UNIDAD II. Academia de Ciencias Básicas

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1 UNIDD II cademia de iencias ásicas

2 INTEGRLES INDEFINIDS Y METODOS DE INTEGRION INTRODUIÓN En este capitulo trataremos el problema inverso de hallar la derivada de una función: esto es, calcular la primitiva de la misma. unque se sabe existen muchas funciones continuas cuya primitiva no es simple de encontrar, abordaremos, algunos métodos para calcular estas con exactitud. El objeto de este tema es exponer algunos métodos importantes, los cuales son útiles para diversos temas, no solo del cálculo diferencial e integral, sino que son herramientas básicas para temas como: calculo de varias variables, ecuaciones diferenciales ordinarias, ecuaciones diferenciales parciales, transformadas de Laplace, transformadas de Fourier, entre otras. La aplicación de la Integral definida, se desarrollara en la unidad, en esta se establecerá la relación que hay entre el área y la integral definida, conexión entre el álculo Diferencial y el álculo Integral. alcularemos integrales indefinidas de todo tipo: inmediatas o simples, mediante cambio de variable, integración por partes, integración de funciones racionales, irracionales y trigonométricas. OJETIVOS. onocer y emplear la concepción de primitiva de una función.. Distinguir la integral como la operación inversa de derivar.. alcular integrales simples, aplicando las propiedades de las primitivas.. Transformar una integral en otra más inmediata haciendo un cambio de variable.. Encontrar integrales por el método de integración por partes. 6. Saber utilizar las el método algebraico de funciones racionales descomponiendo dichas funciones en fracciones simples, cuyas integrales son inmediatas. 7. alcular integrales irracionales y trigonométricas eligiendo el cambio de variable adecuado. ONOIMIENTOS PREVIOS Tener conocimientos básicos sobre funciones de una variable, derivación ONEPTOS FUNDMENTLES. DEFINIIÓN DE FUNIÓN PRIMITIV Sea Ia;b) un intervalo abierto, y f una función definida en dicho intervalo. La primitiva de f en Ia;b) es una función, F, continua en I, la cual satisface que: F'x) = fx) x I a; b). Luego todas las primitivas de f son del tipo Gx) = Fx) +, siendo una constante cualquiera, pues G x) = F'x) + 0 = fx).

3 . DEFINIIÓN DE INTEGRL INDEFINID El conjunto formado por todas las primitivas de f se llama integral indefinida de f, y se designa por fx) dx se lee integral de fx) diferencial de x). Luego, escribiremos fx)dx = Fx) + Ejemplos: 7x 6 dx = x 7 +c, ya que si Fx) = x 7 entonces F x) = 7x 6 =fx) Una primitiva de fx) = 6 + senx es Fx) = 6x cosx. Si añadimos constantes, obtenemos más primitivas, comúnmente llamadas familia de funciones con características similares pero muy particulares dependiendo del valor de la constante.. PROPIEDDES DE L INTEGRL INDEFINID Veamos a continuación las propiedades que verifican las integrales indefinidas, que son consecuencia inmediata de la definición de primitiva y de las propiedades de las derivadas.. f x) gx)) dx = f x)dx gx)dx. k f x)dx = k f x)dx k. k f x) + k gx))dx = k f x)dx + k gx)dx k, k. LULO DE INTEGRLES INDEFINIDS.. DIRETS las primitivas que resultan aplicando en modo inverso las fórmulas de derivación se les llama integrales inmediatas. De cada regla de derivación se puede deducir una regla correspondiente de integración. La integración directa se aplica cuando identificamos la función primitiva de manera inmediata; esto es, cuando identificamos la regla de derivación que nos permite hallar el integrando a partir de la función primitiva. Las reglas comunes de derivación así como las derivadas de funciones elementales, nos permitirán generar mas fácilmente formulas que serán imprescindibles para temas posteriores, enseguida te recordaremos algunas formulas de integración inmediata. ) a dx x c ) b dx c x x c) dx ln x) c x x x d) e dx e c n n x ) e x dx c n f ) dx x c x x x a g) a dx c lna a) senu du = cosu c b) cosu = senu c ) c sec u du tanu c d) csc u du cotu c ) e secu tanu du secu c f ) cscu cotu du cscu c g) -lncosu)+c tanu du = lnsecu)+c a ) du - = sen u+c - u du - ) b - = cos u+c - u du - ) c tan u+c +u du - d) - cot u+c +u du - ) e sec u+c u u - du - f ) - csc u+c u u - a) senhu du = cosh u c b) c) sech u du = tanhu +c d) csch u du = -cotu +c g) coshu = senhu+c e) sechutanhu du = -sechu+c f) cscucotu du = -cschu+c -lncosu)+c tanhu du = lnsecu)+c

