TEMA 3 Aproximación de funciones: interpolación y ajuste

Transcripción

1 TEMA 3 Aproximación de funciones: interpolación y ajuste Chelo Ferreira González Isaac Newton ( )

2 1. Introducción. Modelos matemáticos 2. Métodos numéricos. Resolución de sistemas lineales y ecuaciones no lineales 3. Aproximación de funciones: interpolación y ajuste 4. Modelos discretos elementales. Ecuaciones en diferencias 5. Estadística descriptiva. Análisis de datos 6. Variable aleatoria. Distribuciones de probabilidad 7. Distribuciones de probabilidad importantes 8. Estimación de parámetros por intervalos de confianza 9. Contraste de hipótesis. Introducción al análisis de la varianza 10. Correlación y regresión. El modelo de regresión simple

3 Introducción a la aproximación Interpolación polinómica de funciones Aproximación discreta por mínimos cuadrados Clases estimadas para este tema: 2 clases

4 1. INTRODUCCIÓN A LA APROXIMACIÓN Objetivo: Utilidad de la aproximación. Ideas de interpolación, aproximación y ajuste. Polinomios de interpolación de una función. Aproximación de una función. Ajuste por mínimos cuadrados de una recta a una nube de puntos Problema: concentración de inmunoglobulinas (IgG) en suero de corderos frente al diámetro del aro de precipitación del suero al reaccionar con el anti-igg del gel. 4.0 mm 4.5 mm 11 mm 3380 mg/l 5780 mg/l mg/l interpolación Problema: Computacionalmente a veces es conveniente aproximar f(x) = 1 σ π e (x µ)2 /2σ 2 f(x) aproximación

5 Problema: es razonable la tesis de nuestro compañero fisiólogo por la que establece que la disminución de hemoglobina está relacionada linealmente con el aumento de la creatinina y el aumento del BUN en pacientes con insuficiencia renal crónica? hemoglobina (g/dl) creatinina (mg/dl) BUN (mg/dl) ajuste

6 2. LA INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE FUNCIONES {f(x), {x 0, x 1,..., x n }} {(x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n )} p(x), p(x i ) = f(x i ) = y i p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n { 1, x, x 2,..., x n} base Problema de interpolación polinómica sobre la existencia y unicidad de solución Ejemplo. f(x) = cos x + x 2, I = [0, π/2]. Obtener el polinomio de interpolación de grado 2 para {x i }={0, π/4, π/2} Interpolación lineal recta que pasa por dos puntos estimación del error. Teorema de Rolle

7 Ejemplo. Obtener la recta de interpolación para la función anterior con {x i }={0, π/2}. Dar una estimación del error datos: {x 0, x 1,..., x n } [a, b], f(x i ), y i,... Polinomio de Lagrange: condición: p(x i ) = f(x i ) = y i, 0 i n n p(x) = f(x i )l i (x), l i (x) = i=0 único y de grado n j=0,j i (x x j ) (x i x j ) sobre el error de interpolación teorema de Rolle Lagrange: f n+1 (ξ), h n+1 ξ (a, b) h = máx 1 i n x i x i 1

8 Ejemplo. Obtener el polinomio de interpolación de Lagrange de grado dos para el ejercicio anterior. Dar una acotación del error de interpolación. Si añadimos un nuevo punto todos los cálculos? Polinomio de Newton (*): condición: p(x i ) = f(x i ), 0 i n diferencias divididas: progresivas, regresivas Ejemplo. Obtener el polinomio de interpolación de Newton en los puntos: ( 1, 6), (0, 1), (2, 3), (5, 66) Mejorará la interpolación si tomamos mayor número de puntos? fenómeno de Runge interpolación a trozos

9 3.APROXIMACIÓN LINEAL DISCRETA POR MÍNIMOS CUADRADOS Objetivo: dado un conjunto de n datos experimentales (x i, y i ), vamos a estimar el valor de una función en puntos no tabulados, donde es razonable una función lineal qué significa buena aproximación? función real función estimada mínimo

10 Objetivo: encontrar y = ax + b tal que la distancia anterior sea mínima. Se denomina ajuste de una recta a una nube de puntos según la distancia y la construcción de f(x) mínimos cuadrados discretos función real función estimada = (y i ŷ i ) 2 Por tanto, hay que buscar a y b que verifiquen mín (y i ŷ i ) 2 = mín (y i (ax i + b)) 2 Los valores de a y b que minimizan esta función: (y i (ax i + b)) 2 = 2x i (y i (ax i + b)) = 0 a (y i (ax i + b)) 2 = 2(y i (ax i + b)) = 0 b

11 reorganizando el sistema anterior obtenemos: y i = nb + a x i y i = b x i + a x i x 2 i resolver a y b que son las ecuaciones normales de un problema de mínimos cuadrados. Ejemplo. Ajustar por mínimos cuadrados discretos una recta a la siguiente tabla de datos. Obtener el error cuadrático medio: x i y i