J. Armando Lara R. Invierno

Transcripción

1 Interpolación Spline J. R. Ingeniería Electrónica Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas Invierno

2 Outline Interpolación Spline 1 Interpolación Spline Introducción 2 3 4

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8 Introducción Interpolación Spline Introducción La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación. Podemos decir, que una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad. Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas.

9 Desarrollo del Método Introducción Definición (Splines de grado k) Dada nuestra tabla de datos: Cuadro: Datos x y x 0 y 0 x 1 y x n y n donde suponemos que x 0 < x 1 < x 2 < < x n y dado que k es un número entero positivo

10 Desarrollo del Método Introducción una función de interpolación spline de grado k, para la tabla de datos, es una función S(x) tal que : 1 S(x i ) = y i, para toda i = 0, 1,..., n. 2 S(x) es un polinomio de grado k en cada subintervalo [x i 1, x i ]. 3 S(x) tiene derivada continua hasta de orden k 1 en [x 0, x n ].

11 Dados los n + 1 puntos de la Tabla 1, Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos mediante segmentos de recta, como sigue: Figura: Naturaleza de la interpolación spline de grado uno.

12 Así, tenemos que para este caso: s 1 (x) si x [x 0, x 1 ] s 2 (x) si x [x 1, x 2 ] S(x) = s 3 (x) si x [x 2, x 3 ]. s n (x) si x [x n 1, x n ] donde: 1 S j (x) es un polinomio de grado menor o igual que 1 2 S(x) tiene derivada continua de orden k 1 = 0. 3 S(x j ) = y j, para j = 0, 1,..., n.

13 Por lo tanto, la spline de grado 1 queda definida como: y 0 + f[x 1, x 0 ](x x 0 ) si x [x 0, x 1 ] y 1 + f[x 2, x 1 ](x x 1 ) si x [x 1, x 2 ] S(x) =. si x [x 2, x 3 ] y n 1 + f[x n, x n 1 ](x x n 1 ) si x [x n 1, x n ] donde f[x i, x j ] es la diferencia dividida de Newton.

14 Veamos un ejemplo concreto, consideremos los siguientes datos: Cuadro: Datos x y

15 procedamos a calcular la interpolación por splines de grado 2. Primero que nada, vemos que se forman tres intervalos: [3, 4,5], [4,5, 7], [7, 9] En cada uno de estos intervalos, debemos definir una función polinomial de grado 2, como sigue: a 1 x 2 + b 1 x + c 1 si x [3, 4,5] S(x) = a 2 x 2 + b 2 x + c 2 si x [4,5, 7] a 3 x 2 + b 3 x + c 3 si x [7, 9]

16 Hacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos, es decir, se debe cumplir que: s(3) = 2,5, s(4,5) = 1, s(7) = 2,5, s(9) = 0,5 Así se forman las siguientes ecuaciones: s(3) = 2,5 9a 1 + 3b 1 + c 1 = 2,5 { (4,5) 2 a 1 + 4,5b 1 + c 1 = 1 s(4,5) = 1 (4,5) 2 a 2 + 4,5b 2 + c 2 = 1 { (49) 2 a 2 + 7b 2 + c 2 = 2,5 s(7) = 2,5 (49) 2 a 3 + 7b 3 + c 3 = 2,5 s(9) = 81a 3 + 9b 3 + c 3 = 0,5

17 Hasta aquí, tenemos un total de 6 ecuaciones con 9 incógnitas. El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas continuas. En el caso de las splines de grado 2, necesitamos que la spline tenga derivada continua de orden k 1 = 1, es decir, primera derivada continua. Calculamos primero la primera derivada: 2a 1 + b 1 si x [3, 4,5] S (x) = 2a 2 + b 2 si x [4,5, 7] 2a 3 + b 3 si x [7, 9]

18 Vemos que esta derivada está formada por segmentos de rectas, que pudieran presentar discontinuidad en los cambios de intervalo. Es decir, las posibles discontinuidades son x = 4,5 y x = 7. Por lo tanto para que S (x) sea continua, se debe cumplir que: 2a 1 (4,5) + b 1 = 2a 2 (4,5) + b 2 9a 1 + b 1 = 9a 2 + b 2 También debe cumplirse que: 2a 2 (7) + b 2 = 2a 3 (7) + b 3 14a 2 + b 2 = 14a 3 + b 3 Así, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 9 incógnitas; esto nos da un grado de libertad para elegir alguna de las incógnitas. Elegimos por simple conveniencia a1 = 0.

19 De esta forma, tenemos un total de 8 ecuaciones con 8 incógnitas. Estas son las siguientes: 3b 1 c 1 = 2,5 4,5b 1 c 1 = 1 20,25a 2 + (4,5)b 2 + c 2 = 1 49a 2 + 7b 2 + c 2 = 2,5 49a 3 + 7b 3 + c 3 = 2,5 81a 3 + 9b 3 + c 3 = 0,5 b 1 = 9a 2 + b 2 14a 2 + b 2 = 14a 3 + b 3

20 Este sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma matricial: b 1 2,5 4, c ,25 4, a b c 2 = 2,5 2, a 3 0, b c 3 0

21 Se obtiene la siguiente solución: b 1 = 1, c 1 = 5,5, a 2 = 0,64, b 2 = 6,76, c 2 = 18,46, a 3 = 1,6, Sustituyendo estos valores (junto con a 1 = 0 ), obtenemos la función spline cuadrática que interpola la tabla de datos dada: x + 5,5 six [3, 4,5] S(x) = 0,64x 2 6,76x + 18,46 six [4,5, 7] 1,6x ,6x 91,3 six [7, 9]

22 La gráfica de la Figura 2, contiene tanto los puntos iniciales de la tabla de datos, así como la spline cuadrática.

23 Dados n + 1 datos: Cuadro: Datos x y x 0 y 0 x 1 y x n y n

24 Una spline cúbica que interpola estos datos, es una función S(x) definida como sigue: S 1 (x) si x [x 0, x 1 ] S 2 (x) si x [x 1, x 2 ] S(x) = S 3 (x) si x [x 2, x 3 ]. S n (x) si x [x n 1, x n ] donde S i (x) es un polinomio cúbico; S i (x i ) = y i, para toda i = 0, 1,..., n y tal que S(x) tiene primera y segunda derivadas continuas en [x 0, x n ].

25 Ejemplo 1 Interpolar los siguientes datos mediante una spline cúbica: Cuadro: Datos x y

26 Solución: Definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos que se forman: { a 1 x 3 + b 1 x 2 + c 1 x + d 1 six [2, 3] S(x) = a 2 x 3 + b 2 x 2 + c 2 x + d 2 six [3, 5] A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que: S(2) = 1 8a 1 + 4b 1 + 2c 1 + d 1 = 1 S(3) = 2 27a 1 + 9b 1 + 3c 1 + d 1 = 2 S(5) = 7 125a b 2 + 5c 2 + d 2 = 7

27 Ahora calculamos la primera derivada de s (x) : { S 3a 1 x 2 + 2b 1 x + c 1 six [2, 3] (x) = 3a 2 x 2 + 2b 2 x + c 2 six [3, 5] Al igual que en el caso de las splines cuadráticas, se presentan ecuaciones que pueden presentar discontinuidad en los cambios de intervalo; las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso x = 3. Para evitar esta discontinuidad, evaluamos x = 3 en los dos polinomios e igualamos: 3a 1 (3) 2 +2b 1 (3)+c 1 = 3a 2 (3) 2 +2b 2 (3)+c 2 27a 1 +6b 1 +c 1 = 27a 2 +6b 2 +

28 Análogamente procedemos con la segunda derivada: { S 6a 1 x + 2b 1 six [2, 3] (x) = 6a 2 x + 2b 2 six [3, 5] Para lograr que S (x) sea continua: 6a 1 (3) + 2b 1 = 6a 2 (3) + 2b 2 18a 1 + 2b 1 = 18a 2 + 2b 2 En este punto contamos con 6 ecuaciones y 8 incógnitas, por lo tanto tenemos 2 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 2 condiciones: S (x 0 ) = 0 y S (x n ) = 0

29 De lo cual vamos a obtener: S (2) = 0 6a 1 (2) + 2b 1 = 0 12a 1 + 2b 1 = 0 S (5) = 0 6a 2 (5) + 2b 2 = 0 30a 2 + 2b 2 = 0 Con lo cual, hemos completado un juego de 8 ecuaciones vs. 8 incógnitas, el cual es el siguiente: 8a 1 + 4b 1 + 2c 1 + d 1 = 1 27a 1 + 9b 1 + 3c 1 + d 1 = 2 27a 2 + 9b 2 + 3c 2 + d 2 = 2 125a b 2 + 5c 2 + d 2 = 7 27a 1 + 6b 1 + c 1 = 27a 2 + 6b 2 + c 2 18a 1 + 2b 1 = 18a 2 + 2b 2 Armando 12a Lara+ 2b Análisis = 0 Numérico

30 Cuya forma matricial es la siguiente: a b c d a 2 = b c d 2 0

31 Obtenemos la siguiente solución: a 1 = 1,25 b 1 = 7,5 c 1 = 10,75 d 1 = 0,5 a 1 = 0,625 b 2 = 9,375 c 3 = 3 Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue: S(x) = { 1,25x 3 + 7,5x 2 10,75x + 0,5 si x [2, 3] 0,625x 3 9,375x ,875x 50,125 si x [3, 5]

32 Mostramos la gráfica correspondiente a este ejercicio en la Figura 3. Figura: Interpolación spline de grado tres.

33 Referencias [1] D. Hearn, M. P. Baker, Gráficas por Computadora, 2o edición. Prentice Hall Hispanoamérica S.A., [2] C. Delrieux, Introducción a la Computación Gráfica. Dep de Ingeniería Eléctrica, Universidad Nacional del Sur, [3] T. Sederberg, BYU Bézier curves, Chapter 2 [4]J.D. Foley et al, Computer Graphics: Principles and Practice in C, 2nd ed., Addison Wesley,1992.