Universidad de Chile Integración por partes. Ingeniería Matemática SEMANA 6: PRIMITIVAS

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1 FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencial e Integral 08- Ingeniería Matemática SEMANA 6: PRIMITIVAS 3.3. Integración por partes Proposición 3. (Fórmula de integración por partes. Sean u y v dos funciones de x, entonces: u(xv (xdx = u(xv(x u (xv(xdx o, equivalentemente u v = u v u v. integración por partes Demostración. Notemos primero que, [u(xv(x] = u (xv(x + u(xv (x. Luego, gracias a la Proposición 3., se tiene u(xv(x = u (xv(xdx + y despejando, se concluye que u(xv (xdx = u(xv(x u(xv (xdx, u (xv(xdx. Observación: Usualmente la fórmula de integración por partes se escribe de manera más compacta como udv = uv vdu, donde dv = v (xdx y du = u (xdx. Ejemplos:. xe x dx ( u = x du = dx dv = e x dx v = e x = xe x e x dx = xe x e x + c.. lnxdx ( u = lnx du = ( x dx dv = dx u = x = xlnx dx = xln x x + c. 59

2 3. I n = x n lnxdx Ingeniería Matemática ( u = lnx du = x dx dv = x n dx v = xn+ n+ = xn+ lnx ( n + n + x n dx 4. I n = x n e x dx;n. = xn+ lnx n + xn+ (n + + c. Consideramos u = x n du = nx n dx dv = e x dx v = e x. I n = x n e x n x n e x dx, por lo tanto: I n = x n e x ni n, para n. Veamos, I 0 = e x dx = e x + c y luego, I 0 = e x + c I = xe x I 0 I = x e x I. I n = x n e x ni n n Sustituciones trigonométricas tradicionales Cuando en una integral figuren expresiones del tipo que se indica, los siguientes cambios de variable son convenientes:. Para a + x, usar x = atan υ o bien x = asenh t.. Para a x, usar x = asen υ ó x = acos υ. 3. Para x a, usar x = asec υ ó x = acosh t Integración de funciones racionales Se desea integrar funciones R(x de la forma: R(x = P(x Q(x = a nx n + + a x + a 0 b m x m + + b x + b 0, 60

3 con n < m. Si suponemos que el polinomio Q(x se ha factorizado de la siguiente forma: Q(x = b m (x r α (x r s αs (x + b x + c β (x + b t x + c t βt En donde r,...r s son las raíces de Q, de multiplicidades α,...,α s, y β,...,β t son numeros enteros positivos, con x + b i x + c i polinomios irreducibles. Entonces R(x es igual a la suma de funciones racionales del siguiente tipo:. Por cada término (x r i αi aparece la suma de α i funciones: A i (x r i + A i (x r i + + A α ii (x r i αi.. Por cada término (x + b i x + c i βi aparece la suma de β i funciones de la forma: Ejemplo 3.. B i x + C i x + B ix + C i + b i x + C i (x + b i x + c i + + B β iix + C βii (x + b i x + c i βi Entonces, R(x = P(x (x (x 7(x + 3 (x + x + 9. R(x = A x + B (x + C x 7 +Dx + E x + + Fx + G (x + + Hx + I (x Jx + K x + x Lx + M (x + x + 9. Ejemplo 3.. Por lo tanto, R(x = x 5 (x + (x = Ax + B x + + C x + D (x = (Ax + B(x + C(x + (x + D(x + (x + (x. x 5 = (Ax + B(x + C(x + (x + D(x +. (3. Podemos usar dos métodos para obtener los valores de A,B,C y D: Método : Igualar coeficientes de ambos polinomios en x. Obtenemos así las ecuaciones, 0 = A + C (x 3 0 = 4A + B C + D (x = 4A 4B + C (x 5 = 4B C + D (x 0 6

4 Así, restando las ecuaciones asociadas a x y x, y por otra parte restando las ecuaciones asociadas a x y x 3, obtenemos 4A 3B = 5 3A 4B =. De aquí, B = 3 5 y A = 4 5. Reemplazando nuevamente es las ecuaciones se obtiene que C = 4 5 y D = /5. Método : Como la igualdad de polinomios 3. debe ser x,entonces se pueden reemplazar algunos valores de x que sean convenientes. Incluso se pueden reemplazar (si no se complica mucho el algebra algunos valores de x. Por ejemplo, si tomamos x =, luego 3. queda: de donde D = /5. = 5D, Además, como x = i es raíz de x + = 0, usamos x = i de donde obtenemos Luego i 5 = (Ai + B(i = (Ai + B(i 4i + 4 = (Ai + B( 4i = 3Ai + 3B 4Ai 4Bi = (3B + 4A + (3A 4Bi. 3A 4B = 4A + 3B = 5, que es el mismo sistema obtenido con el método anterior y cuya solución es B = 3 5 y A = 4 5. Finalmente, para calcular C, se puede reemplazar x = 0 y usando los valores ya calculados de A,B y D, concluir que C = Integrales trigonométricas reducibles a integrales de funciones racionales Consideramos integrales del tipo R(senx,cos xdx, en donde R es una función racional en la cual aparecen sólo senx y cos x. 6

5 Ejemplos: dx sen x + cos x, sen x + cos x sen x cos x dx. En estos casos se aconseja el cambio de variable: t = tan(x/, con lo cual dt = sec dx. Pero por otra parte arctan(t = x/, de donde dt + t = dx. Combinando ambas igualdades obtenemos que cos =, y sen = + t t + t. Usamos entonces unas conocidas identidades trigonométricas para el seno y el coseno de un ángulo doble, con lo que sen x = sen cos = t + t En resumen, ( cos x = cos x ( sen x = t + t. ( ( x t t = tan, sen x = + t, cos x = ( t + t, dx = dt + t. Ejercicio 3.: Escriba la integral variable sugerido. R(senx,cos xdx usando el cambio de Ejercicio 63