4 Ejemplo : 0 x dx x x c x x c ya que 0 Ejemplo : 7 7 x x dx x dx xdx x x c x x c d 7 dx ya que x x c x 7x 7 7 Ejemplo : 6 x x x x x e x + x + e dx = x dx+ x dx+ e dx = c ya que 6 6 x d x x e c x + x + e dx 6 Ejemplo : x 7sen x cos x 7) dx 7 senxdx cos xdx 7 dx 7 cos x senx 7x c d ya que 7cos x sen x 7x c 7senx cos x 7 dx Ejemplo : alcular x 8x 6x 0 dx Esta es una integral impropia ya que el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del denominador, luego efectuaremos la división, termino a término: 8x 6x x x dx xdx dx x dx x x x c x x Ejemplo 6: alcular Solución: tan x)cot xdx

5 +tan x)cot x cot x cot xtan x cot x = csc x De tal modo que +tan x)cot xdx csc xdx -cotx c Ejemplo 7: alcular 7 Solución: x x x dx x x 7x dx x x 7x dx x 7x x ) dx 7 x x x 7 x x x c 7 Ejemplo 8: sec x cos x cos x cos x dx dx dx dx cot x tan x senx cosx sen x cos x cos x senx senx cos x senx cos x senxdx cos x c.. POR MIO DE VRILE Una práctica para encontrar primitivas tiene como base la conocida regla de la cadena. Esta nos indica que si tenemos una función fu), que rápidamente podemos integrar, y, en lugar de u sustituimos esta por alguna otra función de x, u = gx), entonces: f gx))g'x)dx = f u)du Después integramos con respecto a u y, posteriormente, deshacemos el cambio para escribir el resultado en términos de la variable inicial. Se trata de transformar una integral en otra más sencilla haciendo un cambio de variable adecuado. sec x - ) Ejemplo : alcular dx 6 tanx ) Solución: Podemos efectuar el siguiente cambio de variable: u6 tanx ) de donde derivando tenemos du du sec x ) dx de donde sec x ) dx

6 Substituyendo ambas expresiones en la integral original podemos escribir: sec x - ) du du dx ln u ) c ln 6 tan x ) c 6 tanx ) u u x x ) dx Ejemplo : alcular x x x Podemos efectuar el siguiente cambio de variable: u x x x de donde du 6x 6x dx x x ) dx despejando du x x ) dx. Sustituyendo ambas expresiones en la integral original podemos x x ) du u dx u du c x x x c x x x u escribir: Ejemplo : Ejemplo : Ejemplo :

7 Ejemplo 6: 7 sen x cos x) dx sea u cosx du senxdx senxdx Sustituyendo en la integral inicial: du 7 u sen x cos x) dx u u du c cos x) luego sen x cos x) dx c Ejemplo 7: dx dx x x x x dx Si u du dx dx de esta manera x x x x dx dx u 6 x x x 6 6 du asi u du c dx 0 luego u c x x 8 9 x du Ejemplo 8: sec t dt si u t t ) derivando se tiene du t ) dt ) de donde t dt dt du du despejando para reacomodar el diferencial tenemos t t sec t du t dt sec u sec u du tan u tan t c

8 .. INTEGRIÓN POR PRTES Se obtiene a partir de la fórmula de diferenciación de un producto. Sean ux) y vx) dos funciones cualesquiera. Entonces, duv) = udv + vdu. Integrando ambos miembros d uv) udv vdu. La integral del diferencial de una función es queda lo siguiente: la misma función, por lo que queda uv udv udv uv vdu. Despejando queda vdu, fórmula que utilizaremos para calcular integrales donde se presenten una función simple de derivar y otra simple de integrar. Si este proceso permite calcular la integral mas fácilmente, nos será de utilidad, caso contrario lo desechamos. Ejemplo : x alcular xe dx. u x dv du dx x x x e dx v e dx e c xe dx x e c e c dx xe xc e c x c x x x x x donde c, c constantes arbitrarias) las cuales de ahora en adelante solo las consideraremos en el resultado al final de la solucion x x x xe dx xe e c Ejemplo : alcular x sen x. dx u x du dx dv sen x dx v senx dx cos x xsen x dx xcos x cos x dx xcos x cos x dx xcos x sen x c Ejemplo : alcular u lnx dv xdx dx x du v x xlnx dx x x dx x x x x lnxdx lnx lnx dx lnx c x Ejemplo : alcular x e x dx u x du xdx x x dv e dx v e dx e x e x dx x e x xe x dx, así x x x e dx x e I donde I La cual es otra integral por partes, hacemos nuevamente xe x dx

9 u x du dx x x x dv e dx v e dx e x x x x I xe e dx xe e Y volviendo nuevamente a la expresión obtenemos el resultado final: x x x x e dx x e xe e Ejemplo : alcular x cos xdx u = x du xdx dv = cosxdx v cosxdx = cosxdx = senx x cosxdx x senx xsenxdx. Dado que la segunda integral es del mismo tipo, aplicamos nuevamente el método de integración por partes: u x ; dv = senx dx du dx; v = senxdx = senxdx = cosx xsenxdx = - xcosx + cosxdx = xcosx + cosxdx = = xcosx + senx 9 7 x cosxdx = x senx+ xcosx senx+ 9 7 Este método también podemos reducirlo de la siguiente forma x cosx 9 7 x cosxdx = x senx+ xcosx senx+ x senx cos x 9 0 senx 7 Este método puede emplearse de este modo en integrales del tipo algebraico por: exponencial, trigonométrico, en donde las derivadas sucesivas de la función algebraica terminan en cero. Este método es llamado Método del Tablero o LITE, abreviaturas de la combinación de funciones como son; logarítmicas, inversas, algebraicas, trigonométricas y exponenciales El siguiente tipo de integral es también por partes, pero para su solución requerimos establecer una ecuación, denominada ecuación integral, ya que esta integral se cicla al resolverla.

10 Ejemplo 6: alcular x e senx dx x x du e dx u e cosx dv sen x dx v senx dx x cosx x cosx x cosx x x e senx dx e e dx e e cos xdx La segunda integral es del mismo tipo, integración por partes, si I x x du e dx x u e e cosxdx senx dv cosx dx v cosx dx I x senx x I e senx e dx de esto se tiene lo siguiente, x cos x x x senx x e senx dx e e senx e dx cos x x x e e sen x x e sen xdx 9 9 Esta última integral es la misma que la que deseamos calcular, es aquí donde se establece la ecuación integral, esto es: cos x 9 9 x x x x e senx dx e e senx e senxdx despejando x x cos x x x e senx dx 9 e sen xdx e e sen x 9 x x cos x x 9 e sen x dx e e sen x de donde 9 x 9 x cos x x e senx dx e e senx c 9 quí el método del tablero puede utilizarse, pero con una pequeña variante, De donde obtenemos al multiplicar de esta manera: e x senx x e cos sen x 9 x e x x x x x e senx dx e e senx e senxdx Para obtener el mismo resultado: cos x 9 9 x x x despejando cos x 9 e sen x dx e e sen x de donde 9 9 cos x 9 x x x e senx dx e e senx c

11 .. TRIGONOMETRIS Enseguida analizaremos las integrales de funciones que presentan potencias trigonométricas, es decir, funciones con alguna de las siguientes formas: n n m n n n n n m n m n sen u, cos u, sen ucos u, tan u, cot u, sec u, csc u, tan u sec u,cot u csc u Para tal efecto es conveniente tener presente las siguientes identidades trigonométricas: sen u cos u sec u = +tan u Identidades trigonométricas cos u sen u cos u cos u sen u cos u csc u = +cot u cos sen u senu u sen mu cos nu = mu cos nu = m - n)u+ m+n u senm - n)u+sen m+nu cos cos cos Generalmente, al efectuar las transformaciones trigonométricas adecuadas, el integrando se reduce a uno directo o bien a una integración por partes. Ejercicios resueltos En los siguientes ejercicios calcule la integral indefinida:

12 S o l u c i o n e s. Solución:. Solución:. Solución:

13 . Solución:. Solución: 6. Solución: 7. Solución:

14 8. Solución: 9. Solución: 0. Solución:. Solución:

15 . Solución:. Solución:. Solución:

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18 .. POR SUSTITUION TRIGONOMETRI menudo en este tipo de integrales aparecen expresiones del tipo: a u, u a, u a Para este tipo de integrando se recomienda efectuar una transformación a integrales del tipo trigonométrico utilizando para esto la siguiente sustitución uando aparece Sustituir Diferncial du a u u a sen du acos d a u u a tan du asec d a u u a sec du asec tan d abe aclarar que estas sustituciones surgen, al igual que las sustituciones del tema de integrales trigonométricas, de observación y comparación de las propiedades trigonométricas: sen u cos u, sec u = +tan u, csc u = +cot u menudo es posible encontrar la antiderivada de estas funciones, haciendo la sustitución pertinente, logrando así un integrando que nos sea familiar.

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22 ..6 POR FRIONES PRILES La solución de las siguientes son simples de solucionar, de alguna manera: Integra las siguientes funciones racionales: x x a) dx ; b) x x 6 dx x x 6 x x c) dx ; d) x dx x Solución: a) La primera es inmediata ya que el numerador es exactamente la derivada del denominador, por tanto, x dx ln x x 6 x x6 b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador: x x dx dx ln x x 6 x x 6 x x 6 c) La tercera la descomponemos en dos integrales: x x dx dx dx arctgx ln x ) x x x

23 d) La cuarta se resuelve realizando previamente la división. Hecha la división se obtiene de cociente x+ y de resto x x dx x ) dx x ln x x x El tema a analizar en este caso va mas allá de este tipo de integrando, y necesitaremos del tema particular del algebra denominado FRIONES PRILES. Si Px) y Qx) son polinomios, entonces a la expresión Px)/Qx) se le denomina fracción racional. Si el grado de Px) grado de Qx) a la expresión Px)/Qx) le llamamos fracción racional impropia, entonces se procede divididiendo Px) entre Qx) obteniendo: Px) = x)qx) + Rx), siendo x) el cociente y Rx) el resto, además Rx) = 0, o bien, grado Rx) < grado Qx). sí la primera integral es polinómica, luego inmediata. La segunda integral vale cero si Rx) = 0), o si el grado Rx) <grado Qx), en cuyo caso Qx) se puede descomponer en factores irreducibles. uando se requiere integrar una fracción racional propia de la forma: Px ) dx Qx ) La fracción pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales cuyos denominadores son los factores de la fracción dada y los numeradores no son conocidos y solo bastaría investigar cual es el numerador de cada una de ellas. Por ejemplo, la suma: x ) x ) 7x da como resultado: x x x ) x ) x x sí: 7x dx dx x x x x ln x ln x c Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den por resultado la expresión de proveniencia. En el ejemplo anterior, ambos factores del denominador son lineales de primer grado) y no están repetidos, por lo tanto, pertenecen al denominado SO I factores lineales no repetidos. Entonces al factor x del denominador le corresponde una fracción de la forma una constante, entre x+; por su parte, al denominador x - le corresponde una fracción de la forma, otra constante entre x. El método de integración mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en descomponer en fracciones parciales la fracción racional propia y a partir de ello, obtener la integral de cada una de dichas fracciones. De esta manera se obtiene la integral de la fracción racional.

24 La teoría de las fracciones parciales considera cuatro casos, atendiendo a los factores que aparezcan en el denominador original, los cuales se pueden clasificar en dos formas: factores lineales, repetidos y no repetidos, factores cuadráticos, repetidos y no repetidos. SO : Si Qx) contiene factores lineales o puede factorizarse con FTORES LINELES NO REPETIDOS, a cada factor lineal de la expresión, P x) P x) Q x) a x b ) a x b )... a x b ) n n que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma: Px ) n Q x) a x b a x b a x b n n donde i es una constante a determinar. Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para poderse clasificar en el caso que le corresponda, o lo que es lo mismo, los casos atienden a los factores que aparezcan en el denominador. Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original, el procedimiento para determinar las constantes será el mismo para los casos existentes. EJEMPLO : alcular Solucion:

25 EJEMPLO : solucion: d d Ln Ln EJEMPLO : 0 7 d Solucion: ) ) ) d d Ln Ln ) 7 ) 7 7 EJEMPLO : d 8 Solucion: d d d del segundo miembro la primera integral es igual a: en la segunda integral:

26 x 6x 8 entonces: 6 8 ) ) 6 8 ) ) ) ) ) ) 0 d d d de ambas integrales se tiene: Ln ) Ln ) Ln ) Ln ) Ln ) Ln ) EJEMPLO : d ) ) ) solución: ) ) ) ) ) ) ) ) ) 8 d d d ln ) ln ) ln ) ) 8 ) ) 8

27 EJEMPLO 6: ) ) ) 9 d solucion: ) ) ) 9 ) ) ) ) ) ) d d d EJEMPLO 7: ) 6 ) d solucion: ) ) ) ) 6) ) D ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) D 8 D ) 6 ) d ) ) 8 ) ) d d d d ) ) 8 ) ) Ln Ln Ln Ln Ln Ln Ln ) ) 7 )

28 EJEMPLO 8): ) 6 ) d ) ) ) ) 6 ) ) ) ) ) ) ) 0 0 d d d EJEMPLO 9: d 8 solucion: ) ) ) 8 8 ) ) ) ) ) ) 8 0 d d d Ln Ln Ln ) 6 ) ) Ln Ln Ln ) ) )

29 EJEMPLO 0: 6 d solucion: ) ) ) ) ) ) 6 ) ) ) ) ) D ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) D d d d d Ln Ln Ln Ln ) ) ) )

30 SO II: Si Qx) contiene factores lineales repetidos o puede factorizarse con FTORES LINELES REPETIDOS, a cada factor lineal de la expresión, P x) P x) Q x) a x b ) a x b )... a x b ) n n que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma: Px ) Qx ) a x b a x b a x b a x b a x b n n n n n... a x b a x b a x b a x b a x b n n n n n n n n n n donde i es una constante a determinar. EJEMPLO : d solucion: ) ) ) ) ) ) 0 ENTONES 0 d ) 0 d )

31 Haciendo u du d para la primer int egral y v du d para la segunda y efectuar para ambas integrales la sustitucion, tenemos : du dv u v u v x x ) u du v dv quedando así: ) EJEMPLO : solucion: d ) ) ) ) ) 0 ENTONES 6 0 d d 6d ) ) ) 6 ln ) ln ) EJEMPLO : solucion: d 8 ) ) ) )

32 ) 0 0 ENTONES d 0 0 d ) ) ) ) Ln ) SO III: Si Qx) contiene factores cuadráticos o puede factorizarse con FTORES UDRTIOS NO REPETIDOS, a cada factor cuadrático de la expresión, P x) P x) Qx ) a x b x c ) a x b x c ) a x b x c )... a x b x c ) n n n que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma: Px ) x x x x... Q x) a x b x c ) a x b x c ) a x b x c ) a x b x c ) n n n n n donde i y i son constantes a determinar. EJEMPLO : solucion resolviendo reemplazando en la integral

33 pero haciendo cambio de variable y haciendo que EJEMPLO : Solucion: igualando tenemos que resolviendo reemplazando en la integral

34 pero resolviendo pero haciendo un cambo de varia resolviendo haciendo que resolviendo y devolviendo su valor a tenemos entonces la respuesta seria

35 EJEMPLO : solucion y ordenando tenemos tenemos resolviendo igualando resolviendo tenemos que reemplazando en tenemos haciendo que que reemplazando tenemos

36 EJEMPLO 6: sabemos que resolviendo reemplazando en la ecuación resolviendo y agrupando tenemos igualando tenemos resolviendo las siguientes ecuaciones tenemos los valores de:

37 resolviendo el primer integral de la ecuación reemplazando tenemos resolviendo do el segundo integral del la ecuación reemplazando tenemos

38 reemplazando las respuestas de las integrales ya halladas en respuesta final tenemos la EJEMPLO 7: solucion

39 resolviendo tenemos los valores de: EJEMPLO 8: solucion dividiendo tenemos resolviendo la integral de la ecuación

40 resolviendo y agrupando tenemos: resolviendo la: haciendo un cambio de variable reemplazando y devolviendo su valor a u tenemos que reemplazando en la ecuación *) tenemos la respuesta

41 EJEMPLO 9: solucion factorizando resolviendo la integral de la ecuación haciendo un cambio de variable resolviendo y devolviendo su valor a la variable u tenemos

42 EJEMPLO 0) resolviendo las ecuaciones reemplazando los valores en la ecuación tenemos resolviendo la primera sub integral de la integral operando tenemos resolviendo el segundo sub integral de la ecuación

43 integrando por sustitución trigonométrica tenemos que reemplazando en la integral tenemos la solución entonces la respuesta será: SO IV: Si Qx) contiene factores cuadráticos o puede factorizarse con FTORES UDRTIOS REPETIDOS, a cada factor cuadrático de la expresión, P x) P x) Q x) a x b x c ) a x b x c ) a x b x c )... a x b x c ) m n n n que aparezca en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma: Px ) x x x x x Q x) a x b x c ) a x b x c ) a x b x c ) a x b x c ) a x b x c ) x x x a x b x c ) a x b x c ) a x b x c ) m m m m k k m m n n n n n n n n n donde i y i son constantes a determinar.

44 EJEMPLO : ) d solución: por el método de ostrogradski = F E D derivando: ) F E D d d / / ) ) ) ) F E F E D F E D F E D F E D ) ) d d del segundo miembro la integral es: ) ) ) ) ) ) d

45 0 0 ENTONES / / 6 / d d 6 Ln ) Ln ) TN ) 6 REEMPLZN DO ESTE RESULTDO EN L INTEGRL NTERIOR ) Ln ) 6 Ln d ) TN )) 9 TN ) 9 Ln ) ) ) EJEMPLO : solucion: d 6 ) 6 ) 6) 6) 6 6 ) 6) D 6 6 ) 6) D x D Si x D x D Si x 8 D 7 Que al resolver se tienen los siguientes valores =0, =, =, D= d 6) d d 6 6 6

46 d 6) d d ) 6 ) ) ) ) d TN ) 6 ) HIENDO TN TN ) TN SE d SE d SE d OS d OS ) d 8 6SE SENOS SEN reemplazando la sustitución anterior se tiene: ) 6SE 9 TN ) ) EJEMPLO : calcular la integral. dx x solución: haciendo: x tan dx sen d x=tanx reemplazando: dx sec cos d d d 6 cos x sec cos cos cos d 8 cos d cos d cos sen d 8 sen sen sen sen c x x ) x x 8 x ) x x tan x c

47 EJEMPLO : alcular la integral. x x dx x Solucion: x x x) x) D x) x x) D x x x x x x x x D x x x x x x x D 0 D 0 D reemplazando x x x x dx x x x x x x x dx ln x ) dx tan x x x ) x ) 8 EJEMPLO : alcular Solucion: x x x dx x x ) x ) D x ) ) x x x ) D x x x x x x x x x x ) ) x x x ) D x 8x x x x x x x x D D de donde 0, 0, /, D 7 / reemplazando en la integral x / x ) 7 / x ) 7 dx dx dx dx x x x x x x x x 7 dx 6 x x 7 x

48 haciendo la sustitución: x 7tan dx 7 sec d para la segunda integral tenemos: 7 dx 7 7 / sec sen cos 6 6 d 9 /6 sec 6 d x Por ultimo al sustituir y con la integral inicial tenemos: x 7 dx x x x tan x ) c x x x x EJEMPLO 6: dx x 9 solución: haciendo la sustitución trigonométrica, ya que por fracciones parciales se llega a lo mismo. 6 x tan dx sec d x 9 9tan 9 9sec 9 sec entonces la integral es: dx = x 9 cos d d cos d d 6 sec 9 sec sec cos sen d cos d d sen x x 7 9 x sen cos sen cos tan x 9 x 9 x 9 finalmente la integral queda así: x x x 68 6 x 9) tan c

49 EJEMPLO 7: alcular la integral. x dx x solución: x x x x x x x x x x x x x x ) pero x) x x) D x x x) x) D x ) x x ) x ) ) ) x x x x x D x x x x D D 0 0 luego 0 D 0 x x x x) x x x x x ) x x ) x x) x x dx ln ) x dx x c x x ) x ) x