Mecánica de Materiales I

Transcripción

1 Mecánica de Materiales I Tema 2 Carga Transversal y Momento Flexionante

2 Índice de contenido Tema 2 Carga Transversal y Momento Flector Índice de contenido Sección 1 - Relación entre Carga, Fuerza Cortante y Momento Flector Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector Sección 3 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Sección 6 - Vigas sometidas a Carga Axial excéntrica Sección 7 - Resumen de Ecuaciones

3 Sección 1 - Relación entre carga, Fuerza cortante y Momento Flector Relación entre Carga, Fuerza Cortante y Momento Flector Los miembros ligeros que soportan cargas aplicadas de forma perpendicular y/o paralela a sus ejes longitudinales se llaman vigas. A menudo se pueden clasificar según el modo en que estén soportadas. Viga simplemente apoyada Viga en voladizo Viga con voladizo

4 Sección 1 - Relación entre carga, Fuerza cortante y Momento Flector Las vigas se presentan en gran variedad de estructuras (armazones de edificios, chasis de automóviles, etc.). En muchos casos, pueden hallarse gran variedad de cargas aplicadas sobre las mismas. Esto hace que determinar la sección transversal crítica (aquella en la que se producen los esfuerzos de mayor magnitud) no sea un procedimiento sencillo, de un solo paso. Se recurre entonces a los diagramas de fuerza cortante y momento flector. Estos diagramas son representaciones gráficas que muestran cómo se distribuyen dichas cargas sobre la viga, revelando dónde se encuentra la sección transversal crítica. En la mayoría de las vigas, los esfuerzos provocados por momentos flectores son más relevantes que aquellos producidos por fuerza cortante. Debido a esto, suele ocurrir que la sección crítica sea aquella en la cual esté aplicado el momento flector de mayor magnitud. Sin embargo, por seguridad, debe hacerse también una evaluación de esfuerzos en la sección donde ocurra la mayor fuerza cortante.

5 Sección 1 - Relación entre carga, Fuerza cortante y Momento Flector Convención de signos Se considerarán con signo positivo: Las cargas variables y/o fuerzas cortantes que generen rotación horaria del segmento de viga. Los momentos flectores que generen compresión en la parte superior de la sección transversal de la viga.

6 Sección 1 - Relación entre carga, Fuerza cortante y Momento Flector Relación entre Fuerza Cortante y Momento Flector Consideremos una viga en sometida a una carga distribuida a lo largo de la misma, como se muestra. El término q(x) Δx representa la fuerza resultante y K Δx es distancia a la que actúa la fuerza cortante desde el extremo derecho; se cumple que 0 < k < 1

7 Sección 1 - Relación entre carga, Fuerza cortante y Momento Flector Al aplicar la primera condición de la estática, obtenemos: Fv V q( x) x ( V V ) 0 Al despejar el término referido a la variación de fuerza cortante, tenemos: V q( x) x queda: Finalmente, al despejar q(x) y aplicar el límite cuando Δx 0 nos Lim x0 V x dv dx q( x)

8 Sección 1 - Relación entre carga, Fuerza cortante y Momento Flector Análogamente, al aplicar la segunda condición de la estática, obtenemos: 2 Mo M V x q( x) k x ( M M ) 0 Despejando el término referido a la variación del momento flector, tenemos: M V x q( x) k x Luego, al despejar V, tomando la aproximación Δx 2 0 y aplicando el límite cuando Δx 0 nos queda: 2 Lim x0 M x dm dx V Podemos observar entonces que el diagrama de fuerza cortante nos indica cómo se comportan las rectas tangentes a la curva que describe la variación del momento flector sobre la viga.

9 Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector En muchos casos puede resultar de interés disponer de expresiones analíticas que describan cómo varían la fuerza cortante y el momento flector. Para ello, utilizaremos la función de Macaulay, que se define de la siguiente forma: f ( x) x a n 0 si x<a (x a) n si x >a

10 Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector 0 si x<a f ( x) x a n (x a) n si x >a Respecto a esta función, podemos acotar lo siguiente: La expresión encerrada en los corchetes agudos es nula hasta que x alcanza el valor de a. Para x>a, la expresión se convierte en un binomio ordinario. Cuando n =0 y x>a, la función es igual a la unidad.

