Raíces de ecuaciones no lineales

Transcripción

1 Raíces de ecuaciones no lineales Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: web: Universidad: ITESM CEM

2 TÓPICOS 1 INTRODUCCIÓN Métodos abiertos 2 ITERACIÓN SIMPLE DE PUNTO FIJO 3 NEWTON-RAPHSON 4 SECANTE 5 Problemas

3 Tópicos 1 INTRODUCCIÓN Métodos abiertos 2 ITERACIÓN SIMPLE DE PUNTO FIJO 3 NEWTON-RAPHSON 4 SECANTE 5 Problemas

4 Métodos abiertos Qué son los métodos abiertos? Los métodos abiertos para la determinación de raíz requieren únicamente de un solo valor de inicio (x i ) o que comiencen con dos valores; pero que no encierren la raíz. Los métodos abiertos emplean una fórmula para calcular la raíz. Los métodos abiertos a veces divergen o se alejan de la raíz verdadera a medida que avanza el cálculo. Cuando los métodos abiertos convergen lo hacen mucho más rápido que los métodos cerrados.

5 Métodos abiertos Qué son los métodos abiertos? Los métodos abiertos para la determinación de raíz requieren únicamente de un solo valor de inicio (x i ) o que comiencen con dos valores; pero que no encierren la raíz. Los métodos abiertos emplean una fórmula para calcular la raíz. Los métodos abiertos a veces divergen o se alejan de la raíz verdadera a medida que avanza el cálculo. Cuando los métodos abiertos convergen lo hacen mucho más rápido que los métodos cerrados.

6 Métodos abiertos Qué son los métodos abiertos? Los métodos abiertos para la determinación de raíz requieren únicamente de un solo valor de inicio (x i ) o que comiencen con dos valores; pero que no encierren la raíz. Los métodos abiertos emplean una fórmula para calcular la raíz. Los métodos abiertos a veces divergen o se alejan de la raíz verdadera a medida que avanza el cálculo. Cuando los métodos abiertos convergen lo hacen mucho más rápido que los métodos cerrados.

7 Métodos abiertos Qué son los métodos abiertos? Los métodos abiertos para la determinación de raíz requieren únicamente de un solo valor de inicio (x i ) o que comiencen con dos valores; pero que no encierren la raíz. Los métodos abiertos emplean una fórmula para calcular la raíz. Los métodos abiertos a veces divergen o se alejan de la raíz verdadera a medida que avanza el cálculo. Cuando los métodos abiertos convergen lo hacen mucho más rápido que los métodos cerrados.

8 Métodos abiertos Qué son los métodos abiertos? Los métodos abiertos para la determinación de raíz requieren únicamente de un solo valor de inicio (x i ) o que comiencen con dos valores; pero que no encierren la raíz. Los métodos abiertos emplean una fórmula para calcular la raíz. Los métodos abiertos a veces divergen o se alejan de la raíz verdadera a medida que avanza el cálculo. Cuando los métodos abiertos convergen lo hacen mucho más rápido que los métodos cerrados.

9 Métodos abiertos Qué métodos abiertos estudiaremos? Métodos de iteración simple de punto fijo, Método de Newton-Raphson, Método de la secante,

10 Métodos abiertos Qué métodos abiertos estudiaremos? Métodos de iteración simple de punto fijo, Método de Newton-Raphson, Método de la secante,

11 Métodos abiertos Qué métodos abiertos estudiaremos? Métodos de iteración simple de punto fijo, Método de Newton-Raphson, Método de la secante,

12 Métodos abiertos Qué métodos abiertos estudiaremos? Métodos de iteración simple de punto fijo, Método de Newton-Raphson, Método de la secante,

13 Tópicos 1 INTRODUCCIÓN Métodos abiertos 2 ITERACIÓN SIMPLE DE PUNTO FIJO 3 NEWTON-RAPHSON 4 SECANTE 5 Problemas

14 Métodos de iteración simple de punto fijo Toda ecuación f(x) = 0 puede transformarse de tal modo que la variable x esté del lado izquierdo de la ecuación. f(x) = 0 x = g(x) De esta forma, dado un valor inicial para la raíz x i, la ecuación x = g(x) se utiliza para obtener una nueva aproximación de la raíz x i+1, esto es: x i+1 = g(x i ) Se llega a una fórmula iterativa para obtener la raíz. El error aproximado se puede obtener: ε a = x i+1 x i x i+1 100%

