Métodos Numéricos: Guía de estudio Tema 5: Solución aproximada de ecuaciones

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1 Métodos Numéricos: Guía de estudio Tema 5: Solución aproximada de ecuaciones Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Abril 2009, versión Introducción En la resolución de problemas técnicos es muy frecuente la aparición de ecuaciones. Nuestra capacidad para resolver efectivamente ecuaciones de forma exacta se limita a las ecuaciones lineales y de segundo grado, algunas ecuaciones exponenciales y trigonométricas especiales y pocas más. En los restantes casos, debemos aplicar técnicas especiales para tratar de aproximar el valor de la solución dentro de la precisión requerida: este es precisamente el objetivo del presente tema. Empezaremos estudiando el método de la bisección. Este método es robusto, poco exigente, de fácil comprensión y permite un control adecuado del error; en contrapartida, la convergencia del método de la bisección es bastante lenta. A continuación estudiaremos el método de Newton-Raphson. Este segundo método, cuando funciona, converge muy rápidamente a la solución, sin embargo, requiere el uso de la derivada y puede presentar mayores problemas de convergencia. Comentaremos brevemente el concepto de orden de convergencia y finalizaremos con el estudio general de los métodos de punto fijo. Los métodos de punto fijo nos permiten construir una infinidad de métodos iterativos para la resolución de ecuaciones, además el teorema de convergencia ylafórmula de acotación del error son una buena introducción al problema de la convergencia de métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales. Desde el punto de vista computacional, estudiaremos las órdenes de Maple para la resolución exacta y aproximada de ecuaciones y escribiremos programas que permitan la ejecución práctica de los distintos métodos. También aprenderemos a estimar las soluciones a partir de representaciones gráficas adecuadas; dichas estimaciones pueden servir como valor inicial para los métodos iterativos. El contenido del tema es el siguiente: 1. Método de la bisección 2. Método de Newton-Raphson 3. Orden de convergencia: convergencia cuadrática 4. Método de punto fijo 1

2 Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 2 2 Objetivos 2.1 Teóricos Al finalizar el tema, el alumno debe se capaz de: Enunciar y aplicar correctamente el Teorema de Bolzano. Enunciar y aplicar el método de la bisección y su fórmula de error. Escribir el método iterativo de Newton-Raphson para una ecuación dada. Estudiar la corrección de una solución aproximada obtenida por el método de Newton-Raphson mediante la parada por error estimado. Formular un método iterativo para el cálculo de raíces cuadras, cúbicas, etc, formulando una ecuación adecuada y aplicando el método de Newton-Raphson para su resolución. Explicar la noción intuitiva de convergencia cuadrática. Distinguir claramente entra la búsqueda de ceros y de puntos fijos, es decir, entre ecuaciones de la forma f(x) =0y x = g(x). Cambiando de una a otra forma cuando sea conveniente. Enunciar y aplicar, a casos sencillos, el teorema de convergencia para la iteración de punto fijo. Obtener una formulación de punto fijo de la forma x = x λf(x) para ecuaciones f(x) = Cálculo manual Al finalizar el tema, el alumno debe se capaz de: Escribir ecuaciones sencillas en la forma g(x) =h(x) y representarlas esquemáticamente para obtener una estimación de la solución. Determinar la existencia y unicidad de solución para una ecuación de la forma f(x) =0en un intervalo dado [a, b]. Determinar el número de iteraciones necesarias para aproximar, con la precisión exigida, la solución de una ecuación f(x) =0mediante el método de la bisección. Calcular algunas iteraciones del método de la bisección para ecuaciones sencillas.

3 Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 3 Aplicar el método de Newton-Raphson a ecuaciones sencillas. Escribir diferentes formulaciones de punto fijo para una ecuación dada. Aplicar la iteración de punto fijo a ecuaciones sencillas. 2.3 Cálculo con ordenador Al finalizar el tema, el alumno debe se capaz de Resolver ecuaciones con solve. Interpretar correctamente la función RootOf. Obtener soluciones con allvalues y evalf. Resolver ecuaciones con fsolve. Obtener raíces complejas de polinomios con fsolve y la opción complex. Estimar gráficamente las soluciones para ecuaciones del tipo f(x) =0. Estimar gráficamente las soluciones de ecuaciones del tipo g(x) =h(x). Predecir el buen funcionamiento del método de Newton-Raphson a partir de una representación gráfica de la ecuación f(x) =0. Construir bucles controlados con una estructura for. Usar la ejecución condicional if-then-else. Programar el método de la bisección. Programar el método de Newton-Raphson. Programar el método de punto fijo para una ecuación de la forma x = g(x). 3 Orientaciones para el estudio Resuelve manualmente los ejemplos del Resumen de clase. Resuelve con papel y lápiz los ejercicios 1,3,4,7,10,13,15. Ten en cuenta los siguientes comentarios: Asegúrate que sabes construir las representaciones gráficas esquemáticas. Si es necesario, escribe la ecuación en la forma g(x) =h(x).

