Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales

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1 Tema 2 Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales 2.1. Generalidades. Orden de convergencia Nos planteamos en este tema el problema de la resolución aproximada de Ecuaciones no Lineales. Este problema se puede escribir de manera general como f(x) = 0, (1.1) siendo f una función dada de la variable real x, que toma valores reales, y que en general vamos a suponer, al menos, continua. Un caso particular importante de ecuación de la forma (1.1) es aquél en que f es un polinomio de grado n 2, en cuyo caso el problema adopta la forma a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, (1.2) siendo los a k, k = 0, 1,...,n, números reales dados, y a n 0. Este último tipo de ecuaciones ha sido muy estudiado, y de él son bien conocidos los siguientes hechos: si n = 2, se tiene la fórmula de resolución, conocida de todos, a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 x = a 1 ± a 2 1 4a 2 a 0 2a 2, que expresa el valor exacto de la solución. Desde el punto de vista del Análisis Numérico, el único tipo de errores que se introducen con esta fórmula son los errores de redondeo debido a las operaciones aritméticas. si n = 3 ó 4, existen también fórmulas que expresan el valor exacto de la o las soluciones de (1.2), mediante sumas, productos y raíces de los coeficientes. Son fórmulas complicadas y difícilmente aplicables en la práctica. 21

2 22 Cálculo Numérico I. si n 5, se sabe que en general no existen fórmulas como las anteriores, y sólo se pueden resolver de manera exacta estas ecuaciones, por aplicación de la regla de Ruffini, en los casos particulares en que se conocen una o varias soluciones de la misma. En consecuencia, se hace necesario desarrollar procedimientos de cálculo aproximado de las soluciones, tanto para las ecuaciones polinómicas, como, con mayor razón, para las no lineales en general. Antes que nada, hagamos notar que la ecuación (1.1) puede ser escrita de distintas formas equivalentes, por ejemplo g(x) = x, o g(x) = h(x). Así por ejemplo, si consideramos la ecuación x log x 1 = 0, teniendo en cuenta que para que esté definido el logaritmo como un número real, x ha de ser estrictamente positivo, dicha ecuación puede ser escrita de varias maneras equivalentes. Por ejemplo en la forma log x 1/x = 0, o también en la forma (EPF) dada por x = 1/ log x, o en la forma log x = 1/x, que es del tipo g(x) = h(x). En los dos primeros casos, el problema de hallar la solución x de f(x) = 0 puede ser interpretado geométricamente como el de encontrar la abscisa del punto de corte de la curva de ecuación en el plano cartesiano y = f(x) con el eje OX, es decir con la recta y = 0. En el caso en que la ecuación se escribe en forma g(x) = x, se puede interpretar de manera geométrica el problema como el de hallar la abscisa del punto de corte de la curva y = g(x) con la bisectriz del primer cuadrante, es decir, la recta y = x. Finalmente, si la ecuación se ha escrito en la forma g(x) = h(x), el significado geométrico consiste en hallar la abscisa del punto de corte de las curvas de ecuación y = g(x) e y = h(x). En particular, denominaremos ecuación de punto fijo a la de la forma (EPF) g(x) = x. Hagamos notar que existen muchas maneras de escribir una ecuación dada en la forma (EPF). Así por ejemplo, si consideramos la ecuación polinómica x 3 3x 2 + x 2 = 0, teniendo en cuenta que la o las soluciones de la misma no pueden ser x = 0, ésta puede ser escrita de manera equivalente en distintas formas de (EPF). Por ejemplo (EPF) 1 x = x 3 + 3x 2 + 2, o dividiendo por x, se obtiene x 2 3x + 1 2/x = 0, con lo que despejando, (EPF) 2 x = 1 ( x ). 3 x También, se puede dividir la ecuación de partida por x 2, obteniéndose x 3 + 1/x 2/x 2 = 0, con lo que despejando, (EPF) 3 x = 3 1 x + 2 x 2.

3 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 23 Por supuesto, también se puede escribir la ecuación en la forma (EPF) 4 x = x + (x 3 3x 2 + x 2)h(x), siendo h cualquier función real continua en todo R tal que h(x) 0 para todo x R. Desde el punto de vista del Análisis Numérico, estas cuatro formas no son equivalentes. Con unas se aproxima la solución buscada de manera más rápida y con menos coste de cálculos que con otras. A continuación, vamos a realizar algunas consideraciones generales sobre el problema (1.1). A cualquier solución de la citada ecuación, es decir, a cualquier x R tal que f(x) = 0, se le denomina un cero o una raíz de f. Recordemos los siguientes conceptos Definición 2.1 Sean I R un intervalo de interior no vacío, y f una función real definida en dicho intervalo. a) Se dice que f es creciente (respectivamente, decreciente) en el intervalo I, si dado cualquier par de puntos x 1, x 2 en I, si x 1 < x 2, entonces f(x 1 ) f(x 2 ) (respectivamente, f(x 1 ) f(x 2 )). Se dice que f es monótona en I si es creciente en I o si decreciente en I. b) Se dice que f es estrictamente creciente (respectivamente, estrictamente decreciente) en el intervalo I, si dado cualquier par de puntos x 1, x 2 en I, si x 1 < x 2, entonces f(x 1 ) < f(x 2 ) (respectivamente, f(x 1 ) > f(x 2 )). Se dice que f es estrictamente monótona en I si es estrictamente creciente en I o si estrictamente decreciente en I. De la definición, resulta evidente el resultado siguiente Proposición 2.2 Sean I R un intervalo de interior no vacío, y f una función real definida en dicho intervalo. Si f es estrictamente monótona en I, entonces la ecuación (1.1) tiene a lo más una solución en el intervalo I. Observación 2.3 Es bien conocido que si f es derivable en el intervalo I y f (x) > 0 en todo punto x I, entonces f es estrictamente creciente en I. Análogamente, si f (x) < 0 en todo punto x I, entonces f es estrictamente decreciente en I. En consecuencia, si f es siempre positiva en I, o siempre negativa en I, entonces la ecuación (1.1) tiene a lo más una solución en dicho intervalo. Observación 2.4 Si f es monótona, pero no estrictamente monótona, en I, entonces la ecuación (1.1) puede tener infinitas soluciones en este intervalo.