11 Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector Para determinar las ecuaciones generales de fuerza cortante y momento flector de una viga cargada, se recomienda seguir los siguientes pasos: 1. Hacer un corte imaginario en un extremo de la viga, a la izquierda o a la derecha, según convenga. 2. Determinar las reacciones en apoyos ó empotramientos. 3. Describir cada carga, utilizando para ello una función de Macaulay. 4. El plano de corte imaginario debe coincidir con el final de las cargas distribuidas; de no ser así, las mismas deberán proyectarse hasta dicho corte. Se recomienda entonces agregar y quitar tantas cargas como sea necesario.

12 Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector A continuación presentamos algunos ejemplos de cargas expresadas utilizando funciones de Macaulay: V( x) 0 M ( x) M x a 0 V ( x) P x a M ( x) P x a 0 1

13 Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector Como se mencionó anteriormente, al presentarse cargas variables debe procurarse que éstas terminen en el corte imaginario realizado en un extremo de la viga; se procedería entonces como sigue para una carga uniformemente distribuida: V ( x) W x a W x b M ( x) W x a W x b 2 2 2

14 ) ( b x K b x a b K a x a b K x V ) ( b x K b x a b K a x a b K x M Con una carga que varía linealmente, se tendría: Tema 2 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector

15 Sección 3 Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Utilizando un material muy deformable como el hule, se puede identificar físicamente qué sucede cuando un miembro prismático recto se somete a flexión. La líneas longitudinales se curvan y las líneas trasversales perpendiculares al momento permanecen rectas, pero sufren una rotación.

16 Sección 3 Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Definiremos ahora dos parámetros que nos serán de utilidad próximamente. Llamaremos eje neutro a aquel contenido en el plano de sección transversal, respecto al cual gira la sección. El eje neutro es paralelo al vector momento flector aplicado. Designaremos superficie neutra a la superficie longitudinal conformada por el eje neutro y todas la líneas longitudinales de la viga que lo intercepten.

17 Sección 3 Esfuerzo Normal debido a Momento Flector En resumen, se asumen las siguientes condiciones: La viga es recta. La sección transversal de la viga es uniforme. Todas las cargas actúan de forma perpendicular al eje de la viga. La viga apenas se tuerce al aplicar las cargas. El material del que esté hecha la viga es homogéneo y su modelo de elasticidad es igual a tensión y compresión.

18 Sección 3 Esfuerzo Normal debido a Momento Flector En la figura mostrada puede notarse cómo se vería afectada una porción de una viga y un elemento diferencial de la misma al aplicarse el momento flector.

19 Sección 3 Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Podemos plantear una expresión para la deformación unitaria en el elemento: s' s Lim s0 s Donde: Δs = Δx = ρ Δθ Δs = (ρ + y) Δθ Entonces, replanteamos la deformación de la siguiente forma: Lim 0 ( y)

20 Sección 3 Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Finalmente: Lim 0 y y Nótese que la deformación normal varía linealmente. En el eje neutro, desde el cual se miden las distancias y, no ocurrirá deformación. Y las deformaciones que ocurran por encima el eje neutro serán de signo contrario a las que ocurren por debajo del mismo.

21 Sección 3 Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Recordando la Ley de Hooke, E podemos plantear una primera expresión del esfuerzo, en función de la variable y : y E donde E y ρ son constantes. Ahora, aplicando la primera condición de la estática sobre la sección transversal, tenemos: df da 0

22 Sección 3 Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Sustituimos la expresión de σ obtenida anteriormente y nos queda E da y da 0 Dado que ningún da es igual a cero, tenemos que la única solución posible para esta ecuación es que se cumpla lo siguiente: y da 0 Esto nos indica que el eje neutro, desde el cual se miden todas las distancias y, debe coincidir con el centroide de la sección transversal de la viga.

23 Sección 3 Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Ahora, aplicaremos la segunda condición de la estática sobre la sección. Nos queda: M M y da 0 De forma similar a la anterior, sustituimos la expresión de σ obtenida mas atrás y obtenemos: M E 2 y da M y da 0 Donde el término que encierra la integral corresponde al momento de inercia de la sección transversal respecto al eje neutro. Designando con la letra I a esta propiedad de área, podemos rescribir la expresión de la siguiente forma: M E I 0

24 Sección 3 Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Recordando una expresión obtenida en líneas anteriores: E y y E Al sustituir esto en la ecuación que venimos trabajando, nos queda finalmente: M I y 0 M I y Donde puede observarse que el esfuerzo normal varía linealmente respecto a la dirección y.

25 Sección 3 Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Regla de la mano derecha Se utiliza para definir los signos de los esfuerzos normales empleando momentos aplicados. Al colocar la palma de la mano derecha sobre la sección transversal, con el pulgar siguiendo el sentido del momento sobre el eje neutro, la parte de la sección que quede bajo la palma de la mano será aquella que esté sometida a compresión.

26 Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Cuando una viga se somete a cargas transversales, éstas no solamente generan un momento interno en la viga sino una fuerza cortante interna. Esta fuerza cortante intenta que las secciones longitudinales se deslicen una sobre las otras. Para ilustrar mejor esto, utilizaremos una viga simplemente apoyada, conformada por tres tablones no unidos entre sí.

27 Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Al aplicar una carga como se muestra en la figura, puede notarse cómo los tablones se deslizan entre ellos. Si luego se unen los tablones y se aplica nuevamente la carga, no se presentará dicho deslizamiento. Esto nos indica que debe aparecer una fuerza interna que evite el deslizamiento entre secciones longitudinales de una viga sometida a momento flector.

28 Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Nos enfocaremos ahora en conseguir una expresión que nos permita determinar el esfuerzo que se genera en la viga para evitar el deslizamiento anteriormente descrito. Para ello, consideremos una viga como se muestra en la figura. Estudiaremos las fuerzas a las que está sometido un elemento diferencial de la misma.

29 Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal En la figura podemos observar con mayor detalle el elemento diferencial dentro de la viga. Se cumple: dh 2 2 da dh 1 1 da

30 Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Si suponemos que H 2 >H 1, podemos plantear la primera condición de equilibrio en el elemento diferencial: F H 1 H 2 df df H 1 H 2 0 Al sustituir H 1 y H 2, nos queda: df c 2 da 1 y c y 1 2 da Recordando que: M y I

31 Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Al introducir esto en la expresión anterior, obtenemos: b dx M I 2 c y y da M I c y da y Si consideramos que M 1 -M 2 =dm, al despejar nos queda: dm dx 1 I b c y da y 1 Luego: dm dx V (Fuerza cortante) c y 1 y da Q (Primer Momento de Área)

32 Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal la viga: Tenemos finalmente nuestra expresión para el esfuerzo cortante en V Q I b Sin embargo, para que un elemento diferencial se halle en equilibrio, debe existir otra fuerza horizontal, en sentido contrario, que actúe en un plano paralelo. Se tienen entonces dos fuerzas que generan un par en el elemento diferencial. Para anularlo, debe aparecer otro par de fuerzas de igual magnitud y sentido contrario, que actúan en planos perpendiculares a los anteriores, como se muestra.

33 Podemos observar entonces que un esfuerzo cortante consta de tres características: -Actúa en un plano -Actúa en una dirección, que debe ser tangente a dicho plano -Posee una magnitud. Tema 2 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Todas estas características se señalan en la nomenclatura del esfuerzo cortante, como sigue: ij K i indica el plano de acción del esfuerzo cortante j indica la dirección del esfuerzo cortante K es la magnitud del esfuerzo

34 Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Entonces, por ejemplo, un xy es un esfuerzo cortante que actúa en el plano x en la dirección y. Observe que debe cumplirse: ij ji También es importante mencionar, que el producto de los signos del plano de acción y de la dirección del esfuerzo debe ser siempre el mismo, sin importar cuál de los cuatro esfuerzos estemos tomando en cuenta. Este producto de signos se le asignará al valor del esfuerzo. En el caso mostrado, el esfuerzo es negativo.

35 Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Finalmente, la distribución de esfuerzos en la sección transversal ocurre como se muestra en la figura. Note que la distribución es hiperbólica.

36 Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Para deducir una expresión que nos permita determinar los esfuerzos normales generados por un momento flector aplicado sobre un miembro curvo, asumiremos las siguientes condiciones: El material se comporta en el rango elástico. Las secciones transversales planas permanecen planas después de la flexión. El módulo de elasticidad es el mismo para tracción y para compresión. Las secciones transversales tienen un eje de simetría centroidal en un plano a lo largo de la viga. A diferencia del caso de vigas rectas, el eje neutro no coincide con el eje centroidal longitudinal de la viga.

37 Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Designaremos r a la distancia que existe entre el centro de curvatura del elemento y el eje neutro de la sección transversal. A su vez, R será la distancia entre dicho centro e curvatura y el eje centroidal de la sección transversal. Notemos que R >r, y que ambos parámetros son constantes para una sección transversal dada.

38 Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Si aislamos un segmento diferencial de la viga, el esfuerzo tiende a deformar el material en forma tal que cada sección transversal girará un ángulo. Se puede notar que: L 0 d L f d ( r) Luego, por definición: L f L L 0 0

39 Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Al sustituir L 0 yl f queda: d d ( r) d Luego, hacemos: k d Al introducirlo en la expresión anterior, obtenemos: k r Podemos observar aquí que la deformación varía de forma hiperbólica, no lineal.

40 Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Como el material se comporta elásticamente, podemos aplicar la ley de Hooke: E E k r De forma similar al caso de viga recta, debe cumplirse la primera condición de equilibrio: F da 0 Tenemos entonces que: da E k r da

41 Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Como los valores de E, K y r son constantes: da E k da r da 0 De aquí obtenemos que: r da da Esta es la expresión que nos permite determinar la distancia entre el centro de curvatura de la viga y el eje neutro de la sección transversal del elemento.

42 Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Aplicaremos ahora la segunda condición de equilibrio: M ( r) da De aquí obtenemos que: ( r) da ( r) E k r da 2 ( r) 2 E k da E k da 2 r da r da

43 Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos 2 ( r) 2 E k da E k da 2 r da r da Definiremos ahora cada término resultante del binomio cuadrado: da R A da da A A r

44 Recordando además que: De aquí obtenemos que: r A A r A R r M 2 k E r A r A R r M Tema 2 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos

45 Despejando σ, nos queda: Luego, estableciendo: Podemos rescribir la expresión de la forma: ) ( ) ( r R A r M r R e e A r M ) ( Tema 2 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos

46 Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Finalmente, la distribución de esfuerzos en la sección transversal ocurre como se muestra en la figura. Nótese que: M ( r) Lim 0 A e M ( r) Lim A e 0

47 Sección 6 Vigas sometidas a carga axial excéntrica Vigas sometida a carga axial excéntrica Cuando nos encontremos con el caso de una viga en la que se halle aplicada una carga axial cuya recta de acción no pase por el eje centroidal, se calcula el momento flector que produce la excentricidad de la carga. Entonces, el esfuerzo normal resultante vendrá dado por la superposición de los efectos producidos por la carga axial (aplicada en el centroide de la sección transversal) y el momento generado. ( P y) y I P A M y I P A

48 Sección 7 - Resumen de ecuaciones Resumen de ecuaciones Relación entre carga, fuerza cortante y momento flector: Lim x0 V x dv dx q( x) Lim x0 M x dm dx V V: Fuerza Cortante en una sección transversal M: Momento Flector en una sección transversal x: Distancia desde un extremo de la viga

49 Sección 7 - Resumen de ecuaciones Esfuerzo normal debido a momento flector: M I y : Esfuerzo normal en un punto de la sección transversal M: Momento flector sobre la sección transversal y: Distancia desde el centroide hasta el punto de interés sobre la sección transversal I: Momento de inercia de la sección transversal

50 Sección 7 - Resumen de ecuaciones Esfuerzo cortante debido a carga transversal: ij V I Q b : Esfuerzo cortante en un punto de la sección transversal V: Carga transversal sobre la sección Q: Momento de área (respecto al punto de interés) I: Momento de inercia de la sección transversal b: Espesor de la sección transversal (respecto al punto de interés)

51 Sección 7 - Resumen de ecuaciones Esfuerzo normal debido a momento flector en miembros curvos: M ( r) A e : Esfuerzo normal en un punto de la sección transversal M: Momento flector sobre la sección : Distancia medida desde el centro de curvatura del elemento hasta el punto de interés A: Área de sección transversal e: Distancia entre el eje neutro y el centroide de la sección transversal r: Distancia medida desde el centro de curvatura hasta el eje neutro de la sección transversal

52 Sección 7 - Resumen de ecuaciones Parámetro r para el cálculo del esfuerzo normal debido a momento flector en miembros curvos: r da da r: Distancia medida desde el centro de curvatura del elemento hasta el eje neutro de la sección transversal A: Área de la sección transversal : Distancia medida desde el centro de curvatura del elemento hasta el punto de interés de la sección transversal.