Interpolación polinómica

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1 Interpolación polinómica Contenidos Polinomio interpolante Interpolación mediante los polinomios fundamentales de Lagrange Interpolación mediante diferencias divididas Interpolación con órdenes Matlab Polinomio interpolante Problema Tenemos una serie de puntos (x 0 ) ( x ) ( x n y n ) y queremos encontrar un polinomio que pase por todos ellos. Por ejemplo, si tenemos el conjunto de puntos: Dibujamos los puntos: C = (2 2 ) ( 3 6 ) ( 4 5 ) ( 5 5 ) ( 6 6) Solución con la matriz de Vandermonde Como tenemos 5 puntos podemos plantear 5 ecuaciones y necesitamos 5 incógnitas que serán los coeficientes del polinomio. Por lo tanto: P 4 (x) = a 0 + a x + a x a x a 4 x es decir a 0 a a 2 a 3 a 4, que son 5 incógnitas y el polinomio es, en principio, de grado 4. En general, para los puntos (x 0 ) ( x ) ( x n y n ) el polinomio interpolante será de grado n. Las ecuaciones serían: 4 0 = 4 = 4 2 = 4 3 = y = y a 0 + a a a = 0 + a + a a a 4 4 = 0 + a 2 + a a a = 3 + a 3 + a a a = y a 4 + a a a = y 4 Y el sistema a resolver es:

2 x 0 x x 2 x 3 x 4 x 2 0 x 2 x 2 2 x 2 3 x 2 4 x 3 0 x 3 x 3 2 x 3 3 x 3 4 x 4 0 x 4 x 4 2 x 4 3 x 4 4 a 0 a a 2 a 3 a 4 = y 3 y 4 La matriz de coeficientes del sistema se llama Matriz de Vandermonde. Ejercicio. Escribir una función V=Vandermonde(x) que tenga como argumentos de entrada el vector x y como argumento de salida la matriz de Vandermonde V. 2. Calcular los coeficientes del polinomio resolviendo el sistema. 3. Dibujar el polinomio V=Vandermonde(x) V = a=v\y' aa=a(end:-:)' % trasponemos a % y le damos la vuelta, % empezando por el coeficiente de mayor grado a = aa = xx=linspace(min(x),max(x)); yy=polyval(aa,xx); hold on, plot(xx,yy) % polyval % Entrada: % aa -> los coeficientes del polinomio % de mayor a menor % xx -> una serie de puntos % Salida: % yy -> valor del polinomio en esos puntos % % dibujamos los puntos % dibujamos el polinomio Existe una función Matlab que calcula la Matriz de Vandermonde. El orden de los elementos es distinto al que nosotros usamos:

3 vander(x) ans = Pero este no es un método aconsejable porque la matriz de Vandermonde, en general, está mal condicionada y puede dar lugar a grandes errores en la solución del sistema. Interpolación mediante los polinomios fundamentales de Lagrange Para cada k = 0 n, existe un único polinomio k de grado n tal que k x j = kj (uno si k = j y cero en caso contrario): k z = (z x 0 ) ( z x k )(z x k+ ) ( z x n ) (x k x 0 ) ( x k x k )(x k x k+ ) ( x k x n ) 0 n son los polinomios fundamentales de Lagrange. Los 5 polinomios fundamentales de Lagrange correspondientes al conjunto de puntos C serían: polinomios_fundamentales_de_lagrange Vemos que valen en un nodo en todos los demás. Si multiplicamos cada uno de los polinomios fundamentales de Lagrange por su correspondiente y k tenemos y 0 0 y n n : polinomios_fundamentales_de_lagrange_por_y Vemos que valen y en el nodo correspondiente en todos los demás. El polinomio de interpolación de Lagrange en los puntos x0 x x n relativo a los valores y 0 y n es Y si sumamos estos cinco polinomios k obtenemos el polinomio interpolante de Lagrange P n x = 0 x + x + + y n n x P 4 (x) = 0 (x) + + y 4 4 (x) polinomio_interpolante_lagrange

4 El inconveniente de este método es que si queremos incorporar un nodo nuevo tenemos que rehacer todos los cálculos. Interpolación mediante diferencias divididas Fórmula de Newton El polinomio de interpolación de Lagrange en los puntos x0 x x n relativo a los valores y 0 y n es P n x = + x x 0 + x x 0 x x + + y n x x 0 x x x x n Tabla de diferencias divididas Los coeficientes del polinomio anterior son la primera fila de la tabla: x 0 x x 2 y 3 y0 y = x 0 x y y2 = x x 2 y2 y3 = x 2 x 3 y0 y y y2 = x x 0 2 y y2 y2 y3 y 3 = x x 3 y2 y3 y3 y4 y 3 y 4 = x x 2 4 y0 yn y yn y n = x0 xn x n x n y n y n n y n y n = x x y n yn n Con este método, si añadimos un nodo, no hay que rehacer todos los cálculos, sino que se añade una línea más a la tabla anterior en su parte inferior. Ejercicio 2 Escribir una función a=difdiv(x,y) que calcule la matriz a que contiene la tabla de diferencias divididas de Newton para los puntos contenidos en x, y. No almacenar x en a. Utilizar la matriz a para calcular el polinomio interpolante en la forma de Newton. Dibujar el polinomio interpolante y los puntos. a=difdiv(x,y) a = xx=linspace(min(x),max(x)); yy=pol_newton(x,a,xx); plot(x,y,'.','markersize',0) hold on,plot(xx,yy)

5 Interpolación con órdenes Matlab El polinomio de interpolación se puede obtener con el comando de Matlab polyfit escogiendo como grado del polinomio el número de puntos menos uno. Nos da los coeficientes del polinomio interpolante en un vector, empezando por el de mayor grado: pol=polyfit(x,y,length(x)-); % coeficientes del polinomio Representamos el polinomio: xx=linspace(min(x),max(x)); yy=polyval(pol,xx); hold on,plot(xx,yy) Ejercicio 3 Escribir una función cheby(f,a,b,n) que interpole la función f en el intervalo [a,b] utilizando n nodos:. Utilizando nodos equiespaciados incluyendo los extremos del intervalo. 2. Utilizando nodos de Chebyshev: x (n) = cos i 2i 2n i = 2 n En el intervalo con n = nodos y la función:

6 f(x) = + 25x 2 En ambos casos dibujar los nodos, la función y el polinomio interpolador. f=@(x) ()./(+25*x.^2); cheby(f,-,,) Podemos obtener la interpolación lineal a trozos con polinomios de grado cero con la orden interp y la opción nearest xx=linspace(min(x),max(x),000); yy=interp(x,y,xx,'nearest'); axis([2 6 7]) hold on, plot(xx,yy),hold off Y con polinomios de grado uno (o lo que es lo mismo, interpolación lineal a trozos) con la orden interp y la opción linear xx=linspace(min(x),max(x)); yy=interp(x,y,xx,'linear'); hold on, plot(xx,yy), hold off

7 Y la interpolación con splines (con la opción not-a-knot) con la orden yy = spline(x,y,xx); hold on, plot(xx,yy), hold off Ejercicio 4 Realizar una programa error_max que, para la función cos x en el intervalo [0 0] tomando como nodos x = 0 0 dibuje los polinomios de interpolación:. Lineal a trozos. 2. Con splines. y calcule, para los puntos puntos=0:0.0:0 el error máximo en cada caso. Qué interpolación da mayor error máximo? error_max Error interpolación lineal a trozos = Error interpolación con splines =

8 Published with MATLAB 7.4