RESOLUCIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES -- Método de Newton-Raphson

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Elisa Aguilar Martin
hace 6 años
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1 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES -- Método de Newton-Raphson. El método de Newton para la resolución de una ecuación f(x)=0. Sea f(x) una función continuamente diferenciable dos veces en el intervalo [a, b], lo cual se expresa: f C [ a, b]. Sea x [ a, b] una aproximación a la raíz p tal que: f ( x) 0 x p 0 Expresamos el desarrollo de Taylor de primer grado para f(x) en torno a x : ( x x) f ( x) f ( x) ( x x) f ( x) f "( c) {} Aquí sustituimos x=p, y, considerando: f ( p) 0 p x 0 Y despejando p, tenemos: 0 f ( x) ( p x) f ( x) f ( x) p x f ( x) {} El método de Newton consiste en tomar una aproximación inicial, x, y a continuación obtener una aproximación más refinada mediante la fórmula de arriba. Es decir, se trata de acercarnos a la raíz p por medio de la fórmula recursiva: p f ( p ) n n pn {3} f ( pn ). El método de Newton-Raphson para la resolución de un sistema (no lineal). Para la resolución de un sistema no lineal de n ecuaciones con n incógnitas, en la forma: f( x, x,, xn) 0 f( x, x,, xn ) 0 4 fn ( x, x,, xn) 0 Se utiliza un método paralelo al visto anteriormente, denominado método de Newton- Rapson para un sistema no lineal.

2 Utilizaremos la notación vectorial: x x x = x n Con esta notación, el sistema {4} lo podemos expresar así: F(x) = 0 {4} Siendo F : F = f f f n {5} Si partimos de una aproximación inicial x = x, x,, xn Aplicando el desarrollo de Taylor de la función n-multiple F, entorno de una solución p del sistema, se obtiene una fórmula de aproximación similar a {}: p x - J(x ) - F(x ) {6} Donde J(x) - es la matriz inversa de la matriz jacobiana de las funciones F: f f f x x x n f f f J ( x) x x x n fn fn fn x x x n El método de Newton-Raphson para un sistema de ecuaciones no lineales supone seguir una fórmula paralela a {3}: x (k+) = x (k) J - (x (k) ) F(x (k) ) {7} [Atención: Aquí utilizamos la notación x (k+), en lugar de x k+, para no confundir con las incógnitas x, x, ] El inconveniente de este método directo reside en la necesidad de hallar la inversa de la matriz J(x) para cada iteración.

3 Para evitar tener que hacer la inversa de J se procede así: Se dan los dos siguientes pasos:. Hallamos Δx (k) = (x (k+) - x (k) ) tal que J(x (k) ) Δx (k) = - F(x (k) ). (Equivale a resolver un sistema lineal). Ahora tenemos: x (k+) = x (k) + Δx (k). Observar que esto equivale a realizar {7}, puesto que: x (k+) = x (k) + J - (x (k) ) J(x (k) ) Δx (k). Como ejemplo de aplicación de esta técnica indirecta resolvamos el siguiente sistema no lineal: x 0 x x 8 0 xx x 0x 8 0 La función F estará formada por las dos funciones: f ( x) x 0x x 8 f ( x) x x x 0x 8 Es decir, F (x) = x 0x x 8 xx x 0x 8 Hallamos el jacobiano: f f x x x 0 x J ( x) f f x xx 0 x x Tomamos como aproximación inicial x 0 = 0. El método directo consistiría en aplicar iterativamente a este valor inicial x el algoritmo{7}. Pero apliquemos el método indirecto con sus dos pasos: I) Resolvemos el sistema J(x ) Δx = - F(x ), siendo: J x ( ) f f x x 0 0 x x f f 0 ; F(x 8 ) = 8

4 O sea, se resuelve el sistema: 0 0 x 8. 0 x 8 Este sistema se podría resolver por el método de Jacobi o por el método de Gauss, en nuestro caso la solución es inmediata: x 0.8 x 0.88 II) Hacemos : x () = x + Δx. Es decir, () () x x x x () () x x x x Ahora tomaríamos este valor como nueva aproximación: () x 0.8 () x 0.88 Y volveríamos hacer los dos pasos I y II en forma iterativa: () ().44 J ( x ) ; F( x ) Se resuelve el sistema: () x.44. () x 0.69 Y en el paso II se obtiene la siguiente aproximación a la solución: Como resumen de las iteraciones expresemos las sucesivas aproximaciones a la solución: n x x _ La solución de este sistema es x =, x =, como fácilmente se puede comprobar.

5 ALGORITMO DE NEWTON-RAPHSON (para sistemas no lineales). Para aproximar una solución del sistema no lineal F(x) = 0, dada una aproximación inicial x. Entrada: Las n funciones f,, f n, (NOTA : Para Matlab introducir cada función en un m-file independiente); aproximación inicial x ; tolerancia TOL; número máximo de iteraciones N. (NOTA : Nosotros calcularemos J manualmente y meteremos en m-files cada uno de sus elementos) Salida: Solución aproximada de x = {x, x,, x n } o mensaje de fracaso. Paso : Tomar k=. Paso : Mientras que k N seguir pasos 3-7. Paso 3: Calcular F(x) y J(x) para la aproximación x. Paso 4: Resolver el sistema lineal J(x) Δx = - F(x). (se puede llamar y Δx) Paso 5: Tomar x = x + y. =================================== Para no liarse en exceso, pueden sustituirse los pasos 4 y 5 por: Paso 4: Tomar x = x J - (x) F(x) Paso 6: Si y < TOL entonces sacar x, fin. Paso 7: Tomar k = k +. Paso 8: Si y < TOL sacar mensaje de fracaso.

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