4 24 Cálculo Numérico I. Observación 2.5 Las consideraciones anteriores no son válidas para la ecuación de punto fijo g(x) = x. La función g puede ser estrictamente monótona, pero la (EPF) puede tener infinitas soluciones. Así por ejemplo, si consideramos la función g(x) = x+ 1 sen x, 2 su derivada es g (x) = cosx > 0 en todo punto x R. En consecuencia, esta función g es estrictamente creciente en I = R, pero la ecuación g(x) = x sen x = 0, tiene 2 infinitas soluciones en R, dadas por x k = kπ, k Z. Introducimos a continuación el concepto de orden de multiplicidad de un cero de f. Definición 2.6 Sean (a, b) R un intervalo abierto, f una función real definida y continua en todo punto de (a, b), y m 1 un número entero. Se dice que α (a, b) es un cero de multiplicidad m de f, si la función f puede ser escrita en la forma f(x) = (x α) m q(x) para todo x (a, b) tal que x α, (1.3) con q una función definida en (a, b) \ {α} tal que existe lím q(x) R \ {0}. (1.4) x α Un cero simple de f es cualquier cero que sea de multiplicidad 1. Respecto del concepto de orden de multiplicidad de un cero, se tienen los siguientes resultados. Proposición 2.7 Sean f C 1 (a, b) y α (a, b). La función f tiene un cero simple (i.e. de multiplicidad 1) en α, si y sólo si f(α) = 0, f (α) 0. (1.5) Demostración.- Supongamos en primer lugar que f tiene un cero simple en α. En tal caso, evidentemente f(α) = 0. Además, f puede ser escrita en la forma (1.3), y en consecuencia, la función q(x) = f(x) x α, x (a, b) \ {α}, con lo que, teniendo en cuenta que f(α) = 0, se tiene f(x) f(α) 0 lím q(x) = lím = f (α). x α x α x α Recíprocamente, supongamos que se satisface (1.5). Consideremos la función q definida por q(x) = f(x) x α, x (a, b) \ {α}.

5 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 25 Evidentemente se satisface f(x) = (x α) q(x), x (a, b) \ {α}. Además por la regla de l Hôpital, f (x) lím q(x) = lím = f (α) 0. x α x α 1 Proposición 2.8 Sean m 2 entero, f C m (a, b) y α (a, b). La función f tiene un cero de multiplicidad m en α, si y sólo si f(α) = f (α) =... = f m 1) (α) = 0, f m) (α) 0. (1.6) Demostración.- Se deja como ejercicio. En cualquier proceso de cálculo de raíces de una ecuación no lineal se distinguen tres fases: localización, separación y aproximación. a) En la fase de localización se busca conocer una zona donde se encuentra una o varias soluciones de la ecuación, haciendo uso para ello de métodos analíticos, tablas, representación aproximada, etc... El propio origen de la ecuación (físico, técnico, etc...) puede dar indicaciones de dónde se encuentran las soluciones. b) La separación consiste en encontrar intervalos que contengan una y sólo una solución de la ecuación, ello es fundamental en el caso de raíces muy próximas. En general, se puede conseguir la separación combinando el teorema de Bolzano y la Proposición 2.2. Cuando se ha conseguido esto, se dice que la solución está aislada. Ello no siempre se puede conseguir, así por ejemplo si consideramos la función x sen(1/x), si x 0, f(x) = 0, si x = 0; la solución x = 0 de la ecuación f(x) = 0 no puede ser aislada. c) En la fase de aproximación, se construye una sucesión de valores que converja hacia la solución buscada, ello se realiza, habitualmente, mediante un método iterativo. Nosotros vamos a estudiar métodos iterativos de los denominados de un paso. Definición 2.9 Un método iterativo de un paso es un proceso que genera una sucesión {x k } k 0 de la manera siguiente:

6 26 Cálculo Numérico I. 1) Se parte de un valor inicial x 0 que se supone suficientemente próximo a la raíz buscada. 2) Se itera, es decir, se obtiene una sucesión definida por recurrencia mediante la fórmula x k+1 = G(x k ), k 0, (1.7) siendo G una función real de variable real dada. Así pues, un método iterativo depende de la fórmula (1.7) que se utilice, y también del punto inicial x 0 que se tome. El primer problema que se presenta con todo método iterativo de un paso es saber si partiendo de x 0, con el esquema (1.7) se construye una verdadera sucesión. Así por ejemplo, si consideramos la sucesión definida por recurrencia mediante la fórmula x k+1 = 3 3 x k, k 0, y partimos de x 0 = 2, es inmediato ver que se van obteniendo sucesivamente, x 1 = 3/2, x 2 = 1, x 3 = 0, y en consecuencia x 4 no está definida. De hecho, las preguntas que se plantean cuando se define un método iterativo de un paso son: si se genera con (1.7) realmente una sucesión, si la sucesión es convergente, si el límite de la sucesión es la solución de f(x) = 0 que se pretende aproximar, determinar el número de iteraciones que hay que hacer para que el error que se cometa sea menor que una cantidad ε > 0 prefijada, conocer cómo evoluciona el error en el curso de las iteraciones. En este Tema vamos estudiar dos métodos iterativos de un paso para los que responderemos a estas cuestiones. Definición 2.10 Se dice que un método iterativo dado por la fórmula (1.7) tiene la propiedad de convergencia global hacia α R en un subconjunto D R, si para todo dato inicial x 0 D se puede construir la sucesión x k correspondiente con la fórmula (1.7), siendo lím x k = α.

7 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 27 Definición 2.11 Se dice que un método iterativo dado por la fórmula (1.7) tiene la propiedad de convergencia local hacia α R si existe un número δ > 0 tal que dicho método tiene la propiedad de convergencia global hacia α en el intervalo (α δ,α + δ), es decir, si para todo dato inicial x 0 (α δ,α + δ) se puede construir la sucesión x k correspondiente con la fórmula (1.7), y lím x k = α. En tal caso, diremos que α es un punto atractivo para dicho método iterativo, y en caso contrario, diremos que α es un punto repulsivo para dicho método. Obsérvese que distintas raíces de una misma ecuación pueden ser unas atractivas y otras repulsivas para un mismo método iterativo (veremos ejemplos de ello en clase de problemas). Una cuestión de interés es la determinación del mayor conjunto D R en el que un determinado método iterativo es globalmente convergente hacia un número α R. A dicho conjunto lo denominaremos el campo de convergencia del método hacia α. Otra propiedad muy importante es el orden de convergencia de un método, que proporciona una medida de la velocidad de convergencia de una sucesión construida con el mismo hacia su límite. Definición 2.12 Sea x k una sucesión de números reales tal que lím x k = α, y sea p > 0. Se dice que la sucesión tiene orden de convergencia al menos p si existen k 0 0 y C > 0 (0 < C < 1 si p = 1) tales que x k+1 α C x k α p para todo k k 0. (1.8) Notése que en la definición precedente, p no tiene que ser necesariamente un número entero. En la terminología clásica, si p = 1, 2 ó 3, se habla de convergencia al menos lineal, cuadrática o cúbica, respectivamente. Si p < 1, o si p = 1 y C = 1, se dice que la convergencia es sublineal, y si p > 1 se dice que la convergencia es superlineal. Es frecuente usar la notación d k = x k α (error en el término k), e k = x k α (error en valor absoluto en el término k), y de esta manera (1.8) se escribe e k+1 Ce p k para todo k k 0. Obsérvese que no toda sucesión convergente tiene orden de convergencia en el sentido de la definición anterior. Por ejemplo, la sucesión 0, 1, 1, 1 2, , 3, 1 3 3,..., 1 n, 1 nn,...,

