Métodos Numéricos Cap 3: Resolución de ecuaciones no lineales

Transcripción

1 /9 Graficación Solución de Ecuaciones no lineales Ej.: *cos(^2 = fplot('(*cos(^2',[,2] Encontrar raíces o ceros de f( en un intervalo dado, es decir encontrar / f( = con [a, b]. en [-.5,.5], = en [, -.5], 2 = en [.5, 2], 3 = Es posible siempre despejar? - Se puede implementar cualquier despeje en un programa de computación? ezplot ('*cos(^2,[,2] fplot(@fun,[,2] function y=fun(; y=*cos(^2; Métodos Numéricos para la Solución de Ecuaciones no lineales Un número α se dice raíz o cero de la ecuación f( si f (α =. Los métodos numéricos para encontrar una raíz de una ecuación f(, son métodos iterativos que generarán una sucesión { n }, n=,2,3,... tal que: lim n n = α. = valor inicial = m(, sio m( una función correspondiente a un... método numérico n = m( n-, n - α < n- - α < n - α <... < - α er. Criterio de aproimación Si la función f es continua alrededor de α, en un intervalo que contiene a la sucesión n, n =,2.., entonces, para algún número positivo ε eiste n tal que f( n < ε. Dado un número ε > y adecuadamente pequeño, que llamaremos tolerancia, podemos escoger como aproimación a la raíz α a un término n de la sucesión mencionada, donde n es el menor entero positivo que satisface: f( n < ε. y=f( ε ε Última actualización: 28/3/26

2 2/9 2do. Criterio de aproimación lim n n = α dado ε 2 >, adecuadamente pequeño, n tal que n - α < ε 2. El término n de la sucesión mencionada puede ser considerado una aproimación a la raíz, donde n es el menor entero positivo que cumple la condición. Como α es desconocida, podemos asumir que: n+ - n = n+ - α + α - n n+ - α + n - α < ε 2 + ε 2 2 ε 2 < ε 2 n n- < ε 2 ó n n- / n < ε 2 error absoluto error relativo n - n- y n indica el número de iteración. y=f( X X X 2 X 3 ε Convergencia f(.2 n<ε α = n n -α >>ε 2 El hecho de que f( n < ε ó n n- < ε 2 no necesariamente indica que n esté muy cerca de α. Además, para garantizar que una sucesión converge a la raíz buscada, la función f deberá satisfacer ciertas condiciones que evitaran una sucesión divergente. La convergencia puede ser "muy lenta", por lo cual se hace necesario establecer una cota para n, es decir, imponer un máimo número de iteraciones. 5-5 n -α <ε 2 n f( n >> ε α= -.9. Algoritmos iterativos function n = metodo ma_iter, tolf, tol n( = ; for i =:ma_iter n(i+ = m (n(i; if abs (feval (@fun, n(i+ tolf & abs ( n(i+ - n(i tol return, feval (f, a,a 2,...,a n : Evalúa la función f que utiliza los argumentos a,a 2,...,a n., f debe ser definida como function. Equivalente a evaluar f(a,a2,...,an. Ej.: feval( sqrt,5 ó feval(@sqrt,5, evalúan sqrt(5. eval (f : Evalúa la función f, la cual es un comando en forma de string. Ej: eval ( +6*^2 si está definida. er. Criterio 2do. Criterio %Puede considerarse una sola condición % donde metodo es el nombre de algún método y m es la función de iteración corresponiente Métodos cerrados Los métodos numéricos para encontrar la raíz de una ecuación se denominan cerrados cuando necesitan conocer un intervalo que encierre a la raíz. Si f es una función continua en un intervalo [a,b], y f(a * f(b <. Entonces, por el teorema del valor medio para funciones continuas (teorema de Bolzano, eiste al menos un α [a,b] / f (α =. A los fines de la aplicación de los métodos numéricos, deberíamos considerar que la raíz en el intervalo es única, ya que encuentran una única raíz. Última actualización: 28/3/26

3 3/9 Método de Bisección Proceso método bisección Consiste en dividir sucesivamente el intervalo [a,b] por la mitad, hasta que la longitud del sub-intervalo que contiene a la raíz α sea menor que alguna tolerancia especificada ε. f(b f(i f(a y a. X =[a,b] i ε * α. f( b f(a < f(b > Si b-a > ε i = (a+b/2 Si f( i > b = i Siguiente iteración sino a = i Siguiente iteración sino fin f( = cos(+- fplot('cos(+-',[ 2] a (a+b/2b a b Resultados b-a a = b = 2 b =.5.5 a = b = b = a = b = b = b = a = b = function n = biseccion (, f, ma_iter, tol, tolf % BISECCION % = [a,b] valor inicial, f: función a resolver % ma_iter: número máimo de iteraciones % tol y toly: diferencia máima aceptable entre dos iteraciones % ej: biseccion ([ function y = fun( y = cos(+-; Ventajas y desventajas del método de bisección a=(; b=(2; if (f(a * f(b > % si es = alguno de los etremos es raíiz disp('la función en los etremos del intervalo tiene el mismo signo' for i =:ma_iter if (abs(b-a > tol n = (a+b/2; % se podría evaluar f(n y verificar tolf if (sign(f(n== sign(f(a a= n b = n disp( llegó a la tolerancia esperada,return disp( Se empleó maimo número iteraciones' Ventajas: El error ε = α - n, se acota fácilmente ya que α - n (b-a / 2 n, previo la cantidad de iteraciones necesarias, n ( log (b-a - log (ε / log ( 2 Siempre converge. Es útil para acotar el intervalo en que se encuentra la raíz. Desventajas con respecto a otros métodos: No tiene en cuenta la magnitud de los valores de la función en las aproimaciones calculadas, sólo tiene en cuenta el signo de f( n, lo que hace que buenas aproimaciones intermedias pasen desapercibidas. Su convergencia es muy lenta. Última actualización: 28/3/26

4 4/9 Método de Posición Falsa (o Regula Falsi La aproimación n a la raíz α es el punto de intersección de la recta que pasa por los puntos (a,f(a y (b,f(b con el eje Proceso método regula falsi o Interpolación Lineal Inversa f( = cos(+- f(b f(i f(a y a. i Ec. de la recta que pasa por (a,f(a y (b,f(b * α ε. f( b Al reemplazar la curva por una recta se obtiene una "posición falsa" de la raíz. También se le conoce como método de Interpolación Lineal Inversa. ( i a ( b a* f( a a * f ( b b * f( a f ( i = f( a + ( f( b f( a, Si f ( i = i = a = ( b a f ( b f ( a f( b f( a a a b Resultados b-a a =, b = 3 5 a = a = b = a = b = function n = regulafalsi (, f, ma_iter, tol, tolf % REGULA FALSI % = [a,b] valor inicial, f: función a resolver % ma_iter: número máimo de iteraciones % tol: diferencia máima aceptable entre dos iteraciones % ej: regulafalsi ([ a=(; b=(2; if (f(a * f(b > % si es = alguno de los etremos es raíz disp('la función en los etremos del intervalo tiene el mismo signo' for i =:ma_iter if (abs(b-a > tol = (a*f(b-b*f(a/(f(b-f(a; % se podría evaluar f( y verificar tolf if (sign(f(== sign(f(a a= b = disp ( llegó a la tolerancia esperada, return disp( Se empleó maimo número iteraciones' Ventajas y desventajas del método de regula falsi Ventaja Converge más rápido que bisección Desventaja, con respecto al método de Bisección La longitud del sub-intervalo que contiene a la raíz en general no tie a cero, porque la mayoría de las gráficas de las funciones son cóncavas en la vecindad de la raíz, lo que hace que uno de los etremos de los sub-intervalos se aproime a la raíz, mientras el otro permanece fijo. No se puede prever el número de iteraciones necesarias. Última actualización: 28/3/26

5 5/9 Comando fzero de Matlab Combina la confiabilidad de bisección con la velocidad de convergencia de la interpolación linear inversa y la interpolación cuadrática inversa. [ X, FVAL, EXITFLAG] = FZERO ( FUN, X, OPTIONS, P, P2,... X Ultima aproimación a la raíz FVAL Función evaluada en X EXITFLAG >. Indica que encontró la raíz, < no FUN Función en línea o llamada a una función (@ X - Si es un escalar, busca un intervalo válido alrededor de X. - Si es un vector de 2 valores, los considera como etremos del intervalo que contiene la raíz. OPTIONS Opciones. Optimset ('disp','iter' muestra resultados y detalle de las iteraciones Problemas de los métodos cerrados Necesidad de conocer dos valores iniciales que encierren a la raíz. En los etremos del intervalo la función debe tener signos opuestos. No permite encontrar raíces que corresponden al máimo o mínimo de una función. En el intervalo puede eistir más de una raíz (nro. impar. Difícil de diferenciar entre dos raíces muy cercanas. Debido a errores de redondeo, particularmente cuando se está cerca de la raíz, puede cambiar el signo de f(. Necesitan de muchas iteraciones hasta llegar a la precisión deseada. Métodos abiertos Los métodos abiertos requieren de un solo valor inicial (no de un intervalo. Como no hay un intervalo que encierre a la raíz; algunas veces las sucesiones generadas por estos métodos son divergentes (condiciones de convergencia. Se pueden alejar de la raíz de interés (van probablemente a otra raíz. Tienen la ventaja que cuando convergen lo hacen "más rápidamente" que las sucesiones generadas por los métodos cerrados. Necesidad de intervención del usuario (o de procesamiento simbólico para despejes y cálculo de derivadas. Método del punto fijo o de las aproimaciones sucesivas Dada una ecuación f( =, si se puede transformar en otra equivalente (al menos localmente del tipo = g( para alguna función g( Si α es raíz de f( f(α = α = g(α Un número α tal que α = g(α se dice un punto fijo de la función g(. Y a b α º º f(=+cos( 2 y= g(=-cos( a X b Última actualización: 28/3/26

6 6/9 Teorema del punto fijo Si g( es una función continua en [a, b] y g( [a, b] para todo [a, b], entonces g( tiene por lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g ( eiste para todo [a, b] y g ( K < para todo [a, b], K constante, entonces g( tiene un único punto fijo α en [a, b]. El método de punto fijo para encontrar una raíz α de la ecuación = g(, consiste en generar una sucesión { n } n que se define mediante la fórmula de iteración: n = g( n-, que converge a α cualquiera sea [a, b]. La función g( se denomina función de iteración de punto fijo. Criterio de Convergencia del Método del punto fijo Por teorema del valor medio (Lagrange Dado un intervalo [ i, i- ], eiste al menos un punto en el que la tangente a la función es paralela a la secante que une los puntos ( i, g( i ( i-, g( i- g( i - g( i- = g (ξ( i - i- ξ [ i, i- ].5 Por teorema del punto fijo n = g( n- i+ - i = g (ξ( i - i- i+ - i = g (ξ i - i- -.5 suponio g (ξ acotada, g (ξ K - K< g (ξ < K K 2 - K (K - K K 3-2 K (K 2 - K i+ - i K i - y para que i+ - i debe K i n ln( ε - ln( - i ε = α n K, para cada n n ln( K g (ξ ξ g( o n ln( ε - ln( m ii ε = α n K ma { a, b }, para cada n n ln( K m K iii ε = α n n n, para cada n con K = ma( g '( en [ a,b] K a b Y α º º f(=+cos( 2 y= g(=-cos( X a Convergencia del Método del punto fijo b Ejemplos Convergencia del Método del punto fijo g ( < Converge g ( > - Converge g ( < g ( < Diverge g ( > Depe del valor inicial Última actualización: 28/3/26

7 7/9 Ejemplo f( = cos(+- = cos(+ Resultados Algoritmos iterativos Punto Fijo =.5, tol = g'( f( f (.392 =.279? g (.57= - α =.2834 g( function n = puntofijo (, f,g, ma_iter, tolf, tol % : valor inicial, f: función a resolver % ma_iter: número máimo de iteraciones % tol: diferencia máima aceptable entre dos iteraciones % ej: puntofijo n( = ; for i =:ma_iter =n(i, n(i+ = eval (g,; if abs (feval (f, n(i+ tolf & abs ( n(i+ - n(i tol Orden de Convergencia de punto fijo La magnitud de g ( no sólo indica si el método converge, sino también la rapidez con que lo hace, lo cual se conoce como orden de convergencia. 2 3 ( i i ( i i g( i = g( i + g '( i ( i i + g ''( i + g '''( i + L 2! 3! es decir 2 3 ( i i ( i i g( i g( i = g '( i ( i i + g ''( i + g '''( i + L 2! 3! como = g(, = g( y E = i + i i i i + i ( i i ( i i i + i = g '( i ( i i + g ''( i + g '''( i + L 2! 3! 2 3 Ei Ei Ei + = g '( i Ei + g ''( i + g '''( i + L 2! 3! Si g ( convergencia lineal. O(h Si g (, g ( convergencia cuadrática. O(h 2 i Ventajas y desventajas del método de punto fijo Ventajas: Simple Posee condiciones para asegurar la convergencia. Es condición necesaria que g'( < en cercanías de la raíz (se NECESITA que se cumpla la condición para converger Desventajas: La convergencia depe de la magnitud de g (. Necesidad de construir funciones g( para iterar. Pueden eistir diversas g(, necesidad de encontrar la adecuada. Se puede emplear un método sistemático para construir las funciones. g( = - λ f( con λ = / ma ( f '( en [a,b]. g( = - f( / ma ( f '( Última actualización: 28/3/26

8 8/9 Método de Newton-Raphson Dada una función f que satisface la hipótesis general en un intervalo [a, b] y un valor inicial [a, b] "cercano" a la raíz. El método de Newton-Raphson consiste es trazar una recta tangente a f que pase por el punto (, f(, considerando una aproimación a la raíz al punto en el cual dicha recta tangente corta al eje, es decir el punto (, se tiene que f( f' ( o = y en general, para cada n n f( n = n f' ( n f( = f' ( f( f( y tan( θ = f ( ' Método de Newton θ. f ( = * α f( = Usando polinomios de Taylor: Sea [a, b] con -α "pequeño". f(α=f(+f ((-α+f (ξ(-α 2 /2! Si f(α = = α f( / f ( error = f (ξ(-α 2 / 2! (convergencia cuadrática O(h 2 f ( ' f ( El método de Newton-Raphson es un caso especial del método de iteración de Punto Fijo, con g( = - f( / f ( Convergencia del Método Newton El método de Newton-Raphson converge como: = n n f( f' ( cuando más grande sea f ( en la vecindad de la raíz α, "más rápida será la convergencia. Condiciones suficientes para asegurar convergencia, (no son necesarias, si no se cumple alguna o todas el método igualmente podría converger f ( en todo [a,b] f ( > ó < en todo [a,b] f(h / f (h b-a, h = / f ( f (= min {f (a,f (b} Velocidad de convergencia en raíces múltiples Orden de una raíz: Si f( y sus derivadas f (.f (M ( están definidas y son continuas en un intervalo [a,b] que contiene a la raíz α f( tiene una raíz de orden M en α si f(α =, f (α =,, f (M- (α = y f (M (α. f( = ( - α M h( con h(. Fórmula de iteración de Newton acelerada para raíces múltiples: n M * f( n = n f '( n Última actualización: 28/3/26

9 9/9 Ventajas y desventajas del método de Newton Ventajas: Convergencia rápida. El método de Newton converge cuadraticamente para raíces simples y linealmente para raíces múltiples. Encuentra raíces complejas (el valor inicial debe ser complejo Desventajas: Necesita calcular la derivada. (Método de la secante. No se pueden prever la cantidad de iteraciones a partir de una cota de error. No siempre converge. (No se puede asegurar la convergencia si en [a,b], f ( =, f ( cambia de signo, la tangente cae fuera del intervalo. Método de la secante El método de Newton-Raphson para aproimar una raíz simple α de una ecuación f( =, consiste en generar la sucesión { n } n a partir de la fórmula de iteración y f( n n = n f'( n f(2 Reemplazando f ( por su apro. α f( n f( n2 f'( n = * 2 n n2 f(. Se obtiene f( n ( n n2 f(. n = n f( f( n n2 que es la fórmula de iteración del método de la secante. En este método se necesitan dos valores iniciales, que no necesariamente encierran a la raíz. f( Convergencia del Método de la secante La fórmula de iteración coincide con el método de la Regla Falsa. En el método de la Regla Falsa los dos puntos deben encerrar a la raíz buscada y el método siempre converge. En el método de la Secante los dos puntos iniciales no necesariamente encierran a la raíz buscada lo que puede provocar divergencia del método. Raíces de Polinomios Todo polinomio de grado n, tiene n raíces, las cuales pueden ser reales o complejas, las raíces complejas siempre se presentan como un par de raíces conjugadas. Las raíces reales pueden ser múltiples. Método más adecuado: Newton, la derivada de un polinomio es fácil de obtener. Todos los métodos vistos permiten calcular una sola raíz por vez. Matlab calcula simultáneamente todas las raíces de un polinomio con la función roots([a n, a n-,a n, a ] la cual calcula los autovalores de a2 an a la matriz compañera. L a = diag (ones(,n,- a(,: = -c(2:n. / c( eig (a a a a O M Última actualización: 28/3/26

10 /9 Eficiencia de los métodos Los métodos numéricos para hallar una raíz α de una ecuación f(= consisten en generar una sucesión { n } tal que lim n = α n La eficiencia cada método numérico depe de: Condiciones de convergencia: La característica de la ecuación en cercanías a la raíz condiciona la eficacia del método. Orden de convergencia: Velocidad de convergencia con la cual la sucesión { n } n converge a α, O(h m. Número n mínimo de iteraciones necesarias para que n -α <ε para algún ε > dado. Cantidad de operaciones realizadas en cada iteración. Última actualización: 28/3/26