Tema. Ejercicio 1.- A continuación se muestra el pseudocódigo correspondiente a un método de resolución de ecuaciones no lineales.

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1 Asignatura Cálculo Numérico Página de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General) Ejercicio.- A continuación se muestra el pseudocódigo correspondiente a un método de resolución de ecuaciones no lineales. Algoritmo Paso : Asignar f 0 f( 0 ); f f( ); Paso : Repetir para i desde hasta n, Pasos -6 0 Paso : Calcular c f f f () c f f 0 Paso 4: Asignar 0 f 0 f ; Paso 5: Asignar c f f c; Paso 6: Si 0 - <ε f <δ entonces Salida, FIN Paso 7: Imprimir Finalizadas las iteraciones sin convergencia, FIN (a) Interpretar geométricamente el método. Sabrías identificarlo?. Indicar las diferencias (si las hay) entre el método epuesto y el de Regula Falsi (aplicabilidad, convergencia, etc.). (b) Se considera la ecuación + '5 0'5 = 0. Acotar y separar las raíces de la ecuación anterior en intervalos de longitud, utilizando los algoritmos vistos en clase y en prácticas. c (c) Realizar iteraciones del algoritmo a la ecuación anterior a partir de los puntos iniciales y. (d) Obtener las soluciones reales de la ecuación. Cuál habría sido el método adecuado para obtener todas las raíces?. Y para obtener las negativas?. Apartado (a) Identificación del método y comparación con Regula Falsi El método epuesto es el de la secante, método derivado del de Newton y por tanto basado en los algoritmos de iteración funcional. Sus características son:. Sólo requiere continuidad de la función.. Se puede emplear independientemente del orden de multiplicidad de la raíz.. No es posible acotar el error cometido. 4. La convergencia es superlineal, sin embargo es difícil verificar las condiciones de convergencia. Suele presentar problemas con los etremos y comportamientos asintóticos

2 Asignatura Cálculo Numérico Página de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General) Por el contrario, Regula Falsi en que este es un método de intervalo, siendo sus características:. Requiere que se cumpla el Teorema de Bolzano (la función cambia de signo en los etremos del intervalo).. No se puede usar con raíces múltiples de orden par (no hay cambio de signo).. El error viene acotado por la amplitud del intervalo. 4. La convergencia es superlineal. Veamos esto con algunos ejemplos. e en el intervalo [0,]. Estudiamos la función El método de Régula Falsi converge hacia la raíz, disminuyendo siempre el valor del etremo derecho. Sin embargo, independientemente del orden en que se tomen ambos puntos, el método de la secante diverge. a f(a) b f(b) n n- f(n-) n- f(n-) n Sin embargo, se comprueba que la elección de los puntos de partida es fundamental en el método de la secante. Así, tomando dos puntos de partida diferentes, por ejemplo 0=0, =0., el método de la secante converge. n- f(n-) n- f(n-) n

3 Asignatura Cálculo Numérico Página de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General) Apartado (b) Acotación y Separación de raíces Utilizamos el método de Laguerre-Thibault para la acotación. Este método nos dice que un valor z es cota superior cuando los coeficientes del cociente y resto de dividir P() entre (-z) no cambian de signo, esto es, son no positivos o no negativos. P = + '5 0'5 Raíces Positivas, cota superior: Y puesto que los coeficientes son no negativos, es la cota superior Raíces Positivas, cota inferior: = P Todos los coeficientes son no positivos, y por tanto la cota es / Raíces Negativas, cota inferior: P = Todos los coeficientes son no positivos, y por tanto la cota es - Raíces Negativas, cota superior: = P Todos los coeficientes son no positivos, y por tanto la cota es (/) Los intervalos de las raíces son por tanto [-,-/] y [/,]. Debemos aplicar ahora Boudan-Fourier para determinar las raíces en cada intervalo. Para ello es necesario determinar el valor del polinomio y de sus derivadas. - -½ ½ P = + '5 0' P = P = P = Variaciones de Signo 0 0 Raíces en [-,-½] = - = ó 0 Raíces en [½,].= 0-0 =0, pero se observa que ½ es raíz eacta

4 Asignatura Cálculo Numérico Página 4 de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General) El polinomio tiene una raíz real en ½. Las otras dos o están en [-,-½] o son complejas conjugadas. Otra forma de estudiarlas hubiera sido mediante el análisis de la función. P = + = 0 = 0 =. P ( ) = y P 0 =. Por tanto es un máimo relativo y 0 es el mínimo relativo. La función es creciente en (-,-], decreciente en [-,0] y de nuevo creciente en [0, ). Evaluamos los valores en los etremales: P ( ) = 0 y P 0 = 0.5 Por tanto, eiste una raíz doble en y una simple en el intervalo [0, ), o más concretamente en [½,]. Todo esto se ve fácilmente en la representación del polinomio. Apartado (c) Realizar iteraciones del algoritmo partiendo de y. n- f(n-) n- f(n-) n Apartado (d) Obtención de las raíces En los apartados anteriores ya se ha visto que éstas son (doble) y 0.5 (simple). De todas formas, una vez obtenida una cualquiera (y 0.5 se obtuvo directamente en el apartado a), las otras dos se calculan de forma inmediata. También es posible su cálculo utilizando la técnica para resolver una ecuación de tercer grado + A + B+ C = 0, en nuestro caso, + '5 0'5 = 0 :

5 Asignatura Cálculo Numérico Página 5 de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General). Cambio de variable = y y y =. Cálculo de = y A obteniendo '5 0 D= p + q D = = 0 y py q + + = 0. Se pueden distinguir tres casos: Si D > 0 : una raíz real y y dos complejas conjugadas y, Si D = 0 : se tiene una raíz real simple y y otra raíz real doble y, Si D < 0 : se tienen tres raíces reales y, y, u + v 4. D 0, u, v = q ± D ; y =u+v, y, = ± ( u v)i uv, = ± 0 =, y 5. D < 0, 8 ϕ = ar cos q, p = + =, y, = ± ( ) i = y = p cos ϕ, 6. Se deshace el cambio de variable, k = y A k = y 0.5= 0.5,, = y, 0.5= + ϕ ± π y, = p cos Si la ecuación fuera un polinomio de grado superior a 4, sus raíces no pueden ser obtenidas de forma analítica. El método numérico más adecuado para obtener todas las raíces sería el QD. Si lo que se desea es obtener la raíz negativa, no se puede acudir a métodos de intervalo al no haber cambio de signo de la función por ser de multiplicidad par. A la hora de elegir un método de iteración funcional, seleccionamos el de Newton modificado, ya que mantiene la convergencia cuadrática. No es posible verificar las condiciones de convergencia global, pero a la vista de la gráfica de la función, esta se verifica para cualquier valor de partida negativo.

6 Asignatura Cálculo Numérico Página 6 de 4 sen [ cos] Ejercicio.- Dada la ecuación f = + : (a) (b) Realizar 5 iteraciones con el método de Newton partiendo de 0 =, para obtener una raíz aproimada. Demostrar que eisten modificaciones del método de Newton que permiten mantener velocidad de convergencia cuadrática cuando la raíz tiene multiplicidad. (c) Sabiendo que la raíz es triple, modificar el método de Newton y realizar tres iteraciones. Apartado (a) Realizar 5 iteraciones con el método de Newton El método de Newton genera una sucesión{ n } partiendo de una aproimación inicial o, que se define como: f ( n ) n = n n f '( n ) Considerando la función f() calculamos la función derivada f (): f = sen + cos [ ] f ' = cos ( + cos) + sen = cos + sen Las 5 iteraciones pedidas con o = : o = = 0, = 0,70900 = 0, = 0, Apartado (b) Multiplicidad de orden Si tenemos una función f() con una raíz r de multiplicidad podemos epresarla de la siguiente manera: f = ( r) h tal que h 0 f Sea g = f '. Buscamos una función de la forma g() = equivalente a f() = 0 (la epresión g() es una de las múltiples formas de epresar f() = 0). Si g (r) = 0 entonces

7 Asignatura Cálculo Numérico Página 7 de 4 tendríamos velocidad de convergencia cuadrática. Observamos que la función g() no lo cumple al tener una raíz múltiple: ( r) h ( r) h r h r h g = = + h + r h g ( r) = 0 Este resultado nos induce a introducir una modificación del método de Newton para tener velocidad de convergencia cuadrática: f g = f Evidentemente: g () r = = 0 Apartado (c) Raíz triple Sabiendo que la raíz es triple modificamos el método de Newton según lo visto en el apartado anterior: f( n ) n = n, y particularizando para la función f '( ) n n n [ ] sen( ) + cos( ) = n n n cos( n ) + ( n ) sen( n ) Las iteraciones pedidas son: = 0 = 0, = 0, = 0, e-007 * e-04 *

8 Asignatura Cálculo Numérico Página 8 de 4 f= Ejercicio.- Sea la función + e, cuya gráfica se muestra en la figura. Describir los métodos que conoce para el cálculo aproimado de la raíz de f()=0 en el intervalo [-9,0], indicando sus ventajas e inconvenientes, y seleccionar el más adecuado. Apartado (a) Métodos de intervalo Todos los métodos de intervalo serán aplicables para calcular la raíz de esta ecuación, puesto que la función es continua, diferenciable y cambia de signo en cualquier intervalo que contenga la raíz. El método de bisección tiene el inconveniente de su lenta velocidad de convergencia. Puesto que la función se comporta de forma casi lineal cerca de la raíz, parece adecuado el método de Regula Falsi. El método de Regula Falsi modificada no resulta interesante, puesto que hace más lento el cálculo, y sin embargo la pendiente de la función a ambos lados de la raíz toma valores similares (es fácil comprobar que la función es antisimétrica). Por el mismo motivo, el aumento de la complejidad de los cálculos, se debe descartar el método de Müller. No parece indicado usar una interpolación parabólica cuando se observa que la función es casi lineal cerca de la raíz. Comparemos el resultado de algunas iteraciones con cada uno de los métodos. Bisección Iteración a f(a) b f(b) , , , , , ,9787 0, , ,7407 0, , , ,08 0, , , , , , , , ,0-0,0 7-0, , , , ,950-0, , , ,950-0, , , , , , ,

9 Asignatura Cálculo Numérico Página 9 de 4 Regula Falsi Regula Falsi Mod. Iter a f(a) b f(b) f() , ,9999 0,4996-0, , ,4996-0, , , ,4996-0,4457-0,4540-0, ,4540-0,660-0,4996-0,4457 0, , ,4540-0,660-0, , , , , , , ,4470-0, , Iter a f(a) b f(b) f() , ,9999 0,4996-0, , ,4996-0, , , ,4996-0,4457-0,4540-0, ,4540-0,660-0,4996-0,9 0, , ,4540-0,660-0, , , , , , , , , ,540-0 Müller Iter a f(a) m f(m) b f(b) 0-9,0000 0, , ,449 0,000-0,9999-9,0000 0, ,70 0,696 0, ,449 -,70 0,696 0, ,5650-0, ,449 -,70 0,696-0, ,500-0, , , ,500-0, , , , , , ,60-0 0,80-0 0, , ,60-0 0,80-0 0, , , , Apartado (b) Métodos de iteración funcional Para emplear los métodos de punto fijo, se debe seleccionar adecuadamente la función de forma que ( a, b) : g ( a, b) g <. Aunque en la mayoría de los casos, esa selección no es simple, sí lo es en el ejemplo, puesto que f (0) =, y la función se comporta de forma casi lineal en un entorno de la raíz. Tomamos por tanto g = + f, con lo cual se verifican las hipótesis. Por el contrario, el método de Newton no va a converger fuera de un entorno próimo a la raíz, pues la pendiente de la curva hace evolucionar a las soluciones hacia puntos con pendiente nula. Los métodos de la secante y Müller, adolecen del mismo mal, esto es, si los puntos iniciales del método se toman fuera de la zona lineal, el método evoluciona hacia puntos con pendiente nula y no converge. Aún así, el método de Müller se muestra más robusto que el de la secante.

10 Asignatura Cálculo Numérico Página 0 de 4 Método Punto fijo 0=0 Newton: 0=- Newton: 0=- Secante: 0=,=4 Secante: 0=,= Müller: 0=,=4 Iteración n+=f(n) n n n n n 0,000 7,0787,6686 -,7 -,05 -,400 8,000-55,87-0, ,0666-0,8966-0,959 6,005, , ,90 0,768 0, ,04-0, ,89-0,60-0,560-5,085 0, , , ,5576 0,0000 0, , ,7860-9, , , ,00000 Ejercicio 4.- (a) Demostrar el siguiente teorema (Nota: aplicar a cada lado de la igualdad el teorema del valor medio) = + R con 0 Sea I [ r δ, r δ] tales que g' y h' el método definido por g( ) h( ) δ > y r la raíz de g h = 0 con g, h C ( I) β, donde > 0, β 0 β y < entonces para todo 0 k+ = k converge a r. I (b) Este teorema se utiliza en la generación de funciones de punto fijo que convergen a la raíz de una ecuación f = g h = 0 al transformarla en k g ( h( k) ) Aplicarlo para calcular la raíz de sin ( ) = 0 en el intervalo (.5,). + =. (c) Calcular el número de iteraciones necesarias para obtener una precisión de 0 4. Apartado (a) Demostración Puesto que res raíz de g h = 0, entonces g( r) h( r) El método iterativo viene definido por g( ) h( ) k+ = k. Restando ambas igualdades g( ) g( r) h( ) h( r) k+ = k =. Aplicando el T ma del valor medio a cada término de la igualdad ξ I g g r = g ξ r g g r r : k+ k+ k+ k+ ζ I h h r = h ζ r h h r β r : k k k k Combinado ambas relaciones

11 Asignatura Cálculo Numérico Página de 4 β k+ r g( k+ ) g( r) = h( k) h( r) β k r k+ r k r Repitiendo el proceso, se demuestra por inducción que k + β k + r 0 r y tomando límites, teniendo en cuenta que β < k + lím lím lím β 0 k+ r 0 r = 0 k+ = r k k k c.q.d. Apartado (b) Calculo de la raíz de sin ( ) = 0 en el intervalo I [ ] π =.5,, π Comenzamos verificando la eistencia de raíz en ese intervalo. Sea f sin ( ) puesto que f (.5) = y ( ) eistencia. g Tomamos = sin y h g cos I :cos cos(.5) > 0.8= =, f =. El Teorema de Bolzano nos asegura la =, y calculamos los valores de > 0, β 0. = es monótona decreciente y negativa, luego h = es constante, luego I : = β β = > y no cumple las condiciones del teorema. 0.8 Probamos entonces con g h = sin, = y g = es constante, luego I : = = cos es monótona decreciente y negativa, luego h β 0.99 = < y verifica las condiciones del teorema. Se tiene el método iterativo dado por g = h = sin = sin + k+ k k+ k k+ k I : cos sin < 0.99 = β Partiendo del etremo izquierdo, se tiene la sucesión {.5,.5985,.568,.5849,.584,.5755,.56,.5690,.548,.5644,.5456,.56, } Si partimos del etremo derecho se obtiene {.0,.4,.847,.954,.7488,.88,.6880,.48,.6468,.4748,.685,.4996, } En ambos casos se tiende a la raíz eacta situada en

12 Asignatura Cálculo Numérico Página de 4 Apartado (c) Sea la sucesión { k} 0 Calculo del número de iteraciones r generada mediante = k+ g h( k), entonces β g( ) g( ) = h( ) h( ) k+ k k k k+ k 0 k. Partimos de = g g h h y como m n m n g g y m n m n = + + h h h h h h h h m n m m m n n n + + h h h h h h h h m n m m n+ n n n sustituyendo ( m m n+ n n n ) β m n n β β β β n β β β β g( ) g( ) h( ) h( ) β β m n m n m n 0 y tomando límites β r n = lim m n lim m m β n 0 n, o bien Por tanto, para calcular el número de iteraciones necesarias para obtener una precisión de 0 4 será necesario que

13 Asignatura Cálculo Numérico Página de 4 β n ε β ln 0 r n = lim m n lim 0 < ε n> m m β β ln Sustituyendo los valores ( ) ln n > > 44.0 = 45 ln 0.99 Ejercicio 5.- La velocidad de descenso de un paracaídas viene dada por gm v= c ct ( e m ) donde g es la aceleración de la gravedad (9.8 m/s ), m la masa soportada, tel tiempo y c el coeficiente de arrastre, viniendo dados todos los valores en S.I. (a) Representar, de forma aproimada, la velocidad como función del coeficiente de arrastre (b) Seleccionar un método de intervalo para determinar el valor de c para que un paracaídas que soporta 50 Kg alcance una velocidad de 0 m/s en 5 minutos. Realizar 4 iteraciones de Regula Falsi Modificada Presenta alguna ventaja?. (Nota: utilizar decenas para determinar el intervalo). (c) Se puede asegurar la convergencia del método de Newton en el intervalo [0,0]?. Apartado (a) Representación de la función La curva pedida se puede obtener como combinación del producto de una hipérbola f por una eponencial f = e t m. Su representación se muestra en la siguiente figura. = gm

14 Asignatura Cálculo Numérico Página 4 de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General) Representación de la velocidad dependiendo del coeficiente de arrastre Apartado (b) Cálculo del coeficiente de arrastre A la vista de la representación, se puede utilizar cualquier método de intervalo. Dada la conveidad de la función, Regula Falsi sólo disminuye un etremo del intervalo, por lo que será preferible utilizar Regula Falsi Modificada. El método de Muller, al ajustar mejor la curvatura de la función, requerirá menos operaciones, aunque más laboriosas. De todas formas probaremos con todos los métodos hasta que alcanzan un error de centésimas para verificar las aseveraciones anteriores. Comenzamos buscando un intervalo que cumpla las condiciones de Bolzano (cambio de signo en los etremos). La función a estudiar será ( f = e ) 0 luego f ( 0) ( e 0 = ) 0 = 9.05 f ( 0) = ( e ) 0 = Bisección an + bn La sucesión se genera como n = = = 5 f ( 5 ) > = = 7.5 f ( 7.5 ) < = = 6.5 f ( 6.5 ) > = = f ( ) < 0

15 Asignatura Cálculo Numérico Página 5 de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General) Bisección Iteración a f(a) b f(b) f() Regula Falsi La sucesión se genera como = a f ( a ) f n n n a f a n n f ( b ) f = ( 0) = = ( ).95 f f = + 4 Regula Falsi n b = = f ( ) = = = f ( 6.568) = = = 6.40 f ( 6.40) = Iteración a f(a) b f(b) f() Regula Falsi Modificada La sucesión se genera igual que la anterior, pero partiendo sucesivamente el valor de la función en el etremo opuesto a aquel en que se repite la sustitución f = ( 0) = = ( ).95 f 0 f f = = = f ( ) = = = f ( 6.584) = n

16 Asignatura Cálculo Numérico Página 6 de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General) = = 6.5 f ( 6.5) = Regula Falsi Mod. Iteración a f(a) b f(b) f() Muller En este caso, la aproimación de la función se hace mediante un polinomio de segundo grado abm,,. Se comienza calculando los coeficientes de la parábola que pasa por tres puntos { } ( m) + ( m) + 0 mediante el sistema a m a m 0 f a = f m b m b m = f b a m a m f a f m, y por tanto = f m b m b m f b f m Δ = Δ ( a m) a m ( a m) f ( a) f ( m) con Δ=, Δ = y Δ = ( b m) b m ( b m) f ( b) f ( m) Δ f ( a) f ( m) a m Δ = f b f m b m Una vez obtenidos los coeficientes, se calculan los puntos de corte con el eje X utilizando la fórmula alternativa r = m ± 0 4 y eligiendo el signo de la raíz de forma que el valor absoluto del denominador sea lo mayor posible. La raíz así calculada estará entre m y uno de los etremos a ó b; si está entre m y a (respectivamente b), se sustituye b (respectivamente a) por m y m por r. Comenzamos el algoritmo añadiendo a los dos etremos, el punto medio 0 b a m= = 5 f ( m) = Δ= = 50 Δ = = Δ = = =.7, = =.455, = = 0.65 y 50 50

17 Asignatura Cálculo Numérico Página 7 de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General).7 r = 5 = 6.96 f ( r) = Si se hubiera elegido el signo positivo de la raíz, el valor obtenido se saldría del intervalo (8.807). Los nuevos puntos son 5, 6.96 y 0. Por tanto 0 = Δ= =.75, Δ = = Δ = = y = r = 9.9 = f ( r) = Müller y =.898 Iteración a f(a) m f(m) b f(b) Apartado (c) Aplicabilidad de Newton Las condiciones generales de convergencia del método de Newton vienen dadas para f C a, b por [ ]. f ( a) f ( b ) < 0 Se cumple en [0,0], como se ha visto en el apartado anterior. f 0 [ a, b] 6 6. signo ( f ) = cte [ a, b] f = ( e 6 e ) y puesto que [ ] 0,0 : e e < f < f = e + e + e = ( ) 6 ( 6 ) = 6 > 0 0,0 f( a) f( b) ma, b a ma, 4.46 b a = 0 f ( a) f ( b) Luego el método de Newton converge ( e e e ) [ ]

18 Asignatura Cálculo Numérico Página 8 de 4 f = cos e + Ejercicio 6.- Dada la función (a) Representarla de forma aproimada en el intervalo [-,]. (b) (c) Obtener el desarrollo de Taylor en el origen de la función. A partir del desarrollo anterior, seleccionar el método de intervalo más adecuado para su resolución en el subintervalo [ ab, ] [ 0.5,0.5], justificando la respuesta. (d) Analizar las siguientes funciones de punto fijo, comprobando su consistencia con la ecuación f()=0 y la convergencia del método en [-0.5,0.5] y, en su caso, la velocidad de convergencia. g e + = g + cos = ( ) (e) Cuál sería el método más adecuado para resolver la ecuación?. Razónese la propuesta. e cos Apartado (a) Representación La forma más simple es representarla a partir de las funciones elementales que la componen: Esa información cualitativa debe completarse, si es posible, con máimos y mínimos. En este caso, ambos casos dan ecuaciones trascendentes, irresolubles de forma analítica, por lo que usamos información qualitativa: f cos e f = 0.098, f 0 = 0, f =.780 = + = cos sin = 0 f f f f e = , 0 = 0, =.095 = sin cos f f f f e =.8554, 0 =, = La función es positiva y decreciente en, tiene un punto de infleión en 0 y se hace negativa y decreciente en.

19 Asignatura Cálculo Numérico Página 9 de 4 Apartado (b) Desarrollo de Taylor de la función El desarrollo en el origen viene dado por f = cos e + f 0 = 0 + = 0 f = k = 0 f = cos sin e f 0 = 0 = 0 f = sin cos e f 0 = 0 0 = f ( k k k k f ( k ) ( 0) k! ( ( k k par ksin + cos e f 0 = = k k k impar kcos sin e f 0 = k = 4 4! 4! + 5! +ο = 5 +ο f P Este mismo resultado se hubiera alcanzado si se hubiera partido del desarrollo de Taylor de las funciones simples que la componen: 4 ( 4 4 ) ( ( 5! 4!!! 4! )) f = cos e + = + +ο ο + Apartado (c) Métodos de intervalo Comprobamos los signos de la función en los etremos f 0.5 ( 0.5) 0.5cos( 0.5) e 0.5 = y f e 0.5 = 0.5cos No cambia de signo en los etremos, lo que significa que el número de raíces eistentes es par o P. nulo. Despreciando términos de orden superior, analizamos el comportamiento de 5 P 5 ( 0) = 0 Se anula en el origen P 5 ( 0) = 0 Hay máimo o mínimo en el origen 4 P 5!! 0 [ 0,0.5] P [ ] = + < Es decreciente a la derecha del origen 5 < 0 0.5,0 Es creciente a la izquierda del origen pues 0 en ese intervalo. En resumen, la función tiene en =0 una raíz doble y no cambia de signo en el intervalo dado. No es por tanto aplicable ningún método de intervalo, al no eistir intervalos en que se puedan aplicar las condiciones del Teorema del Valor Intermedio. Apartado (d) Análisis de punto fijo Recordamos las condiciones a analizar Consistencia Sea c [ a b] : P() c = 0 c = g( c) Convergencia i. g C [ a, b] ii. [ a, b] : g [ a, b],,

20 Asignatura Cálculo Numérico Página 0 de 4 iii. [ a, b] : g k < Orden c lim n c n+ en+ = lim k n k n en = L Consistencia f = cos e + c c c c e + c f ( c) = ccos( c) e + = 0 e = ccos( c) e + c = c+ ccos( c) = c= g c + cos c ( c) ( ) c ( ) c c cos c e c e c f ( c) = ccos( c) e + = 0 = e c = c= = g c c cos( c) cos( c) Continuidad g C[ 0.5,0.5] ( ) ( ) e e g = cos cos 0 [ 0.5,0.5] Contractividad e 0.5 e g ([ 0.5,0.5 ]) =, = + cos( 0.5) + cos( 0.5) , ,0.5 g ([ ]) ( e ) ( e ) [ ] [ ] , 0.5 =, = 0.475, , 0.5 cos( 0.5) cos( 0.5) [ ] [ ] Al no ser contractiva ninguna de las funciones, no es necesario comprobar el resto de las hipótesis. Apartado (e) Método óptimo Si consideramos como tal el de mayor velocidad de convergencia, deberíamos elegir el método de Newton, cuya convergencia para 0<<0.5 se comprueba de forma gráfica. La función es creciente a la izquierda del origen (estudiado mediante P()), y puesto que f 0.5 = 0.0, su derivada no se anula en el intervalo. Por otro lado, se comprueba que [ ] ( ) f = g = ,0 : f ( 0 ) y el método, como en el caso anterior, converge. De todas formas, teniendo en cuenta que la raíz es doble, se impone cualquiera de las modificaciones del método de Newton, esto es ( c)

21 Asignatura Cálculo Numérico Página de 4 = f o bien f g g = f f ( f ) f f = = = = = = k g k k g k k g k k g k k g k k g k

22 Asignatura Cálculo Numérico Página de 4 Utilice el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle para demostrar que la gráfica de f = + + k cruza el eje eactamente una vez, cualquiera que sea el valor de la constante k. Sabemos que : f = + + k < + k, y por tanto, ( k) f + Asimismo : f = + + k > + k, y por tanto, ( k ) f Como f C el Teorema de Bolzano, obteniendo c (, ) : f ( c) 0 menos una raíz. < = min 0, : < 0 > = ma 0, : > 0. por ser un polinomio, podemos aplicar el teorema del valor intermedio o =, lo que demuestra la eistencia de al Supongamos que eisten dos raíces, c y c, esto es, f ( c) = f ( c ) = 0. Aplicando el Teorema de Rolle, debe eistir un punto η (, ): f ( η) = 0. Pero f = + > 0, lo que demuestra que c=c.

23 Asignatura Cálculo Numérico Página de 4 f = ( + )( + ) ( -) ( -). Hacia qué cero converge el método de Ejercicio 7.- Sea bisección en los siguientes casos? (a) Intevalo.[-.5,.5] (b) Intervalo [-0.5,.4] (c) Intervalo [-0.5,] (d) Intervalo [-,-0.5] Apartado (a) Intervalo.[-.5,.5] Puesto f C por ser un polinomio, sólo debemos comprobar que la función tiene signo distinto en los etremos del intervalo. 5 7 = () < 0y f Aplicando el método a f(a) b f(b) m f(m) f = ()() ()() > Converge a la raíz =0 saltándose las raíces en, y. Apartado (b) Intervalo.[-0.5,.4] a f(a) b f(b) m f(m)

24 Asignatura Cálculo Numérico Página 4 de 4 En este caso también converge hacia la raíz =0, pero de forma más lenta, saltándose las raíces en y Apartado (c) Intervalo.[-0.5,] a f(a) b f(b) m f(m) En este caso converge hacia la raíz =, saltándose las raíces en 0 y. Apartado (d) Intervalo.[-,-0.5] a f(a) b f(b) m f(m) En este caso converge hacia la raíz =-, saltándose las raíz en. En estos ejemplos se observa que pese a manejar intervalos similares, las iteraciones convergen hacia raíces distintas, si bien nunca lo hacen hacia las raíces de orden par.

25 Asignatura Cálculo Numérico Página 5 de 4 Ejercicio 8.- Dadas las siguientes funciones 4 = + g = g g = + + g = obtenidas mediante despeje de la ecuación f()=0, donde f()= (a) Use el manejo algebraico para demostrar que tienen un punto fijo en p, siendo p una raíz de f(). (b) (c) Sea p 0 = y p n =g(p n- ) para n Ν. Efectúe, si es posible, cinco iteraciones con las funciones g definidas en el ejercicio anterior. Qué función a su juicio, dará la mejor aproimación a la solución?. Clasifíquense por orden, basándose en la rapidez de convergencia Apartado (a) Demostración de punto fijo Eisten dos posibilidades para demostrar la relación. Se puede partir de f(), y despejando llegar g g =, obtener la ecuación inicial. a la relación k =, o bien a partir de la función 4 4 = + - -= 0 = + = 4 + = f g 4 + f g 4 4 = + - -= 0 = + = = + + f g = + - -= 0 ( + ) = + = = = f = + --= = = = = g Apartado (b) Iteraciones 4 Representando los valores obtenidos con 4 cifras decimales, se obtiene la siguiente tabla: Iteración g () g () g () g 4 () La mejor aproimación parece darla g 4, puesto que se estabiliza tras cinco iteraciones. k

26 Asignatura Cálculo Numérico Página 6 de 4 Apartado (c) Velocidad de convergencia Puesto que no conocemos las raíces de la función, no podemos saber cual es la mejor aproimación. Pero podemos utilizar una primera estimación basándonos en la relación. Comparando estos resultados, se tiene n n Iteración g ( ) g ( ) g ( ) n n n n n n g n n A la vista de los resultados, las funciones g 4, g y g parecen dar lugar a métodos convergentes, ordenadas de mayor a menor velocidad de convergencia. La función g no parece converger. Observando más atentamente las funciones, se observa que 4 4 f g = = = = g 4 f esto es, la función g4() es la obtenida mediante el método de Newton-Raphson, y su velocidad de convergencia es cuadrática, salvo raíces múltiples. Representando gráficamente la función inicial, observamos que presenta dos raíces reales y dos complejas conjugadas. Representación de la función inicial Asimismo se puede representar la evolución de las iteraciones de cada una de las cuatro funciones de punto fijo:

27 Asignatura Cálculo Numérico Página 7 de 4 g ( ) Sucesión de valores es convergente g Sucesión de valores es divergente g velocidad que g ( ) Sucesión de valores converge a mayor g4 Sucesión de valores con mayor velocidad de convergencia

28 Asignatura Cálculo Numérico Página 8 de 4 Ejercicio 9.- Dada la ecuación f = + sin cos = 0 4 (a) Resuélvala utilizando el método de Newton, tomando como valor de partida p 0 =π /. Realice las iteraciones necesarias hasta lograr una eactitud de 0-5. Eplique por qué el resultado parece poco usual para el método de Newton. (b) (c) Repita el proceso tomando como valores de partida p0=5π y p0=0π. Hay alguna manera de acelerar el método de Newton?. En caso afirmativo, aplicarla partiendo de los mismos valores iniciales. Apartado (a) Demostración de punto fijo El método de Newton se formula como sigue = n+ n f()= /+/4 - sen-/ cos y f ()=/ -sen- cos+sen Desarrollando llegamos a la epresión siguiente: f ( n ), en nuestro caso f ( ) + (sen cos ) + cos 4 n+.la tabla de iteraciones es la siguiente: sen cos+ sen X0=π / X5= X0= X5= X= X6= X= X6= X= X7= X= X7= X= X8= X= X4= X9= X4= Aunque depende de la aproimación el método de Newton es muy poderoso y es poco usual un número tan grande de iteraciones. n Aproimación 0 =5π La tabla de iteraciones es la siguiente X0=5π X6= X= X8= X= X7= X= X9= X= X8= X4= X0= X= X9= X5= X4= X0= X6= X5= X= X7= Aproimación 0 =0π

29 Asignatura Cálculo Numérico Página 9 de 4 La tabla de iteraciones es la siguiente y se comprobará que en este caso el método no converge. X0=0π X= X6=9.504 X9= X= X4= X7=568.7 X0= X= X5=7.959 X8= Resolución del ejercicio por el método de la secante.la epresión responde a lo siguiente: + n n sen n cosn ( n n ) f ( n) = n 4 ( n n ) + ( cosn cosn ) + n sen n n sen n 4 La tabla de iteraciones es la siguiente, tomando como aproimaciones las dos primeras del método de Newton. X0=π / X6= X= X= X= X7= X= X= X=.8465 X8= X4= X4= X= X9=.890 X5= X5= X4= X0= X6= X6= X5= X= X7= X7= X8= Podemos comprobar que este método de la secante es un poco mas lento que el de Newton, es debido a su menor velocidad de convergencia. Para el caso de la aproimación 0 =5π tenemos: X0=5π X8=.964 X6= X4= X= X9=.0947 X7= X5= X=9.484 X0= X8= X6= X= X= X9=.8980 X7= X4= X= X0=.8988 X8= X5= X= X= X9= X6= X4= X= X0= X7= X5= X= Para el caso de la aproimación 0 = 0π como vimos con el método de Newton que no era convergente ahora con el método de la secante tampoco lo será.

30 Asignatura Cálculo Numérico Página 0 de 4 Resolución por el método de Newton modificado. Podemos escribir f() de la forma f()=(-p) m q() para p donde lím 0. Veamos: sen 05. cos f = ( 0) donde lím 0 q() 0 Por lo tanto puedo aplicar el método y quedará de la siguiente forma: n n sen n 05. cosn cos + sen cos + sen n+ = n = 05. n sen n n cos n + sen n 05. n sen n n cos n + sen n Partiendo de una aproimación 0 =π / tenemos las iteraciones de la tabla: p q() n n n n n n n 0=π / X= X= X= X4= X5= Se puede observar la rapidez de su convergencia debido a que su velocidad es de orden dos. Partiendo de una aproimación 0 =5π tenemos las iteraciones de la tabla: 0=5π X4= X= X5= X= X6= X= X7= En este caso el método converge a la raíz 0. Para el caso de la aproimación 0π el método diverge. X0=0π X=6.88 X=5.66 X=5. X4=50.

31 Asignatura Cálculo Numérico Página de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General) Ejercicio 0.- con un ángulo. En una mina se intersectan dos galerías anchuras w y w respectivamente w w (a) (b) Plantear la ecuación para obtener la longitud que puede tener un raíl para pasar por el cruce dependiendo de las anchuras de las galerías y el ángulo que forman Plantear la ecuación para obtener la longitud máima del raíl. (c) Justifíquese la elección de un método para resolver la ecuación anterior y realícense iteraciones, razonando el motivo para elegir los valores de partida. Se considera que w=6m, w=4m y =4π/6. Apartado (a) Planteamiento de la ecuación Representamos el raíl para obtener las relaciones eistentes L w L β γ w w L= L+ L L = sinβ w de donde se obtiene que L = + sinβ sin w L = sin γ w ( π β) +β+γ=π

32 Asignatura Cálculo Numérico Página de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General) Apartado (b) Planteamiento de la ecuación de la longitud máima Para calcular la longitud máima, calculamos los etremos de la función dl wcosβ wcos( π β) wcosβ wcos( +β) = 0 = + = 0 dβ sin β sin ( π β) sin β sin ( +β) Apartado (c) Elección del método Sustituyendo los valores de los parámetros, se tiene f 4 ( π+ 6 ) 6cos 4 ( 6 ) ( sin ) ( ) 4 4 ( ( π) ( π) ( 6 6 )) 4 4 6cos 4cos 4 cos cos sin sin = + = + = ( 6 6 ) sin sin π+ sin sin π cos + cos π sin 6cos 4cos = + sin cos sin La representación gráfica ha limitado los valores de al intervalo [0, π/]. Por otro lado, f() es continua salvo en los puntos que anulan el denominador, esto es, sin = 0 = 0 cos sin 0 tan π = = = Para valores pequeños de, cos()>sin() y f()>0; por el contrario, para valores de próimos a π/, f() <0. Ello nos indica la conveniencia de utilizar métodos de intervalo. Para aplicar métodos de punto fijo, no hay operaciones simples que permitan el despeje. Además, la comprobación de a convergencia del método obliga a acotar f (), y no parece fácil. Por igual motivo, se descarta el cálculo mediante el método de Newton. Se aplica Régula Falsi al intervalo [π/0,9π/0] Iter A F(a) B F(b) X A la vista de los resultados, la función tiene aspecto de tener comportamiento asintótico en el etremo derecho, por lo que hubiera sido más adecuado utilizar Regula Falsi modificada.

33 Asignatura Cálculo Numérico Página de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General) Iter A F(a) B F(b) X Otra alternativa, más rápida, hubiera sido utilizar Müller. La aproimación parabolica de la función permite corregir el comportamiento asintótico. Además su velocidad es muy superior. En este caso se tiene Iter A F(a) m F(m) B F(b) X Representamos de todas formas la función para corroborar lo anterior.

34 Asignatura Cálculo Numérico Página 4 de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General) = ln ( + ) Ejercicio.- Se desea resolver la ecuación. (a) Demostrar que admite dos raíces reales distintas. (b) Analizar el método de Newton para obtener la raíz positiva de dicha ecuación. Seleccionar un valor inicial que asegure la convergencia, y efectuar dos iteraciones del método. (c) (d) Encontrar un método de punto fijo, diferente al de Newton, que asegure la convergencia hacia la raíz positiva. Comprobar si la siguiente función multivariable satisface las condiciones de punto fijo. G X g + y + 8, 0 0 ( y) ( 0, y.5) = = g, y y Apartado (a) Eistencia de raíces Comenzamos estudiando por separado ambas funciones, para posteriormente dibujarlas de forma aproimada. y = La función está definida en toda la recta real y es siempre positiva. Es decreciente para valores negativos, creciente para valores positivos y nula en el origen. Convea en todo el intervalo. y = ln + La función está definida para valores de superiores a -. La función es siempre creciente, tomando valores negativos para ordenadas negativas y anulándose en el origen. Cóncava en todo el intervalo de definición. Representación de ambas funciones

35 Asignatura Cálculo Numérico Página 5 de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General) Se aprecia que una de las raíces es el valor =0, siendo el otro positivo y comprendido en [,]. Utilizamos el teorema de Bolzano para verificarlo: Se define f = ln ( + ), que es continua y derivable en (, ) f f f 0.5 = 0.5 ln 0.5 =.94 > = 0.5 ln = < 0 = ln + = > 0 Por tanto hay al menos una raíz en [-0.5,0.5] y otra en [0.5,]. Apartado (b) Convergencia del método de Newton. Analicemos las condiciones suficientes de convergencia del método de Newton en el intervalo [,]. i). f C [ a, b] f C [, ] ii). f ( a) f ( b) < 0 f =.0794 y f = iii). f 0 [ a, b] f ' = + que se anula en -.89 y iv). [ a, b] : f 0 f 0 v). f ( a) f ( b) ma, f ( a) f ( b) b a 0.89, ambos fuera del intervalo en estudio. f = + > 0, ( + ) [ ] ma, > No se cumple 0.5 Sin embargo, la convergencia del método se podía asegurar, aunque no se cumpliera la condición v), cuando se tomaba como origen aquel etremo en que f() y f () tienen el mismo signo. Se toma por tanto 0 =. n n f(n) f (n) La solución se obtiene en tres iteraciones. Partiendo del etremo 0 = se observa que, al no verificar la condición v), la primera y segunda iteraciones se han salido del intervalo en estudio. Si bien finalmente la sucesión ha convergido a la solución, podría no haberlo hecho, o salirse del intervalo de definición.

36 Asignatura Cálculo Numérico Página 6 de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General) n n f(n) f (n) Apartado (c) Método de punto fijo eisten muchas formas de obtener una función de punto fijo a partir de la ecuación inicial = ln +. Despejando la variable de ambos miembros, tenemos las opciones: g ln = + y = g e Comprobamos las condiciones en ambas funciones tomando el mismo intervalo que en el caso anterior g C a, b [ ] g C [, ] y g C [, ] [ ab, ]: g [ ab, ] g ( ) es monótona creciente, y acotada entre g ( ) es monótona creciente, y acotada entre [ a, b] : g k < g = g ( ) = ( + ) log( + ) g =.854 g =.797 es monótona decreciente y acotada entre g () = 0.50 y Aunque no es necesario, puesto que no cumple la condición anterior g = e es monótona creciente y acotada entre g ( ) = y Por tanto sólo la función g ( ) cumple las condiciones del teorema de punto fijo. Apartado (d) Método de punto fijo en sistemas no lineales En este caso, las condiciones se modifican para convertirse en G C D [ ], g, g g C ( D) y, g, g g C D y, y D: G, y D y g = tomando D= {(, y) :0, y.5}

37 Asignatura Cálculo Numérico Página 7 de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General) g (, y ) es monótona creciente respecto a ambas variables, y acotada entre y g (.5,.5) =.5. También g, y acotada entre g ( 0, 0) = 0.8 y g (.5,.5) =.875 G k y, D: y, con k< i g = g ( ) = j ( + ) log( + ) g 0,0 = 0.8 y es monótona creciente respecto a ambas variables, es monótona decreciente y acotada entre g () = 0.50 y Se necesita verificar que todos los elementos de la matriz jacobiana cumplan la relación anterior. La jacobiana y 5 5 J( X) = y + y 0 0 está formada por funciones monótona creciente respecto a ambas variables, y se pueden acotar en los etremos del conveo. 0 0 J ( 0,0) = J.5,.5 = Por tanto la función indicada verifica las condiciones de punto fijo y converge a dicho punto para cualesquiera que sea la elección del punto inicial dentro del dominio. Realizamos algunas iteraciones, comparando los resultados cuando se obtienen los nuevos valores con loa antiguos (Jacobi) y cuando se actualizan con los datos ya calculados (Gauss- Seidel). n Jacobi Gauss-Seidel 0 (0, 0) (0,0) (0.8, 0.8) (0.8, 0.88) (0.980, 0.9) (0.944, ) (0.978, 0.97) (0.98, 0.990) 4 (0.9894, ) (0.9945, ) 5 (0.9958, ) (0.998, ) 6 (0.998, 0.998) (0.9995, ) 7 (0.999, 0.999) (0.9998, ) 8 (0.9997, ) (0.9999, ) 9 (0.9999, ) (, )

38 Asignatura Cálculo Numérico Página 8 de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General) Ejercicio.- La función f = e = 0 tiene tres raíces reales. Una reordenación de = ± la función para poder aplicar iteración de punto fijo es e. (a) Mostrar que cuando se toma el signo negativo de la raíz, y comenzamos por cualquier 0 R el método converge a una raíz próima a 0.5. Demostrar que en realidad converge para cualquier valor real con el que se comience. (b) Mostrar que cuando se toma el signo positivo de la raíz y se comienza por 0 = 0 el método converge a una raíz próima a. (c) Mostrar que el método nunca converge a una raíz próima a 4, incluso tomando valores muy próimos de partida. Encontrar otra fórmula del punto fijo que converja a esa raíz Apartado (a) Convergencia a la raíz negativa Comprobamos si e g = verifica las condiciones de punto fijo. C a, b La función es continua y está definida en toda la recta real.. g [ ]. g [ ab, ] [ ab, ] (Eistencia del punto fijo) '. g K < ( a, b) (Unicidad del punto fijo) g( ) monótona decreciente y acotada superiormente por 0. R g 0 I =,0 : g I I. ' ( ] g = e monótona decreciente. Toma sus valores máimos y mínimos en los etremos: ' ' lim g = 0 y g ( 0) =. Así pues g <. Hemos demostrado la eistencia y unicidad de raíz en el intervalo (,0 ]. Analicemos un intervalo menor que contenga el valor -0.5, por ejemplo el [-0.6, -0.4]. g(-0.6)= [-0.6, -0.4] g(-0.4)= [-0.6, -0.4] Eiste raíz en este intervalo y como sólo eiste una raíz queda demostrada la convergencia del método para cualquier valor negativo a una raíz próima a '

39 Asignatura Cálculo Numérico Página 9 de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General) Vamos a demostrar a demostrar ahora que se cumple para cualquier valor real positivo. Si definimos = g( 0 ) se tiene que <0 para cualquier elección de 0. Así pues, a partir del valor estamos en el caso anteriormente estudiado. Apartado (b) Convergencia a la raíz próima a Procedemos de forma análoga al apartado anterior, pero con la raíz positiva: Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo. C[ a b] g, [ a, b] [ a b] g, (Eistencia del punto fijo) K < ( a b) ' g, (Unicidad del punto fijo) La función es continua y está definida en toda la recta real. La función g el valor nulo, es decir, R g 0 donde I = [ 0, ) es monótona creciente y acotada inferiormente por g I. Por tanto I Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo. es también monótona creciente, y no se puede acotar superiormente en todo el intervalo. Para que se cumpla esta condición es necesario que Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo.. Analizamos pues el intervalo [0,]. Sus valores máimos y mínimos se alcanzan en los etremos, siendo respectivamente Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo. y Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo.. Así pues Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo.. Además Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo. y Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo., ambos dentro del intervalo [0,] Hemos demostrado la eistencia y unicidad de raíz en dicho intervalo y la convergencia del método en el mismo. Apartado (c) Convergencia a la raíz próima a 4 De los apartados anteriores sabemos que: Si tomamos Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo., el método converge a la raíz negativa, para cualquier elección de 0. Si tomamos Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo., el método converge a la raíz positiva próima a, para cualquier elección de 0 en el intervalo [0,]. Queda por estudiar el caso en que no pertenezca a dicho intervalo, pero empezamos estudiando en un entorno de la raíz. Tomamos el intervalo I=[.9,4.] y vamos a demostrar que no converge en ese intervalo, para lo que basta con que no se cumpla alguna de las hipótesis. Comenzamos viendo la condición sobre la derivada: Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo. Así pues, para cualquier entorno que contenga al punto 4, la cota superior de la derivada va a ser mayor que uno. Asimismo, evaluando la función en ese punto se observa que el valor de la función es superior al valor del punto ( Error! No se pueden crear objetos modificando

40 Asignatura Cálculo Numérico Página 40 de 4 Ecuaciones No Lineales (Caso General) códigos de campo.), y al ser su derivada mayor que uno, crecerá más rápidamente que la recta, esto es, Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo.. Para obtener otra fórmula que converja a 4 se puede tomar la siguiente reordenación: Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo. Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo.. Verificamos a continuación las condiciones del teorema: C[ a b] g, [ a, b] [ a b] g, (Eistencia del punto fijo) K < ( a b) ' g, (Unicidad del punto fijo) La función es continua y está definida en toda la recta real positiva La función g( ) es monótona creciente. Para evitar los valores negativos, es necesario que Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo.. Y para garantizar que la imagen del intervalo este incluida en el intervalo, es suficiente que >. Por tanto g( I ) I donde Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo.. Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo. que es positiva y monótona decreciente en el intervalo I, por tanto, modificando el etremo izquierdo de forma que >, tenemos garantizada la acotación. Se toma finalmente el intervalo Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo. Las únicas posibilidades para que puedan converger a cuatro, es que lo hagan en otro intervalo. Podemos comprobarlo: g [ 4, + δ ] g I > 4 g vistas hasta ahora. 4 = g n+ n lim n n δ. I sino que es mayor y no podemos aplicar ninguna de las hipótesis ( n ) n >. Definimos el error como: y esto siempre será creciente. Si nos planteamos la sucesión 0,,,, n, = + Esta sucesión diverge. Tendremos que encontrar otra técnica del punto fijo. Al principio despejamos pero también podemos hacerlo de otro modo: e e = = ln = 0 [ ] Esta ecuación cumple todas las hipótesis en el intervalo δ, 4 + δ f g = ' f 4. Podría no habérsenos ocurrido esta función pero sí: Esta función seguro que en un entorno de la raíz converge, y además con convergencia cuadrática.