decimal El Sistema Decimal En general: Ejemplo, el número 693 se puede expresar por el polinomio: {d, d 2,, d m } son los dígitos Los dígitos constituyen los únicos símbolos representables Si la base es b, existen b dígitos representables Para la base decimal, estos dígitos son:,, 2,...9 d d 2 d 3 d 4 Otra notación puede ser:...el Sistema Decimal La notación anterior se puede extender a números con punto o coma decimal. Ejemplo: Números Binarios Si la base b=2: El sistema numérico se denomina sistema binario El conjunto de dígitos representables es {,}: Este conjunto se denomina bits. Por ejemplo: En general: Para eliminar problemas de interpretación, la base se indica con un subíndice. Ejemplo: 9 Generalizando para números con punto decimal: Otras Bases Numéricas Interesantes Si la base b=8: El sistema numérico se denomina sistema octal El conjunto de dígitos es {,, 2,..., 7} Por ejemplo: Si la base b=6, el sistema numérico se denomina Hexadecimal El conjunto de dígitos es {,, 2, 9, A, B, C, D, E, F} Por ejemplo: Las Bases Octal y Hexadecimal Las bases octal y hexadecimal tienen gran importancia en Arquitecturas de Computadores: Permiten representar información binaria en forma compacta En el lenguaje C se puede representar constantes octales y hexadecimales: const int I = 56; // el prefijo indica // que el valor es octal const int j = xa9;// el prefijo x indica // que el valor es hexa 3

4 3 Conversión entre Bases Numéricas...Conversión entre Bases Numéricas Conversión Decimal Binario Parte Entera: Se divide sucesivamente los cuocientes por 2 y se registran los restos de la división. Por ejemplo: Convertir 9 a binario 9:2 = 9:2 = 4:2 = 2:2 = :2 = // // // // // Restos El número binario es 2 Para simplificar la conversión, es mejor hacer la división en forma tabular. Por ejemplo: Convertir 9 a binario = 2...Conversión entre Bases Numéricas Parte fraccionaria: Se multiplica sucesivamente la parte fraccionaria por 2. La parte entera corresponde al número binario Por ejemplo: Convertir.753 a binario.753*2 =.56 la parte entera es y se remueve.56*2 =.2 la parte entera es y se remueve.2*2 =.24 la parte entera es.24*2 =.48 la parte entera es El número se puede aproximar a. 2...Conversión entre Bases Numéricas La forma tabular es también en este caso más fácil para convertir números fraccionarios Por ejemplo: Convertir.75 a binario El número se puede aproximar a. 2...Conversión entre Bases Numéricas Generalizando la conversión entre cualquier base: La división de números enteros La multiplicación de números fraccionarios La aritmética debe corresponder a la base original Ejemplo: convertir 478 a base octal (usar aritmética decimal) El resultado es Conversión entre Bases Numéricas En el ejemplo anterior, el número se puede convertir en decimal evaluando el polinomio correspondiente: 4

5 ...Conversión entre Bases Numéricas Otro ejemplo: Convertir 478 a base Hexadecimal = DE 6 Conversión Binario-Hexadecimal-Octal Propiedad de bases numéricas: Las bases que son potencias de 2 permiten una conversión rápida Por ejemplo: b = 8 = 2 3, y b = 6 = 2 4 Si b=2 n, basta separar en grupos de n bits y convertir sólo el grupo. Ejemplo, convertir a hexadecimal A D 6 B Conversión Binario-Hexadecimal-Octal Ejemplo, convertir a Octal Conversión Binario-Hexadecimal-Octal Ejemplo, convertir a 73,5 8 a binario: Esta propiedad justifica el amplio uso de números octales y hexadecimales como forma de compactar la representación de números binarios. Usaremos esta representación en los lenguajes de máquina y para expresar códigos. Ejemplo: dirección MAC adaptador de red:, 7 3, 5 :6:8:DC:3:CC equivale a un número de 48b MAC: Media Access Control. Para la casa: 4 Introducción a la Aritmética Computacional Desarrollar un programa en C/C para convertir entre cualquier par de bases numéricas Los computadores actuales son binarios. Información que maneja un computador: Es almacenada en dispositivos de hardware llamados Registros Se denomina ancho de registro al número de bits que puede almacenar. Los procesadores de tecnología actual tienen registros de ancho 32, 64 y 28 bits El número de registros de un procesador es variable de un procesador a otro: Tecnología CISC (Complex Instruction Set Computer): pocos registros Tecnología RISC (Reduced Instruction Set Computer): mas registros 5

6 Registros Usaremos la siguiente notación para representar registros: Byte: grupo de 8 bits (octeto). Como notación se usa b para bits y B para Byte El registro anterior tiene 6b o 2B KB = 24 Bytes = 2 Bytes MB = 24 Kbytes = 2 2 Bytes GB = 24 Mbytes = 2 3 Bytes TB Registro de 6 bits...registros Tamaño de Registros La máxima información que puede manejar un computador está limitada por el tamaño de los registros. Ejemplo: registro de 6b, el mayor entero representable es Valor máximo= La mayoría de los computadores actuales son de 32b o 64b, el entero más grande es 2 32 o Representación de números negativos...representación de números negativos Los computadores tienen una aritmética que se denomina de precisión finita debido a la limitación de los registros de hardware: Cómo representar números negativos? Cómo representar números que tienen punto decimal? números negativos? Cómo representar el signo? Por convención se utiliza el bit más significativo para representar el signo. Los números positivos tienen un cero Los negativos un uno en el bit más significativo. Número positivo Número negativo...representación de números negativos Signo y Magnitud Tres formas de representar números negativos: Signo y Magnitud (S-M) Complemento uno (C-) Complemento dos (C-2) Magnitud del número: Corresponde al valor absoluto Si consideramos un registro de 5b Números positivos se representan igual en las tres formas. Todos los computadores modernos utilizan Complemento Dos (C-2) Si Magnitud es cero (): existe y - 6

7 ...Signo y Magnitud En general, si el ancho del registro es n, el rango representable es: Complemento Uno El Complemento de un número: Se obtiene complementando cada bit. Ejemplo para representar el -3 en un registro de 5b Si el ancho del registro es 5 bits (representación circular): Primero se considera 3 Luego se complementa cada bit Complemento Uno Complemento Dos Al igual que en S-M: En general, si el ancho del registro es n, el rango representable es: El Complemento 2 de un número N en un registro de ancho n Se obtiene calculando 2 n -N Existen dos ceros: y - La representación circular con un registro de 5 bits: Ejemplo para representar el -3 en un registro de 5b: Número en C Complemento Dos Complemento Dos Otra forma (más fácil) de obtener el C-2: Calcular el C- y sumar uno. Ejemplo para representar el -3 en un registro de 5b 3 Ejemplo si el ancho de los registros es 5 bits: - -2 C- de 3 es Número -3 en C

8 ...Complemento Dos Se puede observar que: Sólo hay una representación para el cero. Hay asimetría en la representación: el valor absoluto del máximo número negativo, es mayor que el máximo positivo En general si el ancho de los registros es n, el rango representable está dado por: Sumas de Registros Sumas en C-2: Es el caso más frecuente en los procesadores actuales Para sumar en C-2 se suman los números en forma binaria. Precaución al sumar números con el mismo signo ya que podría ocurrir rebalse (overflow). El resultado no cabe en los bits disponibles en el registro Para detectar el overflow (rebalse), se usa un bit especial llamado CARRY (acarreo) Sumas binarias Sumas binarias La Tabla de Suma de dos bit es: Sumar los números binarios (36) y (22) x y Acarreo xy acarreo (58) Resta binaria Resta binaria Se realiza la resta de los últimos dos bits de idénticas posiciones, siendo uno el minuendo y el otro el sustraendo. Si el sustraendo excede al minuendo, se sustrae una unidad del bit de la izquierda en el minuendo (préstamo). La Tabla de Resta de dos bit es: x y préstamo x-y Si el bit de la izquierda es, se busca en los sucesivos teniendo en cuenta que su valor se multiplica por dos en cada desplzamiento a la derecha. 8

9 Resta binaria Resta binaria Restar los números binarios (44) y (4) Si minuendo (7) y sustraendo () préstamo minuendo - sustraendo (3) préstamo minuendo - sustraendo (6) Sumas binarias...sumas de Registros Carry de salida Carry de salida Carry de entrada Ejemplo: 8 (-3) en registros de ancho 5b 8-3 en C-2 No hay carry de entrada y se genera carry de salida Hay carry de entrada y se genera carry de salida Resultado en C-2 del resultado se elimina el acarreo. Sumas de Registros: Overflow Ejemplo: 8 9 en registros de ancho 5b 8 Sumas de Registros: Overflow Detección de overflow en C-2: Observar el carry que entra al bit de signo y el carry que se genera en el bit de signo. Ocurre overflow cuando ambos carry son diferentes. 9 Cambió el signo! Unidades Aritmética: Los procesadores tienen lógica que permite detectar automáticamente esta situación. Se genera una excepción de overflow. Se genera carry Se genera carry que entra a la última etapa (signo) 9

10 Sumas en Complemento Uno Procesadores No hay procesadores modernos que usen C- Sumas en Complemento Uno Ejemplo: 8 (-3) en registros de ancho 5b 8 Algoritmos de detección de errores: Se usa C- en algoritmos de detección y corrección de errores en transmisión de datos (Checksum IP). -3 en C- Ejemplo: 8 (-3) en registros de ancho 5b End Around Carry Resultado en C- Representación en Punto Flotante Basada en notación científica: Representación en Punto Flotante Precisión simple (32 bits) IEEE 754: : Cuyo rango representable por cada campo es: e: Exponente (8b con sesgo de 28): m: Mantisa (23 bits normalizados): valores oscilan entre. y., es decir entre y (2 ulp) Representación en Punto Flotante Punto Flotante de 32 bits (precisión simple): Representación en Punto Flotante Un ejemplo de precisión simple: -8,625 Número negativo: signo es " Número sin signo en binario:, Estandarizar:,=, 2 6 Mantisa se completa con ceros hasta obtener los 23 bits:. Exponente es 6: en binario desplazado es 6 27 = 33 Exponente en binario:

11 5 Códigos...Códigos Código: Relación entre dos conjuntos de símbolos. Dominio es un conjunto arbitrario: letras, símbolos gráficos, números. Co-dominio es un conjunto de strings de bits. Un pilar fundamental de los Sistemas de Computación. Teoría de Códigos: Disciplina que estudia sus propiedades. a B Dominio Codominio El Código BCD (Binary Coded Decimal)...El Código BCD Cómo representar el número 995? Una solución es convertirlo a binario 995 = 2 La Dificultad de este método: La conversión Se dificulta la entrada de datos Desaprovecha códigos inutilizados Código BCD permite una conversión fácil entre números decimales y binarios. Es útil en teclados numéricos Decimal BCD Decimal BCD Ejemplo: 29= El Código Gray Construcción de un Código Gray El Código Gray tiene interesantes propiedades que se utilizarán en el próximo capítulo (Boole). El Código Gray se define de la siguiente manera: Código Gray de un bit = {,} Dado un Código Gray de d-bits, se puede construir un Código Gray de (d)-bits haciendo: una lista del Código Gray con prefijo, seguido de una lista del Código Gray en orden inverso con prefijo Llamado código reflejo de mínima distancia (números sucesivos cambian en un solo bit)

12 Código Gray de 3 bits Otros Códigos i G(i) G(i) Se define el inverso G - (i)=j ssi G(j)=i Ejemplo: G - (6) = 4 Código Exceso de 3 Es un BCD no ponderado, cada combinación se obtiene sumando el valor 3 a cada combinación binaria BCD natural. Código Johnson Código cíclico no ponderado en que sus palabras difieren en un bit. En general. Un código Johnson de n bits puede codificar sólo 2n símbolos fuente. Códigos detectores de error Paridad: agregan un bit de paridad par o impar Hamming: detector-corrector de errores simples y detector de errores dobles. Agrega un bit de paridad par en las posiciones que son potencia de 2. Otros Códigos Qué códigos usar para representar otros símbolos? El código más utilizado es el llamado ASCII (American Standard Code for Information Interchange) El códigos EBCDIC utilizado en algunos terminales IBM UNICODE versión 5.2. es el último estándar de la industria Arquitectura de Computadores Representación de la Información Dr. Mauricio Solar, msolar@inf.utfsm.cl (basado en los apuntes de mis colegas Prof. Javier Cañas R. y Prof. Xavier Bonnaire) (UTFSM), Chile 2