8 28 Cálculo Numérico I. converge a cero, pero x 2j+1 1/(j + 1) =, x 2j p 1/j pj sucesión que converge a + cuando j +, cualquiera que sea p > 0. Proposición 2.13 Sea x k una sucesión de números reales tal que lím x k = α, y sea p > 0. La condición necesaria y suficiente para que la sucesión x k tenga orden de convergencia al menos p es que lím sup donde usamos el convenio de que 0/0 = 0. x k+1 α = L < + (L < 1 si p = 1), (1.9) x k α p Demostración.- Si el orden de convergencia es al menos p, entonces y en consecuencia x k+1 α x k α p C para todo k k 0, lím sup x k+1 α x k α p = L C. Recíprocamente, si se verifica (1.9), entonces fijado ε > 0 arbitrariamente pequeño, existe un k 0 (ε) tal que x k+1 α x k α L + ε para todo k k 0(ε), p x k+1 α Obsérvese que en el caso en que exista lím, la proposición anterior afirma x k α p que la sucesión x k tiene orden de convergencia al menos p si y sólo si lím x k+1 α = L < + (L < 1 si p = 1). x k α p Definición 2.14 Sea x k una sucesión de números reales tal que lím x k = α, y sea p > 0. Se dice que la sucesión tiene orden de convergencia p si existe lím x k+1 α = L (0, + ) (L (0, 1) si p = 1). (1.10) x k α p En tal caso, a la constante L definida por (1.10) se le denomina la constante asintótica del error.

9 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 29 Definición 2.15 Dado p > 0, se dice que el método iterativo dado por la fórmula (1.7) tiene orden de convergencia al menos p hacia α R si existe un número δ > 0 tal que dicho método tiene la propiedad de convergencia global hacia α en el intervalo (α δ, α+δ), y para todo dato inicial x 0 (α δ,α + δ), la sucesión x k correspondiente construida con la fórmula (1.7) tiene orden de convergencia al menos p. Obsérvese que si una sucesión tiene orden de convergencia p, entonces x k+1 α + si q > p, lím = x k α q 0 si q < p. Como ya hemos dicho, el orden de convergencia de una sucesión mide la velocidad de convergencia de la misma. Para comprobar este extremo, supongamos que x k es una sucesión de números reales tal que lím x k = α, y que la sucesión tiene orden de convergencia al menos p > 0. Entonces existen k 0 0 y C > 0 (0 < C < 1 si p = 1) tales que e k+1 Ce p k para todo k k 0. Por consiguiente, si k k 0, e k+1 Ce p k C(Cep k 1 )p = C 1+p e p2 k 1 C1+p (Ce p k 2 )p2 = C 1+p+p2 e p3 k 2 C1+p+p p k k 0 e pk k 0 +1 k 0, es decir, o, cambiando k + 1 por k, e k+1 C pk k p 1 e pk k 0 +1 k 0, e k C pk k 0 1 p 1 e pk k 0 k 0 para todo k > k 0. (1.11) Supongamos ahora el caso particular en que p > 1, y que nos planteamos saber hasta qué k hay que llegar para que el error e k sea menor que un ε > 0 prefijado. De (1.11), tenemos que para ello basta que es decir p k k 0 1 p 1 C pk k 0 1 p 1 e pk k 0 k 0 ε, log C + p k k 0 log e k0 log ε, con lo que como p 1 > 0, basta con que k satisfaga (log C + (p 1) log e k0 )p k k 0 (p 1) log ε + log C. (1.12) Si, por simplificar, suponemos que C = 1, y e k0 < 1, entonces (1.12) se transforma en

10 30 Cálculo Numérico I. es decir o lo que es lo mismo, y por tanto (log e k0 )p k k 0 log ε, p k k 0 log ε log e k0, k k 0 1 ( ) log ε log p log, log e k0 k k ( ) log ε log p log. log e k0 Queda claro de esta última estimación, que cuando p aumenta, el valor necesario de k disminuye Método de bisección El método de bisección (o de dicotomía) se basa en el Teorema de Bolzano. Supongamos dados un intervalo cerrado [a, b] R, una función f : [a, b] R, y consideremos la ecuación f(x) = 0. (2.13) Supongamos que f es continua en [a, b] y que f(a)f(b) < 0. En tal caso, sabemos que existe un punto α (a, b) tal que f(α) = 0. Supongamos que dicho punto α es el único punto de [a, b] que anula a f. Bajo las condiciones precedentes, vamos a construir una sucesión de intervalos encajados [a, b] = [a 0, b 0 ] [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]...[a k, b k ]..., conteniendo al punto α, de la siguiente manera. Etapa 1.- Tenemos que f(a 0 )f(b 0 ) = f(a)f(b) < 0. Sea c 0 = a 0 + b 0. 2 Si f(c 0 ) = 0, ya hemos encontrado la solución α = c 0. Si f(c 0 ) 0, entonces se pueden presentar dos casos: a) Si f(a 0 )f(c 0 ) < 0, tomamos a 1 = a 0 y b 1 = c 0. b) Si f(a 0 )f(c 0 ) > 0, entonces f(c 0 )f(b 0 ) < 0, y tomamos a 1 = c 0 y b 1 = b 0.

11 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 31 Tanto en el caso a) como en el b), el intervalo [a 1, b 1 ] construido tiene la mitad de longitud que [a 0, b 0 ], y satisface f(a 1 )f(b 1 ) < 0, por lo cual contiene a α en su interior. Etapa k.- Supongamos que f(a k 1 )f(b k 1 ) < 0. Sea c k 1 = a k 1 + b k 1. 2 Si f(c k 1 ) = 0, ya hemos encontrado la solución α = c k 1. Si f(c k 1 ) 0, entonces se pueden presentar dos casos: a) Si f(a k 1 )f(c k 1 ) < 0, tomamos a k = a k 1 y b k = c k 1. b) Si f(a k 1 )f(c k 1 ) > 0, entonces f(c k 1 )f(b k 1 ) < 0, y tomamos a k = c k 1 y b k = b k 1. Nuevamente, tanto en el caso a) como en el b), el intervalo [a k, b k ] construido tiene la mitad de longitud que [a k 1, b k 1 ], y satisface f(a k )f(b k ) < 0, por lo cual contiene a α en su interior. De esta manera, o bien en un número finito de etapas se ha encontrado α, o en caso contrario construimos una sucesión de intervalos encajados [a k, b k ] tales que En particular, b k a k = 1 2 k(b a), y α (a k, b k ) para todo k 0. α a k 1 2 k(b a), y b k α 1 2k(b a) para todo k 0, y por tanto a k α y b k α, cuando k. Después de haber efectuado k pasos, se puede tomar como aproximación de la solución α a c k = a k + b k, con lo que el error en valor absoluto cometido será 2 e k = c k α 1 2k+1(b a). Se tiene pues probado el siguiente teorema: Teorema 2.16 Sea f una función continua en el intervalo acotado [a, b] y tal que f(a)f(b) < 0. Sea {c k } la sucesión generada por el método de la bisección. Entonces existe α [a, b] tal que f(α) = 0 y además se tiene la siguiente estimación del error: En particular lím k + c k = α. c k α b a, k = 0, 1, 2k+1

12 32 Cálculo Numérico I. El método de bisección presenta varios inconvenientes. Es lento, ya que no aprovecha ninguna otra propiedad de f que no sea el signo de la misma. Es un método en que pasa desapercibido si se acerca uno mucho o no a la solución, y es computacionalmente costoso, ya que hay que efectuar muchas comparaciones. Sin embargo, el método de bisección presenta también algunas ventajas. Así por ejemplo, es convergente con una expresión explícita de la cota del error, y es aplicable siempre a partir de la propia función. La convergencia del algoritmo no llega a ser lineal Métodos de primer orden: método de aproximaciones sucesivas En esta sección vamos a estudiar la ecuación de punto fijo (EPF) g(x) = x. Sobre la existencia y unicidad de solución para esta ecuación, tenemos en primer lugar los dos resultados siguientes: Proposición 2.17 (existencia de solución para (EPF)) Sea g : [a, b] R una función continua en el intervalo [a, b], y supongamos que satisface la condición Entonces, existe al menos un α (a, b) tal que g(α) = α. (g(a) a)(g(b) b) < 0. (3.14) Demostración.- Basta aplicar el Teorema de Bolzano a la función h(x) = g(x) x. Observación 2.18 Una condición suficiente para que se satisfaga (3.14) es que g([a, b]) [a, b]. Proposición 2.19 (unicidad de solución para (EPF)) Sea g : [a, b] R una función tal que g(x) g(y) < x y para todo par x, y [a, b], tal que x y. (3.15) Entonces, existe a lo más una solución de (EPF). Demostración.- Si α 1 y α 2 son dos puntos distintos de [a, b], soluciones de (EPF), entonces α 1 α 2 = g(α 1 ) g(α 2 ) < α 1 α 2, lo cual es imposible. Obsérvese que la condición (3.15) implica en particular la continuidad de g en todo el intervalo [a, b].

13 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 33 A continuación, pasamos a estudiar el método de aproximaciones sucesivas (M AS) para la (EPF). Es éste un método iterativo de un paso definido por x 0 R dado, (MAS) x k+1 = g(x k ), k 0. Obsérvese en primer lugar que para que (MAS) esté bien definido, todos los puntos x k han de estar en el dominio de definición de la función g. Definición 2.20 Sea g : [a, b] R una función dada. Se dice que g es contractiva en el intervalo [a, b], si existe una constante L [0, 1) tal que g(x) g(y) L x y para todo x, y [a, b]. (3.16) En tal caso, a L se la denomina una constante de contractividad para g en [a, b]. Observación La condición (3.16) implica (3.15), y en particular la continuidad de g en todo el intervalo [a, b], así como la unicidad de solución para (EPF). 2. Una función g : [a, b] R, se dice que es Lipschitziana en el intervalo [a, b], si existe una constante L > 0 tal que se verifica la condición (3.16). En consecuencia, una función es contractiva si es Lipschitziana con constante L [0, 1). Una condición de carácter elemental suficiente para que una función sea contractiva, es la siguiente. Proposición 2.22 Sea g : [a, b] R una función continua en el intervalo [a, b], y derivable en (a, b). Supongamos que satisface la condición L := sup g (x) < 1. (3.17) x (a,b) Entonces, g es contractiva en el intervalo [a, b], siendo L definida en (3.17) una constante de contractividad para g en [a, b]. Demostración.- Por el teorema del valor medio, si x, y [a, b], existe un punto z (a, b) tal que g(x) g(y) = g (z)(x y), con lo que en particular, g(x) g(y) ( sup g (s) ) x y. s (a,b)

14 34 Cálculo Numérico I. De acuerdo con las consideraciones precedentes, si g : [a, b] R es contractiva en el intervalo [a, b], y satisface g([a, b]) [a, b], entonces existe una y sólo una solución de (EP F) en dicho intervalo. El resultado que sigue, proporciona convergencia global de (MAS) y acotación del error. Teorema 2.23 (convergencia global de (M AS) y acotación del error) Supongamos que g : [a, b] R es contractiva en el intervalo [a, b] y tal que g([a, b]) [a, b]. Sea L [0, 1) una constante de contractividad para g en [a, b]. En estas condiciones, (MAS) es globalmente convergente en [a, b] a la única solución α [a, b] de (EPF), es decir, para todo x 0 [a, b], la sucesión x k definida por x k+1 = g(x k ) para todo k 0, (3.18) está bien definida y satisface lím x k = α. (3.19) Además, se tienen las siguientes estimaciones de error, x k α L k x 0 α para todo k 0, x 0 [a, b], (3.20) x k α Lk 1 L x 1 x 0 para todo k 0, x 0 [a, b]. (3.21) Demostración.- Como ya se ha dicho con anterioridad, por las Proposiciones 2.17 y 2.19, existe una y sólo una solución α de (EPF) en [a, b]. Por otra parte, gracias a que g([a, b]) [a, b], para cualquier punto inicial x 0 [a, b] la fórmula (3.18) define de manera recursiva una sucesión x k de puntos de [a, b]. Además, x k α = g(x k 1 ) g(α) L x k 1 α = L g(x k 2 ) g(α) L 2 x k 2 α L k x 0 α, es decir, se satisface (3.20), y en consecuencia, dado que 0 L < 1 implica que L k 0 cuando k, se obtiene que x k converge a α. Finalmente, para obtener la estimación (3.21), se parte de que en general x p x p 1 = g(x p 1 ) g(x p 2 ) L x p 1 x p 2 L p 1 x 1 x 0, para todo p 1. Con esto, si k 0 está fijo, para todo m > k se obtiene x m x k x m x m x k+1 x k (L m L k ) x 1 x 0 = L k (1 + + L m k 1 ) x 1 x 0 Lk 1 L x 1 x 0, con lo que, haciendo m, se obtiene (3.21).