4 Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 4 En el método de la bisección deber disponer los cálculos como se muestra en el Resumen de clase, esta disposición ayuda a determinar el nuevo intervalo sin errores. Es importante que realices un par de ejemplos a mano; no confundas a j,b j con f(a j ), f(b j ). En los cálculos intermedios debes emplear un número de decimales que exceda en 2 o 3 unidades la precisión exigida en el problema. Así, si estas buscando una raíz con una precisión de 4 decimales exactos, debes usar al menos 6 decimales en los cálculos intermedios. Recuerda que después de asistir a la clase práctica, tienes que imprimir la practica y volver a hacerla tú solo. Resuelve con Maple los ejercicios 2,5,6,8,15. En la programación de los diferentes métodos, es importante que comprendas el funcionamiento de las versiones que realizan una parada automática al alcanzar el número de decimales exactos prefijado; no obstante, en los exámenes de prácticas sólo se pedirán versiones controladas por número de iteraciones, esto es, controladas por un bucle for (sin control de error estimado). 4 Temporalización Aproximadamente, el tiempo necesario para cubrir el tema es el siguiente: Actividad Tipo Duración Explicación teórica, ejemplos Clase teoría 2h Ejemplos, problemas Clase prácticas 1h Prácticas ordenador Clase prácticas 2h 5h Leer guia estudio, resumen Trabajo personal 1.0h Problemas a mano Trabajo personal 2,25h Hacer práctica Trabajo personal 0,75h Poblemas con Maple Trabajo personal 0,75h Cuestionario Trabajo personal 0,25 5h El tiempo indicado para las actividades de trabajo personal es orientativo, y puede variar considerablemente de un estudiante a otro dependiendo de las características personales, del nivel matemático previo o de la experiencia y destreza en el manejo de herramientas informáticas; no obstante, si necesitas mucho más tiempo del indicado, sería recomendable que hablaras con el profesor.

5 Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 5 5 Actividades complementarias Si dispones de tiempo, puedes realizar alguna de las siguientes actividades.. Revisa la Resolución de ejercicios con Maple correspondiente al tema. Resuelve alguno de los problemas restantes de la lista de problemas. Revisa el capítulo Zeros de funcions en el libro de Mètodes Numèrics de Dominguez, Gilibets, Puente. Busca en la bibliografía el método de la secante. Escribe un programa Maple que permita aplicar el método de la secante. Ve a la biblioteca y busca algún libro de métodos numéricos; revisa el capítulo dedicado a la resolución aproximada de ecuaciones.

6 Cuestionario Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones Alumno: 1. Asistencia a clase. Indica si has asistido a todas las clases de teoría y prácticas correspondientes al tema, en caso de no asistencia indica si has dedicado un tiempo equivalente de estudio personal. Finalmente, indica (si procede) el número de horas de clase perdidas que no hayas recuperado mediante estudio personal. Clases de teoria Clases de práctica Asistencia Recuperado Si No Si No En parte Horas perdidas 2. Tiempo de estudio personal Lectura de guía de estudio y resumen Hacer problemas a mano Hacer práctica Hacer problemas con Maple Tiempo 3. Puntúa la utilidad de los documentos de estudio entre 1 (= es una pérdida de tiempo) y 5 (=muy útiles). Si no has descargado el documento, deja la casilla en blanco. Guía de estudio Resumen Problemas Problemas resueltos Problemas resueltos con Maple Práctica Puntuación 4. Revisa la lista de objetivos y escribe dos o tres tópicos que te gustaría quesevolvieranaexplicarenclase. 5. Revisa la lista de objetivos y da una estimación intuitiva entre 1 y 5 de tu grado de cumplimiento de esos objetivos. 6. Sugerencias: