Curso de Métodos Numéricos. Derivada Numérica

Transcripción

1 Curso de Métodos Numéricos. Derivada Numérica Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Universidad: ITESM CEM Fecha: Jueves, 01 de octubre de 2014

2 Tópicos 1 Definición de derivada 2 Derivada aproximada 3 Derivada numérica: MATLAB Aproximación derecha: u Aproximación izquierda: u Aproximación centrada: u Aproximación centrada: u

3 Tópicos 1 Definición de derivada 2 Derivada aproximada 3 Derivada numérica: MATLAB Aproximación derecha: u Aproximación izquierda: u Aproximación centrada: u Aproximación centrada: u

4 Derivada Es la razón de cambio de una variable dependiente con respecto a una variable independiente. La definición matemática de la derivada esta dada por una aproximación por diferencias: y x = f(x i + x) f(x i ), x dy dx = lim f(x i + x) f(x i ) x 0 x

5 Segunda derivada Representa la derivada de la primera derivada. Expresa la rapidez de cambio de la pendiente. d 2 y dx 2 = d dx ( ) dy dx

6 Segunda derivada Representa la derivada de la primera derivada. Expresa la rapidez de cambio de la pendiente. d 2 y dx 2 = d dx ( ) dy dx

7 Segunda derivada Representa la derivada de la primera derivada. Expresa la rapidez de cambio de la pendiente. d 2 y dx 2 = d dx ( ) dy dx

8 Derivadas de funciones de mas de una variable Se toma la derivada en un punto manteniendo constante todas las variables excepto una. f x = lim f(x + x, y) f(x, y) x 0 x f y = lim f(x, y + y) f(x, y) y 0 y

9 Derivadas de funciones de mas de una variable Se toma la derivada en un punto manteniendo constante todas las variables excepto una. f x = lim f(x + x, y) f(x, y) x 0 x f y = lim f(x, y + y) f(x, y) y 0 y

10 Derivadas de funciones de mas de una variable Se toma la derivada en un punto manteniendo constante todas las variables excepto una. f x = lim f(x + x, y) f(x, y) x 0 x f y = lim f(x, y + y) f(x, y) y 0 y

11 Tópicos 1 Definición de derivada 2 Derivada aproximada 3 Derivada numérica: MATLAB Aproximación derecha: u Aproximación izquierda: u Aproximación centrada: u Aproximación centrada: u

12 Discretización du dx De la fórmula de Taylor se tiene: u(x ± x) = u(x) ± x u (x) + x2 2 u (x) ± x3 6 u (x) + x4 24 u (x) + (1) Al sustituir x = x i, x + x = x i+1, x x = x i 1, u(x ± x) = u i±1 y u(x) = u i, la fórmula (1) se transforma en: u i±1 = u i ± x u i + x2 2 u i ± x3 6 u i + x4 24 u i + (2)

13 Discretización du dx De la fórmula de Taylor se tiene: u(x ± x) = u(x) ± x u (x) + x2 2 u (x) ± x3 6 u (x) + x4 24 u (x) + (1) Al sustituir x = x i, x + x = x i+1, x x = x i 1, u(x ± x) = u i±1 y u(x) = u i, la fórmula (1) se transforma en: u i±1 = u i ± x u i + x2 2 u i ± x3 6 u i + x4 24 u i + (2)

14 Discretización du dx De la fórmula de Taylor se tiene: u(x ± x) = u(x) ± x u (x) + x2 2 u (x) ± x3 6 u (x) + x4 24 u (x) + (1) Al sustituir x = x i, x + x = x i+1, x x = x i 1, u(x ± x) = u i±1 y u(x) = u i, la fórmula (1) se transforma en: u i±1 = u i ± x u i + x2 2 u i ± x3 6 u i + x4 24 u i + (2)

15 Discretización du dx De (2+) se obtiene: Aproximación derecha o hacia delante u i = u i+1 u i, ε = o( x) (3) x De (2-) se obtiene: Aproximación izquierda o hacia atrás u i = u i u i 1, ε = o( x) (4) x De (2+)-(2-) se obtiene: Aproximación centrada u i = u i+1 u i 1, ε = o( x 2 ) (5) 2 x

16 Discretización du dx De (2+) se obtiene: Aproximación derecha o hacia delante u i = u i+1 u i, ε = o( x) (3) x De (2-) se obtiene: Aproximación izquierda o hacia atrás u i = u i u i 1, ε = o( x) (4) x De (2+)-(2-) se obtiene: Aproximación centrada u i = u i+1 u i 1, ε = o( x 2 ) (5) 2 x

17 Discretización du dx De (2+) se obtiene: Aproximación derecha o hacia delante u i = u i+1 u i, ε = o( x) (3) x De (2-) se obtiene: Aproximación izquierda o hacia atrás u i = u i u i 1, ε = o( x) (4) x De (2+)-(2-) se obtiene: Aproximación centrada u i = u i+1 u i 1, ε = o( x 2 ) (5) 2 x

18 Discretización d2 u dx 2 De (2+)+(2-) se obtiene: Aproximación centrada para la segunda derivada u i = u i+1 2u i + u i 1 x 2, ε = o( x 2 ) (6)

19 Tópicos 1 Definición de derivada 2 Derivada aproximada 3 Derivada numérica: MATLAB Aproximación derecha: u Aproximación izquierda: u Aproximación centrada: u Aproximación centrada: u

20 Aproximación derecha: u Primera derivada du dx Aproximación derecha u i = u i+1 u i x

21 Aproximación derecha: u Programa MATLAB function pderivada d v1 ( f, xi, xf, np ) clc F= i n l i n e ( f, x ) ; dx =( xf x i ) / np ; x =[ x i : dx : x f +dx ] ; n=size ( x, 2 ) ; for i =1:n 1 df ( i ) =(F ( x ( i +1) ) F ( x ( i ) ) ) / dx ; end s a l i d a =[ x ( 1, 1 : n 1) df ] ; disp ( x DF ) disp ( s a l i d a ) syms x d e r f = d i f f ( f, x ) ; e z p l o t ( derf, [ xi dx, x f +dx ] ) ; hold on ; plot ( s a l i d a ( :, 1 ), s a l i d a ( :, 2 ),, c o l o r, green ) end

22 Aproximación derecha: u Ejemplo 1: f(x) = x 2 f = x ˆ2 ; x i =0; x f =4; np =4; pderivada d v1 ( f, xi, xf, np ) Salida x DF

23 Aproximación derecha: u Ejemplo 1: f(x) = x 2

24 Aproximación derecha: u Ejemplo 1: f(x) = x 2

25 Aproximación derecha: u Ejemplo 1: f(x) = x 2

26 Aproximación izquierda: u Primera derivada du dx Aproximación izquierda u i = u i u i 1 x

27 Aproximación izquierda: u Programa MATLAB function p d e r i v a d a i v 1 ( f, xi, xf, np ) clc F= i n l i n e ( f, x ) ; dx =( xf x i ) / np ; x =[ xi dx : dx : x f ] ; n=size ( x, 2 ) ; for i =2:n df ( i ) =(F ( x ( i ) ) F ( x ( i 1)) ) / dx ; end s a l i d a =[ x ( 1, 2 : n ) df ( 1, 2 : n ) ] ; disp ( x DF ) disp ( s a l i d a ) syms x d e r f = d i f f ( f, x ) ; e z p l o t ( derf, [ xi dx, x f +dx ] ) ; hold on ; plot ( s a l i d a ( :, 1 ), s a l i d a ( :, 2 ),, c o l o r, yellow ) end

28 Aproximación izquierda: u Ejemplo 2: f(x) = x 2 f = x ˆ2 ; x i =0; x f =4; np =4; p d e r i v a d a i v 1 ( f, xi, xf, np ) Salida x DF

29 Aproximación izquierda: u Ejemplo 2: f(x) = x 2

30 Aproximación izquierda: u Ejemplo 2: f(x) = x 2

31 Aproximación izquierda: u Ejemplo 2: f(x) = x 2

32 Aproximación centrada: u Primera derivada du dx Aproximación centrada u i = u i+1 u i 1 2 x

33 Aproximación centrada: u Programa MATLAB function pderivada c v1 ( f, xi, xf, np ) clc F= i n l i n e ( f, x ) ; dx =( xf x i ) / np ; x =[ xi dx : dx : x f +dx ] ; n=size ( x, 2 ) ; for i =2:n 1 df ( i ) =(F ( x ( i +1) ) F ( x ( i 1)) ) /(2 dx ) ; end s a l i d a =[ x ( 1, 2 : n 1) df ( 1, 2 : n 1) ] ; disp ( x DF ) disp ( s a l i d a ) syms x d e r f = d i f f ( f, x ) ; e z p l o t ( derf, [ xi dx, x f +dx ] ) ; hold on ; plot ( s a l i d a ( :, 1 ), s a l i d a ( :, 2 ),, c o l o r, red ) end

34 Aproximación centrada: u Ejemplo 3: f(x) = x 2 f = x ˆ2 ; x i =0; x f =4; np =4; pderivada c v1 ( f, xi, xf, np ) Salida x DF

35 Aproximación centrada: u Ejemplo 3: f(x) = x 2

36 Aproximación centrada: u Ejemplo 3: f(x) = x 2

37 Aproximación centrada: u Ejemplo 3: f(x) = x 2

38 Aproximación centrada: u Segunda derivada d2 u dx 2 Aproximación centrada u i = u i+1 2 u i + u i 1 x 2

39 Aproximación centrada: u Programa MATLAB function sderivada c v1 ( f, xi, xf, np ) clc F= i n l i n e ( f, x ) ; dx =( xf x i ) / np ; x =[ xi dx : dx : x f +dx ] ; n=size ( x, 2 ) ; for i =2:n 1 df ( i ) =(F ( x ( i +1) ) 2 F ( x ( i ) ) +F ( x ( i 1)) ) / ( dx ˆ 2 ) ; end s a l i d a =[ x ( 1, 2 : n 1) df ( 1, 2 : n 1) ] ; disp ( x DF ) disp ( s a l i d a ) syms x d e r f = d i f f ( f, x ) ; der2f= d i f f ( derf, x ) ; e z p l o t ( der2f, [ xi dx, x f +dx ] ) ; hold on ; plot ( s a l i d a ( :, 1 ), s a l i d a ( :, 2 ),, c o l o r, red ) end

40 Aproximación centrada: u Ejemplo 4: f(x) = x 3 f = x ˆ3 ; x i =0; x f =4; np =4; sderivada c v1 ( f, xi, xf, np ) Salida x DF

41 Aproximación centrada: u Ejemplo 4: f(x) = x 3