15 Métodos de iteración simple de punto fijo Toda ecuación f(x) = 0 puede transformarse de tal modo que la variable x esté del lado izquierdo de la ecuación. f(x) = 0 x = g(x) De esta forma, dado un valor inicial para la raíz x i, la ecuación x = g(x) se utiliza para obtener una nueva aproximación de la raíz x i+1, esto es: x i+1 = g(x i ) Se llega a una fórmula iterativa para obtener la raíz. El error aproximado se puede obtener: ε a = x i+1 x i x i+1 100%

16 Métodos de iteración simple de punto fijo Toda ecuación f(x) = 0 puede transformarse de tal modo que la variable x esté del lado izquierdo de la ecuación. f(x) = 0 x = g(x) De esta forma, dado un valor inicial para la raíz x i, la ecuación x = g(x) se utiliza para obtener una nueva aproximación de la raíz x i+1, esto es: x i+1 = g(x i ) Se llega a una fórmula iterativa para obtener la raíz. El error aproximado se puede obtener: ε a = x i+1 x i x i+1 100%

17 Métodos de iteración simple de punto fijo Toda ecuación f(x) = 0 puede transformarse de tal modo que la variable x esté del lado izquierdo de la ecuación. f(x) = 0 x = g(x) De esta forma, dado un valor inicial para la raíz x i, la ecuación x = g(x) se utiliza para obtener una nueva aproximación de la raíz x i+1, esto es: x i+1 = g(x i ) Se llega a una fórmula iterativa para obtener la raíz. El error aproximado se puede obtener: ε a = x i+1 x i x i+1 100%

18 Métodos de iteración simple de punto fijo Toda ecuación f(x) = 0 puede transformarse de tal modo que la variable x esté del lado izquierdo de la ecuación. f(x) = 0 x = g(x) De esta forma, dado un valor inicial para la raíz x i, la ecuación x = g(x) se utiliza para obtener una nueva aproximación de la raíz x i+1, esto es: x i+1 = g(x i ) Se llega a una fórmula iterativa para obtener la raíz. El error aproximado se puede obtener: ε a = x i+1 x i x i+1 100%

19 Métodos de iteración simple de punto fijo Toda ecuación f(x) = 0 puede transformarse de tal modo que la variable x esté del lado izquierdo de la ecuación. f(x) = 0 x = g(x) De esta forma, dado un valor inicial para la raíz x i, la ecuación x = g(x) se utiliza para obtener una nueva aproximación de la raíz x i+1, esto es: x i+1 = g(x i ) Se llega a una fórmula iterativa para obtener la raíz. El error aproximado se puede obtener: ε a = x i+1 x i x i+1 100%

20 Ejemplos x 2 2x + 3 = 0 x = x2 +3 2, por tanto: x i+1 = x2 i +3 2 sin(x) = 0 x = sin(x) + x, por tanto: x i+1 = sin(x i ) + x i e x x = 0 x = e x, por tanto: x i+1 = e x i

21 Ejemplos x 2 2x + 3 = 0 x = x2 +3 2, por tanto: x i+1 = x2 i +3 2 sin(x) = 0 x = sin(x) + x, por tanto: x i+1 = sin(x i ) + x i e x x = 0 x = e x, por tanto: x i+1 = e x i

22 Ejemplos x 2 2x + 3 = 0 x = x2 +3 2, por tanto: x i+1 = x2 i +3 2 sin(x) = 0 x = sin(x) + x, por tanto: x i+1 = sin(x i ) + x i e x x = 0 x = e x, por tanto: x i+1 = e x i

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24 Convergencia y divergencia

25 Convergencia y divergencia El métodos de iteración simple de punto fijo establece que: x i+1 = g(x i ) Considerando que la solución verdadera x r Restando x r = g(x r ) x r x i+1 = g(x r ) g(x i ) El teorema del valor medio, aplicado a nuestro problema, establece que si una función g(x) y su derivada son continuas en el intervalo x i x x r, existe al menos un valor de x = ξ dentro del intervalo para el que: g (ξ) = g(xr) g(x i) x r x i

26 Convergencia y divergencia Finalmente: x r x i+1 = g (ξ)(x r x i ) E v,i+1 = g (ξ)e v,i Convergencia y divergencia Si g < 1, entonces los errores disminuyen con cada iteración. Si g > 1, entonces los errores aumentan con cada iteración.

