4. Aritmética y operadores

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1 4. Aritmética y operadores Fundamentos de Computadores Ingeniería de Telecomunicación Raúl Durán Díaz Departamento de Automática Escuela Politécnica Superior Curso académico Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 1 / 58 Contenidos Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 2 / 58

2 Aritmética básica con bits. y secuencial. Operadores hardware para realizar las operaciones: sumas, multiplicaciones y sus opuestas. Unidad aritmético-lógica. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 3 / 58 En dónde estamos Unidad de control Memoria Periféricos Unidades funcionales Figura: Bloques básicos de la máquina von Neumann Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 4 / 58

3 Ejemplo Implementan ecuaciones booleanas. Los operadores booleanos son: operador y,. Usamos el producto,. operador o,. Usamos la suma, +. operador no,. Usamos una barra sobre la variable. Las salidas dependen de las entradas. y = x 1 + x 2 (x 3 + x 4 ) + x 5 Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 5 / 58 Tablas de verdad Ejemplo Expresan la(s) salida(s) en función de la(s) entrada(s). La ecuación anterior para algunas entradas (hay 2 5 posibles): x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 y Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 6 / 58

4 Leyes de de Morgan Primera ley: Segunda ley: (x y) = x + y (x + y) = x y Break the line, change the sign. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 7 / 58 a b & c c = a b Figura: Puerta lógica AND Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 8 / 58

5 a b c c = a + b Figura: Puerta lógica OR Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 9 / 58 a b XOR c c = a + b Figura: Puerta lógica XOR Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 10 / 58

6 a c c = a Figura: Puerta lógica NOT Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 11 / 58 Implementación física con un transistor bipolar Figura: Inversor con transistor bipolar Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 12 / 58

7 d a b 0 1 c c = (d == 0)?a:b; Figura: Multiplexor Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 13 / 58 Otras puertas lógicas Existen también: puerta NAND; puerta NOR; puerta XOR; puerta XNOR. Todas se pueden construir con las tres básicas: AND, OR, NOT. Las puertas se caracterizan por su retardo en la respuesta, asociado a la tecnología con que están implementadas. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 14 / 58

8 Ejemplo de lógica combinacional 0 1 & Figura: Unidad lógica para AND y OR Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 15 / 58 Las salidas dependen de las entradas y de entradas anteriores. Se trata de elementos con memoria. Introduciremos para ello el concepto de registro. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 16 / 58

9 Elemento secuencial B V S C V = B cuando C Figura: Elemento secuencial: registro de 1 bit Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 17 / 58 Suma básica binaria Vamos a sumar (000111) 2 + (000110) 2. (0) (0) (1) (1) (0) (lo que me llevo ) Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 18 / 58

10 Sumador de 1 bit A B C In C Out S Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 19 / 58 Ecuaciones booleanas correspondientes Para la suma S: S = a b C In + a b C In + a b C In + a b C In. Para el acarreo de salida C Out : C Out = b C In + a C In + a b. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 20 / 58

11 Diseño hardware del sumador de 1 bit A i B i S i C i 1 C i Figura: Circuito para sumador de 1 bit Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 21 / 58 Sumador con propagación de acarreo bn an b3 a3 b2 a2 b1 a1 b0 a0... sn s3 s2 s1 s0 Figura: Sumador con propagación de acarreo (de derecha a izquierda) Nota: Las señales verdes son la interfaz del operador con el exterior. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 22 / 58

12 Sumador/restador de 1 bit bn an S/R sn Figura: Sumador y restador elemental para 1 bit Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 23 / 58 Sumador con anticipación de acarreo Recordemos que C Out = b C In + a C In + a b. Para nuestro sumador elemental, C In 2 = b1 C In 1 + a1 C In 1 + a1 b1. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 24 / 58

13 Sumador con anticipación de acarreo En general, escribiéndolo en forma más compacta: c i+1 = a i b i + c i (a i + b i ). Si itero la anterior fórmula, c i+2 = a i+1 b i+1 + c i+1 (a i+1 + b i+1 ) que, en función de c i, será: c i+2 = a i+1 b i+1 + (a i b i + c i (a i + b i )) (a i+1 + b i+1 ). Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 25 / 58 Sumador con anticipación de acarreo Si definimos el propagador p i = a i + b i y el generador g i = a i b i, podemos escribir lo anterior y c i+1 = g i + p i c i. c i+2 = g i+1 + p i+1 (g i + c i p i ). con lo que se ve la relación de recurrencia. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 26 / 58

14 Sumador con anticipación de acarreo Supongamos que el sumador es de cuatro bits: c 1 = g 0 + p 0 c 0 c 2 = g 1 + p 1 g 0 + p 1 p 0 c 0 c 3 = g 2 + p 2 g 1 + p 2 p 1 g 0 + p 2 p 1 p 0 c 0 c 4 = g 3 + p 3 g 2 + p 3 p 2 g 1 + p 3 p 2 p 1 g 0 + p 3 p 2 p 1 p 0 c 0 Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 27 / 58 Comparación de velocidades entre ambas versiones El sumador de propagación introduce un retardo de dos puertas por bit. Para n bits, tendremos un retardo máximo de n 2 retardos de puerta. Para el de anticipación, el retardo es independiente del número de bits, y vale 3 retardos de puerta. En la práctica, hay que introducir más niveles en este segundo, por problemas de fan-in en las puertas. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 28 / 58

15 Obtención del inverso para la suma Para obtener el inverso en complemento a 2, observemos que se cumple x + x + 1 = 0 (mód 2 w ), por lo que x = x + 1. Para obtener el inverso en complemento a 1, observemos que por lo que x = x. x + x = 0 (mód 2 w 1), Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 29 / 58 Sumador en complemento a 2 a3 a2 a1 a0 b3 b2 b1 b0 S/R Co Ci s3 s2 s1 s0 Figura: Sumador y restador en complemento a 2 Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 30 / 58

16 Repaso: conceptos de acarreo y desbordamiento Si en la suma binaria básico, el bit más significativo produce acarreo, decimos que ha habido acarreo. Si el resultado de una operación no cabe en la representación usada, hablamos de desbordamiento. Son conceptos relacionados, pero no idénticos. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 31 / 58 Desbordamiento en suma y resta Operación A B Desborda si... A + B 0 0 < 0 A + B < 0 < 0 0 A B 0 < 0 < 0 A B < Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 32 / 58

17 Condición de desbordamiento en complemento a 2 El sumador actúa módulo 2 w, por lo que su resultado es correcto. El desbordamiento ocurre cuando el resultado no cabe en el rango de la representación. Cuando se suman (se restan) dos números de distinto (igual) signo, no puede ocurrir el desbordamiento. En caso contrario, sí puede ocurrir. La condición de desbordamiento D se expresa, entonces, así: D = a w 1 b w 1 s w 1 + a w 1 b w 1 s w 1. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 33 / 58 Sumador en complemento a 1 a3 a2 a1 a0 b3 b2 b1 b0 S/R Co Ci s3 s2 s1 s0 Figura: Sumador y restador en complemento a 1 Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 34 / 58

18 Sumador en complemento a 1 La condición de desbordamiento D es igual que en el caso del complemento a 2, es decir, D = a w 1 b w 1 s w 1 + a w 1 b w 1 s w 1. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 35 / 58 Sumador para representación en exceso Recordemos que la transformación consiste en sumar un valor fijo (el exceso ), que suele ser Z = 2 w 1, de modo que n n + 2 w 1. La suma y la resta requieren correcciones: A A + Z B B + Z A + B A + B + 2Z, A B A B. Para la suma hay que restar Z y para la resta hay que sumar Z. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 36 / 58

19 Sumador para representación en exceso Recordemos que si el exceso es Z = 2 w 1, entonces podemos pasar de la representación en exceso a la de complemento a 2 y viceversa sin más que complementar el bit más significativo. Entonces podemos aprovechar el sumador ya existente para el complemento a 2 y utilizarlo para sumar la representación en exceso. Complementamos el bit más significativo para pasar a complemento a 2, sumamos, y complementamos el bit más significativo del resultado para volver a la representación en exceso. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 37 / 58 Multiplicación entera sin signo Seguimos, básicamente, el método manual. Obsérvese que el resultado ocupa el doble de bits que los operandos. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 38 / 58

20 Pasos de la multiplicación 1 Observar bit 0 en P 0. 2 Si es 1, sumar el multiplicando A con P 1 y almacenar en P 1. 3 Desplazar el registro un lugar a la derecha. 4 Si no hemos agotado los bits, volver al paso primero. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 39 / 58 Multiplicador sin signo A Bateria ANDs + B Pc P1 P0 L1 CLK L1 CLK L2 Producto parte alta Producto parte baja Figura: Multiplicador binario sin signo Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 40 / 58

21 Cuadro ejemplo de multiplicación Multiplicar (1100) 2, en A, por (1010) 2, en P 0. reg. desp. P 1 P 0 op estado inicial suma desplazamiento suma desplazamiento suma desplazamiento suma desplazamiento Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 41 / 58 Multiplicación con signo Lo más fácil puede ser Convertir los números a positivo. Realizar la multiplicación sin signo. Transformarlos según el signo que toque. Evidentemente, es lento. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 42 / 58

22 Multiplicación con signo: multiplicando negativo Se puede utilizar el método sin signo si sólo el multiplicando es negativo. El factor negativo se coloca en el multiplicando A, se realiza la operación de desplazamiento extendiendo el signo, y se obtiene el resultado correcto. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 43 / 58 Multiplicación con signo: multiplicador negativo Si el multiplicador B es negativo, colocamos A en el multiplicando y B en el multiplicador, realizamos la operación normalmente, corregimos el resultado, restándole 2 w A, que es tanto como sumarle 2 2w 2 w A. En efecto, observemos que para obtener A B, se tiene A A B 2 w B A (2 w B) + A B + 2 2w 2 w A 2 2w 2 w A = 2 2w AB. Observemos que se obtiene el resultado esperado. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 44 / 58

23 Multiplicación con signo: ambos negativos Si el multiplicando A y el multiplicador B son negativos, colocamos A en el multiplicando y B en el multiplicador, realizamos la operación normalmente, corregimos el resultado, sumándole 2 w (A + B). En efecto, observemos que para obtener A B, se tiene A 2 w A B 2 w B (2 w A) (2 w B) + A B + 2 w (A + B) 2 w (A + B) = 2 2w + AB. El término 2 2w es un acarreo (que despreciamos) y obtenemos el valor correcto AB. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 45 / 58 Algoritmo de Booth Permite multiplicar números con signo tanto en el multiplicando como en el multiplicador y siempre da resultados correctos. Se basa en sumas y restas (necesita un sumador/restador) y en desplazamiento aritméticos. Es un poco más complicado desde el punto de vista hardware. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 46 / 58

24 Pasos del algoritmo de Booth 1 Inicializar el producto parcial a 0. Hacer b a igual al bit menos significativo y b t = 0. 2 Examinar bit actual b a y bit anterior b t y en función de los valores de b a b t : 1 si b a b t = 10 : se resta el multiplicando de la parte alta del producto parcial. 2 si b a b t = 01 : se suma el multiplicando a la parte alta del producto parcial. 3 si b a b t = 11 o b a b t = 00 : no se hace nada. 3 Desplazar aritméticamente el producto parcial un bit hacia la derecha. 4 Si queda un bit a la izquierda de b a, actualizar b a con ese bit, actualizar b t con el antiguo b a y volver al paso anterior; en caso contrario, terminar. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 47 / 58 División entera Se realiza también, como la multiplicación, mediante sumas, restas y desplazamientos, imitando las operaciones manuales. Veremos dos algoritmos: con restauración, más sencillo, pero más lento; sin restauración, más rápido y complicado. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 48 / 58

25 División con restauración Se prueba un cociente a ver si cabe o no cabe. Si no cabe se baja la siguiente cifra. La operación de bajar una nueva cifra y probar de nuevo se llama restauración. El dividendo se coloca inicialmente en el registro Dividendo alto-dividendo bajo y el divisor en el registro Divisor. El registro Cociente se inicializa a 0. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 49 / 58 Cuadro ejemplo de división con restauración Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 50 / 58

26 Diseño hardware para división con restauración Dividendo alto Resto (al final) Dividendo bajo Cociente 0 1 Signo Resta + Divisor Figura: Divisor con restauración Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 51 / 58 División sin restauración Se prueba un cociente a ver si cabe o no cabe. Si no cabe se baja la siguiente cifra. En vez de restaurar, se suma de nuevo el divisor, lo cual equivale a una restauración. El dividendo se coloca inicialmente en el registro Dividendo alto-dividendo bajo y el divisor en el registro Divisor. El registro Cociente se inicializa a 0. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 52 / 58

27 Cuadro ejemplo de división sin restauración Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 53 / 58 Diseño hardware para división sin restauración Dividendo alto Resto (al final) Dividendo bajo Cociente Signo Suma/Resta + Divisor Figura: Divisor sin restauración Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 54 / 58

28 División con signo Para dividir con signo, recordamos los signos de dividendo y divisor y cambiamos el signo del cociente si aquellos difieren. El signo del resto debe ser el mismo que el del dividendo. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 55 / 58 Suma en coma flotante Operador de suma Operador de multiplicación Los pasos para sumar o restar dos operandos en coma flotante son: 1 Seleccionar el operando con exponente más bajo y correr la coma de la mantisa tantas posiciones como sea necesario para alinearla con la de de exponente más alto. 2 Suma o resta de mantisas alineadas. 3 Si el resultado no está normalizado, llevar la coma a su lugar y ajustar el exponente adecuadamente. Comprobar si hay desbordamiento por arriba o por abajo. 4 Aplicar el redondeo si el número de bits significativos de la mantisa es excesivo. 5 Normalizar de nuevo, si es necesario. NB: Generalmente dentro de la ALU se emplean más bits que los almacenados en memoria, para tratar de compensar las pérdidas de precisión. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 56 / 58

29 Multiplicación en coma flotante Operador de suma Operador de multiplicación Los pasos para multiplicar dos operandos en coma flotante son: 1 Sumar los exponentes de los operandos, ajustando el exceso. 2 Multiplicar las mantisas. 3 Normalizar el resultado si es necesario. Comprobar desbordamiento, por arriba o por abajo. 4 Aplicar redondeo si el número de bits significativos de la mantisa es excesivo. 5 Normalizar de nuevo, si se requiere. 6 Ajustar los signos: positivo si los signos de los operandos eran iguales; negativo, en caso contrario. Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 57 / 58 Unidad de aritmética y lógica integrada A B Estado Operacion Estado Resultados Figura: Estructura de la ALU integrada Raúl Durán Díaz 4. Aritmética y operadores 58 / 58