15 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 35 Observación 2.24 De la estimación (3.21) se deduce que el (MAS) converge más rápidamente cuanto más próxima a cero sea L. Observación 2.25 En el proceso de la demostración del Teorema 2.23 hemos probado que x k α L x k 1 α, para todo k 1, con 0 L < 1, y por tanto, el (MAS) tiene orden de convergencia al menos lineal. De hecho, en muchas ocasiones es exactamente lineal. Así por ejemplo, si bajo las condiciones del Teorema 2.23 suponemos que además existe g (x) para todo x (a, b), y la función g es continua en (a, b) (es decir, g C 1 (a, b)), entonces para todo k 0, x k+1 α = g(x k ) g(α) = g (θ k )(x k α), con θ k un punto entre x k y α, con lo que, si suponemos que x k α para todo k 0, tenemos x k+1 α = g (θ k ) para todo k 0, x k α y en consecuencia, como x k α implica que θ k α cuando k y g es continua, obtenemos x k+1 α lím = g (α), x k α de modo que si g (α) 0, la convergencia de (MAS) a la solución α es exactamente lineal. Más adelante veremos que si g (α) = 0, la convergencia es superlineal (por ejemplo en las condiciones del Teorema 2.28). Como un ejemplo de situación en que el (MAS) no es convergente, tenemos el siguiente resultado: Proposición 2.26 Sea g : [a, b] R continua, y α (a, b) un punto tal que g(α) = α. Supongamos que existe la derivada g (x) en todo punto x de un entorno (α δ,α + δ), con δ > 0, y g (x) > 1, para todo x (α δ,α + δ). En estas condiciones, el punto α es repulsivo para el (MAS). Demostración.- Si x k (α δ,α + δ), entonces x k+1 α = g(x k ) g(α) = g ( x k )(x k α), con x k un punto intermedio entre x k y α, y por tanto, x k+1 α > x k α.

16 36 Cálculo Numérico I. Sea g : [a, b] R continua, tal que g([a, b]) [a, b], y existe la derivada g (x) en todo punto de (a, b). Supongamos que g (x) L < 1, para todo x (a, b). En tal caso, sabemos que el (MAS) es convergente a la única solución α de la (EPF). Además, suponiendo que las iterantes x k 1 y x k son distintas, es decir, que no se ha llegado a α, se tiene x k+1 x k = g(x k ) g(x k 1 ) = g ( x)(x k x k 1 ), con x un punto intermedio entre x k 1 y x k. En estas condiciones, si g (x) > 0 para todo x (a, b), de la igualdad precedente tenemos sgn(x k+1 x k ) = sgn(x k x k 1 ), y x k+1 x k < x k x k 1, con lo cual, geómetricamente, el proceso de acercamiento de x k a α es convergente en escalera. Análogamente, si g (x) < 0 para todo x (a, b), se tiene sgn(x k+1 x k ) sgn(x k x k 1 ), y x k+1 x k < x k x k 1, con lo cual, geómetricamente, el proceso de acercamiento de x k a α es convergente en espiral. Como un ejemplo de aplicación del (MAS), consideremos la ecuación e x = x, en el intervalo [1/2, log 2]. Supongamos que nos planteamos demostrar que esta ecuación está en las condiciones del Teorema 2.23, y calcular un número de iteraciones que sea suficiente para que, partiendo de x 0 = 1/2, el error cometido, en ausencia de errores de redondeo, sea menor que En primer lugar, la función g(x) = e x es continua y derivable en todo punto x R, con derivada g (x) = e x < 0. En particular, g es estrictamente decreciente en el intervalo [1/2, log 2]. Además, 1/2 < e 1/2 = g(1/2) = < log 2 = , g(log 2) = e log 2 = 1/2. En consecuencia, g([1/2, log 2]) [1/2, log 2]. Por otra parte, para todo x [1/2, log 2], g (x) = e x e 1/2 = L < 1, y por tanto se satisfacen todas las condiciones del Teorema Si aplicamos (M AS) partiendo de x 0 = 1/2, en la etapa k 1, de acuerdo con (3.21), tenemos x k α e k/2 1 e 1/2 e 1/2 1 2 = 2 e 2( e 1)( e) k,

17 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 37 con lo que, si queremos x k α < 10 3, basta tomar k tal que es decir, ( e) k > (2 e)10 3 2( e 1), ( ) (2 e)10 3 k > 2 log 2( = , e 1) y por tanto tenemos garantizado que x 12 α < Si se efectúan los cálculos con 4 cifras decimales, partiendo de x 0 = 0 5, y usando las iteraciones x k+1 = e x k, se obtienen x 1 = , x 2 = , x 3 = , x 4 = , x 5 = , x 6 = , x 7 = , x 8 = , x 9 = , x 10 = , x 11 = , x 12 = , con lo que si tomamos como valor de α = 0 567, el error que se comete es inferior a Obsérvese cómo en la tabla anterior las iteraciones x k van convergiendo a α, oscilando en espiral. A continuación, exponemos un resultado de convergencia local del (M AS), en una situación en que no se verifica la hipótesis (3.14) de la Proposición 2.17, y por tanto, a priori, no sabemos si existe solución de (EPF). Teorema 2.27 (convergencia local de (MAS)) Supongamos dados x 0 R, ρ > 0 y g : [x 0 ρ, x 0 + ρ] R una función contractiva en el intervalo [x 0 ρ, x 0 + ρ]. Sea L [0, 1) una constante de contractividad para g en [x 0 ρ, x 0 + ρ], y supongamos que Entonces i) la sucesión x k definida por (MAS) está bien definida, x 0 g(x 0 ) (1 L)ρ. (3.22) ii) existe lím x k = α, el número α es solución de la (EPF), es decir, g(α) = α, y además, x k α L k ρ para todo k 0, (3.23) iii) α es la única solución en el intervalo [x 0 ρ, x 0 + ρ] de la (EPF) g(x) = x. Demostración.- i) Hay que probar que x 0 ρ x k x 0 + ρ para todo k 1. (3.24)

18 38 Cálculo Numérico I. Procedamos por inducción. En primer lugar, x 0 x 1 = x 0 g(x 0 ) (1 L)ρ < ρ, y por tanto x 1 satisface (3.24). Supongamos ahora que (3.24) es satisfecha para k = 1,...,m. En tal caso, para todo 1 k m se satisface x k+1 x k = g(x k ) g(x k 1 ) L x k x k 1 L k x 1 x 0 L k (1 L)ρ, y por tanto x m+1 x 0 x m+1 x m + + x 1 x 0 (L m + L m )(1 L)ρ < 1 (1 L)ρ = ρ, 1 L es decir, (3.24) es también satisfecha para k = m + 1. ii) Veamos en primer lugar que la sucesión x k es de Cauchy, con lo cual será convergente. Tenemos x m+p x m x m+p x m+p x m+1 x m (L m+p L m )(1 L)ρ = L m (L p )(1 L)ρ < L m 1 1 L (1 L)ρ = Lm ρ. Como 0 L < 1, fijado ε > 0, existe un m 0 1, dependiente de ε, tal que 0 L m ρ ε para todo m m 0, y en consecuencia, por la estimación anterior, x m+p x m ε para todo m m 0, p 0, es decir, x k es de Cauchy. Por tanto, existe lím x k = α. Que el número α es solución de la (EPF), es consecuencia de que g es continua en el intervalo [x 0 ρ, x 0 + ρ], y por tanto Por otra parte, α = lím x k+1 = lím g(x k ) = g( lím x k ) = g(α). x k α = g(x k 1 ) g(α) L x k 1 α L k x 0 α L k ρ. iii) La unicidad de solución de la (EPF) es consecuencia inmediata de la Proposición Terminamos esta sección con un resultado sobre orden de convergencia superior a uno del (MAS).

19 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 39 Teorema 2.28 Sea g : [a, b] R continua, y α (a, b) un punto tal que g(α) = α. Supongamos que existe un entorno (α δ,α+δ) (a, b), con δ > 0, tal que el (MAS) en dicho entorno es localmente convergente hacia α, g C m (α δ,α + δ), con m 2, g m) está acotada en (α δ,α + δ), y g (α) = = g m 1) (α) = 0. Entonces, el (MAS) tiene orden de convergencia a α al menos m. Si además g m) (x) 0 para todo x (α δ,α + δ), entonces para cualquier x 0 (α δ,α+δ), tal que x 0 α, el (MAS) genera una sucesión x k tal que x k α para todo k 0, y x k α con orden de convergencia m. Demostración.- Evidentemente, g(x k ) g(α) = 1 m! gm) ( x k )(x k α) m, con x k un punto intermedio entre x k y α. Si denotamos C = g m) (x), resulta evidente que sup x (α δ,α+δ) x k+1 α C x k α m, y por tanto el (MAS) tiene orden de convergencia a α al menos m. Supongamos que además g m) (x) 0 para todo x (α δ,α+δ), y x 0 (α δ,α+δ), es tal que x 0 α. Razonando por inducción, supongamos que k 0 es tal que x k α, en tal caso, x k+1 α = g(x k ) g(α) = 1 m! gm) ( x k )(x k α) m 0, y por tanto también x k+1 α. Además, x k+1 α x k α m = 1 m! gm) ( x k ) 1 m! gm) (α) 0, cuando k, con lo que el orden de convergencia a α es m Métodos de segundo orden: método de Newton y variantes Como ya hemos dicho, dada una función f : [a, b] R continua, la ecuación (EH) f(x) = 0,

20 40 Cálculo Numérico I. puede escribirse de manera equivalente en la forma (EPF) h x h(x)f(x) = x, siendo h : [a, b] R cualquier función continua tal que h(x) 0 para todo x [a, b]. La idea del método de Newton consiste en determinar h de tal modo que al aplicar el (MAS) a la ecuación (EPF) h, resulte un método convergente de al menos segundo orden. Para ello, teniendo en cuenta el Teorema 2.28, parece natural pedir que si denotamos g(x) = x h(x)f(x), y α es la solución de (EH), se satisfaga g (α) = 0, es decir, teniendo en cuenta que g (x) = 1 h (x)f(x) h(x)f (x), y f(α) = 0, se ha de satisfacer h(α)f (α) = 1, de modo que, suponiendo f (x) 0 en [a, b], basta tomar h(x) = 1/f (x), con lo que la ecuación (EPF) h se escribe ecuación para la que el (MAS) adopta la forma (MN) x f(x) = x, (4.25) f (x) x 0 [a, b] dado, x k+1 = x k f(x k) f (x k ), k 0. El método iterativo (MN) recibe el nombre de método de Newton. Dicho método tiene una interpretación geométrica sencilla, que en realidad está en el origen histórico del mismo. En efecto, en cada etapa k, el valor x k+1 corresponde a la abscisa del punto de corte con el eje OX de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (x k, f(x k )). Esta interpretación geométrica justifica método de Newton también reciba el nombre de método de la tangente. Teorema 2.29 (de convergencia global del (MN)) Sea f C 2 ([a, b]) tal que i) f(a)f(b) < 0, ii) f (x) 0, para todo x [a, b], iii) el signo de f (x) es constante en [a, b] (es decir, o f (x) 0 para todo x [a, b], o f (x) 0 para todo x [a, b]),

21 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 41 iv) si c {a, b} es tal que f (c) = mín( f (a), f (b) ), entonces f(c) f (c) b a. Bajo estas condiciones, existe una y sólo una solución α (a, b) de (EH), para todo punto inicial x 0 [a, b] el (MN) está bien definido, y converge hacia α. Además la convergencia es al menos de orden dos, y de hecho, si se denotan m 1 = mín f (x), y M 2 = máx f (x), (4.26) x [a,b] x [a,b] se satisfacen x k+1 α M 2 2m 1 x k α 2, para todo k 0, (4.27) x k+1 α M 2 2m 1 x k+1 x k 2, para todo k 0. (4.28) Demostración.- La existencia y unicidad de α es consecuencia inmediata de las condiciones i) y ii). Para demostrar el resto del teorema, observemos que se pueden presentar cuatro situaciones: a) f(a) < 0, f(b) > 0, y f (x) 0 para todo x [a, b], b) f(a) < 0, f(b) > 0, y f (x) 0 para todo x [a, b], c) f(a) > 0, f(b) < 0, y f (x) 0 para todo x [a, b], d) f(a) > 0, f(b) < 0, y f (x) 0 para todo x [a, b]. Nosotros vamos a comprobar que el teorema se satisface en la situación a), quedando como ejercicio el comprobar que los otros tres casos se pueden demostrar mediante razonamientos análogos, o bien ser llevados al caso a) mediante cambios de variables adecuados (ver [3]). Suponemos por tanto, a partir de ahora, que f(a) < 0, f(b) > 0, y f (x) 0 para todo x [a, b]. En tal caso, por ii), f (x) > 0 para todo x [a, b], y al ser f (x) 0, f es no creciente, con lo que en la hipótesis iv), c = b, y ésta se traduce en f(b) b a. (4.29) f (b) Denotemos g(x) = x f(x) f (x).

22 42 Cálculo Numérico I. Para ver que el (MN) está bien definido, basta comprobar que g([a, b]) [a, b]. Para ello, observemos que g (x) = 1 (f (x)) 2 f(x)f (x) = f(x)f (x), para todo x [a, b], (f (x)) 2 (f (x)) 2 y en consecuencia, como suponemos f (x) 0 para todo x [a, b], tenemos g (x) 0, g (x) 0, para todo x [a, α), para todo x (α, b], por tanto g es creciente en [a, α), y decreciente en (α, b], y por consiguiente, en α se alcanza el máximo de g en [a, b], es decir, g(x) g(α) = α < b, para todo x [a, b]. (4.30) Por otra parte, si x [a, α), entonces g(a) g(x), es decir, a f(a) f (a) g(x), con lo que, como f(a) < 0 y f (a) > 0, tenemos a < g(x), para todo x [a, α). (4.31) De manera análoga, si x (α, b] entonces g(b) g(x), es decir, g(x) b f(b) f (b), con lo que, teniendo en cuenta (4.29), obtenemos a g(x), para todo x (α, b]. (4.32) Finalmente, es evidente que g(α) = α > a. Esta desigualdad, junto con (4.30), (4.31) y (4.32), demuestran que g([a, b]) [a, b]. Para demostrar que (MN) es convergente a α cualquiera que sea el punto inicial x 0 [a, b], observemos en primer lugar que si x k [a, α], entonces f(x k ) 0 y f (x k ) > 0, con lo que x k+1 = x k f(x k) f (x k ) x k, y x k+1 = g(x k ) α,

23 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 43 por ser α = g(α) el máximo de g en [a, b]. Así pues, procediendo por inducción, tenemos que si x 0 [a, α], entonces la sucesión x k satisface x k x k+1 α, k 0, y por tanto, existe En tal caso, tomando límites en la igualdad obtenemos lím x k := α α. x k+1 = x k f(x k) f (x k ), α = α f(α) f (α), por tanto f(α) = 0, y en consecuencia α = α. Por otro lado, si x 0 (α, b], entonces x 1 = g(x 0 ) α, y por tanto x 1 [a, α], con lo que, por lo anteriormente obtenido, obtenemos nuevamente que x k converge a α. Para demostrar (4.27), usando desarrollo de Taylor y que f(α) = 0, obtenemos que x k+1 α = x k α f(x k) f (x k ) = = 1 f (x k ) [f (x k )(x k α) + f(α) f(x k )] = f (y k ) 2f (x k ) (α x k) 2, con y k un punto intermedio entre x k y α. De esta igualdad se deduce de manera inmediata (4.27). Para obtener (4.28), observemos que f(x k+1 ) = f(x k+1 ) f(α) = f (x k+1 )(x k+1 α), con x k+1 un punto intermedio entre x k+1 y α, con lo que Por otra parte, hacemos el siguiente desarrollo de Taylor x k+1 α f(x k+1) m 1. (4.33) f(x k+1 ) = f(x k ) + f (x k )(x k+1 x k ) f (ξ k )(x k+1 x k ) 2, con ξ k un punto intermedio entre x k+1 y x k, y usamos que por (MN) se satisface que f(x k ) + f (x k )(x k+1 x k ) = 0.

24 44 Cálculo Numérico I. Entonces, obtenemos y, por tanto, f(x k+1 ) = f (ξ k ) (x k+1 x k ) 2, 2 f(x k+1 ) M 2 2 (x k+1 x k ) 2, con lo que, teniendo en cuenta (4.33), obtenemos (4.28). Observaciones 2.30 a) La sucesión {x k } k 1 que se construye con el (MN) en el teorema precedente, es monótona. b) La desigualdad (4.27) permite obtener una estimación a priori del error. En concreto, de (4.27) se tiene e k M ( ) 1+2 ( ) k 1 2 e 2 M2 k 1 e 4 M2 k 2... e0 2k, 2m 1 2m 1 2m 1 es decir, e k ( M2 2m 1 ) 2 k 1 e 2k 0, para todo k 0. (4.34) c) La estimación (4.28) justifica el uso de un test de parada del tipo x k+1 x k ε. d) La convergencia del (MN), y la convergencia al menos superlineal, también se tienen si f C 1 ([a, b]), se satisfacen i), ii), iv), y iii ) f es monótona en [a, b]. e) El Teorema 2.29 es aplicable a toda función de clase C 2 y monótona, cuya raíz no coincida con un punto de inflexión. La condición iv) limita el tamaño del intervalo a considerar. El resultado siguiente elimina la restricción sobre el tamaño del intervalo, fijando a cambio el punto por donde hay que comenzar a iterar para que (MN) converja a la solución del problema. Corolario 2.31 (Regla de Fourier) Sea f C 2 ([a, b]), y supongamos que se satisfacen las hipótesis i), ii) y iii) del Teorema Además, supongamos que f(a)f (a) > 0, y tomemos x 0 = a, o supongamos que f(b)f (b) > 0, y en tal caso tomemos x 0 = b. Entonces, en cualquiera de los dos casos, el algoritmo (MN) es convergente hacia α de forma monótona.

25 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 45 Demostración.- Consideraremos el caso en que x 0 = a, con f(a) > 0, y por tanto f (a) > 0, y f (x) 0, con f (x) < 0, para todo x [a, b], siendo análogos los demás casos. En este caso, la función g(x) = x f(x)/f (x) considerada en la demostración del Teorema 2.29 satisface g (x) = f(x)f (x) (f (x)) 2 g (x) 0 si x [a, α), g (x) 0 si x (α, b]. Así pues, g es creciente en [a, α), y decreciente en. Por tanto, y por inducción, es decir, Como consecuencia de (4.35), x 0 = a < α x 1 = g(x 0 ) g(α) = α, x k α x k+1 = g(x k ) g(α) = α, x k α, para todo k 0. (4.35) x k+1 = x k f(x k) f (x k ) x k, para todo k 0, y por tanto, la sucesión {x k } k 1 es creciente y acotada por α, por lo que existe lím x k = α α. Para probar que α = α, se razona como en el Teorema Terminamos el Tema con un resultado de convergencia local para el método de Newton. Teorema 2.32 Sean (a, b) R un intervalo abierto, f : (a, b) R una función dada, y α (a, b) un punto tal que f(α) = 0. Para cada ρ > 0, denotemos I ρ = [α ρ, α + ρ]. En estas condiciones se satisfacen:, a) Si f C 1 (a, b) y f (α) 0, entonces existe un ρ > 0 tal que I ρ (a, b), y el (MN), tomando x 0 I ρ, converge a α, con convergencia al menos superlineal. b) Si bajo las condiciones de a), se satisface que existe una constante L > 0 tal que f (x) f (α) L x α, para todo x I ρ, (4.36) entonces la convergencia del (MN) a α partiendo de x 0 I ρ, es al menos cuadrática. c) Si bajo las condiciones de a), se satisface que f C 2 (I ρ ), entonces la sucesión {x k } k 1 construida por el (MN) partiendo de un punto x 0 I ρ, satisface x k+1 α lím x k α = f (α) 2 2 f (α), (4.37) y por consiguiente, si f (α) 0, entonces la convergencia a α es cuadrática, y si f (α) = 0, entonces la convergencia a α es supercuadrática.

26 46 Cálculo Numérico I. Demostración.- Antes de proceder a la demostración, observemos que bajo las condiciones impuestas sobre f, para la función g(x) = x f(x)/f (x) resultante sólo tenemos garantizado que es continua, y por tanto no podemos aplicarle el Teorema a) Supongamos que f C 1 (a, b) y f (α) 0. En primer lugar, evidentemente existe un δ 1 > 0 tal que I δ1 (a, b), y f (x) 0 para todo x I δ1. Consideremos la función y denotemos g(x) = x f(x) f (x), x I δ 1, µ = mín x I δ1 f (x). Demostremos en primer lugar que existe un 0 < ρ δ 1 tal que Para todo x I δ1 se satisface g(x) g(α) 1 2 x α, para todo x I ρ. (4.38) g(x) g(α) = g(x) α = x α f(x) f (x) = 1 f (x) [f (x)(x α) f(x)] = 1 f (x) [f (x)(x α) (f(x) f(α))] = 1 f (x) [f (x) f (y)] (x α), con y I δ1 un punto comprendido entre x y α. En consecuencia, g(x) g(α) = f (x) f (y) f (x) x α f (x) f (y) x α. (4.39) µ Ahora bien, como f es uniformemente continua en I δ1, existe un 0 < δ δ 1 tal que f (x) f (x) µ 2, para todo x, x I δ 1, tales que x x δ, y por tanto, tomando ρ = δ, por (4.39) obtendremos (4.38). Sea x 0 I ρ, fijado, y denotemos x k+1 = g(x k ). Observemos en primer lugar que si x k I ρ, entonces x k+1 α = g(x k ) g(α) 1 2 x k α ρ, y por consiguiente la sucesión {x k } k 0 está contenida en el intervalo I ρ. Para comprobar que dicha sucesión converge a α, basta observar que por la desigualdad anterior, 0 x k+1 α 1 2 x k α x k 1 α 1 2 k x 0 α 0, cuando k.

27 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 47 Finalmente, por (4.39), x k+1 α = g(x k ) g(α) f (x k ) f (y k ) x k α, (4.40) µ para todo k 0, con y k un punto intermedio entre x k y α, y en consecuencia, si x k α, x k+1 α x k α f (x k ) f (y k ) µ con lo que la convergencia de x k a α es superlineal. 0, cuando k, b) Si bajo las condiciones de a), se satisface además (4.36), entonces, por (4.40), x k+1 α f (x k ) f (y k ) x k α µ 1 µ ( f (x k ) f (α) + f (α) f (y k ) ) x k α 1 µ (L x k α + L y k α ) x k α 2L µ x k α 2, para todo k 0, con lo que la convergencia de x k a α es de orden 2 al menos. c) Si bajo las condiciones de a), se satisface además que f C 2 (I ρ ), entonces, por la fórmula de Taylor, x k+1 α = 1 f (x k ) [f (x k )(x k α) (f(x k ) f(α))] = f (ξ k ) 2f (x k ) (x k α) 2, con ξ k un punto intermedio entre x k y α, de donde se obtiene de manera inmediata (4.37). Como variantes del método de Newton citemos el método de la secante y el método de la regula falsi. El método de la secante es, a grandes rasgos, como el método de Newton pero tomando la recta secante como aproximación de la recta tangente. En este método de nuevo se construye una sucesión de números {x n } que converja hacia la raíz buscada; para ello, se parte de dos valores x 0 y x 1 y se traza la recta secante a la curva y = f(x) por los puntos (x 0, f(x 0 )) y (x 1, f(x 1 )), tomándose x 2 como la abscisa del punto de corte de esta recta con el eje OX. El proceso continúa construyendo x 3 a partir de x 1 y x 2. De esta manera se obtiene x k x k 1 x k+1 = x k f(x k ), k 2. f(x k ) f(x k 1 )

28 48 Cálculo Numérico I. Respecto de la convergencia sólo comentamos que no está siempre asegurada, pero cuando se da es bastante rápida. Una variante del método de la secante es el método de la regula falsi: se parte de los valores x 0 y x 1 de forma que f(x 0 )f(x 1 ) < 0 y se encuentra x 2 por el método de la secante. Para el cálculo de x 3 se utilizarán x 1 y x 2 si f(x 1 )f(x 2 ) < 0; en caso contrario, se usarán x 0 y x 2 puesto que entonces f(x 0 )f(x 2 ) < 0 (en este aspecto el método recuerda al de bisección). Este método es más lento que el de la secante pero tiene la ventaja que siempre es convergente.

29 Bibliografía [1] A. Aubanell, A. Benseny & A. Delshams, Útiles básicos de Cálculo Numérico, Labor, Barcelona [2] F. García & A. Nevot, Métodos Numéricos, Universidad Pontificia de Comillas, Madrid, [3] P. Henrici: Elementos de Análisis Numérico, John Wiley and Sons-Ed. Trillas, México, [4] J. A. Infante y J. M. Rey, Métodos Numéricos: Teoría, problemas y prácticas con MATLAB, Ediciones Pirámide, Madrid, Como bibliografía complementaria se pueden consultar: [5] K.E. Atkinson, An introduction to Numerical Analysis, Wiley, New York [6] R.L. Burden & J.D. Faires, Métodos Numérico, International Thomson Editores Spain Paraninfo, Madrid, [7] D. Kincaid & W. Cheney, Análisis Numérico, Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington,