Cálculo Diferencial e Integral - Antiderivada. Prof. Farith J. Briceño N.

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1 Cálculo Diferencial e Integral - Antiderivada. Prof. Farith J. Briceño N. Objetivos a cubrir Antiderivadas. Integral indefinida. Propiedades de la integral indefinida. Notación sigma. Sumas especiales y telescópicas. Principio de Inducción Matemática. Código : MAT-CDI. Ejercicios resueltos Ejemplo : Demuestre que si f x arcsen x, entonces f x, con < x <. x Demostración : Es conocido que la función inversa de g x sen x, es f x arcsen x, definida en x, es decir, g x f x, además si una función g tiene inversa y es diferenciable, entonces g es diferenciable y su derivada viene dada por Como g x cos x, se tiene que puesto que, por lo tanto, luego g x g g x. g x arcsen x cos arcsen x, sen + cos entonces, cos sen, cos arcsen x sen arcsen x arcsen x sen arcsen x x, x definida para < x <. Ejemplo : Hallar una función f, tal que se cumpla la siguiente igualdad f x arcsen x + C Solución : Por la definición de primitiva se tiene que cumplir arcsen x + C f x así, arcsen x + C arcsen x }{{} + }{{} C + 0 x x Derivada de una suma de funciones Derivada: Ver ejemplo Derivada de una constante Luego f x x

2 Ejemplo : Hallar una función f, tal que se cumpla la siguiente igualdad f x arctan x + C Solución : Por la definición de primitiva se tiene que cumplir arctan x + C f x así, arctan x + C }{{} arctan x }{{} + }{{} C + x + 0 x + x x Derivada de una suma de funciones Derivada: Regla de la cadena Derivada de una constante Luego Ejemplo : Integre p x f x x + x Solución : Por propiedades de radicales p x p x, entonces p x p }{{} x p Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración x p x / p x/ + C }{{} x n xn+ n + + C con n Finalmente p x p x / + C Ejemplo : Integre p x dp Solución : Por propiedades de radicales p x x p, entonces p x dp x }{{} p dp x Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración p dp x p / dp } {{ } x 7 p7/ + C x n xn+ n + + C con n

3 Finalmente p x dp 7 x p 7/ + C Ejemplo : Integre cos t x Solución : Es conocida la identidad trigonométrica entonces cos t x cos t cos x + sen t sen x, Por linealidad de la integral indefinida cos t x cos t cos x + sen t sen x cos }{{} t cos x + sen }{{} t sen x cos t cos x + sen t Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración sen x cos t sen x + sen t cos x + C Finalmente cos t x cos t sen x + sen t cos x + C Ejemplo 7 : Integre Solución : Es conocido que sen x + sen x sen x cos x así, la integral se puede escribir como sen x + sen x sen x cos x cos x sen x sen x + sen x sen x sen x Observemos que la expresión del numerador se puede factorizar como sen x + sen x sen x sen x sen x + sen x + sen x + sen x, mientras que en el término del denominador podemos sacar como factor común y nos queda sen x sen x la integral se escribe sen x + sen x sen x sen x sen x + sen x sen x sen x cos x x + C. sen x + Finalmente sen x + sen x sen x cos x cos x x + C

4 Ejemplo 8 : Integre x x x Solución : Aplicamos la conjugada de la expresión x, es decir, multiplicamos y dividimos por el término x + x x x x x x + x x + x x + x x x x + x x desarrollamos el término del numerador x x + x, x x + x x + x x x / + x x /, entonces, x x + x x / + x x / x x / x / + x x/ x/ x / x / x / / + x / x / / x / x / + x / x / x / Finalmente 7 x7/ + x/ x/ x / + C x x x 7 x7/ + x/ x/ x / + C Ejemplo 9 : Integre x x Solución : Aplicamos la conjugada de la expresión término + x x, es decir, multiplicamos y dividimos por el x x x x + x + x Observemos que el polinomio del numerador se puede factorizar como x + x x + x x x x x x + x x +, así, x + x x x x + + x x x + + x,

5 desarrollando esta expresión x + + x x + x x x x + x / x / la integral nos queda x + + x x + x / x / x + x / x / x + x/ + 8x + 8 x/ + C Finalmente, x x x + x/ + 8x + 8 x/ + C Ejemplo 0 : Integre sen x cos x/ Solución : Es conocido que por otro lado, sen sen cos, x sen x sen por la ecuación se tiene así, como entonces, esto implica x x sen x sen cos sen x x x sen cos sen x sen x x cos cos x/ cos x/ sen x sen x sen cos, x cos cos x cos x, sen x sen x cos x cos x x sen x + C cos x Finalmente sen x cos x sen x + C x/

6 Ejemplo : Integre cos arcsen x x Solución : Es conocido que cos sen y sen arcsen x x, entonces cos arcsen x sen arcsen x sen arcsen x x, por lo tanto, cos arcsen x x x x x x x es decir, Ejemplo : Integre sen x cos x x x x x cos arcsen x x x + x + C x x + x + C, Solución : Observemos que en el integrando aparece la función seno y su derivada, así, podemos proponer el cambio de variable u sen x, du cos x y la integral se transforma en sen x cos x sen }{{ x} cos }{{ x } u du }{{} u7 7 + C u du Integral de una potencia Integral más sencilla que la inicial como u sen x, se tiene Ejemplo : Integre cos t sen t dt sen x cos x sen7 x 7 + C Solución : Observemos que en el integrando aparece la función coseno y su derivada, así, podemos proponer el cambio de variable u cos t, du sen t dt du sen t dt y la integral se transforma en cos t sen t dt / cos / t sen t dt cos }{{} t sen }{{ t dt } u / du }{{} u/ / + C u du Integral de una potencia Integral más sencilla que la inicial

7 como u cos t, se tiene cos t sen t dt cos/ t + C Ejemplo : Integre x Solución : Es conocido que x arcsen x + C, entonces x x x x, x hacemos el cambio de variable y la integral nos queda u x, du du du Integral del arcoseno. Integral más sencilla que la inicial. x x }{{} du du arcsen u + C, u u u como u x, se tiene que x arcsen x + C Ejemplo : Integre x x Solución : Completamos cuadrado es decir, la integral se escribe como x + x x +, x x x, hacemos el cambio de variable u x, du 7

8 de aquí, x x du Integral del arcoseno. Integral más sencilla que la inicial. { }}{ du arcsen u + C, u x }{{ } u como u x, se tiene que arcsen x + C x x Ejemplo : Integre x x Solución : Completamos cuadrado x + x x +, es decir, la integral se escribe como x x x x x x hacemos el cambio de variable x x u x, du, de aquí, x x du Integral del arcoseno. Integral más sencilla que la inicial. { }}{ du x arcsen u + C, u }{{ } u como u x, se tiene que x x arcsen x + C 8

9 Ejemplo 7 : Integre + x Solución : Es conocido que entonces hacemos el cambio de variable y la integral nos queda + x + x arctan x + C, + x + x x, + u x, du du + x du + x }{{} u Integral de la arcotangente. Integral más sencilla que la inicial. du + u { }}{ du + u arctan u + C, como u x, se tiene que Ejemplo 8 : Integre x + x x + x arctan + C Solución : Escribimos la integral como y hacemos el cambio de variable x + x x + x u x, du x du, la integral nos queda du/ x + x x + }{{} x du/ + u du + u }{{ } arctan u + C u Integral de la arcotangente. Integral más sencilla que la inicial. 9

