b 1 +a 0 < b ; b=base Forma abreviada: a p-2 ) b Un número se representa por un conjunto de cifras (a i a a 1

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Elena Soto Martín
hace 6 años
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2 SISTEMAS DE NUMERACIÓN: La representación de un número en la base b (b>1) utiliza para representar los números un alfabeto formado por el 0 y b-1 símbolos : Un número real N, de p dígitos enteros y q dígitos fraccionarios se representa en la base b: (N) b = a p-1 b p-1 + a p-2 b p a 1 b 1 +a 0 b 0 + a -1 b a -q b -q 0 a i < b ; b=base Forma abreviada: (N) B = (a p-1 a p-2...a 1 a 0 a -1...a -q ) b Un número se representa por un conjunto de cifras (a i ). Cada una de ellas contribuye con un valor que depende de su propio valor y su posición Ejemplos: Base 2. Alfabeto {0,1} (1011,1) 2 = Base 4. Alfabeto {0,1,2,3} (203,12) 4 = Base 10. Alfabeto {0,1,2,3,4,...,7,8,9} (97,12)10= Cuanto mayor sea la base, menos dígitos serán necesarios para representar una cantidad. Rango de representación: el mayor número que se puede representar en una base b con n dígitos es : b n -1

3 1º b1<b2: CONVERSION ENTRE BASES (b1 b2) (N) b1 = a p-1 b 1 p-1 + a p-2 b 1 p a 1 b 11 +a 0 b 10 + a -1 b a -q b 1 -q =(N) b2 Operando en la base b 2 Ejemplo conversión base 8 a 10: (327,5) 8 = =(215,625) 10

4 2º b1>b2: CONVERSION ENTRE BASES (b1 b2) (N) b1 = (a p-1 b 2 p-1 + a p-2 b 2 p a 1 b 21 +a 0 b 20 + a -1 b a -q b 2 -q )b 2 a i? 1º Parte entera: (N) a b1 p-1 b 2 p-1 + a p-2 b p a 1 b 21 +a 0 b 0 2 = = b 2 b 2 = a p-1 b 2 p-2 + a p-2 b 2 p a 1 b 20 ; a 0 2º Parte fraccionaria: b 2 (N) b1 = (a -1 b 2-1 +a -2 b a -q b 2 -q ) b 2 = a -1 ;=a -2 b a -q b 2 -q+1

5 EJEMPLO DE CONVERSIÓN ENTRE BASES:

7 SISTEMA BINARIO Los pesos de los dígitos binarios a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 a n son respectivamente en decimal : 1, 2, 4, 8, 16 2 n Rango de representación: con n dígitos binarios se pueden representar (considerando un número entero sin signo) todos los enteros cuya magnitud esté comprendida en el rango 0 N 2 n -1

10 i el resultado es mayor que 2 n -1, erán necesarios n+1 dígitos! VERFLOW

11 REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS CON SIGNO Sistema Signo Magnitud: Se añade el dígito de signo 0/1 a la izquierda del número natural para formar el número positivo / negativo Ejemplos: (01101) SM 13 (11101) SM -13 Operaciones de suma y resta se rigen por reglas distintas Circuitos distintos para la suma y la resta Orientado a la multiplicación y división El rango de representación con n dígitos va desde ( 2 n-1-1) hasta + ( 2 n-1-1) Si el resultado de una suma/resta (con palabras de n dígitos) supera 2 n-1-1 / -(2 n-1-1)

12 SISTEMA SIGNO MAGNITUD:

13 COMPLEMENTOS: Transformaciones en la representación de los números para poder convertir las resta en sumas y simplificar la circuitería aritmética COMPLEMENTO A LA BASE (COMPLEMENTO A 2) Para un número X: b n -X ; 0 si X=0 Representación: b (X) El complemento del complemento deja el número en su forma original: b n -(b n -X)=X En la base 2: 2 n -X ; 0 si X=0. Ejemplo: (1001) =7 2 (0111) Forma práctica: De derecha a izquierda el número se deja igual hasta el primer uno inclusive, a continuación se invierten los demás dígitos. Se invierten todos los dígitos y se suma 1.

14 COMPLEMENTO A 2: Diferencia entre 2 (A) y (A) CD El rango de representación con n dígitos va desde ( 2 n-1 ) hasta + ( 2 n-1-1)

15 ARITMÉTICA EN COMPLEMENTO A 2: Se unifican las sumas y las restas al considerar estas como la suma de un número negativo (complementado a dos): Resta A - B = A + (2 n B) Podemos distinguir los siguientes casos: 1º A + B Resultado > 2 n-1-1 OVERFLOW As y Bs =0 ; Signo resultado =1 2º A B: A B, el resultado (R= A-B) será positivo: A + (2 n B) =2 n +R 2 n será una acarreo que despreciaremos Ejemplo: (01101) CD - (01001) CD : (13) (-9) (4) Acarreo que se desprecia

16 ARITMÉTICA EN COMPLEMENTO A 2: 2º A B: A < B, el resultado (R= A-B) será negativo: A + (2 n B) =2 n - R El resultado está en complemento a dos Ejemplo: (01001) CD - (01101) CD : (9) (-13) (-4) 3º -A B: (2 n - A) + (2 n B) =2 n + 2 n -R Obtendremos un número negativo 2 n -(A+B) y un acarreo (2 n ) que despreciaremos Resultado < -2 n-1 OVERFLOW As y Bs =1 ; Signo resultado =0 Ejemplo: (11010) CD + (11011) CD : (-6) (-5) (-11) Acarreo que se desprecia En complemento a 2 siempre que se produce un acarreo, se desprecia. El problema del overflow se solventa aumentando el formato de operandos y resultado

17 ARITMÉTICA EN COMPLEMENTO A 2: Multiplicación por una potencia de la base: Para multiplicar un número por 2 n se desplazan a la izquierda (desplazamiento aritmético) sus dígitos tantas posiciones como indique el exponente y se añaden ceros por la derecha. Ejemplo: (1101) CD 2 3 =( ) CD División por una potencia de la base: OVERFLOW Para dividir un número por 2 n se desplazan a la derecha (desplazamiento aritmético) sus dígitos tantas posiciones como indique el exponente (perdiéndose los bits de menor peso) y se añaden bits de signo por la izquierda. Ejemplo: ( ) CD /2 3 =( ) CD =(1101) CD TRUNCAMIENTO

18 COMPLEMENTO A LA BASE MENOS 1 (COMPLEMENTO A 1) Para un número X: b n -b -m -X (numeros enteros) b n -1-X Representación: b-1 (X) El complemento del complemento deja el número en su forma original: b n -1-(b n -1-X)=X En la base 2: 2 n -1-X ;. Ejemplo: (1001) =6 1 (0110) Forma práctica: Se invierten todos los dígitos.

19 COMPLEMENTO A 1: Diferencia entre 1 (A) y (A) CU El rango de representación con n dígitos va desde ( 2 n-1-1) hasta + ( 2 n-1-1)

20 ARITMÉTICA EN COMPLEMENTO A 1: Se unifican las sumas y las restas al considerar estas como la suma de un número negativo (complementado a dos): Resta A - B = A + (2 n 1 - B) Podemos distinguir los siguientes casos: 1º A + B Resultado > 2 n-1-1 OVERFLOW As y Bs =0 ; Signo resultado =1 2º A B: A B, el resultado (R= A-B) será positivo: A + (2 n 1-B) =2 n -1+R 2 n será una acarreo que despreciaremos y el resultado estará decrementado en uno. Ejemplo: (01101) CU - (01001) CU : (13) (-9) (3) (4)

21 ARITMÉTICA EN COMPLEMENTO A 1: º A B: A < B, el resultado (R= A-B) será negativo: A + (2 n 1-B) =2 n - 1 R El resultado estará en complemento a uno Ejemplo: (01001) CU - (01101) CU : (9) (-13) (-4) 3º -A B: (2 n 1- A) + (2 n 1 -B) =2 n n -1- R Obtendremos un número negativo 2 n -1-(A+B), un acarreo (2 n ) y el resultado decrementado en uno. Resultado < -(2 n-1-1) OVERFLOW As y Bs =1 ; Signo resultado =0 Ejemplo: (11010) CU + (11011) CU : (-6) (-5) (-12) (-11) n complemento a 1 siempre que se produce un acarreo, se suma 1 al resultado. l problema del overflow (desbordamiento) se solventa aumentando el formato de perandos y resultado

22 ARITMÉTICA EN COMPLEMENTO A 1: Multiplicación por una potencia de la base: Para multiplicar un número por 2 n se desplazan a la izquierda (desplazamiento aritmético) sus dígitos tantas posiciones como indique el exponente y se añaden digitos iguales al de signo por la derecha. Ejemplo: (1101) CU 2 3 =( ) CU División por una potencia de la base: OVERFLOW Para dividir un número por 2 n se desplazan a la derecha (desplazamiento aritmético) sus dígitos tantas posiciones como indique el exponente (perdiéndose los bits de menor peso) y se añaden bits de signo por la izquierda. Ejemplo: ( ) CU /2 3 =( ) CU =(1101) CU TRUNCAMIENTO

24 REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS Coma Fija: La coma está colocada en una posición fija. Coma Flotante (notación científica): S M B E Ejemplo: 3, ; 1 010, E Exponente (rango) B Base M Mantisa (precisión) S Signo

25 REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS (0.1 M < 1)

26 REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS EJEMPLO : Algunos casos especiales: Cero: secuencia de 32 ceros E=255: Infinito (por ejemplo un división por cero) Rango de representación: Hasta 3, (frente a 2, de la coma fija con 32 bits)

27 PROBLEMAS DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN

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