Esta es el borrador de algunos ejemplos de 5Ed- Está en proceso de depuración.

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5 En los siguientes ejemplos por facilidad se generan los datos a partir de las ecuaciones exponencial, potencias, razón de crecimiento escogiendo valores arbitrarios de alfa y beta teniendo los puntos cartesianos los linearizamos para obtener la línea de regresión lineal de donde podemos reconstruir los valores de alfa y beta correspondientes a las líneas de regresión exponencial, de potencias o de razón de crecimiento. Toma nota que en estos 3 casos los puntos tabulados son parte misma de la línea de regresión obtenidos, esto es, los residuos para cada punto es cero. Datos generados con función exponencial: Datos generados con función de potencias: y = 3 e 1x α=3 ; β=1 y = 4 x 2 α=4 ; β=2 y lineariz. Datos linearizados n = x i y i ln y x i * y i x 2 n = x i y i log x log y x i * y i x Σ Σ prom promedio a1 = >>> β=1 a1 = >>> β=2 a0 = >>> =ln(α) >>> α=exp(a0)=3 3 a0 = >>> =log(α) >>> α=10^a0= Ec. Regresión lineal. Ecuación Regresión Exponencial. Ecuación Regresión lineal. Ec. Regresión de Potencias. Pronóstico para x= 3.5 Pronóstico para x= 3.5 Encontrar pronóstico para x= 3.5 Pronóstico para x= 3.5 usando regresión lineal usando reg. exponencial usando regresión lineal usando reg. de potencias x orig = 3.5 x orig = 3.5 x linear = 3.5 x linear = y linear = y orig = = 3 exp (x orig) y linear = y orig = = 4 x orig^2 y orig = = EXP(y linear) y orig = = 10^y linear) Datos generados con razón de crecimiento: y = 5 x /(6+x) α=5 ; β=6 Datos linearizados n = x i y i 1/x 1/y x i * y i x Σ promedio a1 = >>> 1.2=β/α >>> β=1.2*5=6 a0 = >>> 0.2 =1/α >>> α=1/.2= Ec. Regresión. 5 Ec. Regresión lineal: Razón Crecim. 6 Encontrar pronóstico para x= 3.5 Pronóstico para x= 3.5 usando reg. Razón de cr. x orig = 3.5 x linear = y linear = y orig = = 5 x orig / (6+x orig) y orig = = 1/y linear A.Cervantes Ejemplos de Métodos numéricos (borrador) Page 5

6 Ejemplo 17.6 Regresión Lineal Múltiple 2 n = y i x 1i x 2i x 1i x 2i 2 Errores x 1 x 2 x 1 y x 2 y y i -y pron (y i-y pron) Σ Usando operaciones matriciales en Excel minv mmult,ctl-shift-enter a \ = 4.0 a a2 A.Cervantes Ejemplos de Métodos numéricos (borrador) Page 6

7 Ejemplo 18.1 Interpolación Lineal 1. Estime ln 2 mediante interpolación lineal 1a. Interpole entre ln 1 = 0 y ln 6 = x 0 = 1 f(x 0) = 0 x 1 = 6 f(x 1) = FIND: TRUE f1(x) = % 1a. Interpole entre ln 1 = 0 y ln 4 = x 0 = 1 f(x 0) = 0 x 1 = 4 f(x 1) = FIND: TRUE f1(x) = % Ejemplo 18.2 Interpolación cuadrática. Valor x encontrar f(x) verdadera x 0 = 1 f(x 0 ) = x 1 = 4 f(x 1 ) = x 2 = 6 f(x 2 ) = b 0 = 0 b 1 = b 2 = Los coeficientes anteriores forman la versión alterna del único polinomio de grado 2 que pasa por esos 3 puntos: f2(x) = que se evalúa para x=2 para hallar el ln 2 A.Cervantes Ejemplos de Métodos numéricos (borrador) Page 7

8 Valor x encontrarf(x) verdadera Ejemplo 18.3 Polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas. x 0 = 1 f(x 0 ) = 0 f[x 1,x 0 ]= f[x 2,x 1,x 0 ]= f[x 3,x 2,x 1,x 0 ]= x 1 = 4 f(x 1 ) = f[x 2,x 1 ]= f[x 3,x 2,x 1 ]= x 2 = 6 f(x 2 ) = f[x 3,x 2 ]= x 3 = 5 f(x 3 ) = f 3 (x) = Valor x encontrarf(x) verdader Ejemplo 18.6 Polinomios de interpolación de Lagrange. x 0 = 1 f(x 0 ) = 0 x 1 = 4 f(x 1 ) = x 2 = 6 f(x 2 ) = Para el polinomio de primer grado f 1 (2) = Para el polinomio de segundo grado f 2 (2) = A.Cervantes Ejemplos de Métodos numéricos (borrador) Page 8

9 Ejemplo 23.1 Fórmulas de diferenciación de alta exactitud. Resuelto PARCIALMENTE Resolver para x = 0.5 h = 0.25 Valor verdadero x i-2 = 0 f(x i-2 ) = x i-1 = 0.25 f(x i-1 ) = x i = 0.5 f(x i ) = x i+1 = 0.75 f(x i+1 ) = x i+2 = 1 f(x i+2 ) = 0.2 Todas las diferencias son centradas: Primera derivada de exactitud O(h 2 ) Primera derivada de exactitud O(h 4 ) Segunda derivada de exactitud O(h 2 ) A.Cervantes Ejemplos de Métodos numéricos (borrador) Page 9

10 Ejemplo 25.1 Método de Euler Con el método de Euler integre numéricamente la ecuación: La solución exacta está dada por la ecuación original: Datos de la integración: desde x = 0 hasta x = 4 h = 0.5 La condicion inicial en x = 0 es y = 1 Error relativo porcentual x y verdadero y Euler Global Local % % % % % % % % Ejemplo 25.5 Método de Heun Con el método de Heun integre numéricamente la ecuación: Solución analítica obtenida mediante cálculo: (para fines del error verdadero) Datos de la integración: desde x = 0 hasta x = 4 h = 1 La condicion inicial en x = 0 es y = 2 pendiente predictor al final corrector x y verdadero y Heun y' y 0 i+1 y' 1 yi A.Cervantes Ejemplos de Métodos numéricos (borrador) Page 10