Los modelos matemáticos requieren de parámetros, los cuales la mayoría de las veces provienen de mediciones experimentales y estas, solo tienen una

Transcripción

1 Los modelos matemáticos requieren de parámetros, los cuales la mayoría de las veces provienen de mediciones experimentales y estas, solo tienen una precisión limitada, que depende del instrumento de medición. Por ejemplo la constante de los gases ideales. También pueden provenir de cálculos y estos tienen una precisión limitada que depende tanto del método como del instrumento de cálculo que se utilicen. Por ejemplo.

2 Los modelos matemáticos resultantes son imposibles de resolver por métodos analíticos y se debe de aproximar la solución numéricamente. Por ejemplo una ecuación de quinto grado. Errores de truncamiento. Errores de redondeo. Ante la imposibilidad de tomar todos los términos de la serie, se requiere truncar después de cierto número de términos. Esto nos introduce ciertamente un error, que es el error de truncamiento. Este es independiente de la manera de realizar los cálculos. Solo depende del método numérico empleado. Los errores anteriores también suelen denominarse como las fuentes de error. La magnitud del error generada por alguna o todas las fuentes de error mencionadas anteriormente, se puede cuantificar con ayuda de los siguientes parámetros: Error relativo. Error porcentual.

3 e = V r - V a También es usual emplear el valor absoluto en los parámetros anteriores, en cuyo caso se denominan respectivamente error absoluto, error relativo absoluto y error porcentual absoluto.

4 Es continuo. Cada numero puede tener una cantidad ilimitada de cifras. Los números pueden ser tan pequeños como se desee. No es continuo. Cada numero tiene una cierta cantidad máxima de cifras. Los números no pueden ser tan pequeños como se desee. Al enviar un numero a algún dispositivo, es decir, al imprimirlo. El resultado es muy pequeño y sobrepasa la capacidad de representarlo. Se redondea comúnmente a 0. El resultado es muy grande y puede ocasionar un error al aproximarse al mayor valor que se pueda representar. Por lo general, la aritmética de dígitos finitos lleva a resultados aceptables, hay casos en los cuales no es así. Prácticamente cualquier operación numérica tiene sus casos problemáticos. Nos limitaremos por simplicidad solo a las 4 operaciones aritméticas básicas. Los casos problemáticos más comunes son: Multiplicación por números grandes. Suma de cantidades de distinto orden de magnitud. Resta de números casi iguales. Redondeo simétrico.

5 Por ejemplo:. En la practica puede no ser así. Sí Realizamos la suma empleando únicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo. Se obtiene: = (Redondeo truncado) =1.000 (Redondeo simétrico) Puede demostrarse que por lo general el redondeo simétrico lleva a resultados más precisos. Uso de la aritmética de intervalo. Consiste en retener en cada paso el valor más pequeño y más grande que puede tomar el valor buscado, para que al final se obtenga un intervalo que contenga el valor real. Los inconvenientes son que no sabemos a ciencia cierta en que parte del intervalo estará la solución, aunque comúnmente se supone que a la mitad y además se consume el doble de tiempo y memoria al almacenar los límites superior e inferior en los que puede estar la solución. Uso de aritmética de dígitos significativos. Consiste en retener en cada etapa solo las cifras que se piensa que son significativas. La desventaja es que se pierde información y no se tiene certeza de que tan significativa es una cifra. Enfoque estadístico. Consiste en suponer un comportamiento aleatorio con una distribución de probabilidad conocida. 2 La teoría involucrada es extensa. De los enfoques mencionados es el que ha dado más éxito.

6 Por otro lado sí e n es un error en alguna etapa de un proceso y k es una constante independiente de n el número de etapa, entonces sí el error después de n operaciones se puede representar por f(n)=kn, se dice que el crecimiento del error es lineal. Sí en cambio el error se representa por f(n)= para k>1, el crecimiento del error se dice que es exponencial. El crecimiento del error lineal es por lo general inevitable, y cuando k y n son pequeños, los resultados son aceptables. El crecimiento del error exponencial debe ser evitado, ya que el término k n será grande, aun para valores relativamente pequeños de n. Por lo tanto sí el crecimiento del error es lineal el método es estable y sí es exponencial es inestable. La convergencia se refiere al hecho de que los métodos numéricos obtienen n términos de una sucesión de valores. Comenzamos con un valor inicial que sea una aproximación de la solución de un problema x 0. Aplicando un método numérico se obtiene otra aproximación x 1. Se repite el procedimiento para obtener x 2 y así sucesivamente, es decir, se generar la sucesión x 0, x 1,...,x n (todos los términos son aproximaciones a la solución del problema). Sí la sucesión obtenida al cabo de n iteraciones tiende a un límite se dice que el método es convergente o divergente en caso contrario. En la practica esto no es posible de conseguir. 3 Por esta razón tenemos que definir algún criterio que nos permita decidir sí existe o no la convergencia. Este criterio se denomina criterio de convergencia. El criterio de convergencia podemos implementarlo usando los parámetros de cuantificación del error. Esto es: Error relativo: Error porcentual: e pn =100e rn Error relativo:

7 Error porcentual: No se conoce el valor real x. 4 No es posible lograr el 0. 5 Error relativo: Error porcentual: e pn =100 e rn <=Tol Para dejar completamente determinado el criterio de convergencia para un problema dado, demos de fijar la tolerancia. Para poder especificarla debemos de tomar en cuenta que: La tolerancia más pequeña posible se obtiene tomando en cuenta él numero de cifras significativas, que maneje el instrumento de calculo que se utilice. Por ejemplo, sí usamos una calculadora, no es posible lograr mas de 8 cifras significativas. En la practica, por lo regular la solución de un problema puede determinarse experimentalmente en un laboratorio. Estas mediciones tienen una precisión limitada debido a la naturaleza tanto del fenómeno en sí, como de las técnicas de medición. No es practico fijar una tolerancia que sobrepase la precisión que pueda alcanzarse en un laboratorio, ya que el valor calculado no podría verificarse con la precisión obtenida. Dependiendo de para que se quieran los resultados, se puede fijar la tolerancia. Sí solo requerimos una estimación burda de la solución la tolerancia puede ser baja, digamos 1 o 2 cifras significativas. Pero sí vamos calcular la trayectoria de un vuelo a la Luna, la tolerancia debe de ser la mayor que se pueda alcanzar. Recuerda que esta de por medio vidas humanas. 6 Un valor típico de las cifras que se pretenden alcanzar es 4. 7

8 Queda por contestar una pregunta. Cuál de los criterios anteriores es mejor? Criterio de convergencia basado en el error relativo. En este criterio, sí podemos conocer él numero de cifras significativas alcanzado. Existe un teorema que dice lo siguiente:. Sí el error relativo en valor absoluto es menor o igual a, entonces el valor x a coincide con x en al menos NCS cifras significativas. Este criterio es mas útil que el anterior. Dado que el teorema es valido solo con el error relativo real, al aplicarlo al criterio de convergencia obtenemos.. Pedimos una cifra significativa adicional por seguridad. La tolerancia por lo tanto podemos tomarla como. Además este criterio es independiente del tamaño de los valores que se manejen. 12 Solo tiene un problema. No es aplicable sí la solución del problema es El error porcentual. Esencialmente es equivalente al caso anterior. Un concepto que ayuda a visualizar esto es el de orden de convergencia. Se define con ayuda de la siguiente ecuación:

9 donde: e n+1 =x-x n+1 : Error en la iteración n+1. e n =x-x n : Error en la iteración n. : Constante de error asintótico. : Orden de convergencia. La es una constante que depende del método numérico y de la solución del problema. Se supone que es distinta de 0. El exponente es una constante dependiente normalmente solo del método numérico. Esta ecuación puede escribirse de otra manera, sí no tomamos él limite: Esta ecuación dice que el error de una iteración es aproximadamente proporcional a una potencia del error de la iteración anterior. Sí suponemos que existe convergencia entonces los errores deben de tender a 0. En esta ecuación es mas importante el exponente. Dado que los errores tienden a 0, mientras mayor sea el valor de, menor será el numero de iteraciones que se requieren. 14 En pocas palabras a mayor orden de convergencia mayor velocidad de convergencia y viceversa. El orden de convergencia normalmente es un valor constante. Un valor típico es 1, en cuyo caso se dice que el método numérico tiene convergencia lineal. Otro valor frecuente es 2, en este caso se dice que el método tiene convergencia cuadrática. Existen métodos de convergencia cubica, cuartica, etc., pero a medida que aumente el orden de convergencia también el método es mas complicado. El orden de convergencia no es necesariamente un entero. Por ejemplo existe un método numérico cuyo orden de convergencia es. La serie de Taylor es: Como no es posible realizar la suma debemos de truncarla, sí hacemos esto se obtiene la sucesión: Sí la denotamos como:

10 S 0, S 1, S 2,...,S n,... Obtenemos la sucesión: En él limite se tendrá: Lo anterior nos define un método numérico para calcular la función seno. Para saber cuando pararnos requerimos de un criterio de convergencia. Se realizó un programa que hiciera los cálculos. Se emplearon los criterios de convergencia basados en el error y en el error relativo. Se fijó él numero de cifras significativas y de decimales a calcular en 4. Como máximo de iteraciones se uso 50. Para ilustrar el efecto del error de redondeo, se implementaron los cálculos en precisión simple y en Precisión doble. Se obtuvieron los siguientes resultados: sen(0.5) Criterio de Convergencia Basado en el Error

11 Al analizar los resultados podemos observar que para el sen (0.5), en todos los casos los resultados son consistentes, es decir, se logró llegar a las cifras significativas o dígitos exigidos. Los valores de la precisión doble coinciden bien con los de la precisión simple. Por esto, concluimos que no afecto significativamente el error de redondeo. Para el sen (3.1416), los resultados del criterio del error res pecto al del error relativo difieren. De hecho el del error relativo coincide mejor que el del error con el valor real. De los cálculos de la precisión simple a la doble ya hay discrepancia. De hecho, inclusive en los valores reales de las funciones de biblioteca hay diferencias. Podemos concluir que es mejor emplear el error relativo, además de realizar los cálculos con precisión doble. Finalmente para el sen ( ), se observan problemas serios. De acuerdo a lo que viste en calculo, esta serie del seno converge para todo x, y el seno esta acotado al intervalo [0,1. Entonces, por que los resultados tan absurdos?. Estos se deben a la gran cantidad de cálculos realizados, razón por la cual el error de redondeo crece tanto que los valores obtenidos no tienen sentido. En este caso el error creció en forma exponencial y por lo tanto el método no fue estable en este caso. La serie del seno converge para todo x suponiendo que no existe redondeo, pero como en la realidad no es caso, puedes ver los resultados. 15

12 x x+1=0 Tiene las raíces aproximadas x 1 = , x 2 = Las soluciones se calculan con, Supongamos que usamos una regla de calculo. Solo podemos usar 4 cifras en los cálculos. Calculemos primeramente el determinante ahora calculemos x 1 y x 2, Podemos observar que x 2 coincide muy bien con el valor real a 4 cifras significativas. Sin embargo, con x 1 no ocurre así. Cuál es el problema? La dificultad se tiene al restar Estos números son casi iguales en 4 cifras significativas. En x 2 tenemos una suma de números casi iguales y no nos ocasiona problemas. Para arreglar esta dificultad podemos manipular la ecuación del chicharronero. Sí racionalizamos el numerador tenemos Sí recalculamos x 1 Que es el valor real. Sí por curiosidad usamos esta formula para x 2 obtenemos Aquí además de restar 2 números casi iguales, dividimos entre un numero cercano a 0, lo cual ocasiona mayor error de redondeo, que en el caso anterior para x 1.

13 Al resolver un problema siempre tendremos presente errores: El error de redondeo, el error inherente y el error de truncamiento. Al aplicar un método numérico, debemos de emplear un criterio de convergencia. Él más recomendable es el que esta basado en el error relativo. El orden de convergencia es un valor que nos indica que tan rápido un método numérico puede llegar a la solución. Mientras mayor sea, es mejor, pero hay que pagar un precio. El método numérico es más complicado. El error de redondeo es prácticamente inevitable y puede invalidar por completo la solución de un problema. Puede minimizarse su efecto, ya sea reduciendo de alguna manera él numero de cálculos a realizar, ó reformulando la solución de un problema de tal forma que se evite las operaciones aritméticas que ocasionan mas error. La suposición común de que trabajamos con números reales al realizar cálculos, no es cierta. Puede acarrearnos serias discrepancias entre valores teóricos y valores calculados. Esto se debe a la forma en que se representan y como se manejan los números en la computadora. La precisión y la exactitud no son sinónimos. Una nos indica que tan confiable es un valor, y la otra que tan cerca estamos de el. Existen métodos numéricos que son estables y otros que no. Se prefiere los primeros.