27 function puntofijov1 ( g, x0,ee) % puntofijov1 : Nombre de la funcion % Valores de entrada % g : funcion matematica de entrada ( x = g ( x ) ) % x0 : Valor de i n i c i a l % EE : Error Estimado % Valores de s a l i d a % Raiz % E r r o r Aproximado % IM : I t e r a c i o n Maxima IM =1; x ( IM ) =x0 ; x ( IM+1)=g ( x ( IM ) ) ; EA( IM+1)=abs ( ( x ( IM+1) x ( IM ) ) / x ( IM+1) ) 100; while EA( IM+1)>EE IM=IM +1; x ( IM+1)=g ( x ( IM ) ) ; EA( IM+1)=abs ( ( x ( IM+1) x ( IM ) ) / x ( IM+1) ) 100; end Salida1 =[ Iteracion Maxima=,num2str ( IM ) ] ; Salida2 =[ x ( 2 : size ( x, 2 ) ) EA( 2 : size ( x, 2 ) ) ] ; disp ( ) disp ( Salida1 ) disp ( ) disp ( Raiz Error Apro ) disp ( Salida2 )

28 >> p u n t o f i j o v 1 (@( x ) exp( x ), 0, ) I t e r a c i o n Maxima=19 Raiz E r r o r Apro

29 >> p u n t o f i j o v 1 (@( x ) exp( x ), 0, ) I t e r a c i o n Maxima=23 Raiz E r r o r Apro

30 Determinación del coeficiente de arrastre (c) Calcular los ceros de la función: f(c) = gm ( 1 e c t) m v c Considerando m = 68.1 kg, v = 40 m/s y t = 10 s. f (c) = c g (c) = ( 1 e c ) 40 = 0 ( 1 e c ) = c ( 1 e c )

31 >> puntofijov1 x ) /40 (1 exp( x ) ), 14, ) I t e r a c i o n Maxima=8 Raiz E r r o r Apro

32 >> puntofijov1 x ) exp( x ) / x (1 exp( x ) ) 40+x, 14, ) I t e r a c i o n Maxima=180 Raiz E r r o r Apro

33 Tópicos 1 INTRODUCCIÓN Métodos abiertos 2 ITERACIÓN SIMPLE DE PUNTO FIJO 3 NEWTON-RAPHSON 4 SECANTE 5 Problemas

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35 Fórmula De la figura se puede apreciar que: Despejando x i+1 se llega a: f (x i ) = f(x i) 0 x i x i+1 x i+1 = x i f(x i) Fórmula de Newton-Raphson f (x i )

36 Análisis de errores La expansión de la serie te Taylor se puede escribir como: f(x i+1 ) = f(x i ) + f (x i )(x i+1 x i ) + f (ξ) (x i+1 x i ) 2 + 2! donde ξ se encuentra dentro del intervalo [x i x i+1 ]. Truncando la serie de Taylor después del término primera derivada, se obtiene: f(x i+1 ) = f(x i ) + f (x i )(x i+1 x i ) Como en la intersección con el eje x, f(x i+1 ) = 0, entonces de la expresión anterior se llega a la fórmula de Newton-Raphson. Por otro lado, evaluando la serie de Taylor x i+1 = x r (valor verdadero) y como f(x r ) = 0 0 = f(x i ) + f (x i )(x r x i ) + f (ξ) (x r x i ) 2 2!

37 Análisis de errores Restando las expresiones rojas: 0 = f (x i )(x r x i+1 ) + f (ξ) (x r x i ) 2 2! 0 = f (x i )E v,i+1 + f (ξ) Ev,i 2 2! Finalmente, tanto x i como ξ se deberán aproximar a la raíz x r : E v,i+1 = f (x r ) 2!f (x r ) E2 v,i El error es proporcional al cuadrado del error anterior, por lo cual tenemos una convergencia cuadrática.

38 Desventajas

39 function newtonraphsonv1 ( f, x0,ee) % newtonraphsonv1 : Nombre de la funcion % Valores de entrada % f : funcion matematica de entrada ( f ( x ) ) % x0 : Valor de i n i c i a l % EE : Error Estimado % Valores de s a l i d a % Raiz % E r r o r Aproximado % IM : I t e r a c i o n Maxima syms x ; Df=@( xx ) subs ( d i f f ( f, x ), x, xx ) ; %Derivada de f : Funcion matematica IM =1; r ( IM ) =x0 ; r ( IM+1)= r ( IM ) f ( r ( IM ) ) / Df ( r ( IM ) ) ; EA( IM+1)=abs ( ( r ( IM+1) r ( IM ) ) / r ( IM+1) ) 100; while EA( IM+1)>EE IM=IM +1; r ( IM+1)= r ( IM ) f ( r ( IM ) ) / Df ( r ( IM ) ) ; EA( IM+1)=abs ( ( r ( IM+1) r ( IM ) ) / r ( IM+1) ) 100; end Salida1 =[ Iteracion Maxima=,num2str ( IM ) ] ; Salida2 =[ r ( 2 : size ( r, 2 ) ) EA( 2 : size ( r, 2 ) ) ] ; disp ( ) disp ( Salida1 ) disp ( ) disp ( Raiz Error Apro ) disp ( Salida2 )