10 como u x tenemos x + x arctan x + C. Ejemplo 9 : Integre x + 0x + Solución : Completamos cuadrado es decir, la integral se escribe como hacemos el cambio de variable x + 0x + x + +, x + 0x + x + +, u x +, du de aquí, x + 0x + du Integral de la arcotangente. Integral más sencilla que la inicial. { }}{ du u arctan u + C, + x }{{ + } + u como u x +, se tiene que Ejemplo 0 : Integre x x + Solución : Completamos cuadrado x arctan x + + C + 0x + x x + x +, es decir, la integral se escribe como x x + x + x + x +, x + x + hacemos el cambio de variable u x, du 0 du,

11 de aquí, du Integral de la arcotangente. Integral más sencilla que la inicial. x x + x + }{{ } { }}{ du u + arctan u + C, u como u x, se tiene que x x + arctan x + C Ejemplo : Integre x x Solución : No debemos confundir esta integral con la primitiva de la función arcoseno, ya que el diferencial está multiplicado por la variable x, así, que haremos el cambio de variable y la integral queda u x, du x du x du/ x x }{{} du/ u du u du u / u / du }{{} u / / + C u + C u Integral de potencias Integral más sencilla que la inicial como u x, se tiene que x x x + C Ejemplo : Integre p x Solución : En el ejemplo se resolvió esta integral por medio de manipulación algebraica ver Ejemplo, ahora se resolverá usando un cambio de variable. Proponemos el cambio de variable u p x, du p du p,

12 la integral nos queda p x }{{} }{{} du u p p u du p u / du }{{} u du/p Integral de una potencia Integral más sencilla que la inicial p u / / + C, como u p x, entonces, p x p p x / + C p p x / + C x p x / + C. Finalmente p x x p x / + C. Compare este resultado con el obtenido en el Ejemplo. Qué concluye? Ejemplo : Integre x x + Solución : Hacemos el cambio y la integral queda u x + de aquí x u, du u du x x }{{ + } u u u du u / u / du u/ u / + C }{{} Integral de potencias Integral más sencilla que la inicial como u x +, se tiene que x x + x + / x + / + C Ejemplo : Integre x x x Solución : Hacemos el cambio de variable u x, u du la integral nos queda x u u du x x u u u u du u u u u du u u u du u,

13 hacemos otro cambio de variable p u u p +, du dp y obtenemos u du p + p u p dp p dp + p dp p dp + p p dp + p p p + C como p u, entonces y u x, entonces u du u u u + C x x x x x + C Ejemplo : Encuentre, en el plano xy, la curva y f x que pasa por el punto 9, y cuya pendiente en cada punto es x. Solución : Es conocido que la pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera x es m tan f x, por lo tanto, f x x para obtener f integramos respecto a x f x x f x x / + C, puesto que la función f pasa por el punto 9, se tiene que f 9 9 / + C / + C 7 + C C, luego, f x x /. d y Ejemplo : En cualquier punto x, y de una curva se tiene x y una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto, es x y. Encontrar una ecuación de la curva. Solución : Tenemos que d y x dy x x + C, del hecho que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto, es x y, se tiene que f, por lo tanto, f + C + C C

14 entonces, integramos nuevamente dy x x la curva pasa por el punto, así, dy x x, y x x x + C, luego + C + C C, y x x x + Ejemplo 7 : Se lanza una piedra hacia arriba verticalmente desde el suelo con una velocidad inicial de 8 p/seg. Si la única fuerza considerada es la que se le atribuye a la aceleración de la gravedad, encontrar que tan alto llegará la piedra y la velocidad con la que llegará al suelo. Encontrar también cuanto tiempo tomará a la piedra llegar al suelo. Solución : La dirección positiva se toma hacia arriba. Sea t : el tiempo, en segundos, que ha transcurrido desde que se lanzó la piedra. s : la distancia, en pies, de la piedra al suelo a los t seg de tiempo. υ : la velocidad, en pies por segundos, de la piedra a los t seg de tiempo. υ : el número de pies por segundo en la rapidez, en pies por segundos, de la piedra a los t seg de tiempo. La piedra estará en su punto más alto cuando la velocidad sea cero. Sea s el valor particular de s cuando υ 0. Cuando la piedra toca el suelo, s 0. Sean t y υ los valores particulares de t υ cuando s 0 y t 0. La dirección positiva de la piedra desde el punto de partida se toma hacia arriba. Como la única aceleración se debe a la gravedad que actúa en dirección hacia abajo, la aceleración tiene un valor constante de p/seg. Es conocido que la aceleración a es la primera derivada de υ con respecto a t y la segunda derivada de s con respecto a t, es decir a dυ dt d s dt integramos respecto a t dυ dt dt d s dt dt como υ 8 cuando t 0, tenemos dt υ t ds dt t + C 8 υ C C 8, por lo tanto, ds t + 8 dt integramos, nuevamente, respecto a t ds dt dt t + 8 dt s t t + 8t + C,

15 como s 0 cuando t 0, tenemos y nos queda 0 s C C 0 s t t + 8t. La piedra estará en su punto más alto cuando la velocidad sea cero, así, 0 υ t t + 8 t 8, es decir, la piedra tarda seg para llegar a su punto más alto y la distancia es s + 8 s, por lo tanto, la mayor altura que la piedra alcanzará es de pies. Para conocer con que velocidad llegará la piedra al suelo igualamos la función distancia a cero, de allí, obtenemos 0 s t t + 8t 0 tt 8 t 0 y t 8 pero el valor t 0 corresponde al momento en que es lanzada la piedra, por lo tanto, la piedra llega al piso en 8 seg, luego la velocidad con la que llega es υ υ 8, es decir, la piedra llega al suelo con una rapidez de 8 p/seg. Ejemplo 8 : Hallar la siguiente suma i Solución : Es conocido que sumando desde i hasta i n obtenemos donde y es decir, i + i i + i + i + i + i + i i + i + i + i i + i +, i i i i n n + i + i + i + i + n + i + i + n n + + n n n + n + n + n,

16 despejamos i nos queda i n + n n + n i n + n n + n +, es decir, i n + n + n i n + n + n, por lo tanto, i n + n + n + n i n + n + n finalmente la suma buscada es i n n + n + Ejemplo 9 : Obtenga el siguiente límite, si existe. lim n Solución : En primer lugar, manipulemos la sumatoria i n n i n n i n n i n n i, así, por el ejemplo 8 esta suma es por lo tanto, entonces lim n i n n + n +, i n n + n + n + n + n n n n, i n + n + n + n + lim n n n n lim L H n + L lim H lim n n n n n Finalmente lim n i n n.

17 Ejemplo 0 : Hallar la siguiente suma i + i Solución : Es conocido que k kn k constante y i n n + las cuales son validas si la suma comienza desde, observemos que la suma que deseamos calcular comienza desde i, así, debemos reescribir dicha suma de tal forma que comience desde i, i + i + i + i donde mientras entonces + i + i + i + Ejemplo : Hallar la siguiente suma i i + i + + i + + i 7 8 i7 i + i + 7, , Solución : Observemos que la suma que queremos calcular cumple con la estructura de las sumas telescópica, es decir, a n+ a n, es la diferencia de dos términos consecutivos, por lo tanto, i7 Término mayor evaluado en i n i + i n + Término menor evaluado en i 7 7 Ejemplo : Hallar la siguiente suma k k k + Solución : Veamos si podemos escribir es suma como una suma telescópica, para ello, descomponemos la expresión en sus fracciones simples, es decir k k + A k + B k +, 7

18 donde, A y B son constantes a determinar por medio del método de los coeficientes indeterminados. A k + + Bk k k + k k + A k + + Bk, debemos encontrar valores de A y de B para que la igualdad anterior se cumpla. Le damos valores arbitrario a k para obtener dichas constantes. así, Si k 0, entonces, A B 0 A. Si k, entonces, A + + B B. Por lo tanto, k k k + k k +, k k + k k k + observemos que la nueva forma de escribir la suma nos lleva a la diferencia de dos términos, pero dichos términos no son consecutivos, por lo tanto, no representa una suma telescópica. Si sumamos y restamos los términos k + y k + obtenemos k k + k k + + k + k + + k + k + k k k + k + k + + k + k + k + k k k }{{} Diferencia de términos consecutivos, representa una suma telescópica donde, similarmente k k Término menor evaluado en k k k + k + k + n + y Término mayor evaluado en k n n + k k + k + n +, por lo tanto, es decir, k k k + n + + n + + n +, k k k + n + n + n +. 8

19 n n + Ejemplo : Demuestre que n Demostración : Usando inducción matemática, demostremos, en primer lugar, que la igualdad se cumple para n, así,? +? se cumple Hipótesis inductiva : Supongamos que se cumple para n h, es decir, la siguiente igualdad es cierta h h h +. Tesis inductiva : Demostremos que se cumple la igualdad para n h +, es decir, debemos verificar que la siguiente igualdad es cierta Nuevo término en la suma h + h +? así, por hipótesis inductiva h + h + +. por lo tanto Hipótesis Inductiva entonces, queda demostrado que Ejemplo : Demuestre que h h + h h + + h h + h + + h + h + h h + h n h + h + +. h + h + + n n + se cumple n n + n n +. Demostración : Usando inducción matemática, demostremos, en primer lugar, que la igualdad se cumple para n, así, +? +? se cumple Hipótesis inductiva : Supongamos que se cumple para n h, es decir, la siguiente igualdad es cierta h h + h h +. Tesis inductiva : Demostremos que se cumple la igualdad para n h +, es decir, debemos verificar que la siguiente igualdad es cierta h h Nuevo término en la suma h + h + +? h + h + +.

20 así, por hipótesis inductiva Hipótesis Inductiva h h + + h + h + + h h + + h + h + + h h h + h + + h h + + h + h + + h + h + h + h + + h + h + +, por lo tanto, h h + + h + h + + h + h + + se cumple la igualdad, entonces, queda demostrado que n n + n n + Ejercicios de aula. Defina antiderivada primitiva de una función.. Calcular las siguientes integrales.. x 8 x x x.. sen t dt cos t cos t x + x + 0. x x x. sen x cos x. El punto, está en una curva y en cualquier punto x, y de la curva, la recta tangente tiene una pendiente igual a x. Encontrar una ecuación de la curva.. Obtenga el límite indicado, si existen. lim n i + n n. Indique los pasos a seguir en el Método de Inducción Matemática.. Demuestre que la suma de los cubos de los n primeros números naturales es igual a [ ] n n +. 0

21 Ejercicios. Demuestre que si f x arctan x, entonces f x + x.. Suponga que Encuentre. f x d x f x. g x. y f x. g x d x + f x + g x. Hallar las primitivas de las siguientes funciones.. m. x. x. x. x 7. x 8. x 9. x 0. x.. x x n. cos x. sen x. sec x. sec x tan x 7. csc x cot x 8. csc x 9. + x 0. x. Con los resultados obtenidos en el ejercicio completar la siguiente tabla Tabla de integrales básicas k, k constante x n, para n sen x cos x sec x csc x sec x tan x csc x cot x + x x. Hallar una función f, tal que se cumpla la siguiente igualdad. f x x + C. f x mx + C. f x x + C

22 . 7. f x x + C. f x x + C 8. f x x + C. f x x + C 9.. Calcular las siguientes integrales por manipulación algebraica.. π.. x. f x x + C f x x + C x.. b x a db dp 9. sec θ dθ 0. csc θ dθ p p xp x y x. 9 y + y dy. x + + x. y + y dy. a + bt dt. a + bt da 7. x t + t t cos x + sen x. dt 9. x + 8x x x x 7. at /n dt 0. cos t sen dt. t cos x cos x sen x + sen x sen x + nx n n. x x cos t dt x x x 9. cos arcsen x 7 x 0. sec arctan x sen arctan x 7. Calcular las siguientes integrales utilizando el método de la u-sustitución.. t dt. sen x cos x. x. cos t dt. sen x 7. x + 8. cos / bx sen bx tan / ax sec ax x x 9 x 0.. sen t dt 8. tan t cos t dt. x a x. cos t dt 9. x x. sen t t dt. t t + dt 0. sen cos x sen x arctan x + x x sen x.. 9. x x. x x x. x 9x 0. x 7 x x x. 7. 9x x + x x.. sen x + sen x 8. sen x cos x cos x + 7 x x + tan t cos t dt

23 8. Encuentre, en el plano xy, la curva y f x que pasa por el punto, y cuya pendiente en cada punto es x. 9. Encuentre una función y f x, tal que, d y + x, f tenga un mínimo relativo en x/,. 0. Si los frenos de un carro pueden darle una aceleración negativa constante de 0 p/seg. Cuál es la velocidad máxima a que puede ir si es necesario parar el carro dentro de 80 p después de aplicados los frenos?. Demuestre que n n n n +.. Demuestre que + x + x + x + + x n xn+, con x. x. Demuestre que n n. Demuestre que n n n n n + n n +.. Demuestre que la suma de los cubos de tres números naturales sucesivos es divisible por 9.. Demuestre que 7. Desarrolle las siguientes sumas n + + n + + n n >. 9 i +. k k k +. k+ k k 8. Exprese en notación sigma la suma dada Hallar las siguientes sumas x + x x + + n x n. i. i. i. i 0. Hallar las siguientes sumas usando los resultados obtenidos en el ejercicio 9. i. i + i. i. i. Calcular las siguientes sumas. i i +. i + i +. i i. Demuestre que 0 k k y 7 j + son iguales. j0

24 . Obtenga los límites indicados, si existen.. lim + i n n n. Demostrar que + i n. lim n n i + n F i + F i F n + + F n F F 0.. Considere el cociente n n Hallar el valor del cociente para cualquier entero positivo n.. Demuestre que si f x arccos x, entonces f x, con < x <. x. Demuestre que si f x sec x, entonces f x x, con x >. x. Suponga que Encuentre. f x d x g x. f x. y g x d x + f x g x.. Hallar una función f, tal que se cumpla la siguiente igualdad. f x x + C. f x x + C.. f x sen x + C. f x cos x + C. i n Ejercicios propuestos g x f x xn+ n + + C f x tan x + C 7. f x sec x + C 8. f x csc x + C 9. f x cot x + C 0.. f x arctan x + C. f t dt arctan t + C. f x arcsen x + C. f x sec x. Calcular las siguientes integrales usando manipulación algebraica. π x / dt 9. x t.. dt. t x 7. n x. a x. + C. x x 8. t t x. f t dt sec t f t dt tan t ω dω 0. dw a x da. dt 9. x w b + C p dp t t + C dt

25 0.. x + r dr. x + sen x. t + t dt. x + sec x tan x. cos x sen x cos θ + sen θ dθ. t sen t dt 7. sen t cos t dt 8. x / x / t t + dt 0. y y dy. x x. x x. u u + u du. y y + y dy 7. x + x x + 9. x + x. y y + dy x x x x x + x x + a x + b 0. x s. 8 x s ds. x x + 7. x t t x + x x x + x 8 x. x x + x x + x. x x + t dt t dt. t t dt. x x +. x m x n x. 9.. x x x x +. x + cos t cos x dt 0. cos t cos x sen x sen t + cos t dt. 7.. x x cos t dt cos t + sen t sen x cos x sen x 8. sen t sen t dt. sen t + cos t dt sen t. x x x + x. x x x. Encuentre, en el plano xy, la curva y f x que pasa por el punto, y cuya pendiente en cada punto es x. 7. Encuentre una función y f x, tal que, y pase por el punto,. d y x /, f tenga un punto estacionario en x x 8. Los puntos, y 0, están en una curva y en cualquier punto x, y de la curva, se tiene d y x. Encontrar una ecuación de la curva. 9. Una ecuación de la recta tangente a una curva en el punto, es y x +. Si en cualquier punto x, y de la curva se tiene d y x, encontrar una ecuación de la curva.

26 0. En cualquier punto x, y de una curva se tiene d y x y una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto, es y x. Encontrar una ecuación de la curva.. En cualquier punto x, y de una curva se tiene d y y, es un punto de inflexión en el que la pendiente de la tangente de inflexión es. Encontrar una ecuación de la curva.. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto x, y de una curva es 0 x y el punto, está en la curva. Encontrar una ecuación de la curva.. Una partírcula se mueve en linea recta, s es la distancia dirigida de la partírcula desde el origen en t seg de tiempo, υ es la velocidad en p/seg de la partícula en t seg y a es la aceleración en p/seg de la partícula en t seg. Si a t, υ y s cuando t, expresar υ y s como funciones de t.. En los siguientes ejercicios la única fuerza considerada es la debida a la aceleración de la gravedad que tomamos como p/seg en la dirección hacia abajo. a Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de 0 p/seg. i. Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo y con qué velocidad llegará? ii. Durante cuánto tiempo estará subiendo la piedra y que tan alto llegará? b Un hombre en un globo suelta sus binoculares cuando se encuentra a 0 p de altura y está subiendo a razón de 0 p/seg. Cuánto tiempo tardarán los binoculares en llegar a suelo y cuál es su velocidad de impacto?. Si el conductor de un automóvil desea aumentar su rapidez de 0 mi/h a 0 mi/h mientras recorre una distancia de 8 p. cuál es la aceleración constante que debe mantener?. Si se aplican los frenos de un carro viajando a 0 mi/h y si los frenos pueden dar al carro una aceleración negativa constante de 0 p/seg. Cuánto tardará el coche en detenerse? Qué distancia recorrerá antes de parar? 7. Calcular las siguientes integrales utilizando el método de la u-sustitución tan t. sen dt. t x. pt dt. x x 0. sen x. x x + x 8.. x. x + x x + 0. x x +. cos t dt 7. t + t dt. t + t t dt. x x 9. x. cos x 7. cos x + sen x. t t dt 8. sen x cos x. sen t dt. sen z cos z cos z sen z dz + cos x sen x cos x sen x sen x + sen x cos x t sen t dt t dt 0. sen t x x sen arctan x. x x + a bx 8. cos ax + sen ax + cos x sen x. πx sen T φ 0

27 x. x + x 8. x x +. sec t dt tan t x x sen x cos x + + cos x sen x. sen x sen x 9. sen x cos x + sen x.. sec t t dt. 9. arcsen t t dt 0.. cot t dt sen t. tan x sen x 7. x / 0. sen x cos x cos x x x + 7. arcsen t + t t dt x x cos sen a a sec x tan x sec x + x x. tan / x sec x sen at dt 8. Demuestre que la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales es igual a 9. Demuestre que n n n n n Demuestre que n n + n +. Demuestre que. Demuestre que. Demuestre que n n + n n n n n + n n + n +. n n + n +. n n + n + n +. a a + + a + a + + a + a a + n a + n n a a + n.. Demuestre que si u 0 y u y si u k+ u k u k, para todo número natural k, se tiene. Demuestre que si y si u α β α β para todo número natural k >, se tiene. Demuestre que la suma u n n +. y u α β u k α + β u k αβu k, u n αn+ β n+. α β A n n+ + n+ es divisible por cualquiera que sea el número entero n Demuestre que n n es divisible por. 8. Demuestre que n n n + n + 9n + n 7 0 α β.

28 9. Determine el primer entero N para el cual sea verdadera la proposición para cada n N y luego demuestre la proposicón para cada n N. 0. Desarrolle las siguientes sumas. n + < n. n > n +. n n. 0 n n. 8 i i i. n. n 0 i i i. Exprese en notación sigma la suma dada n n x + x + x + x + + x n. Hallar las siguientes sumas usando los resultados obtenidos en el ejercicio 9 de la sección de Ejercicios. i i. i i i i. Calcular las siguientes sumas. i + i. i i +. i i i +. Demuestre que i + i n + + n. Respuestas: Ejercicios de aulas.... x + x + x + C;.. cos t + C;.. 8 x x 9 + x + C;.. arcsen x + C;.. arctan x + + C;. f x x x + ;. ; cos x + C; Respuestas: Ejercicios.. x;.. x + ;.. x ;.. x x + ;.. x + C;.. mx + C;.. x + C;.. x + C;.. x + C;.. x + C;.7. x/ + C;.8. x/ + C;.9. x/ + C;.0. 8 x8/ + C;.. x / + C;.. x n+ n+ + C;.. sen x + C;.. cos x + C;.. tan x + C;.. sec x + C;.7. csc x + C;.8. cot x + C;.9. arctan x + C;.0. arcsen x + C;.. f x ;.. f x m;.. f x x;.. f x x ;.. f x x ;.. f x x ;.7. f x x;.8. f x x;.9. f x x ;.. x + C;.. π x + C;.. x + C;.. x + C;.. x/ + C;.. b p + C;.7. x p + C;.8. a + C;.9. tan θ + C; xp.0. cot θ + C;.. 7 x 7 + x + C;.. 0 y0 y + y + C;.. x + x x + C; 8

29 .. y + y + y + C;.. a t + abt + 7 b t 7 + C;.. a + a bt + ab t + C; x + x + x + x + C;.8. x x 7 x + C;.9. tn n+ at n ;.0. nx n + C; x x + C;.. x + cos x + C;.. csc t t + C;.. x sen x + C; t + sen t + C;.. x x + 8x + C;.7. x cos x + C;.8. x x + x 7 9 x 7 + x x + C;.9. x x + + C;.0. x + x + x x x + + C; 7.. x + C; 7.. t + C; 7.. sen x + C; 7.. b cos bx + C; 7.. t + sen t + C; 7.. cos x cos x + C; 7.7. x C; a tan ax + C; 7.9. x + C; 7.0. tan t + C; 7.. x 8 x + C; cos cos x + C; 7.. arcsen x + C; 7.. a + x a x + C; 7.. cos t + C; arctan x arctan x + C; t + 8 t t C; x + x x + C; 7.. cos t cos t cos t + C; 7.8. cos x + C; sen t sen t + C; x x + + C; 7.. arctan x + C; 7.. arcsen x + C; 7.. arcsen x + C; 7.. arctan x + C; sen x + C; 7.8. sec t sec t + C; 7.9. arcsen x + C; x + C; arctan cos x + C; 8. f x x + ; 9. f x x x; min/h; ; ; ; i; k k; i i+ ; 8.. i i i+ ; 8.. n k k; 9.. nn+ ; 9.. nn+n+ ; 9.. nn+ nn+n +9n +n ; 9.. ; nn ; 0.. nn+n+ ; 0.. nn n n+ ; 0.. nn n ;.. n+ ;.. n+ n+ ;.. n n+ ;.. 9 ;.. ;. n+ ; Bibliografía. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: Cálculo. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall.. Stewart, J.: Cálculo. Grupo Editorial Iberoamericano. Cálculo Diferencial e Integral - Antiderivada. Última actualizacón: Enero 00 Prof. Farith Briceño farith 7@hotmail.com 9