40 >> newtonraphsonv1 x ) / x (1 exp( x ) ) 40, 14, 0.001) I t e r a c i o n Maxima=3 Raiz E r r o r Apro

41 >> newtonraphsonv1 x ) xˆ10 1, 0.5, 0.001) I t e r a c i o n Maxima=43 Raiz E r r o r Apro

42 Tópicos 1 INTRODUCCIÓN Métodos abiertos 2 ITERACIÓN SIMPLE DE PUNTO FIJO 3 NEWTON-RAPHSON 4 SECANTE 5 Problemas

43 INTRODUCCIO N ITERACIO N SIMPLE DE PUNTO FIJO Presentacio n del me todo NEWTON-RAPHSON SECANTE Problemas

44 Fórmula Un problema potencial en la implementación del método de Newton-Raphson es la evaluación de la derivada. La derivada se podría aproximar a la secante, esto sería: f (x i ) f(x i 1) f(x i ) x i 1 x i Esta aproximación se conoce como diferencia finita hacia atrás. Sustituyendo esta expresión en la fórmula de Newton-Raphson: x i+1 = x i (x i 1 x i )f (x i ) f (x i 1 ) f (x i ) La expresión anterior es la fórmula del método de la secante. Aquí se necesitan dos valores de inicio: x i y x i 1

45 function secantev1 ( f, x0, x1,ee) % secantev1 : Nombre de la funcion % Valores de entrada % f : funcion matematica de entrada ( f ( x ) ) % x0 : Valor de i n i c i a l ( xi 1) % x1 : Valor de i n i c i a l ( x i ) % EE : Error Estimado % Valores de s a l i d a % Raiz % E r r o r Aproximado % IM : I t e r a c i o n Maxima IM =1; x ( IM ) =x0 ; x ( IM+1)=x1 ; x ( IM+2)=x ( IM+1) f ( x ( IM+1) ) ( x ( IM ) x ( IM+1) ) / ( f ( x ( IM ) ) f ( x ( IM+1) ) ) ; EA( IM+2)=abs ( ( x ( IM+2) x ( IM+1) ) / x ( IM+2) ) 100; while EA( IM+2)>EE IM=IM +1; x ( IM+2)=x ( IM+1) f ( x ( IM+1) ) ( x ( IM ) x ( IM+1) ) / ( f ( x ( IM ) ) f ( x ( IM+1) ) ) ; EA( IM+2)=abs ( ( x ( IM+2) x ( IM+1) ) / x ( IM+2) ) 100; end Salida1 =[ Iteracion Maxima=,num2str ( IM ) ] ; Salida2 =[ x ( 3 : size ( x, 2 ) ) EA( 3 : size ( x, 2 ) ) ] ; disp ( ) disp ( Salida1 ) disp ( ) disp ( Raiz Error Apro ) disp ( Salida2 )

46 >> secantev1 x ) / x (1 exp( x ) ) 40, 15, 16, 0.001) I t e r a c i o n Maxima=4 Raiz E r r o r Apro

47 Tópicos 1 INTRODUCCIÓN Métodos abiertos 2 ITERACIÓN SIMPLE DE PUNTO FIJO 3 NEWTON-RAPHSON 4 SECANTE 5 Problemas

48 Problema 1 Determine la raíz real más grande f(x) = 0.95x 3 5.9x x 6: a-) En forma gráfica. b-) Con el uso del método de Newton-Raphson (tres iteraciones, x i = 3.5). c-) Con el uso de la secante (tres iteraciones, x i 1 = 2.5 y x i = 3.5).

49 Problema 2 Utilice el método de Newton-Raphson para encontrar la raíz de f(x) = e 0.5x (4 x) 2. Utilice los valores iniciales de a) 2, b) 6 y c) 8. Explique el resultado.